VJ

\ \dx ^ dzl dp dq

j / do do \ ^do ^ do

do do

< do do \ ,do - do

f 00 do\ ,00 .00

) /do do\ t > ' T

âo dq '^ '^' 'dp

Supposons, par exemple, que le premier soit vérifié. Si nous ajoutons les équations (9) après les avoir multipliées respectivement par

do j do i do

É' Ad]?^ Â^'

nous aurons

do , do , do / do ^ do dz dp ^ dq ^ \ ôp ^ dq

, ào\ dx

f do ^ do \ dq -dp

. ào\ dy

ou, en tenant compte des équations (12),

do = 0.

La proposition que nous avions en vue est donc établie : les équations (9) admettent la combinaison intégrable <:fo; et Ton verra de même que, si la fonction o satisfait aux équations (i3), la combinaison intégrable rf<p est fournie par le système (8).

713, Ce premier point étant établi, arrivons au cas où l'un des systèmes (8) et (9) admet deux combinaisons intégrables du^ dç. Alors il admettra aussi la combinaison intégrable

du — <p'(p) dv = d[u — cp(t^)],

où o désigne une fonction arbitraire; et, par suite, toutes les so-

lutionsde l'équation

(i4) i^ — çp((;)=o

appartiendront à la proposée (i). L'équation précédente est d'ailleurs équivalente à la proposée; car, si Ton élimine la fonction o entre l'équation et ses deux premièi'es dérivées, on est conduit à l'équation du second ordre

qui ne diffère de la proposée que par un facteur (^ ). Ce facteur ne peut être nul, infini, ou indéterminé, que pour certaines solutions exceptionnelles; et, tant qu'il ne sera pas nul, Féquation (i4) sera équivalente à la proposée.

Réciproquement, si Féquation du second ordre doit admettre une intégrale première de la forme (i4), il résulte des raisonnements du numéro précédent que les trois fonctions

doivent chacune satisfaire à l'un des deux systèmes (12), (i3). Mais, comme deux d'entre elles appartiennent au même système, il en sera nécessairement de même de la troisième, qui est une fonction des deux autres. Ainsi, pour trouver , si cela est possible j les intégrales intermédiaires de la forme (i4)? il faudra rechercher si Vun des systèmes (12) ou (i3) admet deux solutions distinctes.

Le problème qui consiste à reconnaître si deux équations linéaires telles que les équations (12) ou (i3) admettent une ou plusieurs solutions distinctes est un de ceux que l'on sait le mieux résoudre aujourd'hui. On peut donc déduire des propositions précédentes une méthode régulière de recherche des intégrales intermédiaires de l'équation proposée et, plus généralement, de toutes les équations du premier ordre dont les différentes solutions appartiennent à la proposée.

(') On le vérifie aisément en tenant compte des équations (12) ou (i3) auxquelles satisfont à la fois les fonctions u et v. Un calcul facile donne

ôa (h> au dQ d(.a!,y) A. '■ ^ '

*>70 LIVRE Yll. — CHAPITRE V.

714. Les indications précédentes, quelque incomplètes qu'elles soient, mettent en évidence le rôle des caractéristiques dans la recherche des intégrales de l'équation proposée. On pourrait les développer et en tirer une théorie complète de l'équation (i); nous nous contenterons ici de traiter quelques applications; mais auparavant il importe de remarquer que les équations (6) ne peuvent être remplacées par un des systèmes (8) ou (9) que si A est différent de zéro. Considérons, par exemple, le système (8). Lorsque A est nul, les deux dernières équations se réduisent à une seule. Pour éviter cet inconvénient nous remarquerons que, dans le cas général, on peut déduire des équations (8) les deux suivantes

( B dp — li dq ^ D dx ^ o, l B' dq — Izdp -^ D dy = o,

par l'élimination soit de dx, soit de dy. Le système des équations (8) et (Sy se réduira dans tous les cas à trois équations distinctes. En ajoutant de même aux équations (9) les deux suivantes

, , ( B dp — A^dq -^D dx ~ o,

( B' dg — Il dp -r- D dy = Of

on n'éprouvera aucune difficulté dans les applications.

Considérons d'abord l'équation bien connue des surfaces développables

rt — s^=^ o.

On a ici

Les équations (8) se réduisent aux suivantes

dz—pdx — qdy — o^ dp = 0, dq~o, qui présentent trois combinaisons intégrables

dp, dq, d{z—px-~qy).

On aura donc les deux intégrales du premier ordre

z-^px — qy = o{p).

Si Ton différentie la dernière équation, il restera

[^ -^rfip) -i- ^'(p)] dp == o.

En supprimant dp^ on a bien les trois équations qui définissent une surface développable.

Prenons maintenant Téquation

q-r — ipq$ -{- p^t = 0.

Ici encore, les deux valeurs de X sont égales et les équations différentielles de la caractéristique sont

dz — p dx — q dy = 0^ p dx -^ q dy = 0^ q dp —p dq — 0.

Elles admettent les trois combinaisons intégrables '9

dz~Q^ ^-^=0, dly'\-x—\

On aura donc

et, par conséquent, z sera déterminé par Téquation

y-^.-xo{z)^-^{z).

Dans l'un et l'autre des exemples précédents, l'équation en X a ses deux racines égales, et Jes équations différentielles de la caractéristique admettent trois combinaisons intégrables. La coïncidence n'est pas fortuite, et l'on peut démontrer que, si l'un des systèmes (8) ou (9) admet trois combinaisons intégrables, on a nécessairement ^4 = X2 ( ' ).