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Ainsi les seules surfaces qui puissent donner une solution du problème proposé sont celles dont la courbure totale est constante. Tel est le résultat fondamenlal obtenu par M. Beltrami.

599. Le lecteur pourra poursuivre et achever les calculs; mais il vaut mieux raisonner de la manière suivante.

Rapportons une surface à courbure constante au système de

coordonnées formé par une famille de lignes géodésiques et leurs trajectoix-es orthogonales : l'élément linéaire prendra la forme

et l'on devra avoir

Si la courbure k est nulle, C sera de la forme

(9) G = Vî. + Vi,

V et Vi désignant des fonctions de <». Si la courbure k est positive et a pour valeur — ^ on aura

(10) G = Vsin- -H Vi COS-.

Enfin, si la courbure est négative et égale à ^i on trouvera

de même

Écrivons les expressions correspondantes de l'élément linéaire en changeant dans les deux dernières u en au ; on sera conduit aux trois formes

ixi) ds^ = c^z^î-h (Vw H- Vi)2 dv>^,

(i3) ds'^ = a^[du'^'+- (V sin u H- Va ces uY dv^],

qui caractérisent les surfaces à courbure nulle, positive ou négative. Si nous supposons maintenant que les lignes géodésiques ç'=const. soient celles qui passent par un j)oint donné de la surface, il faudra que l'on ait, dans les trois cas,

G = G pour u = 0.

Cela donne la condition

Vi = o.

En choisissant convenablement la coordonnée p, on réduira en-

iuite V à l'unité; de sorte que rélément linéaire se ramènera aux ormes suivantes :

i5) ^/^'•*= diC^-^ z^2^p^

ï6) ds'^— <22[<^«2|sin2i^^(j2],

r f pu p—u \ 2 "I

17) ds^^aAdu^^r- — ^~— j dvA,

:jui ne contiennent, comme on voit, aucune indéterminée.

L'application des méthodes que nous avons données plus haut 'n° 579) dans le cas des surfaces de révolution nous conduira ici îans difficulté à l'équation en termes finis des lignes géodésiques. On trouve ainsi les trois équations

'18) A zicosp -h B wsint^H- G = o,

rg) A tang^^ cost^ -h B tangw sinr-t- C = o,

20) A— -cosr-h B -~ sinf-i- G = o,

^ui conviennent respectivement aux éléments linéaires définis par [es trois formules (i5), (16), (17) et qui, d'ailleurs, donnent immédiatement la solution complète du problème proposé. On voit, en sfFet, que, si l'on représente l'une quelconque des surfaces sur le plan en prenant pour les coordonnées rectangulaires x et y du point du plan les coefficients de A et de B dans l'une des équations précédentes, les lignes géodésiques de la surface correspondront lux droites du plan.

D'ailleurs, quand on a une telle représentation d'une surface sur lin plan, on peut obtenir toutes les autres de la manière la plus simple; car, si P et Q sont les deux points du plan qui corres- Dondent, dans deux représentations distinctes, à un môme point M ie la surface, la correspondance établie entre P et Q sera telle que les droites correspondront à des droites, et ne sera autre, par conséquent, que la transformation homographique la plus générale. \insi, quand on a effectué une représentation de la surface consilérée sur le plan, on les obtient toutes en faisant suivre cette représentation, quelque particulière qu'elle soit, de la transformation lomographique la plus générale dans le plan.

Si, à la place des coordonnées u et (^, on introduit les coorionnées rectangulaires ^ et 7 du point du plan qui correspond de a manière indiquée au point de la surface^ on obtient pour les trois

formes de l'élémetit linéaire les expressions

(21) ds^'^dx^-^dy"^,

(22) ^^.^^. y^'^dr^-^jxdy^ydxy

que nous retrouverons plus loin d'une autre manière et qui ont été signalées par M. Beltrami.

600. Les recherches que nous venons d'exposer conduisaient naturellement au problème suivant :

Étant données deux sui\f aces quelconques ^ peut-on les représenter V une sur Vautre^ de telle manière qu'à toute ligne géodésique de Vune corresponde une ligne géodésique de Vautre?

Nous dirons alors que les deux surfaces sont représentées l'une sur l'autre géodésiquement.

Cette question, que M. Beltrami avait proposée à la fin de son travail, a été résolue par M. Dltii (^) dans un beau Mémoire inséré aux Amiali di Matematica* La méthode de M. Dini repose sur un élégant théorème de M. Tissot, que l'on peut énoncer comme il suit :

Lorsque deux surfaces se correspondent point par point , il existe sur une des surfaces un système orthogonal, et en général un seul, auquel correspond sur Vautre surface un système orthogonal.

Soient, en effet. M, M^ deux points correspondants, pris respectivement sur les deux surfaces considérées (S) et (Si); à toute tangente M^ en M correspond une tangente M.^t^^ en Mi, en ce sens que toute courbe de la première surface tangente en M à M^ a pour homologue une courbe de (Si) tangente en Mi à Mi ^i- Il est à peu près évident, et l'on établira aisément qu'à quatre tangentes

( ») Dini ( U.)» Sopra un prohlema che si présenta nella teoria générale délie rappresentazioni geografiche di una superficie su di urC altra {Annali di Matematica, t. III, p. 269; 1869).

M^ correspondent quatre tangentes M| t^ de même rapport anharmonique. D'après cela, soient Mi, My les deux tangentes de la première surface qui vont rencontrer le cercle de l'infini et M;/, M p les tangentes qui correspondent aux deux tangentes analogues de (S^). Deux tangentes rectangulaires de (S) sont conjuguées, comme on sait, par rapport au faisceau des deux droites Mi, My. Pour qu'elles correspondent à deux tangentes i^ectangulaires de (S^), il faudra encore qu'elles divisent harmoniquement l'angle des deux tangentes M;^, Mp. On aura donc, pour les déterminer, à construire les rayons communs aux deux involutions dont les rayons doubles sont respectivement Mi, My etMi^, Me. Le problème comporte, en général, une seule solution. D'ailleurs si les surfaces sont réelles et si la correspondance, comme il arrive ordinairement, est établie entre des points réels, les rayons doubles des involutions que nous venons de considérer seront imaginaires conjugués et, par suite, les rayons communs aux deux immolations seront nécessairement réels.

Considérons sur la surface (S) les courbes qui admettent pour tangente en chaque point l'une des droites que nous venons de construire. Ces courbes formeront un système orthogonal, et ce système sera évidemment le seul auquel correspondra sur (S<) un système orthogonal.

A cette conclusion il y a deux exceptions : i" si les deux involutions précédentes ont leurs rayons doubles communs, la correspondance entre (S) et (Sj) aura lieu avec conservation des angles; et, par suite, tout système orthogonal tracé sur l'une des surfaces aura, dans ce cas, pour homologue un système orthogonal tracé sur l'autre; 2*^ si les deux involutions ont un seul rayon double commun, c'est-à-dire si les lignes de longueur nulle d'une seule famille se correspondent sur les deux surfaces. Alors les deux familles qui composaient le système orthogonal viennent se confondre en ime seule, formée de ces lignes de longueur" nulle qui se correspondent sur les deux surfaces. Ce cas exceptionnel, sur lequel nous aurons l'occasion de revenir, a été signalé par M. Lie (^); il ne peut évidemment se présenter lorsque la correspondance a

(») Mathematische Annalen, t, XX, p. 421, Note I du Mémoiro déjà cité ; Untersuchungen ûber geodàtùche Curçeiu

eu entre les points réels de deux surfaces réelles. On peut donc aoncer la conclusion suivante :

Lorsqu'on a établi une cor^respondance entre les points réels 'e deux surfaces réelles^ il existe certainement sur chacune es surfaces un système orthogonal réel admettant pour homo- ■)gue un système orthogonal. Ce système est unique si la corespondance n'a pas lieu avec conservation des angles.

601. Voici mainteûanl comment M. Dini a fait usage du théo- ^me précédent. Supposant implicitement que la correspondaace Lablie entre les surfaces (S) et (Si) a lieu entre des points réels, éminent géomètre rapporte ces deux surfaces au système de ^ordonnées formé par les lignes orthogonales qui se corresponent sur les deux surfaces. Ce système sera unique si la corresondance n'a pas lieu avec similitude des éléments infiniment etits; dans le cas contraire, Tun des systèmes orthogonaux pourât être choisi arbitrairement. Soient

4 ) ds^'^E du^ -h G <^(^S dsf-Ei du,^ -H Gj di>^

s expressions des éléments linéaires de (S) et de (Si). L'équaon différentielle des lignes géodésiques de (S) sera (n° S14)

/^ ^0 ^ ^9 N I ^E , . /a (?G I dE\ , , , ^(dud^.^dçd^u)^^^du^ + [^^-^^-Jdu^d.

Ton obtiendrait de même celle des lignes géodésiques de (S^) i remplaçant E, G par Ei, Gi. Pour que les lignes géodésiques

correspondent, il faut et il suffit que les équations différentielles ient identiques. On est ainsi conduit aux conditions

I dE i dEi G c>i; "^ Gi dç'

2 <?G I aE a G du E du '^ Gx

dGx du

El

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^ dE I <?G 2 E c?P G <?p ~ El

dEi d^