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et on la fait consister dans l'application de l'algèbre à la géométrie. Avant Descartes, les algébristes, Viète en particulier, avaient déjà résolu par l'algèbre plus d'un problème de géométrie. Mais aucun d'eux n'avait encore découvert les racines de cette alliance, et tait voir pour quelle raison des formules purement algébriques peuvent devenir les substituts des formes géométriques. Ces raisons. Descartes les découvrit. L'idée maîtresse et génératrice de la géométrie analytique est aisée à dégager. Les figures géométriques, tracées et représentées dans l'espace, sont faites d'éléments différents, de grandeurs et de formes. Par elles-mêmes, les grandeurs se résolvent en nombres ; mais les formes semblent indociles à une telle réduction. Ce sont en effet des qualités, et non pas des quantités ; et cependant le traitement algébrique des questions géométriques implique la réduction des formes aux grandeurs. Abordée de front, la difficulté est invincible. Descartes l'a résolue en la tournant. Le premier, il vit que la forme d'une figure résulte de la position des points dont elle se compose et que cette position peut être déterminée par des grandeurs, abstraction faite de toute idée de forme. Il ramena ainsi la forme à la grandeur, par l'intermédiaire de la position .

« Son travail philosophique, a dit A. Comte, a simplement consisté, sous ce rapport, dans l'entière généralisation d'un procédé élémentaire qu'on peut regarder comme naturel à l'esprit humain, puisqu'il se forme pour ainsi dire spontanément chez toutes les intelligences, même les plus vulgaires. En effet, quand il

s'agit d'indiquer la situation d'un objet sans le montrer immédiatement, le moyen que nous adoptons toujours, et le seul évidemment qui puisse être employé, consiste à rapporter cet objet à d'autres qui soient connus, en assignant la grandeur des éléments géométriques quelconques par lesquels on le conçoit lié à ceux-ci. Ces éléments constituent ce que Descartes, et d'après lui tous les géomètres, ont appelé les coordoim.ées de chaque point considéré....

« Après avoir nettement établi cette conception préliminaire, en vertu de laquelle les idées de position, et, par suite implicitement, toutes les notions géométriques élémentaires, sont réductibles à de simples considérations numériques, il est aisé de concevoir directement, dans son entière généralité, la grande idée mère de Descartes, relative à la représentation analytique des formes géométriques... D'après la manière d'exprimer an alytiquement la position d'un point sur un plan, on peut aisément établir que, par quelque propriété qu'une ligne quelconque puisse être définie, cette définition est toujours susceptible d'être remplacée par une équation correspondante entre les deux coordonnées variables du point qui décrit cette ligne, équation qui sera dès lors la représentation analytique de la ligne proposée, dont tout phénomène devra se traduire par une certaine modification algébrique de son équation. Si l'on suppose, en effet, qu'un point se meuve sur un plan sans que son cours soit déterminé en aucune manière, on devra évidemment regarder ses deux coordonnées , dans quelque système que ce soit, comme entièrement indé-

pendantes l'une de l'autre. Mais si, au contraire, ce point est assujetti à décrire une certaine ligne quelconque, il faudra nécessairement concevoir que ses coordonnées conservent entre elles, dans toutes les positions qu'il peut prendre, une certaine relation permanente et précise, susceptible, par conséquent, d'être exprimée par une équation convenable, qui deviendra la définition analytique très nette et très rigoureuse de la ligne considérée , puisqu'elle exprimera une propriété algébrique exclusivement relative aux coordonnées de tous les points de cette ligne. Il est clair, en effet, que lorsqu'un point n'est soumis à aucune condition, sa situation n'est déterminée qu'autant qu'on donne à la lois ses deux coordonnées distinctement l'une de l'autre; tandis que, quand le point doit se trouver sur une ligne définie, une seule coordonnée suffit pour fixer entièrement sa position. La seconde coordonnée est donc alors une fonction déterminée de la première, ou, en d'autres termes, il doit exister entre elles une Q,'àxiû\\Q équation^ d'une nature correspondante à celle de la ligne sur laquelle le point est assujetti à rester. En un mot, chacune des coordonnées d'un point l'obligeant à être situé sur une certaine ligne, on conçoit réciproquement que la condition, de la part d'un point, de devoir appartenir à une ligne définie d'une manière quelconque, équivaut à assigner la valeur de l'une des deux coordonnées, qui se trouve dans ce cas être entièrement dépendante de l'autre. La relation analytique qui exprime cette dépendance peut être plus ou moins difficile à découvrir ; mais on doit évidemment en concevoir toujours l'existence,

même dans les cas où nos moyens actuels seraient insuffisants pour la faire connaître...

(( En reprenant en sens inverse les mêmes réflexions, on mettrait aussi facilement en évidence la nécessité géométrique de la représentation de toute équation à deux variables, dans un système déterminé de coordonnées, par une certaine ligne dont une telle relation serait, à défaut d'aucune autre propriété connue, une définition très caractéristique, et qui aura pour destination scientifique de fixer immédiatement l'attention sur la marche générale des solutions de l'équation, qui se trouvera ainsi notée de la manière la plus sensible et la plus simple. Cette peinture des équations est un des avantages fondamentaux les plus importants de la géométrie analytique, qui a par là réagi au plus haut degré sur le pertectionnement général de l'analyse elle-même, non seulement en assignant aux recherches purement abstraites un but nettement déterminé et une carrière inépuisable, mais, sous un rapport encore plus direct, en fournissant un nouveau moyen philosophique de méditation analytique, qui ne pourrait être remplacé par aucun autre \ »

Telle serait, d'après la plupart des commentateurs contemporains, la révolution opérée par Desi^artes en mathématiques. A cette géométrie qui considère les figures telles que les présente tout d'une pièce à l'esprit l'intuition synthétique de l'étendue, il aurait substitué une sorte de géométrie en mouvement, dans laquelle

1. A. Comte, Cours de philosophie positive^ "2^ éd., t. I, p. 314, sqq.

l'esprit assiste à la génération des figures par le déplacement du point dans le plan ou dans l'espace , et, saisissant les lois de cette génération, les traduit en langage algébrique, pour en tirer, par le calcul, toutes les conséquences qu'elles recèlent, révolution féconde, qui, remplaçant l'intuition des formes singulières par la conception de formules générales, agrandissait à l'infini le champ et la portée de la géométrie.

Cette façon d'entendre la réforme mathématique de Descartes semble difficile à contester. Elle a pour elle l'autorité de savants illustres et de presque tous les historiens des mathématiques, et, signe plus important encore, elle cadre à merveille avec plus d'un passage de l'obscur traité de Géométrie publié en 1637. On y lit en effet, entre autres choses propres à confirmer les vues plus haut exposées : « Considérant la géométrie « comme une science qui enseigne généralement à court naître la mesure de tous les corps, on n'en doit pas « plutôt exclure les lignes les plus composées que les « plus simples, pourvu qu'on les puisse imaginer être « décrites par un mouvement continu, ou plusieurs qui « s'entresuivent, et dont les derniers sont entièrement « réglés par ceux qui les précèdent, car par ce moyen « on peut toujours avoir une connaissance exacte de M leur mesure \ » Et pourtant, malgré ces témoignages, malgré l'accord à peu près unanime des interprètes, la géométrie analytique est-elle le tout de la réforme cartésienne des mathématiques?