Viète, Isagoge^ éd. Schooten

LA MATHÉMATIQUE UNIVERSELLF. 59

Que fit Descartes? Il créa cette unité d'interprétation et l'étenclit sans exception à toutes les opérations du calcul. Pour cela, il lui suffit de substituer, à la représentation de la seconde et de la troisième puissances par des surfaces et des solides, une représentation où les lignes seules sont employées. De la sorte disparaît l'obstacle où l'algèbre de Viète venait échouer dès la quatrième puissance, à laquelle ne correspond pas, pour la représenter géométriquement, une quatrième dimension de l'espace ; la distinction des grandeurs homogènes et des grandeurs hérétogènes s'évanouit ; toutes les grandeurs peuvent, par suite, être comparées entre elles; une voie unique et indéfinie s'ouvre devant la science générale des grandeurs.

Que telle ait été l'œuvre de Descartes, l'étude de la Géométrie ne permet pas d'en douter. Considéronsen surtout le début. Descartes y étabht un parallélisme exact et rigoureux entre les opérations de l'arithmétique et les constructions géométriques. Additionner deux nombres, c'est composer un nombre qui contienne autant d'unités que les deux nombres donnés ; de môme, additionner deux droites, c'est construire une droite qui soit égale aux deux droites données. Soustraire un nombre d'un autre^ c'est composer un autre nombre qui contienne seulement autant d'unités que le plus grand des nombres donnés en présente en excès sur le plus petit; de même, soustraire une droite donnée d'une autre droite, c'est construire une droite qui soit égale à Fexcès de la plus grande sur la plus petite. Multiplier deux nombres l'un par l'autre, c'est composer un

nombre qui soit à l'un des nombres donnés ce que l'autre est à l'unité; de même, multiplier une droite -par une autre droite, c'est construire une autre droite qui soit à l'une des droites données ce que l'autre est à l'unité. Soit, par exemple, AB l'unité, et qu'il faille multi-

plier BD par BG; je n'ai qu'à joindre les points A et G, puis à tirer DE parallèle à GA ; BE est le produit de cette multiplication.

Diviser un nombre par un autre, c'est composer un nombre qui soit à l'un des deux comme l'unité est à l'autre. De même, diviser une droite par une autre, c'est construire une autre droite qui soit à l'une des deux ce que l'unité est à l'autre. Soit, par exemple, BA l'unité, et qu'il faille diviser BE par BD, je joins E et D, puis je mène G A parallèle à ED, et BG est le résultat de cette division. Enfin, trouver la racine carrée, la racine cubique, etc., de nombres donnés, est la même chose qu'en géométrie trouver une ,, deux ou plusieurs moyennes proportionnelles entre l'unité et quelque autre ligne. « S'il faut, par exemple, tirer la racine carrée de « GH, je lui ajoute en ligne droite FG, qui est l'unité, et, « divisant FH en deux parties au point K, du centre K je « tire le cercle FIH, puis élevant du point G une ligne

« droite jusqu'à I, à angle droit sur FH, c'est GI qui est « la racine cherchée ^ »

Ainsi toutes les opérations, addition, soustraction, multiplication, division, extraction des racines, peuvent s'effectuer d'une manière uniforme sur des droites, et les résultats auxquels elles aboutissent sont toujours des lignes droites.

Exprimons maintenant à l'aide des symboles et des signes de l'algèbre ces opérations diverses : « Si je « nomme a et h les lignes BD et GH, j'écris a-\-h pour « les ajouter l'une à l'autre, a — b pour soustraire « b de a, et ab pour les multiplier l'une par l'autre,

ri

« et j pour diviser a par &, et aa ou c^ pour multi-

« plier a par soi-même, et o? pour le multiplier encore « une fois par a, et ainsi à l'infini, et / a~ -j- h^ pour « tirer la racine carrée de or -[- ^^, et / G«^ — ^^ -f- ab^ « pour tirer la racine cubique de a^ — b^ •-)- a\r^ et « ainsi des autres ^. »

Ainsi les opérations efTectuées sur des droites se traduisent, en langage algébrique, par des monônes et des polynômes. Il en résulte que si, par ces opérations,

1. Géom., livr, l^'^, V, 314.. Sur la recherche des moyennes proportionnelles entre deux droites, voir le commencement du S" livre de la Géométrie.