U GÉOMÉTRIE

Dans ses « Remarques sur Tabrégé de la vie de M. Descartes » (Gerhardt. \\\ \k 316 . Leiljniz déclare tenir de Hardy que le problème de Pappus avait été proposé à Descaites en 1631 par Golius. Comme iPaprès une lettre de Descartes lui-même (juin 16:32) ^t), Golius l'avait autrefois proposé à Mydorge, et que, d'autre part, en janvier 1632, Descartes en envoie la solution à un correspondant «lui ne peut être (pie Golius (2). rairirmation de Leibniz est certainement exacte

En quoi consistait ce problème auquel se sont attaqués les Anciens, et qu'ils ont résolu à leur manière. — Hicomplètement connue de nous, d'ailleurs. — pour le cas de trois ou quatre droites (3) ?

Etant donné quatre droites D,. D^. 1 ).^. 1 h désignons par on aj a. a4 les distances d'un même point à ces lignes, comptées sur des droites faisant respectivement avec les premières des angles également donnés. Le lieu à quatre lignes, comme dit Pappus, est celui des points pour lesquels le rapport des])roduits a, a^. a^ a^ a une valeur lixée d'avance.

(r, Ad. el T.. t. I", p. 25'*.

(3) Cf. /</., t. VI, p. 721, note de P. Tannery.

Le lieu à trois droites D^, D2, D3, est celui pour lequel c'est le rapport de aj à ao ag qui est donné.

Plus généralement, étant donné 2n droites et 2n angles sous lesquels les menées d'un même point doivent couper les premières, il s'agit du lieu des points tels que

le rapport ;

ai ao

ait une valeur donnée. Et pour un

nombre impair de lignes, laissant seul de son espèce le lieu

ai ao y.n

à trois droites, Pappus considère le rapport -— — ,

3Cn--i aXA

où A est une longueur donnée.

Nous n'avons pas l'écrit envoyé à Golius des la fai de 1631 ou au début de janvier 1632, et qui contenait la solution générale du problème, mais d'après la lettre de Descartes de janvier 1632 (1) il est évident que cette solution était dans ses traits essentiels celle qui se trouve exposée dans la Géométrie, et qui est la suivante :

« Soient A B, A D, E F, G H,... plusieurs lignes données par position, et (ju'il faille trouver un point, comme G, duquel ayant tiré d'autres lignes droites sur les données, comme G B, G D, G F et G H, en sorte que les angles G B A, G D A, G F E, G H G,... soient donnés, et que ce qui est produit par la multiplicatiem d'une partie de ces

fn \(\. ol T., l. l'T, p. 232.

lignes soit ég"al à ce qui est produit par la multiplication des autres, ou bien qu'ils aient quelque proportion donnée'; car cela ne rend i)as la question plus difficile (1 . » Rapportons toutes les longueurs à calculer à A B et à C H : prolongeons toutes les autres lignes jusqu'à leur rencontre en A, E, G avec A I^, et en H, S, T, avec B C, et posons A B = a, B C = ?y. « A cause que tous les angles du triangle A R B sont donnés, la proportion qui est entre les cotés A B et B R est aussi donnée, et je la pose

comme de z k b, de faron que A 1> étant x, R B sera -^.

et la toute C R sera y -| -, à cause que le point B tombe

entre C et R. . .» (2). — désignant ensuite le rapport --rr ,

c CD

C D sera — -| — ^ • Par des remarques analogues, et en

tenant compte des distances ou des rapports connus comme

données du problème, J )escartes trouve

ezij -\- dek -+- dex (-4 r = -z

^^ ^ gzy 4- fgl — fgx

Quel ([ue soit le nombre des droites données, Descartes Irouvc ainsi, pour chacune des distances, (\o directions connues, du point C à ces droites, une expression du J" degié en x et y, qui pour la première se réduit à y. On voit alors qu'en écrivant la condition du problème pour 2u ou (lour 'Zi\ — 1 droites, on aurait entre r et ij une équation de degré n. Pour 'i droites, c'est une équation du second degré. Si, dans le cas général, on veut détfM'miner un point C quelconque, on se donne y et on a une équation dont les racines sont les valeurs inconnues de r. Tant que le lieu ne sera j^as de plus de 5 droites, les valeurs de x seront fournies par une équation du second degré et pourront se construire à l'aide de la règle et du compas. Cela n'arrivera plus en général, sauf cas exceptionnels, à partir de 6 droites.

(1) Ad. et T., t. VI, p. 382.

(2) /(/. t. VI, p. 383.

Mais faut-il s"en tenir à la formation d'équations à une inconnue plus ou moins compliquées, qui fournissent théoriquement Yx d'un point cherché, quand on se donnera arbitrairement Vautre indéterminée y correspondant à ce point ? Les équations en x et ?/, considérées en ellesmêmes, ne permettent-elles pas de parler de courbes géométriques décrites par ces points ?

Ici intervient la vieille pensée de Descartes, qu'il exprimait déjà dans une lettre à Beeckmann d'avril 1619. Quelle singulière idée que celle de ne nommer géométriques et de ne considérer comme telles que les lignes à la description desquelles suffisent la règle et le compas ordinaire, tandis que les autres devraient être nommées mécaniques I Pourvu que les mouvements permettant de tracer une courbe ne dépendent que d'un seul d'entre eux, et qu'en somme la courbe soit issue d'un seul mouvement déterminant les autres, elle mérite d'être dite géométrique. Descartes écartant, comme il l'avait déjà fait autrefois, les lignes proprement mécaniques telles que la spirale, la quadratricc, etc., c'est-à-direr en somme, ne consentant à garder que celles que nous nommons proprement algébriques, les voit aussitôt correspondant chacune à l'équation qui permettrait de rapporter tous ses points à ceux d'une droite, comme cela lui a si aisément réussi dans le problème de Pappus.

Comment classer toutes ces lignes géométriques ? se demandait-il déjà en 1619. Plusieurs procédés pouvaient répondre à la question, mais le plus simple n'était-il pas de classer les Hgnes géométriques d'après le degré de ces équations à deux indéterminées obtenues en les rapportant aux points d'une droite ? Et Descartes voit, dans les équations du lieu à trois et à quatre droit^es de Pappus, le type des lignes du premier genre (second degré) ; dans celles que fournit le problème de Pappus depuis cinq jusqu'à huit droites, le type des lignes du deuxième genre troisième ou quatrième degré), etc. Knfin, ces types d'équation, si Ton fait varier les données de toutes les manières possibles, fourniront toutc^s les équations possibles, de sorte (fue la solution du problème de Pappus. étendue à tous les cas, donne le tableau complet de toutes les courbes <jue Descaries nomme géoniétrirpies. La classi-

lication parfaite de toutes les lignes, ou, si Ton veut, de tous les problèmes (plans, solides, sursolides), cette œuvre à laquelle Descartes songeait à Bréda,, quand il avait vingl- (ieux ans, et qu'alors il jugeait si ambitieuse, se trouvait (Ui coup parachevée, et la lettre de janvier 16^32 montre clairement que cette solution complète date du moment où il a rencontré sur sa route le problème de Pappus.

C'était d'ailleurs un jeu pour lui, en discutant 1 équation générale du second degré que fournit le lieu à quatre droites, et en s'appuyant sur les théorèmes d'Apollonius, de retrouver selon les cas toutes les variétés des sections coniques, comme il lexpliquera dans la Géométrie.

Et enfin, il pouvait aussi revenir définitivement sur le problème des tangentes auquel il avait réfléchi jadis, et en donner la solution théoriquement applicable à toutes les courbes géométriques. C'est ce qu'il expose longuement dans la Géométrie, mais qu'il pouvait bien avoir réalisé très peu après ses recherches sur le problème de Pappus. En deux mots, sa méthode est la suivante :

Soit C un point de la courbe G E et C P la normale en C (toute la question est évidemment de construire cette normale, la tangente s'ensuivra aussitôt). P est le pied de la normale sur l'axe A G. Il est aisé de former, en fonction de \\v et de Vij i\u point C l'équation du cercle de centre P

et de rayon C P, et il suffit ensuite d'exprimer que le cercle rencontre la courbe donnée en des points dont deux sont confondus en C. Pour cela, après élimination dune des variables, r, p;ir exemple, entre les deux équations du cercle et de la courbe, on exprime cpie l'équation algébrique ainsi obtenne ;> nue racine double, ou bien que son

premier membre est identique au produit d"un polynôme en y par le carré d'un binôme y — e, e étant l'y du point C. Si, par exemple, la courbe est du troisième degré, Descartes écrit qu'un polynôme du sixième degré est identique au produit dun polynôme du quatrièmic par le carré ?j- — 2ei/ + e-. Les calculs peuvent être plus ou moins longs ou compliqués. Descartes a le sentiment davoir théoriquement résolu le problème pour toutes les courbes qu'il nomme géométriques, c'est-à-dire pour toutes celles que nous nommons algébriques.

Tel est l'ensemble des résultats dont l'exposé tient une si grande place dans la Géométrie, et qui réalise les vœux exprimés par Descartes en 1619. Comme pour bien marquer qu'ils se rattachent à son idée ancienne de donner l'existence à toutes les courbes issues d'un mouvement unique, au même titre qu'au cercle et aux coniques, et en les classant à leur suite, Descartes cite aussitôt après cet exposé l'exemple de ses ovales. « Au reste, dit-il (1), afin que vous sachiez que la considération des lignes courbes ici proposée, n'est pas sans usage, et qu'elles ont diverses l)iopriétés qui ne cèdent en rien à celles des sections coniques, je veux encore ajouter ici l'explication de certaines ovales que vous verrez être très utiles pour la théorie de la Catoptrique et de la Dioptrique. » Les définitions »iu'en donne Descartes sous leur forme plus ou moins compliquée, reviennent à celles qu'exprime la relation // -^ nv = K, où n et K sont des constantes, et u et v les distances variables d'un point M de la courbe à deux points fixes F et G. Elles servent à résoudre le problème dont l'anaclastique n'était qu'un cas particuher : trouver une courbe telle que les rayons lumineux issus d'un point donné viennent, après réfraction sur la courbe, concourir on un autre point donné.

En dehors des propriétés optiques de ces ovales, la manière dont Descartes les étudie a de quoi nous intéresser j)')ur achever de préciser l'idée qu'il se fait de ce que nous nommons sa Géométne analytique On croit volontiers que sa conception consiste essentiellement à choisir deux axes de coordonnées permettant de faire or-

(l; Ad. et T., t. VI, p. 424.

vespoiidre à tout point du plan deux segments algébri- (jues parallèles à ces axes. Or, justement pour Tétude des jij'opriélés optiques des ovales, qui exige elle-même la détermination de la tangente en un point, Descartes, dans Vindication générale de sa métliode pour les tangentes, a. eu soin de dire (1) : « Même, encore que les points de la ligne courbe ne se rapportassent pas en la façon que j'ai dite à ceux d'une ligne droite, mais en toute autre q.u'on saurait imaginer, on ne laisse pas de pouvoir toujours avoir une telle équation, comme si C E est une ligne qui ail Ici lapport ;uix trois i)oints F, G, A, que les lignes droites tirées de chacuii de ses points, comme C, jusqu'au point F, surpassent F A d'une quantité qui ait certaine proportion donnée à une autre (piantilé, dont G A surpasse les lignes tirées des mêmes points jusqu'à G. »

Et Dcscarles prend alors comme picmièi'c indéterminée r-, correspondant au point C la quantité dont F C surpasse F A, F C et G C s'exprimant alors en fonction de z. La deuxième indétci'minée est la distance à A de la projection M de G sur F G. Ce choix des indéterminées qui servira à l'étude des ovales, et l'indication de Descartes relative à tout autre « qu'on sauniit iniaLiiucr », montrent bien quel est à ses yeux l'essentiel (1(* sa méthode analytique : pour toutes les lignes courbes (jui, selon son expression (2;, » tombent sous quehjue calcul géométrique », on exprime la pro})riété caractéiistitjue de ses points par une relaticm entre deux indéterminées, clioisies

(i; Ad. c\ T., t. VI, p. ;to.

(2) Id. t. VI. p. \-2-2.

arbitrairement et pour le mieux, Tune des deux étant pourtant dans tous les exemples de Descartes un segment porté à partir dun point fixe sur une droite fixe. L'étude des propriétés de ces courbes et en particulier de leurs tangentes se ramène alors à une série de calculs algébriques.

La conception pouvait s'étendre aux figures de Tespace par une généralisation qui, certes, ne dépassait pas le génie de Descartes. Chose curieuse, Tidée ne semble pas lui venir de la représentation des surfaces, du moins, il n'en dit rien ; et, quant aux courbes tracées dans l'espace à trois dimensions, c'est à peine s'il consacre quelques mots à la fin du livre II de la Géométrie, à la possibilité de les représenter par des équations. Encore ces quelques mots contiennent-ils de graves erreurs : après avoir indiqué les projections de la courbe sur deux places rectangulaires comme pouvant servir à la déterminer, il parle de la normale en un point de cette courbe, et la définit parles normales aux projections !...

Là, en tous cas, se termine dans l'exposé de la Géométrie, l'ensemble des considérations qui, aux yeux de Descartes, forment un tout bien lié et qui durent se suivre d'assez près dans son esprit, à partir de ses méditations sur le problème de Pappus, c'est-à-dire à partir de 16S1. Elles étaient préparées dès l'hiver de 1619 par sa rechei^ che d'une classification générale des courbes, puis par ses travaux de l'hiver de 1620 sur les problèmes solides, travaux qui l'amenaient, nous l'avons vu, à manier l'analyse des anciens par la méthode qui leur était chère, el consistait à dégager de certaines lignes remarquables, par rapport à des axes particuliers convenablement choisis, des relations quantitatives liant deux indéterminées ol servant ensuite à caractériser ces lignes. Descartes en était probablement resté longtemps à cette conception, puis(iue, nous l'avons dit, pnrmi les échantillons de ses travaux essentiels fournis en 1628 à son ami Heeckmann, aucun ne mentionne la génénilis.ition définitive (pie (lui seulement déclnncher le problème de Papinis. Qu'enfin, l'idée générale de la classification des courbes d'a])rès le (\op!;vé date <ln nirme nionicnl, c'est ce que pi'ouve snflis.innnent l;i hUtre à (iolius (U\ janvier 1632. Qiinnt à K\

méthode des tangentes, elle dut se constituer dans l'esprit de Descartes avec un peu plus de lenteur. Les essais qui nous ont été conservés dans ses manuscrits sur les ovales et dont ia date ne saurait être fixée avec certitude entre les années 1631 et 1637, témoignent, en elïet, de certaines hésitations, sinon de certaine inexpérience à manier sa méthode. C'est au point qu'on peut se demander comment Descarl€S avait été conduit à définir ses ovales à l'occasion du problème d'optique qui lavait préoccupé, je veux dire comment il avait trouvé les ovales, quand il cherchait la courbe qui faisait concourir en un point après réfraction les rayons issus d'un autre j)oint. La connaissance de la taniiente était indispensable à la solution du problème, et les tàtomiements de Descartes nous le montrent possédant une définition précise îles ovales, alors qu'il ne semble pas pouvoir encore réussir à leur appliquer sa méthode générale des tangentes. Toutes ses recherches, en tous cas, sur ce point, étaient certainement achevées avant la publication de la Géométrie.

De cet ensemble d'idées, comme d'ailleurs de l'œuvre mathématique entière de Descartes, ce que la i)ostérité a retenu surtout comme sa création propre, par laquelle il a rénové la mathématique et déterminé tous ses i)rogrès ultérieurs, c'est Tidée même de la Géoinélrie aiuilytiiiue. Cependant, si l'analyse cartésieime a en effet rendu des services inappréciables, le mot de création, qui lui est trop aisément appliqué, nappelie-t-il pas (jnelques réserves ?

In fait capital est à cet égard sugiïestif. Fermât avait, avant la publication de la Géométrie, utilisé lui aussi, avec moins de généralité, sans doul«\ mais avec la même clarté, avec la même précision, l'idée fondamentale de la Géométrie nnalyti(iue, en rejirésenlant la droite par l'équiition du premier degré à deux variables, et surtout en étudiant les coniques sur des é<iuations du second degré. Cantor, l'auteur des }'orlesinige}i, avait depuis longtemps appelé l'attention sur l'importance de ces travaux de Fermât. Fn 190<>. au Congrès de Philosophie de Paris, il

allait jusqu'à dire que le géomètre toulousain avait peutêtre appliqué avec plus de clairvoyance que Descartes la conception fondamentale de la Géométrie analytique, puisqu'il donnait même l'équation de la droite que Ion chercherait vainement chez Descartes. Il faut bien convenir, d'après la correspondance de Descartes, et après la pu])hcation des œuvres de Fermât fpar P. Tannery et Ch. Henry}, que, sauf l'exagération où Tentraînait son zèle pour Fermât, Gantor avait raison sur la question de fait et de date. Et c'est là, dans l'histoire des concepts mathématiques, une chose assez grave pour que nous nous y arrêtions quelques instants.

Un exemplaire du volume de Descartes de 1G37 avait circulé en France avant la fin de l'impression et une partie du livre, la Dioptrique, avait été soumise à Fermât : le Père Aiersenne avait tenu à connaître son opinion sur ce traité. Mais nous sommes bien sûrs ({ue seule celte partie du volume avait été placée sous ses yeux, car Feimat dit à la fin de sa lettre à Merseinie, après avoir formulé ses objections contre la Dioptrique : » J'attends la faveur que vous me faites espérer de voir par votre moyen les autres livres de M. Descartes... » (Tannery et Henry, tome II, p. 112.)

Descartes répond, le 5 octobre, aux critiques de Fermat, que Mersenne s'est empressé de lui fan^e connaître^ et, à son tour. Fermât répond à Descartes dans une lettre à Mersenne, dont nous n'avons pas la date précise, mais qui, assurément, n'est pas antérieure au l*' novembre. Cette lettre, ({ui, dans la pensée de Fauteur, était destinée à être lue i)ar Descartes, ne contient ])as la moindre allusion à la (iéométrie : Fermât n'en a pas encore eu communication. Selon toute probabilité, il ne la lit que vers la fin de cotte même année 16^37. Aussit«^l après, comme l'indique Baillet, il charge son ami Carcavi, dépositaire de ses écrits, de faire parvenir à Descaries, par l'intermériiaire de Mersenne, ses principales œuvres mathématiques : cl plusieurs lettres de Descartes à Mersenne — dont la dornière est encore du inttis de j;iiivier lf)38 — confirmenl. )».n' leuis discussions cl allusions, l'envoi déjà fait par Mersenne : 1° du Ifr Md.riiiii:^ cl Miiiiïnis ; 2° du De [jir'is- pUinis et snlidis. Les dnies S(»nl

13 i DESCARTES S.WANT

assez éloquentes et excluent Ihypothèse que quelque chose, dans ces travaux, eut pu (Mre inspiré par la <ié(thiéiric (le Descaries.

Il y a plus : nous pourrions croire que le De Locis plulus et solidis, que Descartes dit avoir reçu, est seulement VIsafjoge ad locos pianos et solidos. Or, Fermât apprenant que Roberval et Pascal (Etienne) viennent de prendre sa défense contre Descartes, à propos du De Maximis et Minimis, demande à Mersenne, en février 1638, ce que ces messieurs pensent aussi de son Isaffocie et de son Appetidix : d'où résulte que les manuscrits de Fermât que Carcavi avait été chargé de mettre en circulation dès la fin de décembre 1037 comprenaient non seulement le De Maximis et Minimis et Vlsagoge ad locos pianos et solidos, mais encore VAppcndix.

Or, quel était le contenu de ces écrits ? Tous les historiens des mathématiques ont insisté sur la méthode par laquelle Fermât trouve les maxima et minima, et sur sa construction des tanirentes, — qui ne nous intéressent ici. d'ailleurs, (juindirectement. Mais je crois bien qu'avant ' la publication des œuvres de Fermât par Paul Tannery et Charles Henry, l'attention n'avait guère été appelée sur Vlsaçfoffc et VAppcndix. Le premier de ces traités énonce, dès le début, le genre d'analyse auquel sera soumise la recherche générale des lieux : « Toutes les fois que, dans une équation finale, on trouve deux quantités inconnues, on a un lieu, l'extrémité de l'une trelles décrivant une ligne di'oite on courbe. I^a ligne droite est simple et uniipie dans son genre : les espèces des courbes sont en nninbic indéfini : cercle, j^irabole, hypei'bole, ellipse, etc., etc.. » — • (( Il est commode, i^our établir les équations, de prendre les deux quantités inconnues sous un angle donné, que d'ordinaire nous supposerons droit, et de se donner la })o?iliop. et une extrémité de l'une d'elles : ponrvn ((u'aucune des (piantités incoimues ne dépasse le carré, le lieu seni plnn ou S(dide. ninsi qu'on le verra clairement ci-ajirès... »

Ferm.'it étudie alors séparément les cas suivants : 1" l'é(|nalion aux deux variables, a et c, est (\\\ pn^nier degré : 2" elle est encori^ du premier degré par rapjiort à chacune des variables, mais contient le produit a c ; .3° elle-

est du second degré par rapport à l'une au moins des variables, avec ou sans rectangle a c. Il part, chaque fois, d'une équation assez simple pour qu'on y lise sans difficulté une propriété géométrique caractéristique du lieu, droite {da = be) ou hyperbole (ae = s"), etc. ; puis il montre que l'équation plus générale se ramène sans peine, par un changement de variables, au cas particulier d'abord envisagé.

C'est ainsi que, pour la droite, il commence par le cas où elle passe par l'origine des coordonnées. Puis la considération de quelques types d'équations simples du second degré, auxquels on peut ramener toutes les autres, fournit à Fermât une étude analytique complète de l'équation générale du second degré à deux variables. Le traité se termme par une application à une « très belle proposition », à savoir : « Etant données de position des droites en nombre quelconque, si d'un même point on mène à chacune d'elles une droite sous un angle donné, et que la somme des carrés des droites menées soit égale à une aire donnée, le point est sur un lieu solide donné de position. »

Dans l'Appendice au traité précédent. Fermât applique la méthode analytique qu'il vient d'exposer à la solution des problèmes solides (traduisez : à la construction des racines des équations du troisième et du quatrième degré). « Le plus commode », dit-il, « est de déterminer la question au moyen de deux équations de lieux ; car deux lignes données de position se coupent mutuellement, et le point d'intersection, qui est donné de position, ramène la question de rindéfini aux termes proposés. »

Soit réquation a-^ + ba^ = z"b. En égalant chacun des doux membres au solide bac, nous obtenons d'une part a^ -\- hà^ == bae, ou a^ -{- ba = be. D'autre part, z"b = bae, ou z" = ae ; l'extrémité de e se trouvera donc à l'intersection d'une parabole et d'une hyperbole données de position.

J)e même pour l'équation l)iquadrati({ue a* -|- Va + ^^^" = rf"', en égalant chacun dos doux membres kz^e^. Format se ramène à délorniiner le ])oint d'intersection d'un cercle et d'une |).'irab()lo. Kl, i)lus généralement, il résoud tous les problèmes cubiques et biquadraticjues par un cercle et une |»rirabole.

Voilà ce (|ue conlonaionf les écrits que Format fnisail

parvenir à Descartes, par rintermédiaire de Carcavi et de Mersenne, dans le mois de décembre KîGT. Il n'est pas nécessaire d'insister pour faire sentir à quel point la méthode cartésienne de l'eprésentation des lieux par des équations s'y trouvait clairement définie et appliquée, cl à quel point aussi la préoccupation de Fermât d'en tirer la solution des problèmes solides est celle même de Descartes. Et ainsi, bien que la i)ublication des travaux de Descartes ait été la première en date, il est incontestable que, de son côté, spontanément, et sans doute à peu près à la même époque. Fermât avait trouvé ce que beaucou]> considèrent comme l'essentiel de la géométrie cartésienne.

Mais il est difficile de formuler pareille conclusion sans (lu'aussitôt un nouveau problème se ])ose. Comment Tbistoire de la pensée scientifique nu xvn'" siècle ne nous faitelle pas assister à quelque grand débat sur la i)riorité de la découverte ?

On sait quelles interminables querelles a suscitées, entre les partisans de Newton et ceux de Leibniz, l'invention du calcul infinitésimal. Rien de semblable à propos de la géométrie analytique ; nous trouverons difficilement, soit dans la correspondance échangée entre savants, soit chez les historiens des mathématiiiues, ki moindie trace d'une dispute sur cette grave question.

Dira-t-on simplement que Fermât fut un modeste : que, devancé par la publication de Descartes, il s'inclina sans hésiter (levant les droits en quelque sorte légaux, que cette publication conférait ri son livnl, et qu'il se contenta de faire connaître ses travaux à Descartes lui-même et à ijuelques amis, sans .songer h réclamer davantage pour sa réput.ilion .* Sa correspondance mathématique de ItVH et 1()38 contiendrait nu moins, semble-t-il, des traces de ses réflexions <\ ce sujet... Or, à part (piehiues allusions vagues à ses recherches générales sur les lieux, ce n'es! guère de sa méthode de géométrie n'nalytique qu'il entretient ses correspondants. Quand il se soucie des jugements qu'on porte sur ses liavnux. il songe surtout j^i son

traité de Maximis et Minimis. Tout au plus, dans le Postscriptum d'une lettre à Mersenne, il demande un jour ce que Roberval et Pascal pensent de VIsagoge et de VAppendix ; mais pas une seule fois nous ne le voyons observer ou insinuer que la méthode de Descartes n'est autre que la sienne. Il parle souvent de sa Méthode, il en est fier, il en énumère avec joie toutes les nouvelles applications. Mais, pour qui y regarde de près, « sa méthode » — sans qu'il sente le besoin de la désigner autrement — c'est celle qui lui permet de trouver les rnaxima ou les minima et en même temps de construire les tangentes aux courbes.

Au reste, il ne dépendait pas de Fermât qu'on soulevât un débat de priorité. Ses manuscrits, une fois connus du monde savant, n'allaient-ils pas fournir un aliment aux discussions que le père Mersenne savait si habilement susciter et entretenir autour des travaux de Descartes, — quand, d'ailleurs, les contradictions ou les accusations de plagiat ne surgissaient pas spontanément ? Et si. autour du Minime, la vivacité des querelles se trouvait atténuée par le talent et le caractère de la plupart des correspondants, de sorte que souvent Tâpreté de la dispute semble due à l'extrême susceptibilité de Descartes lui-môme, — il n'en est plus de même ailleurs. Ici, c'est Vossius qui signalera dans un vieux manuscrit du Hollandais Snelliiis, l'énoncé de la loi de la réfraction, et qui ouvrira la question de savoir si Descartes avait eu ce manuscrit en sa possession. Là, c'est Cavendish (pii, de passage à Paris, montre à Roberval un ouvrage posthume de Harriot, publié à Londres en 163 J, sur la résolution des équations, et — qu'il l'ait voulu ou non — donne si bien corps à une accusation de plagiat que le grand mathématicien anglais Wallis n'a pas craint d'attribuer à Harriot la paternité de 1 analyse de Descartes, et que Leibniz lui-même, sans trancher la question, mentionne cette découverte faite par les Anglais. Lnfin, faut-il i-appeler toute l'insistance que Descartes crut devoir mettre à affirmer l'originalité contestée de sa Cténmétnr. fi montrer lui-même de quelle distance il dépassait N'ièlc et ses (•()ntf'mj)()raius ? Oi*. je ne crois pas (ju'un mot ait jamais été dit par personne, an cours de ces disputes du \\\f sièide, sur h^s lili-es (|ue donnait à Fermât sa méthode de géométrie analyti(|ue. Il

i:î8 descartes savant

est sans cesse question de la solution de Fermât et de celle de Descartes pour le problème des tangentes aux courbes : les objections de Descartes contre la régie de Fermât suscitent une grande querelle où Pascal et Roberval prennent énergiquement la défense du géomètre toulousain. Mais ni lun ni l'autre ne songent, pour rehausser les titres de leur ami, à signaler ce que son Introduction auj lieux plans et solides contenait de particulièrement intéressant ; — et, si Fermât, une lois incidemment, est amené à interroger Mersenne sur Fimpression qu'ils en ont eue. je ne connais aucune lettre où cette impression ait été communiquée.

Quant à Descartes, n'a-t-il aucune remarque à faire quand il jette les yeux sur Vlsaçjoge et VAppendix ? Ortes. il pouvait encore penser (pie sa (icométrie renfermait bien d'autres richesses, mais du moins ne manifeslera-t-il aucun sentiment, de quelque sorte que ce soit, à la vue du principe fondamental de la représentation des lignes pai leurs équations, d'une tentative de classification des courbes d'après le degré, qui s'arrête, il est vrai, chez Fermat, au second degré, d'une résolution générale des équations cubiciues et biquadratiiiues par l'intersection d'un cercle et d'une parabole ?

Des qu'il reçoit le De Maximis et Minimis, il écrit une série de lettres où il s'entête à une critique, inexplicable d'ailleurs, de la méthode de Fermât pour la construction des tangentes ; et, quant au traité De Locis plonis et solidis, qui lui arrive seulement quelques jours après le premier, voici tout ce qu'il trouve à dire à Mersenne : « Je ne vous renvoyé point encore les écrits de monsieur Vwmat de Locis plonis et solidis, car je ne les ay ptàint encore lus, et, pour vous en parler franchement, je ne suis pas résolu (le les regarder que je n'aye veu premièrement ce (juil aura l'épondu aux deux lettres que je vous ay envoyées poni- hi\ faire voir (1). » Il est difficile de croire que Descartes n'ait pas eu la curiosité de jeter les yeux, si rapidement ([u'il l'eût fait, sur ces travaux : et n'y a-t-il pas alors de quoi s'étonner singulièrement du sihMice qu'il observe, quand si longtemps encore ses lettres seront

(1) .\d. et T., l. I«^ p. :m.

pleines d'allusions aux problèmes et aux méthodes proposés notamment par Fermât ? Eh quoi ! il vient de doter la science mathématique de ce merveilleux instrument qui va permettre — Descartes n'en a-t-il pas le sentiment ? — les découvertes les plus fécondes et les plus inattendues, et il n'a pas un mot, pas une remarque, quand il constate que l'essentiel de sa méthode était déjà l'œuvre d'un autre? Lorsqu'il s'agit de l'un des problèmes traités dans sa Géométrie, la construction des tangentes aux courbes, il accepte difficilement l'idée qu'on puisse mettre en parallèle avec la sienne la solution d'un autre, et, quand c'est le principe fondamental qui est en jeu, il ne manifeste aucune préoccupation et ne songe pas à prévenir par une lettre à Mersenne les remarques désobligeantes dont ne se priveront pas sans doute les nombreux amis de Fermat ? Eh bien, non... Ni Descartes, ni Fermât, ni Roberval, ni Mersenne, ni Pascal, ni aucun de ceux qui avaient si naturellement, semble-t-il, un jugement à formuler, ne souligne d'un mot ce fait considérable que la Géométrie analytique de Descartes se trouvait clairement définie, dans son principe et ses applications, par des écrits do Fermât antérieurs à la Géométrie.

J'avouerai que de semblables réflexions m'ont empêché longtemps de croire à la réalité du fait lui-même. Mais la lecture de la correspondance de Descartes, de Mersenne et de Fermât ne permettant plus de douter, force nous est de chercher ailleurs la solution de l'énigme, et il n'est pas impossible de la trouver.

Leibniz, dans un passage auquel nous avons déjà fait allusion (Remarques sur V Abrégé de la vie de M. Descartes, Gerhardt, IV, 316), après avoir dit que Golius avait appelé l'attention de Descartes sur le problème de Pappus, ajoute : « Ce problème coûta six semaines à M. des Cartes et fait presque tout le premier livre de sa Géométrie. Il .servit aussi à désabuser M. des (Parles de la jietite opinion qu'il avait eue de l'Analyse des Anciens. J'ai cela de M. Hardy qui me Ta conté autrefois à Paiis. » Leibniz ne manque pas une occasion de diminuer l'originalité de Descartes, mais ici du moins, en exprimant celle opinion que la solution du problème de Pappus est un retour à r\n;)lyse des Anciens, il traduit, je crois, le sentiment

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général du xvii*" siècle. Nul sans doute naurait contesté le progrès réalisé par Fermât, et jilus encore par Descartes sur la méthode des lieux géométriques des Grecs, mais nul n'aurait souscrit à ce jugement si souvent exprimé depuis Comte que l'un ou Tautre (Comte et nos contemporains n'ont jamais voulu parler que de Descartes), rapprochait pour la première fois deux sciences, géométrie et algèbre, « conçues jusqu'alors d'une manière isolée ». (Cours de Ph. positive, 1"^ leçon.) Et si Ton se reporte à ce que nous avons dit dans un chapitre antérieur, on trouvera sans doute que ce ne sont pas nos contemporains qui ont raison. Nous avons tâché de montrer quel a été à cet égard le progrès réalisé par Descartes depuis la solution par un cercle et une parabole des problèmes dépendant des é(|uations du troisième ou du quatrième degré, solution à peu près calquée, sauf l'algorithme nouveau, sur la Méthode des Anciens, jusiiuà la conception générale suscitée par le problème de P;i])pus. Mais justement nous avons voulu faire sentir en même temps qu'entre les premiers pas et les derniers on no pouvait parler de véritable changement de méthode.

Fermât et Descartes eux-mêmes ne semblent jias en avoir jugé autrement. Fermât déclare que chez les Anciens la recherche des lieux n'était pas suffisamment aisée : mais il a le sentiment que son analyse, plus simple, il est vrai, se [trésente comme une suite naturelle aux travaux des Apollonius et des Archimède : il s'y est préparé luimême' d'ailleurs i^ar la reconstitution des litnix plans d'Apollonius. Quant à Descartes, nous pouvons être frappés do ce que, dans sa préface j^i la publication des Kssuis. c'o si -à-dire dans le discours de la mélhode, il ne dit pas un mot d'une création qui consisterait ;\ représenter les courbes par des équations. Il ;i pourtant voulu appeler lailention sur sa réforme des mathématiques, mais le résumé, qui, à ses yeux sans doute, donnait l'essentiel de sa réforme, ne parle que de sa conception de la mathémati(pir universelle, c'est-à-dire de la science de la quantité, indépendamment des éléments concrets où on l'étudié, de sa décision d(» représenter })ar-des droites tous les résultats des opérations effectuées sur des longueurs et enfin do In sinq)lificalion qu'il appiu'te à l'écriture algé-

brique. C'est clans les conceptions et les réformes qu'il semble placer ce qu'il y a de plus original dans son œuvre : elles l'ont conduit, nous dit-il, à prendre le meilleur de l'Analyse des Anciens et de l'Algèbre des Modernes et à corriger l'une par l'autre. En d'autres termes, Descartes lui-même n'est pas loin de présenter son œuvre essentielle comme le meilleur de l'Analyse des Grecs, traduit seulement dans le langage simplifié dont il dote l'algèbre.

Et ainsi tombe la difficulté que nous avions rencontrée ; les savants du xvir^ siècle n'ont même pas songé à poser la question de priorité entre Fermât et Descartes, tout simplement parce que la Géométrie analytique de ces derniers a paru continuer seulement en la développant et la complétant, la méthode des lieux géométriques des Grecs. N'était-ce pas déjà, d'ailleurs, le cas de Viète luimôme qui, pourtant, ne cherche pas de lieux par la géométrie analytique ; le procédé général par lequel il ramène les équations du troisième et du quatrième degré à des équations plus simples et qui consistent à introduire outre l'inconnue A une deuxième inconnue E, de telle sorte qu'on se ramène à deux relations entre deux inconnues, ne rappelle-t-il pas, au fond, le procédé des Grecs pour l'équation du troisième degré ? Fermât, en revenant plus franchement à l'Analyse des Anciens, continuait Viète aussi, dont il respectait jusqu'aux notations a et e pour les inconnues dont il faisait des coordonnées variables ; et Descartes ne dira-t-il pas qu'il a commencé là où Viète à fini ?

La Révolution ([ue Comte et les historiens du xix*" siècle ont vue dans la Géométrie analytique de Descartes cache donc une illusion. Il ne saurait être question ni de révolution ni de création transformant radicalement les mathématiques et rénovant la science ; mais seulement de développement normal, après le retoui- aux Grecs, des idées directrices de leur analyse. Et cette vérité qu'on nous avait fait oublier ne saurait trouver une preuve plus saisissante (jue le spectacle de deux esprits tels que Fermat et Descartes aboutissant séparément l'un et l'autre, presque à la mêfne date, sinon à l'œuvre achevée qu'est celle du second, du moins ;\ renonciation du inriiir piincii)e d'où elle ilécoule naturellement.

Ce n'est qu'arbitrairement que, dans tout ce qui précède, nous avons laissé de côté les recherches dalgèbre qui forment ie contenu du livre JII de la Géométrie. En réalité, ces recherches sont inséparables des premières : elles visent, en effet, la résolution, ou — pour parler le langage de Descartes que nous connaissions déjà dès ses premiers essais de Thiver 1618-1619' — la construction des racines des équations.

Quelques propriétés essentielles des équations sont d'abord indiquées. C'est la formation du premier membre (le second étant zéro) en facteurs binômes tels que x — «, où a est positif ou négatif : les quantités a sont les racines, vraies si a est positif, fausses si a est négatif. Ce sont en même temps ces remarques : 1° que le degré, ou, comme dit Descartes, le nombre des dimensions est égal au nombre des racines ; 2^ que ce nombre est diminué dune unité chaque fois qu'on divise le premier membre par un binôme x — a, où a est racine : 3° (lu'il peut y avoir autant de racines vraies que le premier membre présente de chang"ements de signes, et autant de fausses « qu'il s"y trouve de fois deux signes + ou deux signes — qui s'entresuivent » ; 'i° qu'on j)eut. en changeant r en — :r, rendre fausses toutes les racines vraies, et inversement.

Descartes montre ensuite conmient on peut augmenter ou diminuer les racines d'une équation d'une quantité connue, par un changement très simple d'inconnue : et, connne conséquence, comment on peut : !'' faire toujours disparaître le second terme d'une équation : 2° faire qu'elle n'ait plus de racines fausses : 3" faire de son i)remier membre un polynôme (Descartes dit une sonmie^ complet, sans terme manquant.

De même, la transformation qui permet de multiplier ou <le diviser les racines par tel facteur (ju'on veut, sert ensuite : 1^ ;\ u réduire à des nombres entiers et rationaux l<^s fiactions et aussi les nombres sourds (c'est-à-dire iri'ationnels) qui se trouvent dans les termes » : 2° à rendre « la quantité connue » (nous disons le coefficient) de l'un des termes égale à telle autre' qu'on veut.

VA enfin vient la déclaration d(^ Descartes que les équations, en outre des racines vraies ou fausses, peuvent en avoir d'ima binaires.

Ces préliminaires suffisent à Descartes pour aborder la solution des problèmes dépendant d'équations du troisième degré au plus. Il distingue tout d'abord les équations du troisième et du quatrième degré que Ton peut réduire en divisant leur premier membre par un ou plusieurs binômes de la forme x — a, où a est choisi parmi les diviseurs du terme tout connu. Les problèmes correspondants sont plans dès qu'on peut se ramener à des équations qui soient au plus à deux dimensions : la règle et le compas suffisent alors à construire les racines.

C'est à propos de cette question et incidemment que Descartes nous fait connaître sa méthode pour ramener en général la résolution de l'équation du quatrième degré à celle d'une équation du sixième, où la nouvelle inconnue n'a que des exposants pairs, c'est-à-dire en somme à celle dune équation du troisième degré. Il commence par faire disparaître le terme du troisième degré, ce qui lui donne réquation ^^ + px- -{- qx ~\~ r = o, puis on devine plutôt qu'il ne l'explique, qu'il identifie le premier membre au produit de deux facteurs du second degré, x- — yx -\- z,

^- -j- i/x -f- -^, et que, éliminant ;r, il forme une équation tout naturellement du troisième degré en y^.

Viennent ensuite les problèmes solides dépendant d'une équation du troisième ou du quatrième degré. Descartes expose ici la solution par l'intersection d'un cercle et d'une parabole, qu'il faisait connaître en 1628 à son ami Beeckmann, et qui, nous l'avons vu, remonte vraisemblablement à l'hiver de 1620.

Descartes pouvait s'en tenir à cette indication générale pour les problèmes solides. Il aime mieux, après avoir appli(]ué sa construction aux deux problèmes classiques des deux moyennes proportionnelles et do la trisection de l'angle, montrer que tous les problèmes du troisième degré, et par conséquent aussi ceux du quatrième» pouvent se ramener à l'un de ces doux-lù. II lo fait très simplement, d'ailleurs, en prenant tous les types d'équation du troisième degré sans second terme, et tantôt utilisant les formules de Cardan qui donnent i)()nr l'expression des racines des sommes ou différences de racines cubiques,

1 1 i DESCARTES SAVANT

ce qui ramène aux deux moyennes proportionnelles, tantôt identifiant léquatiun avec celle qui rcsnud le problème de la trisection de Tangle.

Enfin Descartes veut généraliser la solution qu'il a donnée pour les éiiuations du troisième ou du quatrième degré, et il traite complètement le cas d'une équation du sixième (celle du cinquième s'y ramenant par simple multiplication de tous les termes par Tinconnue). Sans expliquer mieux que dans Ifr cas précédent comment il est amené à ces résultats, il vérifie que les racines cherchées peuvent se construire par l'intersection d'un cercle et non plus d'une parabole simple, mais d'une parabole cubique dont la définition est la suivante : l'axe d'une parabole de grandeur constante glissant le long d'une droite donnée, ou joint un point fixe du plan à im point déterminé de l'axe mobile de la parabole, la courbe en question se définit comme lieu des points de rencontre de cette droite et de la parabole. Descartes ajoute que lo procédé n'aura qu'à se continuer pour les équations de degré de plus en plus élevé en remi)laçant nalurellement la courbe qui s'adjoint au cercle par une ligne d'un genre aussi de plus en plus élevé. Son indication, il faut bien le dire, est d'ailleurs des plus vagues.

Que ces travaux d'algèbre ne se séparent pas de !a théorie générale des courbes qui, dans la Géométne. remplit les deux premiers livres, c'est ce qui saute aux yeux. Les courbes s'exprimant par des équations, tous les problèmes qu'on |)eut se poser sur elles se ramènent immédiatement à des problèmes d'algèbre : et inversement, la résolution des équations trouve tout son intérêt aux yeux de Descartes non pas tant dans l'expression des racines que dans leur construction à l'aide de courbes. Par là, il reste fidèle à ses goûts de jeunesse, et aux tendances de l'analyse des Grecs. La science qu'il veut édifier est toujours celle de la quantité continue : les courbes jouent rians le cas général Ir rôle de la driute et du cercle pour les problèmes élémentaires ; les solutions des problèmes

sont Ion jours des longueurs déterminées par l'intersection de courbes plus ou moins compliquées.

Faut-il pourtant aller jusqu'à dire que la Géométrie de Descartes n'est en somme qu'une algèbre ? On a bien fait d'insister sur Finexactitude de la vieille interprétation selon laquelle la Géométrie de Descartes consistait uniquement dans Tapplication de l'algèbre aux courbes géométriques. Mais l'exagération contraire ne serait pas exacte non plus. On sent à la lecture des deux premiers livres que les courbes intéressent aussi Descartes pour elles-mêmes. — Quand il ne s'agit pas d'une application concrète, à l'optique par exemple, comment comprendre sans cela le soin qu'il apporte à résoudre en toute sa généralité un problème comme celui des tangentes ? Pour les ovales, la connaissance de la tangente est nécessaire, il est vrai, à l'étude des propriétés optiques, qui ont été au fond la raison des recherches relatives à ces courbes. Mais on sent bien, soit à la lecture de la Géométrie, soit à l'ardeur qu'il montrera bientôt à discuter la méthode de Fermât (nous y reviendrons plus loin), on sent bien que la question purement théorique des tangentes aux courbes le passionne par elle-même. Et il serait difficile de voir là la préoccupation exclusive d'une construction plus précise des racines des équations dépendant de ces courbes. Aussi bien cependant, ne l'oublions pas, ce problème des tangentes utihse pour la première fois, avant le livre III, la méthode algébrique des coefficients indéterminés, qui a été si féconde en analyse, et dont Descartes a bien compris tout l'intérêt.

De l'ensemble des théorèmes et des règles d'algèbre qui forment le livre III, il en est peu qui aient échappé à quoique objection de la part des contemporains de Descaries. Souvent, ses affirmations sont incriminées pour qu'on ne le comprenne (|u'à demi : et cela n'a rien d'étonnant si l'on songe que l'auteur de la Géométrie a été volonlairemeiil incomplet. S'agit-il, par exemple, du nombre des raciiics jtositivos d'une équation calculé d'après le nonibrr des changements de signe ? Descartes

llC DESCARTES SAVANT

se contente de dire qu'il peut y avoir autant de racines vraies que de changement de signe dans le premier membre de l'équation. (Vest une indication assurément très brève pour ce que nous nommons précisément le théorème de Descartes, et les malentendus étaient possibles. S'agil-il de la nature des racines, la dénomination de racines vraies et de racines fausses pouvait laisser croire que les racines négatives n'avaient aucun sens pour Descartes. (Jr. s'il ne le dit pas explicitement, nous pouvons nous assurer en le lisant que dans l'étude des courbes il interprète par le sens de la direction et le changement de position les valeurs négatives, et c'est encore à bon droit qu'on fait remonter jusqu'à lui la véritable interprétation des racines négatives. C'est lui, d'ailleurs, qui a le premier parlé des racines iinag'uKiircs par opposition aux réelles. Mais les objections provenant d'une erreur d'interprétation ne sont pas les plus graves. Le plus souvent, c'est l'accusation de plagiat que nous trouverons sous la plume de Beaugrand ou de A\'allis, comme un peu plus lard sous celh.» de Leibniz... ('/est surtout Viète et Ilarriot ((ui sont nonmiés pour avoir fourni à Descartes l'essentiel de ses règles. Ici, il faut bien l'avouer, tous ceux qui ont pris la défense du géomètre français et se sont contentés (Taffirmer. d'après son propri^ témoignage, qu'il n'avait même pas lu les ouvrages dont il était question, s'ils ont sauvé la l)onne foi de Descartes, n'ont tout de même pas écarté toute filiation possible entre lui et ceux qui l'avaient précédé, tout particulièrement en ce qui concerné \'iète. Le protestant Viète était parliculièrement aimé et étudié en Hollande, où devait se li'ouver la première édition de ses œuvres complètes. Comment ses belles découvertes d'algèbre n'auraiont-elles pas filtré jusqu'ù Descartes dans les mille conversations ((u'il eut avec les savants hollandais — sans d'ailleurs que sa bonne foi dût en souffrir ? Nous savons bien, il nous l'a dit, qu'il s'exerçait toujours à démontrer les vérités dont il trouvait l'énoncé dans les livres, et nous pouvons ajouter ((n'ayant démontré luimême, il jugeait quo les vérités lui appartenaient vraiment. Comment n'en eût-il pas été de même d'énoncés formulés d'une façon plus ou moins vague dans quelque conversation ?

Au surplus, si nous ne pouvons rien affirmer sur l'existence même de la filiation, nous nous trouvons en présence des faits certains que voici : quand Descartes s'exerce à la théorie algébrique des équations, elle est à peu près constituée par les travaux de Tartaléa, de Cardan, de Ferrari, de Bourbelli, d'Albert Girard et de Viète, sans parler de Harriot dont le livre paraît en 1631. — Tartaléa a trouvé la règle pour calculer la racine d'une équation du troisième degré. Cardan reprenant la question la traite plus complètement, a appelé Tattention sur le « cas irréductible ». En outre, il reconnaît le premier, semblet-il, la multiplicité des racines d'une équation, parmi lesquelles il a noté les racines négatives aussi bien que les positives. Ferrari a démontré que l'on peut ramener la résolution de Téquation du quatrième degré à celle du troisième par une méthode qui ne sera pas d'ailleurs celle de Descaries. Bourbelli a vu par une construction géométrique que dans le cas irréductible le résultat des calculs qui semblent impossibles est pourtant réel, et il a même indiqué le moyen de se dégager des difficultés du calcul. Plus tard, en 1620, le Hollandais Albert Girard devait aller plus loin, et montrer que dans ce cas irréductible il existe toujours trois racines, deux d'un certain signe et Tautre d'un signe contraire. \'ièle, à son tour, après avoir, nous l'avons vu. quelque peu simplifié les notations, ii résolu un certain nombre de problèmes généraux : augmenter, diminuer, multiplier, diviser les l'acines d'une équation et, comme application, faire disparaître le second terme, chasser les dénominateurs, débarrasser les écjuations des termes irrationnels, etc. Il a vu le premier (en supposant, il est vrai, ipie l'on n'ait affaire qu'à des racines positives) que les cofficients successifs donnent la sonnue des racines, la somme des produits deux à deux, elc C'était là presciue la forniîilion du premier membre de l'érjualion p;ir la multiplicalicui d(>s fadeurs binômes, (|ue Harriol donnait d'ailleurs en 1C31. \'ièle, d'autre i)arl, s»' i-altachait aux aru'iens par ses consi mêlions de raciiu^s, par ses études sur les sériions .angulaiF'es (*l, rn ce (jui concerne les équations du hoisièuie degré, aboutissait à celte remariiuable conclusion énoncée dans les incmes termes qu'un |)eu plus lard j^ar l)«^scailes : la résolution

148 DESCAKTES SAVANT

dune équation du troisième degré se ramène toujours soit à la construction de deux moyennes proportionnelles, soit à la trisection de l'angle...

Gonmient songer un instant qu'après ces résultats acquis l'œuvre de Descartes en algèbre tombe du ciel et réalise d'un coup de génie justement toutes les mêmes découvertes ? Qu'il cite ses prédécesseurs comme Cardan ou qu'il n'ait jamais eu leurs livres sous les yeux, comme l)uur \'iète et pour Harriot, ce n'est certainement pas par hasard que ses travaux se présentent comme la suite naturelle de tout ce qu'ils ont édifié. Il les dépasse, certes, soit par de nouvelles méthodes — par exemple celle des coefficients indéterminés — ■ soit par son désir de généraliser davantage tous les résultats, d'achever, de compléter, de réaliser sur tous les points conmie une science intégrale, mais on ne saurait songer même en renonçant à toute idée de plagiat ou à quelque mode précis de filiation entre Descartes et ses prédécesseurs immédiats, à voir dans son AUji'bre pas plus que dans sa (lèoinétrie analytique une sorte de création qui serait un commencement absolu, sans lien avec le temps et le milieu où il a vécu.