U QUERELLE DE DESCARTES ET DE FERMAT AU SUJET DES TANGENTES

Dans les derniers jours de décembre IfôT, Fermât faisait parvenir à Descartes, par l'intermédiaire de Garcavi et de Mersenne, quelques-uns de ses travaux et, en particulier, son traité De maximis et minimis. C'était un écrit assez court fl), donnant d'abord en quelques lignes l'indication de la méthode générale pour trouver les maxima et minima, puis, comme application, donnant la construction d"une tangente à la parabole.

La méthode générale est très simple : On donne à la variable A, dont dépend la grandeur étudiée, un accroissement indéterminé E ; et on égale la nouvelle expression de la grandeur à l'ancienne. Après avoir rendu entière l'égalité ainsi obtenue et effacé les termes communs aux deux membres, on divise ceux-ci nar E, qui se trouve en facteur dans tous les termes, après quoi on remplace E par zéro dans les termes qui le contiennent encore. L'équation qui reste sert à déterminer A pour les valeurs maxima ou minima de la grandeur.

Quant à rapj)lication aux tangentes. Fermât traitait rexemple suivant : Soit (fùj. i) la parabole BDN, de sommet D, et, au point B, la tangente à construire, RE, qui

(1) Ou on trouve le lexlé mlégrâl dans l'édition de Descartes Ad. ei T., t. I<'^ p. ''m-VJj.

toO

Fig. 1

rencontre Taxe en E. Un point quelconque 0 de cette tangente étant extérieur à la parabole, si BC et 01 sont les

ordonnées des points B et 0, on aura ['^^ -^ l^i^. ou, à

J)I ^ Ôl-

cause des triangles semblables, ^^^ v^ ^t'.

Désignons les longueurs CD et CE par D et A, et soil Cl = E.

On aura alors

D— E (A — E)« ôu IXA — E*)> A\D — E).

Egalons les deux membres de l'inégal ité, supprimons Te terme conmum D.A^ et divisons les termes restants par E, nous obtiendrons :

D.E — 2A.D + A- :=() ou, eu faisant K = 0,

qui lixe la valeur de la sous-tangenic A (1\

(1) Seules les nolations de Fermât ont «'lô It^gèrenient modifi«S"*s : l «''prit Aq au lieu d(> A-, 1) in E au lieu île D .VI, I) iu A bi^ au lieu de ^A. D.

Dès qu'il a lu cet écrit, Descartes en envoie une violente critique h Mersenne (janvier 1638). Cette critique comprend deux parties distinctes.

Dans la première, Descartes essaie de montrer que la méthode générale de maximis et minimis, directement appliquée au problème de la tangente à la parabole, ne conduit nullement à trouver cette tangente, comme Taffirme Fermât, Reprenant, en effet, la figure et les notations de celui-ci, Descartes cherche la longueur maxima qu'on peut mener du point E à la parabole. On a

BE' := A2 -f B-. . Quand EG devient A + E, DC devient D + E : et comme le côté droit de la parabole est évidem-

ment —, B- devient égal à (D -f E) X ï=rî et A- devient

(A -j- E)-. On trouve maintenant pour BE l'expression

B^D-fB^E.

Egalons-la à la première, nous obtenons :

B"' —1— B*T^ A« -f B^' = X-' + 2 AE -f E^' + " "^

ou 2AE + E-^ + ^ = 0

ou enfin, après division par E, et pour E = 0,

« ce qui ne donne point la valeur de la ligne A, comme l'assure l'auteur, et, par conséquent, la règle est fausse ». Dans la seconde partie de sa critique. Descartes porte son attention sur le raisonnement même de Fermât dans la construction dé la tangente à la parabole, et montre que ce raisonnement, qui réussit pour la parabole, n»^ vaut plus rien déjà pour l'ellipse et Thyperbole. On aura beau ex})rimer que le rapport des abscisses des points B et 0 (l(jit être supérieur à celui des carrés des ord(Uinées, on ne pourra plus ainsi délerminer la tangente aux autres sections du cône.

Il faut l'avouer, la première impression qu'on éprouve

à la lecture de ces réflexions n'est pas favorable à Descartes. Par quelle aberration a-t-il pu comprendre — à ne parler d'abord que des derniers reproches — que la relation entre les carrés des ordonnées et les abscisses qui caractérise la parabole, et d'où dérive l'inégalité qui sert de point de départ à Fermât, pouvait être, dans la pensée du géomètre toulousain, la relation générale à utiliser en lous cas pour des courbes quelconques ? Lorsque dans une première lettre, qui est perdue, mais dont nous devinons le contenu par ce qu'en dit Descartes à Mydorge (1" mars 1638), Etienne Pascal et Roberval auront insisté sur celle erreur, les mêmes reproches se retrouveront dans la réponse de notre philosophe avec plus de précision encore. Partageant ses pages en deux colonnes, il reproduit d'un côlé la démonstration de Fermât pour la tangente à la parabole, et de l'autre les mêmes mots, le même langage, la même écriture algébriciue pour l'ellipse ou l'hyperbole, de manière fi aboutir évidemment à une absurdité, — ce qui ne pouvait étonner personne, comme le lui redira bientôt Roberval. — Et quant à la première partie de la critique de Descartes, comment celui-ci n'a-t-il pas vu que Fermât définit la tangente en B non point par le fait que EB serait une longueur mnxima ou minima, mais par cet autre que sur EH le point B est celui pour lequel une certaine quantité algébrique passerait par un minimum ? C'est encore ce que diront pour la seconde fois et de toutes leurs forces, après la réponse de Descartes adressée à Mydorge, les défenseurs de Fermât, ou tout au moins l'un deux. Roberval, reprenant en somme les mêmes arguments présentés une première fois par El. Pascal et par lui (avril iG88). Ceux-ci ont tort, il est vrai, comme le dira Desargues au P. Mersenne (1), de déclarer absurde a priori qu'on parle de droites maxinui ou minima parmi celles qui vont du point E à la parabole ; mais comme ils ont raison de ne pas ar(^epter que la tangente en r. à la parabole puisse se déterminer par la recherche d'une corde de longueur maximum ou minimum EB, comme Descartes en donne l'exemple en un raisonnement, dont en même temps il veut monirer l'inanité !

(1) Lettre du 4 avril 1G38, publiée j)ar .M. Charles Henry, dans le tome IV des Œuvres de Fermât, p. 30.

En même temps, il est curieux de remarquer que ni eux, ni Desargues dans ses réflexions sur ce débat, ni Descartes lui-même, iront l'air de voir la vraie raison pour laquelle Tapplication que fait Descartes de la méthode de Fermât aboutit à une absurdité. Invoquer simplement, comme Roberval, le fait que les cordes menées de E à la parabole croissent indéfiniment, pour rejeter le maximum ou le minimum EB, ce n'est guère plus exact que l'hypothèse, admise sans discussion par Descartes, que la tangente EB est nécessairement la plus longue des droites allant de E aux premières rencontres avec la parabole. Et Desargues, quand il jugera qu'à propos des cordes passant par E on peut parler de plusieurs manières de maxima ou de minima, donnera raison à Descartes, sans s'apercevoir que celui-ci n'en parle que d'une façon incompréhensible pour construire la tangente par la méthode de Fermât. Il n'expliquera pas en tout cas l'étrange résultat obtenu par Descartes appliquant rigoureusement la méthode de maximis et minimis, à la recherche du maximum ou du minimum EB. Quant à Descartes lui-même, il voudra bientôt montrer comment il faut corriger le raisonnement qui l'a conduit à une absurdité, mais il ne s'apercevra pas qu'alors, au lieu de corriger la méthode de Fermât, il ne fera que corriger sa propre erreur.

De quoi s'agit-il, en effet, dans le raisonnement de Descartes ? Il s'agit manifestement de trouver les droites maxima ou minima allant de E à la parabole. Or, qui ne voit que ces droites sont les normales à la parabole menées de E ? Si EB {fifj. 2) est une de ces normales, on sait bien

Fig. '2.

que la sous-normale CE ' est égale au paramètre, c'est-

à-dire à la valeur constante du rapport