DC

de sorte

que, avec les notations de Fermât et de Descartes, A est

égal

Or, c'est justement, au signe près, dépen-

dant de la position du point E par rapport au sommet I), le résultat prétendu absurde du calcul de Descarlcs. Il faut joindre au point B ainsi déterminé son symétriijue par rapport à Taxe, pour avoir une seconde solution ; et si enfin on remarque que l'existence simultanée des quantités B et D exclut la troisième solution évidente KD, on constate que l'application par Descartes de la méthode de Fermât à la construction des normales, comme lignes maxinia menées de E, réussit merveilleusement. Descaries se trouvait donc faire la preuve de la valeur de rette méthode, quand il croyait en démontrer linexactitude. 11 est étrange qu'Etienne Pascal et Boberval ne s'en soient pas aperçus.

\'enons-en enfin à la correction de Desrartes. C'est à Hardy qu'il montre, dans une lettre de juin 1(338 (1), comment (in doit modifier la méthode de Fermai pour la faii«^ aboutir vraiment à la construction de la tangente. Il prend ])our exemple une parabole cubique, mais son raisonnement pourrait aussi bien se faire sur la paralx^le simple. Le changement essentiel ({u'il apporte est alois que Taccroissement E ou CF J'uj. ,'î). donné à l'inconnue

Fit:. :i.

A ou EC, est celui (pii correspond au second point de i«micontre de EB avec la parabole. Il prend deux inconnues au lieu d'une, A et E, pose pro\ isuireinent une rclali<»n

(1) .\d. ol T., II, p. 170.

arbitraire entre les ordonnées BC et DF, de manière à pouvoir écrire autant d'équations que dinconnnues (1), résout le système, puis fait E = 0. Comme cette fois les points E, B, D, sont en ligne droite, en faisant E = 0 on passe bien vraiment de la sécante à la tangente. Mais commuent Descartes ne voit-il pas que le problème est tout autre et que la nouvelle méthode n'est plus celle de Fermât ? La droite EB n'est plus la grande ligne menée de E à la courbe, mais la limite d'une sécante dont deux points de rencontre avec la courbe tendent à se confondre. Descartes a beau continuer à soutenir (2) que la tangente ainsi obtenue est la plus grande ligne menée par E à la parabole, cette affirmation reste extérieure à son raisonnement, elle est sans influence sur son résultat, ses calculs n'en tiennent pas compte. Il croit avoir corrigé la méthode de Fermât ; en réalité, il a cessé de s'appuyer sur un postulat que lui, Descartes, avait faussement énoncé, et il a résolu le problème par une voie, certes, absolument correcte, mais toute différente de celle de Fermât.

(1 La première équation s'obtient par les triangles semblables RFiC, EDF, et par la propriété caractéristique de la parabole.

(2 En réalité, Descartes ne cessera jamais de le soutenir. A une lettre de Fermât que nous n'avons pas, mais* où sans doute Fermât montrait que sa méthode réussissait très bien à déterminer les normales menées d'un point à une courbe, Descartes répondra (27 juillet IG3s. II, p. 280' qu'il comprend enfin — mais il ajoute colle restriclinM : « li est vrai que je ne vois pas encore pour quelle raison vous voulez que votre première règle, pour chercher les plus grandes et les moindres, .se puisse appli(iuer à l'invention de la tangente, en C(jnsidérant la ligne qui la coupe à angles droits comme la plus courte, plutôt qu'en considérant celte tangente comme la plus grande, sous le<^- conditions qui la rendent telle. » Dans sa lettre à Mersenno du 23 août de la même année, Descartes y reviendra avec plus d'insistance encore. Les conditions qui à ses yeux font de la tangente la plus grande ligne sont manifestement celles qu'il a indiquées, quanti il a « corrigé » la méthode de Format. Ce sont donc colles qui font de la tangente la position limih^ do la sécante. Celte idée de pos-itioii limite, de position extrême, au delà de laquelle la droite issue de F ne rencontrerait plus la parabole implique évidemment le passage de certaines grandeurs par un maximum ou par un minimum, par exemple l'angle de FB avec l'axe de la parabole est un îuaxinunn... Ft c'est peut-être ce sentiment plus ou moins confus qui fera dire à Descartes avec un certain entêtement que la tangente FP> e.st ellomême un maximum, — quand en réalité la longueur ICB, R décrivant la parabole, ne fait pas partie des grandoiu's qui passent par un maximum pour la position de contact de la sécante.

Et maintenant, demandons-nous si dans quelque mesure au moins peut s'expliquer une semblable altitude ? Faut-il parler de mauvaise loi ? — Assurément non. Le ton de ses lettres à Mersenne, à Mydorge, à Hardy, écrites à roccasion de ce débat, exclut vraiment une pareille hypothèse. Et Descartes tient trop aussi à sa réputation pour avoir répété à outrance des appréciations qui auraient risqué tôt ou tard de le faire baisser dans l'estime des mathématiciens. Sa sincérité est hors de doute.

Du moins, nous pouvons soupçonncM' tiuune sorte de bandeau posé sur ses yeux Ta empêché de voir clair quand lenvoi de l'écrit de Fermât, accompagné des réflexions du P. Mersenne, Ta fait croire à une provocation. Songez donc : après les objections sans valeur soulevées contre sa Dioptrique, n'était-ce pas de l'audace de la part du géomètre toulousain, de s'attaquer maintenant à sa Géométne, à l'œuvre dont Descartes était si fier, et, dans cette œuvre, à la partie qui flattait le plus peut-être son amour-propre — à la construction des tangentes? <( Je croiray avoir mis icy (1), dit-il dans la Grométrie, tout ce qui est requis pour les éléments des lignes courbes, lorsque j'auray généralement donné la façon de tirer des lignes droites (]ui tombent à angles droits sur tels de leurs points qu'on voudra choisir (2). Et j'ose dire que c'est cecy le problème le plus utile et le plus général, non seulement que je sçache, mais mesme que j'nye jamais désiré de sçavoir en géométrie. » Et c'était api'ès avoir lu la solution complète donnée par Descartes à ce i)roblème cai)ital, que Fermât voulait lui faire sentir la maladroite comi^lication de ses calculs, en lui mettant brusquement sous les yeux une méthode infiniment plus simple et plus rajude... Car Mersenne l'avait bien dit à Descartes : c'était après avoir lu la Gcomélrie (jue Fermât avait envoyé son écrit « s'étonnant de ce que Descartes n'iivait pas trouvé la même chose {[l) ». Et, interprétant ces infoimations. Descartes avait vu aussitôt chez le conseiller toulousain le

(1) Ad. et T., t. VI, p. 413.

(2) Les tangentes s'en déduisent naturellement aussitôt. (3; Ad. et T., l. 1", p. 486.

dessein « d'entrer en concurrence et de montrer qu'il savait en cela plus que lui ». S'il a consenti à répondre, c'est (( qu'il faut bien qu'on voie ses défenses », mais, il l'a dit nettement à Mersenne : Si à l'avenir Fermât le charge d'envoyer à Descartes d'autres écrits, qu'il prenne la peine d'abord de les mieux rédiger sans quoi le Révérend Père est prié « de ne prendre point la commission de les lui adresser. — Car, entre nous, ajoute-t-il, passant du nouvel écrit de Fermât aux objections contre la Dioptrique, si lorsqu'il me voudra faire l'honneur de me proposer des objections il ne veut pas se donner plus de peine qu'il a pris la première fois, j'aurais honte qu'il me fallût prendre la peine de répondre à si peu de chose (1) ». Ainsi, aux yeux de Descartes, récrit De maximis et minimis est comme une nouvelle accusation, contre laquelle il consent eneore, et pour la dernière fois, à se défendre. C'est un second et injurieux défi, venant à la suite du premier. On avouera sans peine que cet état d'âme de notre philosophe ne le préparait guère à une saine appréciation de l'œuvre de Fermât.

En second lieu, si le fond même de l'écrit de Fermât semble impeccable, il faut reconnaître que la rédaction laisse quelque peu à désirer : elle manque parfois de clarté par excès de concision. Par exemple, on ne dit pas doù sort l'inégalité qui sert de point de départ au rai- L^onnement dans le problème de la tangente à la parabole, et Descaries ne péchera pas contre la lettre môme de l'écrit, en admettant que le raisonnement est proposé conune général pour toutes les courbes. On ne dit même pas, dans la principale application d'une méthode De maximis et minimis où est le maximum ou le minimum que Ton considère, et Descartes aura là une excuse quand il cherchera ce maximum ou ce minimum dans la longueur de la droite EB... Il eût certes suffi, à défaut de sang-froid, pour éviter de telles erreurs d'interprétation, que Descartes se fît une idée exacte de la valeur du géomètre toulousain, mais il en était justement encore assez éloigné...

Mais nous pouvons aller plus loin, el ciiercher si enfin

(1) Ad. et T., t. I, p. 466.

il n'y a pas quelques caractères des solutions de Fermât ((ui pouvaient par eux-mêmes déplaire au géomètre qu'était Descartes. La lettre de Desargues i\ Mersenne du 4 avril 1638 {Œuvres de Fermât, tome I\' publié par M. CJi. Henry, p. 39) va peut-être nous y aider. Cette lettre était une réponse à l'invite de Mersenne de donner son sentiment sur le débat iju'avait i»rovoqué l'envoi de l'écrit de Fermât à Descaries. Il n'a lu que les lettres de ce dernier, mais il a causé avec Pascal et Roberval d'une pari, avec Alydorge de l'autre, Mydorge plutôt i)artisan de Descartes. Il connaît par eux les arguments des nmis de Fermât, si bien que, quoiqu'il n'ait pas lu l'écrit même de Fermât, il en sait assez pour formuler un jugement qui a son intérêt, quoiiju'on sente bien en le lisant que sa bonne àme ne veut faire de peine à personne.

Sur la relation spéciale mise en évidence par Fermât dans la construction de la tangente à la parabole — relation que Descartes déclare trop évidemment ne plus pouvoir servir pour l'ellipse et l'iiyperbole, — Desargues écrit (1) : « M'ont assuré lesdits sieurs Pascal et Roberval, (|ue vous sçavez estre gens d'bonneur et sans passion pour personne du monde en cette matière, qu'ils ont employé de cette façon la méthode des plus petites et plus grandes au fnict des touchantes à l'hyperbole et à l'elipse en raisonnant sur chacune suivant les propriétés qui leur < en > sont particulières el qu'elle leur a également bien léussi aussi bien en cela comme en la parabole en raisomiant par des propriétéz particulières de la paral>ole de façon que ce (jue dit M. Descartes (qu'en substituant hyperbole ou elipse au lieu du mot de parabole, cette méthode alors se trouve fausse) est tout véritable ; car si la méthode est générale, les mêmes mots exprimants une mesme propriété doivent convenir et servir à chacune esi)èce de coupe. Or, les mesmes motz de ce raisonnement signifient une chose véritable aussi bien aux hyperboles et elipses qu'en la parabole, mais le raisonnement ne sera pas alors fondé sur une propriété i>articulière à la nature de l'hyfuM'bole ou de reli()se comme le raisonnement de

(1, Œuvres de Fermai, t. IV, p. 42.

AU SUJET DES TAiNGENTES 159

cet exemple est fondé sur une propriété particulière à la nature de la parabole ; et j'estime que c'est là une partie du malentendu où Terreur est au ctioix de la propriété pour raisonner dessus. Par ainsi, M. Descartes a raison et M. de Fermât n'a pas tort. » Si Ton sent Teffort de Desargues pour ne froisser aucun des adversaires, on voit mal à travers ces lignes pourquoi « Descartes a raison ». En se relisant, Tauteur de la lettre a constaté lui-même sans doute qu'il n'était pas clair, car il éprouve le besoin d'écrire en marge la note que voici (1) : « En relisant le tout j'ai voulu mettre hardiment cecy, à quoi je puis faire voir à MM. Pascal et Roberval qui y ont acquiescé, c'est que sans attendre plus de temps mon sens est que encore que M. de Fermât ait quelque raison, si tant que sa méthode soit bonne pour chaque coupe de cône en y raisonnant d'une propriété qui soit particulière à la nature de l'exemple qu'on donne, si est-ce que je suis du sentiment de M. Descartes qu'elle n'est pas générale et asseurée, jusqu'à ce qu'elle soit ajustée de façon que le raisonnement étant pris d'une propriété communément naturelle ou essentielle à la nature de chacune des espèces de coupe le sens des mêmes paroles employées en ce raisonnement pour une seule espèce de coupe convienne et serve généralement à chacune des autres espèces de coupe. (Autrement quant à moy), je ne la nommeray pas une méthode générale ny ne la recevray pas pour vraye jusques nlors. » Ceci est plus clair : aux yeux de Desargues, le grave reproche que mérite ici Fermât est de donner pour la tangente à la parabole une méthode qui soit spéciale à cette courbe — au lieu de pouvoir s'appliquer à toutes les sections du cône. Nous en sommes peu surpris. De Desargues date en effet cette géométrie qui veut toujours procéder avec la plus grande généralité, considérant par exemple une conique comme coupée on tout cas par une droite en deux points, réels ou non, distincts ou confondus, à distance finie ou à l'infini — et les coniques elles-mêmes comme répondant à une même définition, comme douées des mêmes propriétés projectives générales. E^t-il permis d'attribuer à Descartes le même

(1) Œuvres de Fermai, t. IV, p. i3.

10(} DESCAUIES SA\A.\T

seiilinieiit, el d*exi)liyuer par les mêmes raisons son mécontentement ? Non sans doute autant que semble le i»enser Desiugues. mais oui pourtant dans une certaine mesure. Gesl, en elTet, un des caractères propres au génie de Descartes de poursuivre partout la plus grande généralité, au point de vouloir dans tous les domaines atteindre à une science achevée. Dans sa Géométrie tout i>articulièremont, ses méthodes veulent -être le plus universelles possible, et la représentation des coniques par réqualion générale du second degré en .r et y correspond bien au fond aux tendances de Desargues. Certainement donc son tempérament de géomètre pouvait être choqué l>ar une méthode, si brève qu'elle fut. obligée de s'adapter à chaque variété de conique. Même s'il l'eut jugée exacte, il y auiait vu tout au plus un détail, une curiosité. « M. Fermât est un Gascon, nioi non, dij'a-t-il plus tard à Schooten, dans une conversation familière, il est vrai (|uil a inventé plusieurs belles choses particulières et qu'il est homme de grand esprit ; mais quant à moi. j'ai toujours étudié à consiilérer les choses fort généralement, afin d'en j>ouvoir conclure des règles qui aient aussi ailleurs de l'usage (1). » On objectera que si Descartes avait eu à reprocher à Fermât la nature trop particulière de sa solution, il eut pu le dire plus nettement.. .Sans doute, mais il n'en reste pas moins (|ue nous touchons ici. avec Desargiies, à l'un des caractères ({ui man[uent le plus vivement la dislance des méthodes de Fermât et de Descartes |)our b's l.ingentes. el eu inrnie temps, par conséquent, ^ l'une des raisons j»lns ou moins conscientes de l'attitude de ce dernier.

Sur l'autre point controversé, à savoir la question des longueurs maxima ou minima menées du point E à la }taraL)ole, et leui' emploi u;ins le problème des tangentes. Desargues seml)lr pencher jdus manifestement encoie du coté de Descaries. « Je luy dis encore cecy [à Mydoi'geJ qui fait au faiot de queslion assavoir que je trouve que toute ligne droite estant menée à l'infini au plan dune coupe de cône si elle rencontre comme (^ue soit cette

(I) Exilait (111110 liMtro do Sclioolon à nuvgens {Œuvres complûtes (Je lliiy.i,'oiis, t. 11. p. 221--2-22 ; .\d, et T., t. III. p. 333;.

AL slju:t des tangentes 161

coupe (le cône, elle a deux concours avec ses bords autant la touchante simplement que la diamétrale infinie de la parabole, et qu'en cette construction il y a trois espèces de plus giand et de plus petit, assavoir le plus grand et le plus petit de chacune de ces deux espèces de concours depuis ce point de la droite avec les bords de la coupe de cône... La troisième espèce de plus grand et de plus petit que je trouve à chercher en pareille construction est la droite menée par un tel point de laquelle la pièce contenue ilans la ligure et entre ses deux concours avec ses bords est la plus grande et la plus petite. Quand on y aura bien pensé, on trouvera qu'il en va ainsi quoy que veuille dire M" Mydorge, etc., et que la méthode générale pour trouver le plus grand et le i)lus petit doit contenir les moyens de trouver chacune de ces trois espèces et sous un mesme (discours -ju à peu près (1). »

Ces lignes répondent assez justement à l'entêtement de Roberval qui prétend ôter toute signification à l'idée .même des droites maxima et minima menées dun point à la parabole. Mais Desargues ne souffle pas mot de l'usage fiu'en fait Descartes dans sa critique de la méthode de Fermât. Il n'oserait certainement pas déclarer que la tang"ente doit (Mre cherchée comme » un plus grand » ou « un i^lus petit » des deu:^ premières espèces. Seule la recherche (\u cas où « la pièce » comprise entre les deux concours est minimum, c'est-à-dire ici nulle, peut aboutir naturellement à la tangente. Et au fond c'est bien cette recherche qu'effectuera Descartes dans la prétendue corlection du procédé de Fermât. Ce sera, certes, si peu ccmscient (ju'il continuera à soutenir que la tangente est la longueur maxima FB. Mais, consciemment ou non. le procédé de Descarlcs reviendra en fait à définir la tangente la droite f|ui coupe la courbe en deux j^oints confondu.s, comme il la fait en somme dans sa (jcoinétne, et connue il l'a sans doute toujours fait, puisqu'il déclarr avoir donné il y a de longues au nées le procédé par lequel il croit jjouvoir rendre la rigueur à celui de F<'rmat. Ft ici malgré tout, par conséquent, nous touchous encore à une divergence de vues fondamentales entre Descaries et

(1) tÂluires de Fermai, t. IV, p. '»:)-tG.

Fermât, tout à l'avantage dailleurs de Descartes, et qui peut avoir contribué au mécontentement de celui-ci. Fermat, en construisant comme il le fait la tangente à la parabole, la définit comme la droite qui n'a qu'un point commun avec la courbe. C'était là la vieille définition qui faisait en sonmie de la tangente une droite spéciale de nature toute particulière. Comme Desargues, Descartes avec son esprit général isateur a voulu voir dans la tangente une sécante dont deux points de rencontre sont venus se confondre, tout comme une équation de degré m a m racines, même quand plusieurs deviennent égales. Cette tendance de notre philosophe n'est autre au fond que celle déjà notée. Les remarques de Desargues, qui s'inspirent précisément de cette même tendance dans ses objections à Fermât, nous ont aidé à en deviner riniluence possible sur les appréciations de Descartes. Il ne faut rien exagérer sans doute, et nous ne pensons pas qu'on puisse, pour expliquer celles-ci, se passer de certains éléments affectifs liés au caractère de Descartes, mais on n'est tout de môme pas fâché de trouver aussi, parmi les raisons de son étrange attitude, des besoins intellectuels, plus ou moins conscients en la circonstance, qui ne pouvaient que faire honneur à son tempérament de géomètre.

Descartes et l'Analyse infinitésimale

La (icométric. l'œuvre essentielle de Descartes en Malhéiiiati(iiios, est, nous Tavons vu, un aciièvemiMit, — magi.slral sjins doute, — une sorte d'aboutissement de travaux remontant aux Grecs, plutôt qu'une création absolue. Faut-il penser, comme cela a été dit parfois, que Descartes eOlt été incapable, par son attachement aux idées claires, de dépasser les limites de cette œuvre, et de par-' ticiper efficacement à l'élaboration des méthodes infinitésimales qui, de son temps déjà, connncnçaient à transformei* vraiment l'esprit même de l'.Xnalyse mathématique ? Ce qui est vrai dans cette manière de voir, c'est

qu'aux yeux de notre philosophe rien d'important ne peut être trouvé désormais, qui ne se rattache plus ou moins directement au contenu de la Géométrie. Mais d'instinct il était accessible à toutes les méthodes et à tous les ordres d'idées qui peuvent s'offrir en Mathématiques. Son attitude dans la querelle avec Fermât ne doit pas nous faire illusion à cet égard : elle n'est qu'un incident révélant ou confirmant un aspect de son caractère, mais ne prouvant en aucune manière Texistence de quelque limite restrictive à la nature de son génie inventif. C'est ce qui saute aux yeux quand on parcourt sa correspondance. Aux questions les plus diverses, aux difficultés proposées dans les ordres d'idées les plus éloignés les uns des autres, dès que son amour-propre est touché, il apporte une solution avec une étonnante rapidité. Et les procédés dont il use, au moins quand il les fait connaître, ne témoignent en aucune manière d'un attachement étroit et exclusif à l'esprit d'une méthode unique et déterminée dont sa Géométrie, à l'entendre lui-même, aurait fixé les linéaments. Il est impossible de citer tous les exemples que sa correspondance fournit de cette richesse d'invention. Je voudrais seulement m'arrèter à ceux où Descaries, avec une aisance naturelle, manie les considérations infinitésimales-

Nous l'avons vu déjà, dans ses premiers essais scientifiques de l'hiver J619 (1), donner deux fois la preuve qu'il n'y répugne pas. C'était d'abord dans la démonstration qu'il avait donnée à Beeckmann pour établir sur les postulats du savant hollandais la loi de la chute des corps : il était allé d'eml)lée à un emploi rationnel des indivisibles. Puis, dans le mémoire sur la pesanteur des liquides dans des vases, il s'était appliqué, pour définir la pesanteur, à considérer la force entraînant un corps dans « le premier instant de son mouvement » ; il parlait volontiers de celte vitesse initiale, c'est-à-dire de la vitesse à ce premier commencement imaginable... In |)eu plus t;uMl, mais assur»'ment de bonne heure, nous l'avons vu rompre avec la

(1) Voir ci-dessus, cli. I*»'.

J6i DESCAHTRS .S.W ANT

vfeille «lélinilion classique de l;i liiiiî^eiiU' à une eourl)e, et s'en former une conception où il devait toujours et sysl»'*matiqueinent se tenir, je veux dire lii considérer comme l.i |)()sili()n limite d'une sécante quand deux j)oints voisins tendent à se confondre.

Ces premières remarques suffiraient iteut-ètre punimontrer que les obscurités naissant de linfiniment petit et du continu nétaient guère pour Tarrèter. Mais il y a mieux, et sa corresponrlance nous fournit au moins trois occasions importantes o{i nous pouvons le voir directement aux ])rises avec les problèmes fondamentaux de Géométrie infinitésimale.

Le premier est celui de (pielques quwdralures remarquables. — Le 28 avril i632, le P. Mersenne avait transmis à Descartes de la part de Fermai une séiie de problèmes à résoudre sur la recherche de certains centres de gravité (L. Fermât disait en avoir trouvé facilement la solution à Laide de sa méthode, et il ne serait pas fâché, éci-ivait-il au Minime, de voir si M. Descartes les }K)urrait trouver à son tour, (lelui-ci, sensible à cette ])rovocation, donne à Mersenne, dès le 27 juillet, des réponses préci.ses aux questions de Fermât généialisées. A Texemple <le P. Tannery (t. IT, ]">. 252, nous pouvons donner ces résultats en notre langage, qui résumera brièvement les indications de Descartes :

iSoit /y™ = />./■ une parab(de de degré m.

I" Le raiti»oi"l de la sous-lanii'enle à l'abscisse t^sl m :

2** Le ra])i)ort <l<' Faire 2 / //fLr au liiangle inscrit rij

est

3"* Le rajtporl des segments en lesquels l'abscisse est

divisée par le centre de irravifé iW cette aire est :

(1) A(J. <.'t T., t. H, p. 119-120 et 12-2, noie do Tnnnery.

4° Le rapport du volume r. j ijHlx au cylindre circons-

m crit T-xy*- est — , — r :

o'' Le rapport des segments en lesquels fabscisse est

divisé par le centre de gravité de ce volume est ^.

Descartes avait mis peu de temps pour obtenir tous ces résultats. Par quelle méthode ? il ne Ta jamais dit. Mais nous avons vu et nous allons bientôt voir sur un autre exeniple très remarquable l'aisance avec laquelle il maniait les indivisibles. Sa méthode devait tenir à la fois de celles d"Archimède et de celles de Gavalieri. « L'excellence du procédé de Descartes, dit Tannery (II, p. 253;, éclate dans la rapidité avec laquelle il répond de la sorte à la provocation de Fermât... tandis qu'en 1641 Gavalieri en était encore à dem.ander à Fermât la confirmation de ses propres résultats pour la quadrature des paraboles. »

L'autre exemple auquel je viens de faire allusion est plus'édifiant encore et nous apporte des informations plus précises. Il s'agit celte fois d'un défi de Roberval transmis à Descartes par Mersenne dans cette même lettre du 28 avril dont il a été question plus liaul. « Quant au sieur <le Roberval, disait Mersenne, qui savait admirablement exciter l'amour-propre de notre philosophe, il a trouvé quantité de Ijelles spéculations nouvelles, tant géomélri- (jues que mécaniques, et entr'autres je vous en diray une, à sçavoir qu'il a démonstré (lue l'espace comi)ris par la figne courbe AGB et la droite AB est tri]de du cercle ou i\o, la roue ou roulette AEF : or ledit («space est fait ])ar la louletle qui se meut depuis A jusquà B, sur le plan ou siii' la ligne AB, lorsque la ligne AB est égale à la circonférence de ladite, roulette » (1). Le lecteur fera aisément la figure.

Dès le 27 mai, Descaries disait dans sa réponse à Mersenne : « Vous commencez ]^ar une invenlion de M. de Roberval, touch.anl l'espace compris dans la ligne cnurbe

ID A.l. et T., t. II, p. 11G.

DESCAUTES SAVANT

que décrit un point de la circonférence d'un cercle, qu'on imagine rouler sur un plan, à laquelle j avoue que je n"ay cy-devant jamais pensé, et que la remarque en est assez belle ; mais je ne voy pas qu'il y ait de quoy faire tant de bruit, d'avoir trouvé une chose qui est si facile, que quiconque sçait tant soit peu de géométrie ne peut manquer de la trouver pourvu qu'il la cherche » (i). Suit une série de remarques ijrésentées par Descaries comme évidentes, ou comme si aisées à démontrer qu'il ne daigne pas perdre du temps à s'y arrêter. De ces remarques résulte ensuite tout naturellement la i)ropositii)n énoncée par de Roberval. « Ce que je n'aurais pas .ici, ajoute Descaries, pris la peine d'écrire, s'il m'avait du coûter un moment de temps davantage qu'il en a fallu pour l'écrire. Et si je me vantais d'avoir trouvé de telles choses, il me semblerait faire le même que si, en regardant le dedans d'une pomme que je viendrais de couper par la moitié, je me vantais de voir une chose que jamais aucun autre que moy n'aurait vue » (2). A un tel mépris ])our la difficulté du problème dont il s'agit, nous préférerions quelques indications plus précises. El en somme nous serions aussi peu renseignés sur la méthode suivie par Descaries que nous le sommes pour les quadratures paraboliques, sans l'insistance de Morsenne, qui finit i)ar recevoir, avec la lelTre du 27 juillet 1038, un éclaircissement complet.

atioph étant la roulette, et AFC la courbe décrite ]»ar le point n ; FF]0 la ])osition de l'angle dfoil nro quand o esl le point de contact de la roulette : K vi (î l(\^ jxïints de

rib'. t

(1) Ad. ol T., t. II, p.

(2) Id., l. II, p. 137.

la courbe correspondant aux cas où n et p, équidistants de o sur la roulette, viennent prendre la position du point de contact en N et en P ; L. et H étant les points où les parallèles KM, GI, rencontrent AG. Descartes montre d'abord, en se fondant sur le mode de description de la courbe et à Taide de remarques élémentaires, que GH et KL ensemble sont égales à la ligne az inscrite dans la roulette, autant éloignée de son centre que ces lignes le sont de la droite FE, et qu'il en est de même pour a toutes les deux lignes, menées entre la droite AG et la courbe AFG, parallèles à FE et également distantes d'elle, l'une d'un côté, l'autre de l'autre... D'où il suit, ajoute Descartes, que si, sur une même ligne droite comme aî^c^co, on descrit le demi-cercle ao? égal à la moitié de la roulette et la figure 'fv^-'^w, dont la partie 07x62 soit égale et semblable à FGGHE, et l'autre partie se/^o) soit égale et semblable à ELAKF (car AE étant égale à EG, et l'angle AEF à l'angle DEG, il est évident que ces deux parties de figures peuvent ainsy estre jointes), la base cpw sera égale à a?, et la hauteur de cette figure -^y^ égale à celle du demi-

yB ^

Fig. 2.

cercle ao3. Et, outre cela, tous les segments des mesmes lignes droites j)arallèles à la Ijase a|î<?w, qui seront com- I)ris l'un dans la figure 'f/.w, l'autre dans le demi-cercle, seront égaux l'un à l'autre, comme y'I sera égal à i^v ; 4-5 à 2-3 ; 8-9 à 6-7 : et ainsy des autres. Ge qui prouve assez que l'espace 'f/.f> est égal au demi-cercle ao^, pour ceux qui sçavenl que généralement, lorscpie deux figures ont mesme biize et mesme hauteur, et que toutes les lignes droites parallèles à leurs bazes, qui s'inscrivent en l'une, sont égales à celles qui s'inscrivent dans l'autre à [)areilles distances, elles contieniKMil aulant d'espace l'une que l'autre. .Mais pour ce (jue c'est un liu'orème qui ne serait |)eut-rlre pas av(Uié de tous, je poursuis en celte S(U'te(l) ».

(1) Ad. (.1 T., 1. II, p. 260 cl 201.

i(>S DESCAUTKS SWANT

Ici, Descartes justifie son affirmation en inscrivant dans les (\eux figures une suite infinie de triangles respectivement égaux cliacun à chacun, lestiuels triangles, quand leur nombre augmente indéfiniment, épuisent les aires des deux figures, o Au reste, conclut Descaries, l'espace compris entre la droite AC et la courbe AKFOr, étant égal au demi-cercle, il est évident que tout l'espace AFCB est triple du demi-cercle : car le triangle rectiligne ABC est égal à tout le cercle. i)uisque la ligne AB est supposée égale à la moitié de la circonférence, et BC h son diamètre. » Après une dernière remarque pour étendre cette conclusion au cas où le point décrivant la courbe serait au dehors ou au dedans de la roulette. Descaries termine ce qu'il a dit sur ce i>roblème par les mois suivants : o FA ce que j'ay mis ici fort au long, ;ifin de pouvoir être entendu par ceux qui ne se servent i>oint de l'analyse, peut être trouvé en trois coups de plume par le calcul (1) ».

Cette démonstration, élaborée en si pou «le temps, est tout à fait remarquable. On y voit Descaries manier ce qui devait être l'essentiel de la méthode de Cavalieri avec la plus grande aisance. Certes, Kepler avait fait aussi spontanément usage des indivisibles. »M même nous savons aujourd'hui par le « Traité de la Méthode » dArchimède que le grand Syracusain n'hésitait pas à y avoir recours pour trouver des vérités* nouvelles, sinon, il le pensait du moins, pour les démontrer en toute rigueur. 11 est probable, je l'ai dit ailleurs, que la méthode des indivisibles a germé d'instinct dans le cerveau des j^remiers géomètres de l'Antiquité, et quelle n'est (Mchée dans leurs œuvres que par l'intention de dissimider les considérations infinitésimales qu'ils ne jugeaient |>as ;issez rigoureuses. La méthode dexhaustion mise en règle par Kudoxe s'introduisit couramment à un moment donné, et c'est la seule en somme que nous trouvons dans les écrits des géomètres grecs, si Ton excepte ce fragment dWrchimède auquel je viens de faire allusion. Descaries, lui, n'est nullement chotpié d'une conclusion qui se dégagerait de la seule vue des indivisibles ; il n'ajoute une démonstration élémentaire que pour ceux qui ne comprendraient pas ;

[\) \d. el T.. t. II. p. 'iG:i

en elle-même, elle lui suffirait, tant il est loin d'être réfraetaire aux conceptions infinitésimales.

Les derniers mots posent pour nous une énigme. Quel est ce calcul si extraordinairement simple par lequel il aurait pu suppléer à sa longue démonstration géométrique ?... Ce que ces mots laissent supposer ne peut en tous oas qu'ajouter à l'impression que nous cherchons à dégager ici de l'ingéniosité et de la richesse déconcertante des procédés mathématiques de Descaries.

Soit, dira-t-on peut-être, mais dans tout ceci les vues infinitésimales ne s'écartent pas de celles qu'on trouve chez Archimède et qui se ramènent toujours à l'intégration d'une série délémenls infiniment petits en une grandeur déterminée. Descartes ne prouve pas par là qu'il ait eu ridée de ce que nous nommons le Calcul différentiel. Il a naturellement conçu la tangente comme limite de la sécante, mais ne s'est-il pas arrêté là ? Il a ramené le problème des tangentes à exprimer que deux racines d'une équation à termes finis sont égales, mais a-t-il su entrevoir la possibilité d'équations ditîérentielles pouvant à leur tour servir à déterminer des courbes, tout comme les équations entre coordonnées ponctuelles ? — L'étude que fit Descaries des lignes de de Beaune va peut-être suggérer une réponse inattendue à ces questions.

(Test le 15 novembre 1038 (1) que Descartes, écrivant à Mersenne, fait pour la première fois quelques allusions aux lignes de M. de Beaune, à la ré|H>nse qu'il a faite à ce géomètre au sujet de ces lignes, — réponse que nous n'avons pas, — à la prétendue solution de Rol)erv;il et dt^ Beaugnind, enfin à la solution de <le B(Mune lui-même, pour sa seconde ligne. Mais en réalité il nous faut att(Midre jusqu'à la lettre du 20 février 1639 (2), de Descartes à de Beaune, pour en savoir davantage.

Ce que nous apprenons avant loiit de fort important par colle dernière lettre, c'est que les lignes de de Beaune sont définies par une propriété caractéristique de leurs

(1) Afl. et T., I. II, p. 420.

tangentes. Descartes complimente de Beaune pour la quadrature qu'il a trouvé le moyen d'effectuer sur Tune d'elles. « Pour vos lignes courbes, lui dit-il, la propriété dont vous m'envoyez la démonstration me paraît si belle que je la préfère à la quadrature de la parabole trouvée par Archimède (1). Car il examinait une ligne donnée, au lieu que vous déterminez l'espace contenu dans une qui n'est pas encore donnée » (p. 513). C'est là le premier exemple historique de lignes courbes qui ne soient pas définies par une propriété caractéristique de leurs points, ou, comme dit Descartes, qui ne soient pas encore données, et sur lesquelles cependant on résout tel ou tel problème en s'appuyant sur une propriété des tangentes menées à ces courbes supposées déterminées. En somme, il s'agit de lignes définies par une équation différentielle. Descartes déclare que sa méthode des tangentes (pas plus d'ailleurs que celle de Fermât, ajoute-t-il) ne serait pas commode en pareil cas. Mais son esprit s'applique pourtant sans hésiter à ces recherches d'un nouveau genre. En étudiant la deuxième ligne, il a trouvé, dit-il, par des déductions a posteriori, une série de théorèmes qu'il ne nous fait pas connaître ; puis il indique une méthode plus générale et a priori, « à sçavoir j)ar l'intersection de deux tangentes laquelle doit faire entre les deux points où elles louchent la courbe, tout proches qu'on les puisse imaginer, car en considérant quelle doit être cette courbe, afin que cotte intersection se fasse toujours entre ces deux points, et non nu deçà ni au delà, on en peut trouver la construction : mais il y a tant de divers chemins à tenir, et je les ay si peu pratiquez que je nVn sçaurais encore faire un bon compte. Toutefois, vous verrez icy en quelle façon je m'en suis sorvy pour vos trois lignes courbes » (2). Et Descartes donne aussitôt une idée de ses recherches sur la deuxième ligne de de Beaune. Mais il ju.uv inutile d'en raj)peler l'énoncé, et celui-ci resterait pour nous une énigme ]ieut-étre difficile à résoudre à travers les raisonnements et les calculs, si nous n'nvions l;i chance de trouver une infor-

(I r.r.. (Iiin5; mos" \oiirrllcs Ehidcs siur ////s/o'/v (h' Ui prusirc srinnti(iqup. le Iraité do la méthode d'Archim(>de (2^ Ad. ot T., I. H, p. r.lî.

mation suffisante dans la lettre de juin 1645, où Descartes, s'adressant à nous ne savons quel correspondant, s'exprime ainsi (1) : « Et touchant les lignes courbes, on pourrait proposer celle-ci : Data qualibet linea recta N, et ductis aliis duabus lineis indefinitis, ut GD et FE, quae se in puncto A ita intersecent, ut angulus EAD sit 45 graduum ; quaeritur modus describendi lineam curvam ABO, quœ sit talis naturae, ut a quocumque ejus puncto ducan-

tur tangens et ordinata ad diametrum GD, (quemadmodum hic a puncto B ductae sunt tangens BL et ordinata BC), semper si eadem ratio istius ordinatae BG ad CL, segmentum diametri inter ipsam et tangentem intercepti, qucB est line{€ datas N ad BI, segmentum ordinatae a curva ad rectam FE porrectœ. — Cette question me fut proposée, il y a cinq ou six ans, par M. de Beaune, qui la proposa aussi aux plus célèbres mathématiciens de Paris et de Thoulouze ; mais je ne sache point qu'aucun d'eux luy en ait donné la solution, ny aussi qu'il leur ait fait voir que je lui ay envoyée. »

Il n'y a pas de doute : c'est bien là l'énoncé du problème qui nous intéresse, et la solution envoyée par Descartes est bien celle que nous met sous les yeux la lettre du 20 février 1639, sauf que, pour cette solution, Descartes a d'abord simplifié le problème à l'aide d'un changement de coordonnée^ comme on va le voir. Tel qu'il est donné sous sa forme générale, l'énoncé se traduirait aisément pour nous par l'équation différentielle y N rf?/ N

ydx y — X dy

(h Ad. et T., t. IV, p. 229.

ou — :=

dx

Ï12 UESCARTES SA\ ANT

gu'il nous resterait à intégrer. Dans la lettre à de Beaune, de lf>W, à laquelle nous revenons maintenant, Descaries prend pour axe AY (A étant le sommet de la courbe à construire) ; mais, « au lieu de considérer Taxe AY avec son ordonnée XY )>, il considère a Tasymptote BG, vers lnquellp ayant mené des ordonnées parallèles à l'axe, comme P\', RX, etc., et des tangentes comme AC, ZVX. (IXM, etc., i'ay trouvé, dit Descartes, que la partie de Tasymptote qui est entre lordonnée et la tangente d'un même point, comme PN, ou R.M, etc., est toujours égale

Fig. 4.

à BC, ainsi que vous verrez facilement par le calcul » (1). Ce résultat est pour nous des plus simples à établir. La transformation de coordonnées nécessaire pour passer des axes AY, \(^ aux axes BY, BC, où AB = /) (notation de Descartes), et où BG est inclinée à -'lo degrés sur AY, iiousdonne.aulieuderéquationdiirérentielleci-dessusécrite.

// --- =^ la sous-tan^cutc =^ h \ "1 lau sigui; prèsj ^a .

Xous serions certes fort embarrassés pour dire comment Descartes pouvnil, ;ivec les procédés dont il disposait, parvenir si nisénieul à ce résultat. Du moins, la suite de la solution osl exposée tout au long :

Soient V el \ deux points de In courbe tels que, AB ;iy;inl élé divisé en )\\ p.irties égales, et l'ordonnée I^\' contenant n de ces parties, TonU^nnée UX en contienne 77-1. Descartes montre par des considérations simples que PB

est compris (^ntre ~ et --, de sorte (Uie a,3 (la dis-

(I^ Ad. ol T., I. Il, p. '.li.

tance des deux ordonnées) est elle-même comprise entre

- et -. Comme il en est de même pour toutes les

ordonnées parallèles à AB, et ne différant Tune de Fautre,

à partir de AB,'^que d'une partie de cette longueur, on

voit que si PV est les -j de 5, AB étant divisé en 8 parties,

PV en contiendra 6, et une autre ordonnée qui en contiendra 7 sera entre AB et PV, de sorte que Aa sera com-

prise entre 3 + y ^^ 7 + g-

— AB étant divisé en 16 parties, Aa sera compris entre b , b , b ^ b ^ b , b , b , b

m + Tô + ï4 + ï3 '* ïr, ^ 1-4 + 13 + 12' ^^'-

En augmentant ainsi à Tinfini le nombre des divisions de AB, on resserrera Aa entre deux sommes de termes dont le nombre croît indéfiniment, de manièi'e à avoir une valeur aussi rapprochée qu'on voudra de cette longueur. La con-

de PV { 7?M et de Aa donnera le point V. On peut

ainsi construire mécaniquement, dit Descartes, la ligne proposée. Et le mot mécaniquement achève de recevoir son sens plein pai' la remarque qui suit : Descartes observe que cette construction de la courbe revient au fond à la description par le mouvement simultané « de deux lignes droites on telle sorte que l'une étant appliquée sur la ligne AH et l'autre sur AB, elles commencent à se mouvoir également vite, AH vers BR et AB vers RH : que celle qui se meut de AH vers BR retient toujouis la même vitesse, mais que Tautrc (nii descend de HA i)arallèle à WU augmente la siciin'' n dans certaines [)roi)ortions que précise Descartes. H ajoute qu'à son avis « ces deux mouveluents sont tellement incommensurables qu'ils ne peuvent èln^ réglés Tun pnr r.iutre. ci ainsy (jue cett-e ligne est du nombre, de celles qu'il a rejetées de sa Géomclrir, connue n'étant (\ue mécanicpie » (1).

Ces derniers mois de Descartes monlrenl trop clairement \H)uv que nous ayons à y insister qu'il a bien vu la nature transcendante, dirions-ncuis aujourd'hui, de la

M! A.I. ri T.. I. n. p. jIG.

naissance

ligne étudiée. — La manière dont il calcule la valeur de Tune des coordonnées BP, ou, ce qui revient au même, de

Aa, puisque [ Aa =.7- ) 1 étant donnée l'autre PV, en la

resserrant entre deux suites infinies, est déjà fort remarquable et suffirait à prouver avec quelle facilité, s'il n'eût été distrait par d'autres préoccupations, il eût pris sa part des recherches sur les séries infinies, qui devaient si naturellement amener l'éclosion du Calcul différentiel.

Mais il y a plus, et on ne peut vraiment guère douter que Descartes n'ait vu aussi que la longueur ainsi calculée par approximation n'était autre qu'une fonction logarithmique de l'ordonnée PV, — comme nous le constatons nous-mêmes facilement sur l'équation différentielle (a). Il y avait en effet une quinzaine d'années qu'avait été publié le fameux ouvrage de Neper, l'inventeur des logarithmes, sous le titre : Mirilici loganthmorum canonis descriptio. L'ouvrage avait fait grand bruit, et il remontait à une époque où Descartes jeune ne dédaignait pas de s'instruire dans les livres des autres et d'acquérir ainsi cette érudition dont, daprès son témoignage, Beeckmann avait provoqué le réveil dans son esprit.

Si d'ailleurs un doute pouvait subsister à cet égard, les remarques sur le double mouvement qui peut servir à décrire la courbe rappellent vraiment trop la définition des logarithmes de Neper, pour (lue le doute no soit pas dissipé. C'est en effet par un procédé mécanique que Neper posait les logarithmes. Il considérait deux droites que parcouraient simultanément deux points mobiles ; l'un gardait une vitesse constante, tandis que la vitesse de l'autre s'accélérait dans des conditions déterminées ; et le logarithme d'un certain chemin décrit d'un mouvement accéléré sur la deuxième droite était un chemin correspondant décrit sur la première d'un mouvement uniforme.

Tannery (II, p. 523) fait remarqucM- un autre point commun à Neper et à Descartes : c'est que lun et l'autre, contrairement à un usage qui est né bientôt après Neper, ont considéré la fonction logarithmi(|uc Aa comme croissante pendant que la variable (PV) décroît.

Et alors décidément non seulement Descartes n'a pas eu peur de s'attaquer h l'un de ces problèmes qui ne sem-

blent solubles quavec l'algorithme du Calcul différentiel, mais il Ta résolu ; et lui qui semble croire parfois avoir danné dans sa Géométrie, avec la théorie des équations algébriques ordinaires et celle des courbes qui y correspondent, les formules définitives de toute Mathématique à venir, — ^ il a résolu une équation différentielle dont l'intégrale était une fonction transcendante. Ce qui montre a quel point son génie naturel, sans se laisser enfermer dans les limites d'aucune méthode déterminée était prêt à s'adapter au mouvement spontané de la pensée mathématique.