LE DOUBLE ASPECT DE L'ŒUVRE SCIENTIFIQUE

rien de sa détermination horizontale. La loi des sinus en jaillit aussitôt, cette loi qui désormais sera la clé de tous les mystères en optique. A quelle date cette sorte d"éclosion spontanée se produit-elle ? Il est difficile de préciser, mais il résulte de la correspondance de Descartes^ que c'est probablement vers 1626 (1).

En 1631, Descartes rencontre sur sa route, proposé par Golius, le fameux problème de Pappus. On sait qu'il sera pour lui l'occasion d'exposer, dans sa Géométrie, comment il fait correspondre à une courbe une équation liant deux indéterminées : c'est ce qu'on nomme sa Géométrie analytique, et ce qui aux yeux des historiens a si souvent caractérisé, dans ce qu'elle aurait voulu avoir d'essentiel, la révolution cartésienne en Mathématiques.

Et enfin il faudrait s'arrêter à toutes les pages de la Géométrie, donnée en 1637 comme l'application la plus fidèle de la Méthode, pour énumérer toutes les propositions dont se trouve désormais enrichie la théorie des équations.

Je ne parle que des travaux essentiels : la Correspondance, plus encore que les livres publiés par Descartes, témoignerait de l'abondance des idées, et de l'universalité du génie scientifique de Descartes. Mentionnons le traité des Machines, rédigé sur la demande de Huygens. La théorie du levier, celle du plan incliné, etc., y reposent sur un principe unique que sa raison dicte à Descartes : (( La môme force qui fait monter un poids de 200 livres à 1 pied fait monter un poids de 100 livres à 2 pieds. »

Mais jusqu'ici, en physique ou en mathématique, il n'a été question que de problèmes plus ou moins spéciaux. Ce dont rêve Descartes, et qu'il songeait h réaliser dès 1633, quoique l'ouvrage ne paraisse qu'en 1644, c'est une Phijsiqùe Générale, une science intégrale de ÏLnivers. Les principes, nous dit-il, ne pouvaieni êlre tirés que d'une métaphysique achevée, et c'est pourquoi il n'a pas pu y songer avant 1620. On sait comment cette métaphysique conduit à affirmer l'existence d'un être parfait dont les qualités une fois connues permettent d'énoncer

(1) Cf. mes Nouvelles étudea sur Vhistoire de la pensée scientifique, Dcsrnrtrs et la loi des sinus. Paris, Alcan, 101L

les principes de la Physique Générale. Dieu ne saurait nous tromper : pourvu que, évitant la précipitation, nous n'énoncions que ce qui nous paraît clair et distfnct, nous formulons la vérité. Or, des qualités de la matière, une seule possède ce caractère, — l'étendue. C'est donc là l'essence même de la matière. Tout ce que les âges antérieurs ont manié sous le titre de qualités substantielles doit désormais s'écrouler. Le monde doit s'expliquer uniquement par l'étendue et le mouvemenl. D'autre part, Dieu est immuable : il veut donc conserver : 1° la quantité de mouvement qui est dans lunivers ; 2° l'état de repos ou de mouvement d'un corps qui n'en rencontre pas d'autres. Enfin, l'être parfait conserve évidemment le mouvement en la matière de la façon la plus simple, il en résulte que chaque élément de matière a une tendance à continuer son mouvement en ligne droite. Et voilà d'un coup tiré, des qualités de Dieu, en outre d'un principe de constance quantitative dans le monde, le grand principe d'inertie qui deviendra le fondement de la dynamique rnlionnelle. D'ailleurs, les fins de Dieu, être infini, nmi? étant inaccessibles, les sciences de la nature devront chasser toute explication finaliste, et s'en tenir à la recherche des causes efficientes. On sait assez par la lecture des Piincipes de Philosophie comment, partant de ces principes et de ces idées fondamentales, Descartes a conslniit l'univers, et tenté de donner une explication complète de tout ce qu'il renferme sur la terre et dans les cieux.

Voilà, me semble-t-il, pour me borner nux grandes lignes, l'impression qui se dégage de la lecture de Descnrtes : génie d'une puissante originalité, il ne veut rien devoir ou presque rien h ceux qui l'ont précédé. 11 vient briser la chaîne Tles générations, ne demandant qu'à luimême, à srs observations personnelles, à sa raison, à sa Méthode, h sa Métaphysique, les directions d'une .«science nouvelle, qu'il veut d'ailleurs aussi complète que possible, et défiifilive aussi, si l'on entend par là que tout ce que trouveront ses arrière-neveux ne sera que conséquence plus ou moins lointaine de ses théories.

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\^oyons maintenant les choses du dehors, pour ainsi dire. Le Collège de La Flèche où Descartes a fait ses études était un établissement privilégié, d'enseignement secondaire, dirions-nous aujourd'hui, et aussi d'enseignement supérieur. Les maîtres y professaient, il est vrai, la philosophie péripatéticienne, mais tout au moins on lisait Aristote ; on appréciait la physique des formes substantielles, mais tout au moins la maison était assez ouverte aux nouveautés pour que, d'après le récit de Rochemonteix, on y célébrât en 1611 la découverte de la lunette de GaTilée et surtout les grandes nouveautés astronomiques qu'elle avait permis de dévoiler. 11 est impossible de savoir quel fut le principal professeur de mathématiques de Descartes. Du moins, la Bibliothèque de La Flèche recevait à coup sûr les ouvrages de Glavius, à qui Descartes a bien pu emprunter les notations dont il fait usage en 1619, comme le remarque M. Enerstrôm dans ses notes de la grande édition. Or, les œuvres de Glavius, pour l'Algèbre et la Géométrie en particulier, étaient des plus savantes non pas seulement par les théories modernes, mais aussi par tout ce quelles donnaient des travaux d'analyse des anciens (problèmes de la trisection de l'angle, des deux moyennes proportionnelles, etc.). Si Descartes est mécontent de l'enseignement de l'Ecole, ce mécontentement lui-même et son désir de savoir autrement et davantage ne sont-ils pas dus en partie à ce qu'il avait appris ? Plus tard, pendant son séjour à Bréda, il rencontre Beeckmann qui lui suggère mille sujets d'étude, mais en même temps le dirige quelque peu. 11 lui demande, par exemple, quelle est la loi de la chute des graves, mais en même temps il lui demande de procéder d'après son principe à lui. Nous avons sur ce point le témoignage de Beeckmann, dans son journal. A la suite de la démonstration de Descartes qu'il a transcrite, il dit : (( Ha'c ita demonstravit Mr. Peron, cum ei ansam pnebuissem rogando an possit quis scire, etc., secundum mea fundamenla, viz. quod scmel movctur semper movetiir in varuo (1). » Elan! données les relations des deux amis, on se figure aisément que si Descartes ne lit

M) Ad. oi T., I. X, p. GO.

'S-MJ DESCARTES SAVANT

l>as luus les livres que Beeckinaim peut lui communiquer, il puise au moins dans leurs entretiens la substance de ces livres. Il écrit d'ailleurs lui-même à Beeckmann, en avril 1619 : u... te ut studiorum meorum promolorem et i>rmium aulliorem amplectar. Tu enim rêvera solus es, qui desidiosum excitasti, jam e memoria pêne elapsam eruditionem revocasti, et a seriis occupationibus aberrans ingenium ad meliora reduxisti. Quod si quid igitur ex me forte non contemnendum exeat, poteris jure tuo totum illud reposcere... (1). »

Quelle est donc celte érudition à laquelle le ramène Beeckmann ? Sans rien préciser, la nature même des questions dont s'occupe Descartes montre suffisamment ipiil s'agit d'une part de l'analyse des géomètres anciens, d autre part de l'algèbre des modernes. Les Grecs avaient vu que certains problèmes ne peuvent se résoudre avec la règle et le compas, et ils faisaient intervenir alors ou bien les sections coniques, ou bien des courbes telles que la conchoïde, qu'ils n'hésitaient pas à définir par des procédés mécaniques de construction. Des instruments autres que la règle et le compas s'enqdoyaient d'ailleurs couramment, et non pas seulement ]»our tracer des courbes nouvelles, mais pour construire des longueurs inconnues, comme dans le fameux problème des deux moyennes proportionnelles. Les premiers tâtonnements de Descartes de 1619. connus par les <( Inédits », apparaissent à cet égard comme de simjdes imitations des procédés anciens, — l'énoncé du pn^blème s'exprimant seulement en écriture Cossique, celle où Allemands et Itnliens avaient l'habitude d'écrire leurs équations, et où l'inconnue (la Coso et ses puissances successives étaient représentées par des signes distincts.

L'a Loqistira de Buteo de 1559 avait présenté ceci d'intéressant qu'elle avait rompu avec ces vieilles notations remontant plus ou moins directement à Diophante, et qu'elle représentait les inconnues par des lettres. \'iète nvait étendu celte réforme aux données, de sorte que chez lui tiudes les quantités connues ou inconnues sont re|>résenlées par des lettres, — par de grandes lettres. Des-

(1) A.l. ri T.. .:■. U'.-2-]i\X

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cartes les représentera toutes par de petites lettres. Chez Viète, au moins clans le De Emendatlone, la même lettre A sert pour l'inconnue et ses puissances ; le carré, le cube, etc., sont indiqués par A quadratus, A cubus, etc.. C'est presque la notation à l'aide d'exposants qui sera celle de Descartes. Mais la notation de Viète restait compliquée par la nécessité d'indiquer si les grandeurs sont des longueurs, des surfaces, des solides, des sursolides, etc., etc. Le produit de deux longueurs était une surface, le produit de trois était un solide... Et bien vite les combinaisons de grandeurs, comme dans le langage des anciens, de Pappus, par exemple, n'avaient plus de sens réel. Les ouvrages tels que ceux- de Clavius, où la notation restait Cossique, échappaient au moins à l'inconvénient précédent du fait qu'il n'entrait que des nombres dans les équations. D'autre part, il n'est pas un mathématicien de la Renaissance qui se rattache exclusivement au courant venu de Diophante, sans relever plus ou moins aussi de l'analyse des géomètres grecs de la période classique, et sans manifester quelque goût pour les représentations géométriques. En particulier, s'il s'agit de déterminer une quantité qui numériquement échappe à une détermination exacte, comme il arrive le plus souvent pour des racines carrées ou cubiques, Clavius, sans avoir d'ailleurs la prétention de donner autre chose qu'un procédé apparemment connu, résoud simplement la question suivante :.« Trouver géométriquement, par le moyen de lignes, les racines carrées ou cubiques de nombres non carrés et non cubes. Soit un nombre 10 représentant un carré de 10 unités carrées. Considérons une ligne A de dix unités de longueur, et soit B la ligne unité. La moyenne proportionnelle entre A et B représentera la racine carrée de A. Pour la racine cubique de 10, on construirait deux moyennes proportionnelles entre les lignes A et B (1). » On reconnaît là la construction que donnera Descartes au début de sa Géométrir pour représenter les racines. Ce recours à b longueur unité permettra d'appliquer aussi facilement le mode de représentntion ici indiqué nux résultais de la multiplicn-

fl) Geom. praclinon, livre \ I, I. II dir« a-uvrcs. p. 173. Mayonce. IGII.

ZiS DESCARTES SAVANT

tion et (le la division : a ei b étant deux lont;aeurs, — ,

cest-à-dire la 4^ proportionnelle à a, ù b, et à l'unité,

représentera le produit a b, et de même le quotient —

a u sera représenté par la 4'' proportionnelle -r—. Dès lors,

un terme quelconque d'une équation désignera toujours une longueur ; ainsi se trouvera éclairé le sens du langage algébrique, et Descartes pourra plus aisément s'appliquer à la théorie des équations.

Les algébristes modernes avaient déjà porté leur effort de ce côté. Tartalea avait trouvé la règle pour calculer la racine d'une équation du troisième degré. Cardan avaft repris la question, l'avait traitée i^lus complètement et avait remarqué qu'il est un cas où la suite des calculs indiqués ne peut plus s'effectuer (le cas irréductible). En outre, il avait reconnu le i)remier, semble-t-il, la multiplicité des racines d'une équation, parmi lesquelles il note les racines négatives aussi bien que les positives. Ferrari avait donné une méthode pour ramener la résolution d'une équation du 'j*' degré à celle d'une équation du 3^ (Test d'ailleurs ce que fera aussi Descartes, mais par un autre ])rocédé. Bombelli avait repris et publié en 1589, en les développant, les résultats obtenus par Cardan et par Ferrari. Notamment, il avait vu, i»ar une construction géométrique à la manière des anciens, que, dans le cas irréductible, le résultat des calculs qui semblent impossildes est pourtant réel : et il avait même indiciu*' un moyen de se dégager des difficultés du calcul. Plus tard, en 1620, le hollandais Albert Girard va plus loin, et montre (jue dans ce cas iiTcdiiclible il cxisti» toujours trois racines, deux d'un certain signe et la troisiènn» di: signe contraire. \'iète, à son Inui', après avoir, nous l'avons dit, (juelque peu simplifié les notations, avait ensuite résolu un certain noml»re de problèmes généraux : augmenter, diminuer, nudtiplier, diviser les racines dune équation, et, c(uume a|>plicalion, faire disl>araître le second terme, chasser les dénominateurs, (b'barrasser les équations des termes irrationnels, etc.. Enfin il avait vu le premier (en supposant, il est vrai,

LE DOUBLE ASPECT DE l'ŒUVRE SCIENTIFIQUE 23©

que Ion n'a affaire quà des racineu positives) que les coefficients successifs donnent la somme des racines, la somme des produits deux à deux, etc. C'était là une bonne partie des résultats généraux que Descartes établira dans le troisième livre de sa Géométrie, et c'était même presque la formation du premier membre d'une équation par la multiplication de facteurs binômes, telle que Hàrriot la donnera en 1631 et Descartes en 1637. Viète, d'autre part, se rattache aux anciens par ses constructions d^ racines, par ses études sur les sections angulaires et, en ce qui concerne les équations du 3" degré, il aboutit à cette remarquable conclusion : la résolution de toutes les équations du 3® degré se ramène soit à la conslruction de deux moyennes proportionnelles, soit à la trisection de Tangle. Descartes énoncera lui aussi cette proposition à la fin de sa Géométrie, et, quoiqu'elle ne lui soit pas indispensable pour sa solution générale des problèmes solides (par l'intersection d'un cercle et d'une parabole), il ajoutera une certaine importance à cette élégante réduction de tous les cas possibles aux deux cas traditionnels de la recherche des deux moyennes et de la trisection de l'angle.

Descartes ne dît nulle part comment il a été amené, pour la solution des problèmes solides, h l'intersection d'un cercle et d'une parabole. Il tenait cette solution très vraisemblablement, nous l'avons dit, dès les premiers mois de 1620. C'était en tous cas un résultat analogue è celui des géomètres grecs qui, pour la duplication du cube, par exemple, procédaient par l'intersection de deux coniques. C'était la vieille méthode par les lieux géométriques, peut-on dire, si l'on n'ose pas prononcer, à propos des anciens le mot de Géométrie analytique, qu'on réserve à Descartes. Au fond, la distance de l'une à l'autre n'est pas aussi grande qu'on le croit. En présence d'un pr()blème qui conduisait à l'extraction d'une racine cubique, ou, si l'on veut, à une équation œ^ = a^ b, par exemple, que faisaient couramment Apollonius ou Archimède ? Ils introduisaient une deuxième variable î/, W&e f\ X par la relation .rî|= aij, et ils se trouvaient en présence du problème classique : trouver deux longueurs x et 1/ liées aux données par les relations que nous écri-

2kO DESCARTES SAVA-NT

vons auiûurcrhui : -=-=-, cest-à-dire trouver deux

./• fj b

moyennes proiX)rlionnelles entre a et h. El quand, pour résoudre ce dernier }>robiènie, ils avaient recours, par exemple, à deux paraboles que nous représenterions par les équations œ- = a y et y- = b x, — (comme c'est le cas pour Menechme, daprès Eutocius'. — ils n'étaient fias loin de ce qu"a fait probablement Descaries pour toute équation du 3* ou du 'i" degré, par un procédé qui équivalait en somme à poser œ^- =^ y. e( à dégager de la combinaison des deux équations celle dun cercle. C'est projtablement vers 1631, quand Golius appelle son attention sur le problème de Pappus, que Descartes systématise davantage son idée de faire correspondre à toute courbe géométriquement définie une relation entre deux indéterminées X et i/, — Tune des deux étant une certaine longueur comptée à partir d'un point fixe sur une droitv donnée, lautre pouvant avoir une signification quelconque. Dans Texemple du i>rol>Ième de Pappus la deuxième indéterminée se définit comme la première par un segment de droite, mais dans l'exemple des ovales, comme l'indiquent les calculs inachevés qui nous ont été conservés fi , la deuxième indéterminée est une fonction -impie de deux lignes allant d'un point de la courbe à deux points fixes. On représente ordinairement la méthode de Descartes comme opérant tout spécialement sur deux axes de coordonnées : c'est une erreur. Descaries n'em]>loie d'ailleurs jamais ces expressions. 11 dit : rapportons les points de cette courbe à ceux de telle droite, et il définit ensuite sa deuxième indéterminée. Ortes, Descartes, par la systématisation (je cette métho<le. par la vision qu'il a eue de toute son efficacité, mérite (jue son nom y reste attaché, mais à la condition que l'on sente d'abcu'd fi quel point elle se rattachait directement à la mélhodi^ des lieux géométriques des anciens. Je crois bien que les premiers indices du retour à la méthode des deux indéterminées se trouveraient cluv. Viète, (jui. i)our résoudre ses équations, introduit à côté

^^) Ad. f-XT.. t. X. p. ,310-324.

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de rinconnue A une deuxième inconnue E liée à la première par cerlaine relation convenablement choisie. Mais en tous cas, antérieurement à la publication de la Géométrie, nous savons bien que Fermai, dans son Isagoge, avait eu Tidée de la méthode des coordonnées a et e pour représenter la droite, puis les diverses coniques. Et cela suffirait pour montrer combien le progrès que réalise Descartes sort naturellement de l'état de lanalyse au moment où paraît sa Géométrie.

En physique, Touvrage de 1637 apportait des vues intéressantes sur larc-en-ciel et sur la construction d'instruments d'optique, toutes fondées sur la loi de la réfraction. Descartes donnait de celle-ci une démonstration théorique à laquelle j'ai déjà fait allusion, et que personne, je crois bien, n'a jamais comprise. Mais me contentant de rappeler ici à quel point Kepler, dans ses recherches, avait été près de trouver cette loi, et qu'en fait elle avait été trouvée par Snellius, en Hollande, vers 1625, je ferai suffisamment sentir, je crois, la continuité sur ce point, comme sur les autres, de l'œuvre de Descartes par rapport à ses prédécesseurs.

Il faut citer comme un véritable chef-d'œuvre le court traité des machines* que Descartes rédige à la demande de Huygens. Toute la théorie se fonde, comme on sait, sur le principe qui fait intervenir au fond ce que nous nommons le travail, c'est-à-dire le produit de la force par le chemin qu'elle fait parcourir au mobile dans le sens de sa direction. C'est assez indiquer l'importance et la valeur de ce principe. Mais, comme M. Duhem nous Ta montré il y a longtemps dans les Origines de la Statique, même sans remonter à sa suite jusqu'à un courant fort ancien, dont la marche s'est longtemps poursuivie en opposition au courant aristotélicien, et sans aller au delà des prédécesseurs immédiats ou des contemporains de Descartes, ce principe pouvait se dégager aisément des suggestions de Galilée à propos du plan incliné, et en tous cas se trouvait formulé déjà par Stevin, comme conclusion de la théorie rlos moufles, et par ïTérigone, comme principe même du levier et du i^lan incliné. Descartes avait le grand mérite de sentir l'importnnce de In notion qu'impliquait au fond ce principe et de résoudre avec lui

2i2 DESCARTES SAVANT

seul le problème complet de l'équilibre de toutes les machines.

Longtemps auparavant, dès l'hiver de 1619, il avait trouvé ou cru trouver, sur la demande de Beeckmann, la loi de la chute des graves dans le vide. Le maniement des {( indivisibles », dont il se sert avant Cavalieri, n'a peut- (Mre rien de trop révolutionnaire après l'usage qu'en a déjà l'ail Kepler. L'énoncé même de la loi avait été donné quinze ans auparavant par Galilée qui ne Tavait encore pas publié, mais en avait parlé dans sa Correspondance et probablement dans ses leçons. Et enfin, quant à la méthode qui consiste à intégrer les espaces et à les représenter par les aires de deux triangles, dont le rapport est

-r~^ méthode que Descartes n'applique qu'incorrectement

(du moins dans la note du Journal de Beeckmann qu'il a rédigée kH-mème), chose étrange, c'avait été la première méthode de Galilée, que celui-ci d'ailleurs avait aussi appliquée incorrectement. M. Duhem a trop insisté là-dessus (1) pour que j'y revienne ; je me contente de noter ici, à quelques années de distance, les mêmes erreurs accompagnant les mêmes remarquables suggestions.

Ce n'est qifen 16 Vi que Descartes i)ul)lie, dans ses Principes, les lois générales du mouvement ; il en est une surtout qui lui fait grand honneur, c'est celle que nous nommons le « principe d'inertie ». La distinction de la détermination ou direction géométrique du mouvement et du mouvement lui-même ou de sa vitesse empêche que nous entendions toujours ce principe exactement comme Descnrtes. Une balle qui rebondit verticalement après avoir tcuiché le sol se présenterait pour lui dans le même état de mouvement, tandis que pour nous la vitesse aurait changé de signe. .Mais à part ce détail on peut dire que In science a fait définitivement une sorte de dogme du principe de Descartes. On a montré il y a longtemps, notamment M. Pninlevé (2), à quel point le principe

(1) Efudrii sur l/^mnvd ilc V'mrA, troisième s<^rie, notamment, chap. wxi.

(2) Dr In lutHUodr dans len scierices, première série, nouvelle collection scientifique Rorel.