CHAPITRE PREMIER

LES PREMIERS ESSAIS SCIENTinQUES DE DESCARTES

Grâce à la publication du Journal de Beeckmann (tome X de la grande édition, Adam et Tannery, des œuvres de DescarteS;, Jious connaissons les premières recherches auxquelles s'est exercé Descartes, pendant Thiver de 1618- 1619, quand il n'avait encore que vingt-deux ans. Nous savons aujourd'hui comment, parti pour rejoindre en Hollande larmée amie du prince de Nassau, il se laissait surtout séduire par les questions de tout ordre (Mathématique, Physique, Mécanique, Musique.... que lui soumettait l'esjjrit alerte et curieux de Beeckmann. Sans nous arrêter au conte, trop bien construit peut-èlre, par lequel Baillet explique la rencontre des deux hommes, nous ne pouvons plus douter en tout cas qu'une étroite amitié ne les ait unis, qu'ils aient eu pendant quelcfues mois des entretiens très fréquents, et que Descartes ait dû (connne il le (ht luimême d'ailleurs [1]) aux incitations de son ann de fixer définitivement sa pensée sur quelques ])roblèmes importants. Le Journal de Beeckni;iiin nous oltic, pour nous guider dans l'étude de ces premiers essais, tantôt les réflexions de Beeckmann, tantôt la copie très |)ré('ieusc de |)ages rédigées par Descartes lui-même, tantôt enfin la correspondance échangée par les deux amis. Ajoutons que les Coqltat'iones pvivnUv — c'est-à-(hre les inédits pul>liés jadis par lM)Ucher de Careil, et dont le tome X de la grande édi-

(1) .Ad. et T., i. .\, p. 1G2.

20 DliSCAllTES SANANT

lion nous donne un lexle corrigé — nous permeltcnl de jeter çà et là quelque lumière sur ces recherches de Descartes. Je détacherai, de l'ensemble des questions que mentionne le « Journal », les problèmes de la chute des corps et de la pression des liquides contenus dans des vases, le traité de musique, et enfin les recherches de Mathématiques pures, tantôt me contentant de quelques remarques, tantôt poussant plus à fond l'analyse, et en tout cas cherchant à saisir sur le vif, avant ce qu'on pourrait appeler latlilude dogmatique de Descartes, quelques traits essentiels de sa pensée scientifique.

Kn novembre ou décemljre 1618, Beeckmann nvail interrogé Descartes sur la loi de la cluite des corps dans le vide. Son journal contieni deux réponses à la question : l'une, rédigée par Descartes lui-même, l'autre rédigét' par Beeckmann, d'après sa conversai ion avec le jeune Français. Il est tout naturel de se rei)(>rler d'abord à la pi"(^mière.

Puisque, dit en substance Descartes, on imagine à chaque instant s'ajouter une foice nouvelle qui entraîne la pierre dans sa chute, celle force ci'oîl de la même manièie (jue les lignes Iransverses (/ c, / f/, h /..., cl loules celles en nombre infini que l'on Iraceia eiilre celles-ci (fig. 1. Pour le démontrer, soil \o carré a I d c représentanl I»' premier miuimum de niouvemeiil ou le j)remier poinl de mouvement : les rectangles <l m <i }\ f o i h, elc.. f(ui)i('- (le deux, de trois,., carrés égaux, représenteront les foices du second, du Iroisièuie... minimum de mouvemeiU. La somme des Iriangles a l r. r /// f/, etc., situés au delà de la droite a r tend manift'stement vers zéro, ipiand nii choisit pour le minimiini (\o mouxcnieni nu cwviô de plus VA) plus i»elil. Par suite, (piand la luerre (oinbe de <i vei's h, les mouvements successifs (ou les forces (pii y corresjion- (\on\) sont entre eux connne les jiarallèles à h c comprises enire les côtés n h. n c du grand triangle. I^a partie / h esl parcourue tr(»is fois |)lus vile (pie la jiarlie n /, i^aree «pie la pierre est entraînée par une forc^ trois fois plus grande,

Fif. 1

ce qui résulte de ce que la surface i g c b vaut trois fois la surface a ( g (1).

J'ai résumé le texte, mais je n'ai rien changé, dans cette traduction rapide, ni à la suite des idées, ni au sens des expressions essentielles. Et alors il n'est vraiment pas exagéré de dire que la lecture de cette démonstration est quelque peu déconcertante. C'est l'espace parcouru, et non le temps, on Ta remarqué, qui est la variable indépendante ; et les fonctions que représentent les parallèles à h c sont les intensités successives du mouvement ; ce sont des forces, puis, à la fin, des vitesses. En somme Descartes, comme Galilée en 1604 (2), pose, dans le mouvement accéléré de la chute, la proportionnalité des vitesses aux espaces parcourus, ce qui après tout n'était pas absurde a priori. Puis il intègre les forces ou, ce qui revient au même pour lui, les vitesses ; il voit que la vitesse pour tout l'espace / b est trois fois plus grande que lu vitesse correspondant ii n f, ce qui lui donne pour la loi cherchée : de deux espaces consécutifs égaux, le second est parcouru dans trois fois moins de temps que le premier. (Vest du moins la forme sous laquelle nous retrou-

(1) .\(\. et T., t. X, p. 7.-).

(2) Cf. p. DriiKM : Kliuios sur I/'onnrd de Vinci. 3* sôrio : Les prédécesseurs (W (inlili'-e, eliaj). XXXI.

28 DESCARTES SA\ ANÏ

veroiis plusieurs fois l'énoncé sous sa plume. Il est à peine besoin de faire observer que cet énoncé ne revient nullement au môme que celui de la loi véritable, que Galilée connaissait, en dépit de sa mauvaise démonstration, dès 1604. Si Ton en doutait, il suffirait de constater que, si t et V sont les temps correspondants aux espaces e et 2c, on

devrait avoir pour Descartes V = — t, au lieu de /" = / v 2.

Mais qui ne sent, en lisant la démonstration de Descartes, qu'avec quelques changemenis dans le texte, et en conservant la même fisrure, comme à peu près les mêmes considérations mathématiques, on substituerait aisément des idées claires aux notions confuses, et à la conclusion inexacte, l'énoncé exact de la loi de la chute des corps dans le vide ? Il suffirait de voir dans la verticale ah Taxe des temps, et non plus des espaces, dans les horizontales les vitesses, enfin dans les aires a f y, f b c g, des quantités proportionnelles aux espaces parcourus, et l'on aboutirait clairement à cette conclusion que Tespace parcouru dans le deuxième instant est le triple du premier. G est au fond la démonstration que donnerii plus tard Galilée (i). iMais, ù suri)rise, c'est alors justement et exactement celle que Beeckmann rédige lui-même sur son Journal, pour transcrire celle qui s'est dégagée pour lui de son entretien avec Descartes (2) ! Est-ce donc que celui-ci, en exprimant lui-même sa propre pensée, l'aurait inconsciemment trahie au })oint de ne nous offrir qu'une série de confusions ? Ou bien tenons-nous dans celte rédaction la vraie pensée de Descartes, et est-ce Beeckmann (|iii Fa corrigée spontanément cl instinctivement, sans même voir (car il laurait notée) la différence des deux démonstrations ?

Si curieux ipie cela doive paraître, je n'hésite pas fi opter i^oiir cette dernière hypothèse.

Si on lit de près le Journal de Beeckmann, on est conduit à supposer (pie l;i bonne démonstration est donnée l»;n' celiii-ri. non pas comme due entièrement à Descartes, mais à la collal)oration des deux amis : l'auteur du Journal ayant fourni les i)rincipes physicpies, les conditions

(1) Cf. V. DruFM : Idem.

(2) Arl. cl T., t. X. p. 58.

concrètes du problème, Descartes la partie proprement mathématique.

Après avoir, en effet, exposé la suite cficlées très rigoureuses qui conduit à formuler la loi de la chute des corps dans le vide, Beeckmann dit bien : « Hœc ita demonstravit Mr Peron » (c'est-à-dire Descartes), mais il ajoute : « Cum ei ansam praelniissem rogando an possit quis scire quantum spacium res cadendo conficeret unica hora, cum scitur quantum conficiat duabus horis, ^ecinidi/m mea fundamenta (1), viz. quod semel movetur, semper movetur in vacuo, et supponendo inter terram et lapidem cadentem esse vacuum. » Descartes a donc eu à résoudre le problème d'après des données fournies par Beeckmann. Ces données se réduisaient-elles aux deux conditions ici énoncées ?... Au commencement de sa propre rédaction, Descartes dit : a In proposita quœstione ubi imaginatur singulis temporibus novam addi vim... » C'était assurément Beeckmann qui avait ainsi imaginé qu'à chaque moment du temps s'ajoute une force nouvelle. Dabord ce principe semble être un complément naturel de l'autre, <raprès lequel ce qui se meut dans le vide continue indéfiniment à se mouvoir ; mais il y a plus : en quelques lignes de son Journal qui précèdent la démonstration en question et où il ne nomme pas encore Descartes, Beeckmann s'exprime ainsi : « Si on sup])ose le vide, voici comment les choses tendent vers le centre de la terre ; au i)remier moment l'espace est ce qu'il peut être, étant donnée l'action de la terre : au second moment un nouveau mouvement de traction s'ajoute, de sorte que l'espace est double (\u premier : puis il est triple, etc. (2) » l'n renvoi placé à la fin de ces lignes y fait l)ien correspondre la démonstration qui suivra sur le Journal, mais la distribution du lout en deux morceaux séparés semble répondre à la distinction des données du j)roblème et de sa solution. Knfiii, s'il fallait une autre preuve que l'hypothèse imaginée, •connue dit Descartes, d'après laquelle il va Iraiter la quesli(in, ai)partenait bien à Beeckmann, ('"est (pie Descartes ne lardera pas, nous allons le voir dans un instant, à la reje-

']) r/osi moi riiiî .«-r.iilipne.

30 DESCAllTES SAVANT

1er, (lu moins en tant que la force nouvelle ajoutée à chaque moment était considérée comme constante.

Ainsi les [nttda)acnla étaient de Beeckmann. Et ce n'est ])as tout. Celui-ci, par sa manière de poser la question, ne donnait-il pas une indication que Descartes a eu grand tort de ne pas suivre ? 11 ne demandait pas quelles durées correspondent aux espaces successifs, mais bien 1 inverse, c'est-à-dire qu'il prenait le temps conmie variable indépendanle, —à cpioi il se conformait tout nalurellement luimême dans sa rédaction de la réjxinse de Descaries.

Alors qu'est-ce qui lui manquait donc i)our avoir, sans Descartes, la solution du i)rob]ème ? Il lui manquait l'idée du trianiile loriiié [nw les espaces qui correspondent aux moments infinitésimaux du temps, et de la représentation par des aires des espaces finis ])arcourus par le mobile : cela, il le trouvait dans les indications de Descartes. La déformation que celui-ci faisait subir aux données, intervertissant la signification des abscisses et des ordonnées, n'altérait en rien la figure ni le rapport des aires, où Beeckmann trouvait la réponse à sa question. L'énoncé Auquel aboutissait Descartes n'était pas le même que le sien, mais au |)remier abord, sans prendre le temps d'y réfléchir, on pouvait penser que les deux formules revenaient au même.

Ainsi, à lire attentivement le Journal de Beeckmann, il semble très probable que les rédactions différentes tles deux amis traduisent exactement 1(\'^ pensées respectives de l'un et de l'autre.

Mais nous avons à cet égard une inilre source d'informations dans les écrits idtérieurs (!»> Descartes. Nous savons déjà par les Coriitationes priratu- q\u\ \^GU de jours après l'entretien avec Beeckmann où nv.iit été traitée la (juestion de 'a chute des corps, les mêmes confusions persistent dans son esprit (.\d. et T., t. X, p. 210). Peu de jours, ce n'est encore rien. Mais ouvrons la Correspondance... Dans une lettre i\ Mersenne, du 8 octobre 1629, onze ans plus tard, par conséquent, répondant h une question sur le temps (jue met un pi^ndule écarté de sa position d'é(juilibre pmir y revenir. Descartes mesure lespace circulaire décrit par la longueur de la corde, et dit : u S'il faut un moment quand la corde est longue d'un pied, il faudra

- de moment pour la longueur 2 pieds, — de moment

pour 4 pieds, etc. » On reconnaît la loi à laquelle avait abouti sa démonstration de 1618. Mersenne d'ailleurs a quelque peine à comprendre et insiste. La réponse de Descartes (13 novembre) reproduit exactement l'ancienne démonstration, sauf que d'une part il manie plus décidément les indivisibles, mais que, d'autre part, par une inadvertance inexplicable, il substitue des parallèles verticales aux horizontales de la première figure, et rend ainsi les choses absolument incompréhensibles.

Un peu plus tard, pendant l'automne de 1631, comme Mersenne revient sur la question, Descartes revient encore sur ses anciennes conclusions, telles qu'il les avait énoncées plusieurs fois déjà. Mais il ne les croit plus exactes. Ce n'est pas seulement parce qu'elles supposaient toujours le vide, et cessaient d'être vraies dès qu'intervenait la résistance de l'air, ce qu'il a toujours pensé ; mais c'est désormais le postulat de la constance de la force venant s'ajouter à chaque moment qu'il croit pouvoir rejeter. « Gela répugne, dit-il, apertement aux lois de la Nature : car toutes les puissances naturelles agissent plus ou moins, selon que le sujet est plus ou moins disposé à recevoir leur action, et il est certain qu'une pierre n'est pas également disposée à recevoir un nouveau mouvement ou une augmentation de vitesse, lorsqu'elle se meut déjà fort vite, et lorsqu'elle se meut fort lentement (1). » Ainsi Descartes n'était pas resté longtemps attaché au principe fondamental d'oii découlait la démonstration de 1618.

La lettre de Mersenne, du 14 août 1634, vient jeter une dernière lumière sur la répugnance de' Descartes à l'égard du fameux postulat, en môme temps que sur ses dispositions anciennes, et en particulier sur la confusion qui s'était produite dans son esprit. Il s'agit de la lettre où il donne pour la première fois son appréciation sur les travaux de Galilée. Après avoir déclaré qu'il n'y a rien vu d'intéressant, il ajoute : « Je veux pourtant bien avouer que j'ai rencontré dans son livre quelques-unes de mes pensées, comme entre autres deux que je jK'nse vous

(I) Ad. .'l T., f. I", p. 2.30.

:^2 DEISCARTES SAVANT

avoir autrefois écrites. La première est que les espaces par (»Li passent les corps pesants, quand ils descendent, sont les uns aux autres comme les carrés du temps qu'ils emploient à descendre, c'est-à-dire <iue^ si une balle emploie trois inoments à descendre depuis A jusquà B, elle n'en emploiera qu'un à descendre depuis B jusqu'à C, etc., ce que je disais avec beaucoup de restrictions, car en effet il n'est jamais entièrement \Tai comme il pense le démontrer (1). »

N'est-on pas en droit de dire, après cette consultation, qu'il reste peu de doute sur le rôle des deux amis dans leur étude sur le problème de la chute des corps ? A Beeckmann revient l'honneur d'avoir posé nettement la question, et d'avoir énoncé les principes fondamentaux auxquels il ne restait plus qu'à ai)pliquer la démonstration mathématique de Descartes. Que 1 un et l'autre aient donné à leurs conclusions la forme que l'on sait, sans apercevoir la différence de leurs formules, cela n'a plus rieu d'étonnani pour (|iii a lu les dernières réflexions de Descartes de 1634.

Celte enquête nous [»ennel en outre de réi)()ndre plu? exactement qu'on ne l'a fait jusqu'ici à cette question : pourquoi Descartes, après l'essai de 1618, n'a-l-il jamais songé à pousser ])lus loin T'élude du problème de la chute des corps ? Paul Tannery en voyait la raison dans le tempérament de Descartes, qui répugnait à ne pas prendre la réalité entière avec son indivisible complexité, qui en particulier se refusait à faire abstraction de la résistance de l'air et à accepter, par abstraction, l'hypothèse du vide, à la possibilité duquel il ne croyait pas (2).

Bordas Demoulin, dans son désir de toujours voir Descartes en avance sur les découvertes de ses successeurs, prétentlait trouver chez lui cette affirmation, au sens où

(r Ad. ol T.. l. l'^''. p. 3(it. — r/est moi qui souligne. Plus tard, dans une It'Ifrp do frvritT KilH, adrossiV pn^hnbloinent à Mu>pms, il ônonce simplonuml. la vôribabk^ l<>i. Diuis la même letlro. d'ailloui's. il s'a^ppuie sur les travaux de Gulilé'e» relatifs à la forme parabolique de la trajectoire des projorlilos. Aurail-il. dans l'intervalle, reconnu son erreur ? En môme temps, peuUHre qu'il aurai!* en l'or/^asion de mieux apprécier quelqui* partie de l'onivre du savant italien ? [Ad. et T., t. III. p. G2Û, ()24, 630.]

(2; liev. de Mél. cl dr Morale, 189G, p. i7^'t88.

nous rentenclrions. aujourd'hui, que la pesanteur d'un corps n'est pas constante sur la surface du globe (tome II, p. 339-340;. L'explication est beaucoup plus simple. Descartes a accepté provisoirement de Beeckmann le principe de la permanence de la force qui, à chaque instant, donne une impulsion nouvelle : il ne tarde pas à y renoncer, et dès lors s'écroulent les résultats de ses premières recherches.

Au point de vue de l'histoire de la pensée scientifique, comment enfin apprécier ce qu'il y a de si intéressant et, semble-t-il au moins, de si original dans la partie mathématique de la démonstration de 1618 ? Descartes, pour son premier coup d'essai, apportait-il brusquement de luimême les méthodes impliquées dans cette simple représentation d'idées qu'a été son triangle ? Rien dans sa rédaction, pas plus que dans celle de Beeckmann, ne vient prouver que tout n'est pas sorti de son seul génie inventif...

Un mot de sa lettre à Beeckmann du 26 avril 1610 appelle pourtant notre attention : « Toi seul as secoué ma paresse et rappelé à ma mémoire mon érudition qui en était presque sortie (1)... » Descartes se reconnaissait donc, avant les incitations de son ami, une certaine érudition. De quelles lectures était-elle faite ? Il est assez difficile de se prononcer exactement.

Quoi qu'il en soit, Cantor, l'auteur des Vorlesiinffen (IR p. 130), et M. Diihem (Etudes sur Léonard de Vinci, 3* série, ch. XXXI / nous ont appris que, déjà au milieu du XV* siècle, Xicole Oresme utilisait, pour étudier la variation dune qualité, un système de coordonnées rectangulaires, longitude et latitude. La figure triangulaire, quanrl il s'agissait d'une qualité uniformément variée, servait à mesurer In variation totale de l'intensité de la ([ualité : et M. Dulieni a montré comment celle tradition avait pu se continuer à travers l'école d'dxford et celle de Paris ju.^qu'à Galilée lui-même qui, en fait, avait esquissé dès 160'i une démonstration semblable à celle de Descaries pour la chute des corps.

Jusqu'à Desrartes lui-même la filiation ê(hiq)pe, nviis

(1; A.l. et T., l. .\, p. 162.

3i DESCARTES SAVANT

il est tout de même du plus haut intérêt de constater que, quelle que soit la part d'invention de Descartes, à vingtdeux ans, dans sa première production mathématique, il ne fait, sans s'en douter peut-être, que se rattacher à une tradition déjà très ancienne ; et, d'autre part aussi nous savons bien que Kepler, dans sa Steveometria de 1615, maniait couramment les indivisibles.

Un second mémoire rédigé par Descaries vers la même époque (novembre ou décembre 1618) traite de la pression des liquides sur le fond des vases et de leur pesanteur. Le travail a l'aspect d'un 'traité complet présenté dans l'ordre qu'affectionnent les géomètres : quelques principes sont posés dabord comme postulats ou définitions, puis les propositions sont énoncées et démontrées, l'argumentation prenant sans cesse la forme syllogistique.

Les principes d'abord ont de quoi appeler notre attention :

La pesanteur d'un corps est proprement la force qui Tentrahie verticalement de haut en bas dans le premier instant du mouvement. Vn élément indispensable à l'appréciai ion de cette pesanteur est, dans le commencement imaginable du mouvement, la vitesse initiale. Ainsi, si un atome d'eau descend deux fois plus vite que deux atomes, il pèsera seul ct)mme les deux réunis.

Descartes donne assez nettement l'impression qu'il voit le problème de la comparaison des pesanteurs à travers celui de l'équilibre des machines. D'une part, en effet, c'est le premier déclanchement instantané qui lui importe, et d'autre part il va d'emblée à la considération du produit de la masse par la vitesse, se rangeant à la tradition aristotélicienne : — tradition qu'il reniera plus tard quand il voudrn donner la théorie définitive des machines, mais (jiii on somme se retrouvera toujours dans la notion fondamentale de sa Physique générale, je veux dire dans celle de la quantité de mouvement. Malgré les dénégations qu'il aurait \n\ trouver, à cet égard, dans la correspondance de

Descartes, en parllculier clans les critiques que celui-ci adresse à Galilée, Leibniz voudra voir l'origine du principe de la quantité du mouvement dans l'étude de la condition d'équilibre des machines. Il ne sera pas sans intérêt, ])our élucider le problème, que dès ses premiers tâtonnements Descaries se soit attaché en somme comme Galilée à la vieille formule aristotélicienne.

Quoi qu'il en soit, sur ces premières notions Descartes prétend établir les propositions suivantes :

Soient (fig. 2) les quatre vases A, B, G, D, de même

Fig. 2.

hauteur, de même i)oids quand ils sont vides, et de même surface de fond. Supposons dans B, G, D autant d'eau qu'ils peuvent en contenir, et dans A la même quantité d'eau que dans B :

1° A avec son eau pèse comme B avec la sienne •

2° La pesanteur de l'eau seule sur le fond de B est la même que celle de l'eau sur le fond de D, et plus grande que la pesanteur de l'eau sur le fond de A ; la même aussi que sur le fond de G ;

3*^ Le vase D avec l'eau ne pèse ni plus ni moins que G tout entier dans lequel plonge un corps solide E ;

4° Ge vase G tout entier pèse plus que B lout entier.

La première proposition est évidende. La seconde semble tout d'abord très remarquable à cette date, longtcm])? avant que Pascal énonce son fameux principe. .M. Diihem, dans une étude sur ce principe, publiée en 1905 ])ar la Revue (jénérale des Sciences, a ap|)elé ratteiilioii sur la statique de Slevin qui le contenait cxijlicitcniciil. et ofi Pascal en a très vraisemblablement puisé l'énoncé. Stevin élait Flamand : nous aurions pu dire n priori que ses travaux étaient connus de Bceckm;uin et deviner (jue celui-ci

avait au moins suggéré le principe à lJescarle<, mais les Coijitaliones pr'wativ nous ap])urlenl sur ce i»uint une cerlilucle. Elles nous disent, en effet, que Beeckmann a interrogé Descartes e Steiûw^ d après Stevin. Le début de lentretien est aisé à reconstituer : un imagine facilement Beeckmann tirant l'ouvrage de sa bibliothèque et demandant à Descaries, en lui désignant les passages relatifs à la pression des liquides sur le fond des vases : qu'eu i>ensezvous ? Rien de cela ne se laisse même entrevoir dans la rédaction du mémoire, où le principe en question semble découler des définitions et des postulats de Descartes par une curieuse démonstration, qui, si je la comprends bien, fait dépendre la pression d'une n.iolécule de la surface sur une molécule du fond, de la distance- verticale de leurs positions, qui par conséquent ma tout l'air d'impliquer le principe même «pi'il fuil démontrer. Mais peu importe. Descartes oublie, en rédigeant son mémoire, que la proposition lui vient de Stevin tout simjjlement parce (pi'il croit en avoir trouvé une démonstration, f.e n'est ]»as le fait de formuler une vérité qui compte pour lui : c'est le fait de la démontrer, de la comprendre, c!e rex]diquer : bien de^ fois, je crois, on devra s'en souvenir <lans Texamen de ses œuvres. Lui-même, d'ailleurs, n'a-t-i! ])as écrit dans ses notes intimes : » Juvenis, oblatis ingeniosis invonlis, quœrebam ipse per me possemne invenire. etiam non lecto auctore (1). »

Je ne m'arrêterai pas à la suite étrange d'idées par lesquelles Descartes essaie de rendre évidente la troisième proposition qui nous heurte si vivement, pas ])lus qu';iux raisons pour lesquelles les choses se passent aul rement ('i* proj^osition) (piand on compare C et B, au lieu de D et C : tout ce qu'on devine h travers l'argumentation de Descartes, c'est que, se re|xirtant à sa définition de la pesanteur, il croit que la vitesse initiale i\es molécules de la surface, lo f(Uid étant brusquement enlevé, ne serait pas la même d;ins C et B, landis qu'elle le serait dans J) et C

Les dernières lignes de Descartes nous suggèrent enfin une remarque qui peut servir à l'éluile «le son caractère. La question à laquelle réi)ond ce traité i] été \H^sée la veille

(1) Ad. et T., 1. X, p. 2U.

par Beeckmann. Descartes, qui donnera tant de preuves de son amour pour la méditation lente, pour le travail entrecoupé de flânerie, a trouvé le moyen de rédiger son mémoire de forme si parfaite en moins de vingt-quatre heures. La raison ? il nous la dit lui-même : il n'était pas satisfait des réponses quil avait faites la veille : son amour-i)ropre en souffrait, il avait hàle de donner à son ami une meilleure opinion de lui-même... C"est ainsi que plus tard nous le verrons également manquer à ses plus chères habitudes pour résoudre en hâte les questions posées par Mersenne toutes les fois que son amour-propre sera en jeu...

Je dirai peu de choses du Traité de Musique, Compendîum musicœ, rédigé par Descartes et offert à son ami Beeckmann au commencement de janvier 1G19. Xous retrouvons ici dès le début une série de principes, sur lesquels s'appuieront toutes 1-es démonstrations : ils résument les conciliions auxquelles -doivent satisfaire les objets des sens pour être perçus avec plaisir : pas de disproportion entre l'objet et ]e sens lui-même : l'objet doit tomber sous le sens fa^cilement et sans confusion : la facilité de In perception est liée à une faible différence des parties ou, ce qui revient au même, à la proportion des parties ; il faut de la variété, et-c... De.scartes procède ensuite a priori pour la division de la corde vibrante en 2, 3, 5 parties égales, formant avec ces parties des fractions —, —, -j---^

parmi lesquelles il choisit celles qui correspondent à des consonances.

Puis il étudie successivement les questions qui se trouvent dans tous les traités classiques. Il est infiniment pmbable qu'il emprunte le fond de son travail à Zarlino, qu'il cite d ailleurs, mais en arrangeant à sa manière, et surtmit en substituant ses raisons aux siennes. Il dit à propos des cadences : « Zarlino les énumère abondamment, et explique dans ses tal)les quelJ^^ consonanc-es peuvent élre posées après une autre quelcoiM^iiie — « quonmi omnium

raliones nonnullas aflerl ; sed plures opinor, et magis plausibiles ex noslris fundamenlis possunt deduci (1). »

EL certainement tout ce qu'il énonce devient sa propriété, devenant intelligible à ses yeux par ses propres déductions. — A la fîn du traité, Descartes insiste modeslenient sur riniperfëction de son œuvre ; mais pourtant plus tard, quand il croira que Beeckmann a pu s'en dire lui-même l'auteur, il se fâchera tout rouge, et il faudra que tout malentendu sur ce i)oint soit dissi})é pour que leur amitié renaisse sans. nuage.

Reste à étudier les essais proprement mathématiques de l'hiver 1618-1G19. Cette fois, nous n'avons pas de traité complet rédigé par Descartes, mais seulement ses lettres à Beeckmann et quelques passages des Cogitationcs consacrés à ses recherches mathématiques.

Le 26 mars 1619, il annonce à son ami, comme les ayant trouvées en six jours, quatre démonstrations nouvelles et remarqual)les, pour lesquelles il utilise ses compas. lî s'agit, dit-il, du fameux problème de la division d'un angle en trois parties égales, ou même en un nombre quelcon- ({ue de parties égales ; puis de trois types d'équations cubiques, chacun avec toutes les variétés de signes qu'il comporte, c'est-à-dire en tout de treize cas distincts pour les équations communes (entendons les équations du second degré), à savoir :

entre z et (TX + ^^'« entre z et 0'/ — ON.

entre xr et ON — ()7.

Remorquons que Descartes emploie ici les notations » cossiques » (2j, telles qu'elles étaient en usage surtout chez les mathématiciens .'lUomands du xv!"* siècle et du ( tmmeuciMiKMil (hi wiT. 11 est vraisemb];il)le, comme l'a

(1) Ad. ol T., t. \, p. 13-4.

(•2l En plarn des car.irU'Tos r(^pr('sont»''s ici par j. x et t. Desciirlo.s se sort de signes un peu diffcrcnl>. mais (]ui ne sont plus i:-.ilcs aujourd'hui en typographie.

observé M. Enestrôm dans ses notes de la grande édition, que Descartes les avait puisées dans les ouvrages du Jésuite Glavius, qui devaient faire partie de la bibliothèque du Collège des Jésuites de La Flèche. C'est un système de notations où, comme chez Diophante, un caractère spécial désigne chacune uies trois premières puissances de linconnue ou de la racine. N est la racine elle-même, la chose, Cosa, en italien : z en désigne le carré ; t. le cube, zz la 4^ puissance, etc. La lettre 0 introduite ici par Descartes désigne un coefficient quelconque.

En suivant le texte de Descartes (que j'ai abrégé ci-dessus) et en employant nos notations, on voit sans peine que les treize cas distingués par lui sont donnés par le tableau suivant :

œ^ = ±: px ± ^,

œ^ = ±: px^ ± (?,

œ^ =: + px'^ d: QX ±: r,

d'où il faut retrancher les trois types obtenus avec tous les signes — dans le second membre ; car Descartes ne manie, à ce moment du moins, que des quantités essentiellement positives.

Quant aux démonstrations auxquelles il fait allusion, les notes intimes ou Cogitationes privalx nous permettent de les connaître.

Un angle est aisément divisé en trois parties égales par un compas à quatre branches construit de telle manière que les trois angles formés par elles restent toujours

Fiu'. J.

DESCAirrES S.WANT

égaux, quelle que soil rouyerlure -qu'un donne aux branches extrêmes. Jl suffit pour cela que les quatre longueurs a h, a e, a d, a {j étant égales et les tiges b c, c d^ <* f. f f/, pouvant tourner autour des points h, rf, e, f/, et se coui>ant deux à deux sur les branches internes du rompas, soient aussi égales aux premières longueurs (fig. 3). — La figure formée par les deux losanges monire inimédialefiîe«t fégahté permanente des trois angles, iJe sorte qu'on n'aura quà faire coïncider l'angle h a ij avec un angle donné pour résoudre le problème de la trisection de langle. Un compas analogue, mais naturellement plus coml)liqué, servirait à la division d'un angle en un nombre quelconque de parties égales.

Un autre comi)as sert à la résolution des équations cubiques ; c'est celui même qui sera décrit plus tard au

Kit-, 'i.

début ilu livre II de la Gcoinéirlc. Soil d'ig. '1} Vangle [onué par les deux branches a i\ a y. Au p(dnt h de a y est fixée perpendiculairement à ce côté une règle (pu vieiil rencontrer le petit côté au poinl varial)le c.

Quand on ouvre le compas, le joini c se déplace dans le sens de la flèche F et ]U)iisse iine règle c <} perj)endiculaire k a X.

En même temj)s, celle-ci déjilace, d.ms le stMis de l;i tlèche F\ une règle d <\ perpendiculaire à (i y. laipielie déplace dans le sens* de la flèche F une règle cf peri)endiculaire à a .r, et ainsi de suite.

Quoique rien ne l'indique dans la lellre du '2i\ m;irs. on ne peut douter que ce compas avait déjà servi à résoudre le problème de l'insertion de deux moyennes proportionnelles et même de 77 moyennes proporlionnelles entre deux longueurs données ; Descaries le dira plus tard dans

sa Géométrie. Mais la solution est si évidente que la pensée de ce problème avait été certainement liée dans son esprit à l'invention du compas. 11 saute aux yeux en effet que Ton a

at) ac ad ae

ac ad ~~ ae af

S'il s'agit de trouver deux moyennes proportionnelles entre deux longueurs A et B, on ouvrira le compas de telle manière que a c re])résente B à l'échelle où a b représente A.

Quant à la résolution des équations culuques, il est difficile de se reconnaître exactement dans les Cogitationes privatœ, à moins d'admettre assez souvent des erreurs efc des traces d'inexpérience qui surprennent, mais qu'il faut très probablement accepter. Il n'y a en somme de vraiment clair que le cas où l'équation est de la forme x^ = x + N. Descartes, en prenant a b pour unité, et a e pour la racine x, remarque que a e = œ^ ce qui est très facile à établir, et que dès lors il suffit d'ouvrir le compas jusqu'à ce que c e soit égal à N, pour que a c soit la valeur cherchée de l'inconnue. Mais déjà s'il s'agit du cas plus général œ^ = p X +N, Descartes semble dire qu'en divisant tout par p on peut d'abord résoudre œ^ = j: -f N', puis multiplier x -f- N' par p ?

Pour le type d'équation œ^ = ]) x- + X. même erreur dans l'affirmation (luon peut se ramener au cas œ^ =ci3?2| \' Kn outre, ici il faut renoncer à trouver dans les indications des Cogitationes la solution du cas particulier. Et enfin, lorsqu'il s'agit du cas le plus général, c'est-à-dire de l'équation complète, Descartes fait une série de calculs revenant au fond, comme l'a montré M- Eneslrôm, à la transforma lion x = y ± 1 effectuée sur une éqiirdion où le coefficient de x^ a été d'abord ramené à être ± 3, pour aboutir à la disparition du terme en x^. Il se ramène ainsi au type x^ = px + N, cest-à-dire j^oiir lui à cet autre x^ ^ x -\' N déjà résolu.

En dehors de ces types généraux d'équations cubiques se trouve dans ses notes lexemple particulier :

OU

Il écrit ou ou

ce qui est très bien, et enfin

^^•^ = (v^28"-^ + l)' ce qui est incompréhensible (1).

Si on laisse de côté ce qui dans ces essais est manifestement inexact, nous pouvons en dégager les remarques suivantes :

En Algèbre, Descartes se rattache plutôt à la tradition cossique. Il n'a probablement encore lu ni A^ièto ni Cardan. Un point appelle pourtant l'attention : pour résoudre l'équation cul)iqiie la plus générale, il cherche (peu importe la complication ou l'inexpérience dont témoigne son procédé) à faire disparaître le terme du second degré. Or, c'était là, peut-êlre sans le savoir, suivre les traces de Viète et de Cardan.

Mais ce qui frappe le i)lus dans ces recherches, c'est à quel point Descartes s'éloigne des méthodes algébriques qui aboutissent à des formules numériques calculables.

A part l'exemple particulier cité plus haul. qui se trouve comme perdu au milieu de recherches d'un tout autre cnractère, Descartes veut trouver pour l'inconnue non pas un nombre calculable à l'aide d'une formule, mais une longueur. S'il s'agissait d'équations du second degré, on devine qu"il saurait les résoudre i>ar des conslriictions où n'interviendraient cpie la règle et le compas. Dès qu'on dépasse le second degré, ces instruments simples ne suffisent plus. Ou';Y cela ne tienne : on aura recours à d'autres

d) Pour tonl en qui pnVôdo rclntivcmcnt nux équations cubiques, vf.ir Ad. et T., t. X, p. 23'j-2ÎC..

instruments, à de nouveaux compas ; les nouvelles lignes qu'ils permettront de décrire serviront à résoudre les nouveaux problèmes. Et, de fait, on le voit déjà dans les Cogitationes privatœ, Descartes parle des lignes qui décrivent les points d, /..., de son compas (1), — lignes moins simples que le cercle, mais qu'il n'y a, dit-il, aucune raison de rejeter hors de la Géométrie, sous prétexte qu'elles ne sont pas fournies par le compas ordinaire. Quelques pages avant (232-3), Descartes avait déjà décrit des compas permettant de décrire une ellipse, comme intersection d'un plan et d'une surface de révolution conique ou cylindrique...

La suite de la lettre à Beeckmann, du 26 mars, est à cet égard assez significative. Après une allusion à une étude de certains radicaux composés, qui n'est qu'à l'état de projet, et dont il paraît difficile de préciser la nature. Descartes confie à son ami sa conception d'une science qui lui tient surtout à cœur, et si grandiose qu'elle épuiserait en somme l'objet intégral de la Géométrie (adeo ut pêne nihil in geometria supersit inveniendum). Cette science, qui constitue « une œuvre infinie, qui ne saurait être l'œuvre d'un seul, œuvre incroyablement ambitieuse, mais où il a le sentiment d'avoir aperçu, à travers un chaos obscur, il ne sait quelle lueur qui lui permettra de dissiper les ténèbres les plus épaisses », cette science quelle est-elle donc ? quel en est l'objet ?... C'est une sorte de classification complète de toutes les questions relatives à la quantité, selon leur nature, leur solution devant chaque fois y être adoptée. « Comme en Arithmétique certains problèmes se résolvent par des nombres rationnels, d'autres par des nombres irrationnels, et d'autres enfin qu'on I)eut seulement imaginer échappent à toute solution, de môme dans le domaine de la quantité continue. Descartes espère le prouver, certains problèmes peuvent se résoudre, avec la droite et la circonférence, d'autres ne le peuvent qu'à l'aide d'autres lignes courbes issues d'un mouvement unique, et décrites avec des compas nouvenux, (jifil pense n'être ni moins ])récis ni moins géométricpies (pie le compas ordinaire ; et d'autres enfin ne peuvent se

(1) Ad. et T., I. X, p. 235.

Il DESC\RTES SAVANT

résoudre qu'à laide de courbes issues de deux mouvements indépendants, et qui ne sauraient exister qu'en ima-, gination, comme la quadratrice bien connue (li. » Descaries croit p«)Uvoir faire rentrer dans ces trois catégories toutes les questions imaginables et espère montrer quelles sont celles qui correspondeat à chaque groupe.

Voici donc posé d'emblée, dès le mois de mars 1619, le problème qui se trouvera complètement traité en 1637 de la classification des lignes apportant la solution de toutes les questions relatives à la quantité continue, cestà-dire, daprès le texte de Descartes, de toutes les questions qui constitueront à ses yeux la Géométrie. Quand on se demandera ce qu'a voulu être au juste la Géométrie de Descartes, il faudra se rappeler que dès sa jeunesse, et avant renonciation de sa Méthode, elle était simplement l'ensemble des problèmes concernant la quantité continue. Et quant aux moyens par lesquels doit procéder cette sorte d'Algèbre du continu, on se rappellera que dès le mois de mars 1619 ils consistaient exclusivement en lignes décrites par des compas appropriés, dont une pointe trace toujours dans le plan un lieu géométrique proprement dit. pourvu (jue la définition quantitative des point- du lion ne fasse intervenir qu'un seul mouvement.

Ainsi Descartes, au moment oii allait s'accomplir sa vingt-troisième année, avant la méditation qui. dans le fameux poêle, devait aboutir à la confection de sa Méthode, annonrait dans ses traits essentiels ce que devait être Idl.tjel princii-^^il de sa Géométrie. Les différences porteront plus tard sur deux points : l'attention de Descartes sera plus attirée sur le caractère particulier des coniques, et sur la catégorie qu'elles forment- entre la circonférence et les autres lignes géométriques. — et d'autre part s'introduira, comme clé naturelle ile la classification des courbes, la notion de leur degré. Mais déjà, en tout cas, avec la première vision plus ou moins lointaine de sa solution future, s'exprime naïvement sa tendance à voir grand, à rêver dœuvre complète, totale ; à chercher des solutions exhaustives, à concevoir ses travaux comme devant réaliser la scicno* intégrale et définitive...

(ij Aô. cl T.. t. X. p. l.")?.

Abstraction faite de cette teinte ambitieuse qui colorera tgutes ses ielées et sera un des traits permanents de son caractère, à qui donc, pour le fond même de ses pensées, se rattachait ainsi Descartes ? N'en, doutons pas, c'est aux Grecs, — ou plus précisément aux traditions de la Géométrie classique de la grande époque, et qu'il famt soigneusement distinguer, d'une part de certaines tendances des P\'tliagoriciens, d'autre part et surtout de la tradition représentée par Diopliante. Au père Ciermaas qui, avec 'une politesse exagérée, voudra voir plus tard dans sa Géométrie la Mathématique elle-même, la Mathématique totale, Descartes répondra (T., en relevant lexagération, qu'on ne saurait trouver dans son 'livre aucune de ces questions traitant de Tordre et de la mesure (c'està-dire qivi sont des questions mathématiques) dont Diophante nous offre l'exemple. — Et comment enfin connaîtil cette Géométrie grecque de l'école-classique ? En 1588 a paru la traduction par Commandin de, la collection Pappus, qui. sous une forme un peu désordonnée, faisait connaître une foule de problèmes traités par les Anciens, et donnait Jes solutions souvent nombreuses de telle ou telle question : trisection de langle, construction de deux moyennes proportionnelles, etc. — On y trouvait la description de compas utilisés par tels ou tels géomètres, des lignes auxiliaires qu'ils étaient amenés à tracer, comme la conchoïde de Nicomède, etc. — Descartes a lu Pappuss dont il citera le nom dans les Régula.' (iv^ règle), à côté de celui de Diophante, comme personnifiant sans doute, \mr le contenu de sa collection historique, l'autre tendance de la Mathématique, celle à laquelle il se rattache (2,.

11 est à peine nécessaire de rappeler comment s'opposent ces deux tendances. L'Algèbre, selon la tradition de Diophante, est une sorte de prolongement de l'Arithmétique : les solutions des équations sont des valeurs numériquement calcul.ables à l'aide de formules. Dans l'autre tradition, ce son! des longueurs qu'il faut conslruire. Ainsi

(I, A.l. ('[ T., t. II, p. 70.

(2) Il avait rertaineinent lu aussi, iiuus lavons (h'-jù dil, les ouvrages de Clnviiis. Or, la dcuxiù'me grande édition de ceux-ci, datant de IGll, donnai! l<.s principaux exemples de l'Analyse des Grecs.

les racines de l'équation du second degré peuvent d'un côté se calculer par une suite d'opérations qui aboutissent d'ailleurs à des résultats approchés. Chez les Grecs, bien qu'ils fussent assurément capables d'effectuer ces suites de calculs, le problème se résolvait par la construction de deux longueurs dont on connaît la somme ou la différence et le produit. En particulier, la racine de l'équation A'^ = 2 a^ que résout le problème de la duplication du carré, s'obtient si l'on veut par la suite des calculs fournissant la racine carrée de 2 avec telle approximation qu'on voudra ; — mais elle se représente aussi, comme Platon le montre dans le Menon, par la diagonale du carré dont le côté est a. Et de même pour les équations cubiques. Les grands géomètres grecs n'auraient certainement pas été embarrassés pour calculer avec telle approximation souhaitée la racine de l'équation .1^ = 2a^. Mais, quand s'est i)osé à son tour le fameux problème de la duplication du cube, ils ont tous préféré construire la longueur qui devait être le côté du nouveau cube. Ramenant la question à l'insertion de deux moyennes proportionnelles entre a et 2 fl, et renonçant forcément i\ la résoudre à l'aide de la droite et du cercle, ils construisaient de nouvelles lignes plus ou moins compliquées devant servir à déterminer les longueurs cherchées. Et ainsi de suite... Cette science de la quantité continue, qui n'est autre chose en somme que le TÔTTo; àvaX'jôijLîvo; dont parle Pappus, ou plus simplement, comme nous disons, et comme disait déjà Descartes, 1 Analyse des anciens, est bien celle à laquelle se rattache déjà en 1619 et se rattachera loujours Descartes. Seulement elle im|)lique un l;nigage, des notations, et des transformations quantitatives qu'il simplifiera bientôt, rendant cette analyse infiniment plus aisée à manier. Car nous voici arrivés prescjuc au moment où Descartes, de retour d'un voyage à Francfort, va choisir ses quartiers d'hiver à l hu. ou loiil près d'IHm, et prendre la grave décision de chercher désormais en lui-même les fondements sur lesquels il va tenter de rebâtir l'édifice entier de la Science humaine.