L ŒUVRE DE DESCARTES PENDANT L'HIVER

Specimina de Lipslorp une importante confirmation. Parlant des entretiei>s queut Descartes à Ulm, c'est-à-dire pendant rhiver 1619-1620, avec le mathématicien Faulhaber, Lipstorp nous apprend que Descartes lui exposa son procédé général de coaslruction à l'aide d^une parabole de tous les problèmes solides qui se ramènent à des équations du 3^ ou du 4= de^Té, — procédé, dit Lipstorp, qu'il fit connaître plus tard dans sa Géométrie {i). Nous savons d'ailleurs par le Journal de Beeckmann que Descartes devait indiquer également ce procédé à son ami, en 1629, en même temps que quelques autres échantillons des découvertes qu'il avait faites depuis leur séparation, en 1619 (2). Les deux rédactions, celle de Beeckmann en 1629 et celle de Descartes en 1637, donnent exactement la même construction des racines par lintersection d'un cercle et d'une parabole simple. Le Journal de Beeckmann n'en fournit aucune démonstration ; la Géométrie en donne une vérification par le Calcul. Mais pas plus ici que là nous ne trouvons la moindre indication sur la manière dont Descartes a été conduit à sa solution.

Peut-être n'est-il pas très difficile de le deviner en se reportant à la direction que suivait sa pensée l'année précédente. Nous l'avons vu en effet porter manifestement son attention sur l'Analyse Géométrique des Anciens, telle qu'il pouvait la trouver exposée dans Pappus, en particulier sur les problèmes classiques de la trisection de l'angle, l'insertion de deux moyennes proportionnelles entre deux longueurs données, et sur la solution de ces problèmes par l'intersection de certaines courbes. Chose curieuse, nous ne l'avions pas vu, quand il songeait à la fameuse classification des problèmes, et par conséquent des courbes elles-mêmes, fixer son attention sur les coniques. Dans sa lettre du 26 mars 1619 à Beeckmann, résumant sa conception grandiose, il distinguait : i° les questions auxquelles suffisent la règle et le compas ordinaire, c'est-xi-dire la droite et le cercle ; 2° celles qui ont besoin de courbes décrites à laide de nouveaux compas, et tout

(1) Sppr'nnina pliilosaplilx carlesianœ, p. 80. Voir Ad. cl T., t. X, p. 253.

^•2) .VI. el T., t. X, p. 3it.

aussi géométriques les unes que les autres, pourvu quelles fussent issues d'un mouvement unique ;3° les problèmes à la solution desquels sont nécessaires des courbes non plus géométriques, mais seulement imaginaires, comme la quadratrice, issues de deux mouvements indépendants. Descartes ne songeait pas à subdiviser le second groupe en deux, dont le premier eût compris les lignes les plus simples après la circonférence, c'est-à-dire les sections du cône. 11 faut dire que Pappus, justement à Toccasiôn des problèmes solides tant étudiés par les anciens, insiste sur les courbes plus ou moins ingénieuses, comme la conchoïde de Nicomède, sur les instruments servant à résoudre mécaniquement les questions les plus importantes, — tel le mésolabe d'Eratosthène, — beaucoup plus que sur la solution que fournissait l'emploi des coniques. Clavius, dont les œuvres ont été certainement dans les mains de Descartes, imitait Pappus en ce sens que, pour les deux moyennes proportionnelles, par exemple, il ne donnait que les solutions obtenues par des courbes spéciales, les jugeant plus intéressantes que les solutions par les coniques. Et par là peut s'expliquer que l'attention de Descartes ait été peu attirée d'abord sur le rôle possible des coniques dans l'étude des problèmes solides. Du moins Clavius, d'après Eutocius, énonçait, sans s'y arrêter, les résultats' qu'obtenait Menechme, dans la recberche des deux moyennes, par l'intersection d'une parabole et dune aulrr c()ui((ue de définition assez simple. Cela aurait suffi à la rigueur pour donner t(M ou tard à Desr.arlo? le désir d'imiter le procédé,' quand, au lieu de l'équation .r'< = A', qui est au fond du i)roblème des deux moyennes, il voudrai! étudier plus généralemeni léquation générale du G*" degré. M;iis nous savons aussi que Descartes a lu Apollonius et Arcbimède, à une date difficile à fixer. Le Co)nmrntnirr d'Eutocius accompagnnit les vieilles éditions d'Arcbiuu'Mle (comme celle de Bàle, de 1544}, et il est bien possible que la lecture de ce Commentaire doive se placer entre le séjour à Bréda et le recueillement dans « le poêle », orientant décidément Descartes plus directement encore que les suggestions de Pappus ou de Clavius vers l'emploi des coniques pour la solution des problèmes solides. Or, (juand il s'agissait do rtMjnnlion (Mibique simple.

l'œuvre de descartes pendant lhiver 1619-1620 77

x^ = a'^ h telle qu'elle se présentait dans le problème des

deux moyennes, que faisaient les anciens ? Ils prenaient

a X une deuxième inconnue u. défmie par la relation — =-,

ca ij

ou ./;2= a ï/v^et ils se considéraient comme ayant à résou-

d oc y dre le système —= - = v, c'est-à-dire à chercher les

deux longueurs moyennes proportionnelles entre a et h. Pour cela enfm, un Menechme n'hésitait pas à considérer d'une part la parabole dont les ordonnées sont liées aux abscisses par la relation x'^ ^= a y (que les Grecs énonçaient à leur manière, peu importe, ici), puis ou bien l'autre parabole b x = z/^, ou bien l'hyperbole très simple X y = ah. Les livres classiques d'Apollonius sur les coniques faisaient pour les Grecs un jeu de ces correspondances de lignes géométriques aux relations quantitatives caractérisant les points dont elles étaient les lieux.

Tout naturellement Descartes pouvait imiter cette méthode de très près, pour l'équation du 4* degré ou pour celle du 3^ préalablement multipliée par Tinconnue, l'une ou l'autre étant d'abord privée de son second terme (Descartes en 1619, nous l'avons vu, commençait, pour l'équation générale du 3* degré, par faire disparaître le- terme on .r^ ; c'est là un i»rocédé qu'il avait certainement assez vite généralisé). Soit donc Vé(\\mi\on œ^-{-px'^-\-qx-\-r=0. Comme les anciens, il n'avait qu'à poser

ce qui l'amenait tout de suite, comme Menechme, à parler de la parabole qui correspond à cette relation. L'équation proposée devenait

y'*' + py + qx -\- r = o. (2).

Descartes pouvait la remplacer par la combinaison si simple des deux équations (1) et (2)

^^ ~\- U'- ~\- QJO -\- (P — 1 ' y -{-r = 0 ou

/i* désignant la quantité connue

La parabole étant déjà tracée, Descartes pouvait-il ne pas reconnaître immédiatement dans cette dernière équation celle qui caractérise la circonférence dont le centre

est aux distances — -^ et — — de Taxe de la parabole et de

la tangente au sommet, le rayon étant V -j-\- - — -,

X"était-ce pas au moins aussi simple pour lui qu'il l'était pour Menechme, la même parabole étant tracée, de reconnaître ensuite dans l'autre relation l'hyperbole équilatère ou la seconde parabole ? Je ne crois pas qu'il puisse y avoir de doute sur ce point, d'autant que le cercle ainsi défini est justement celui qu'indique Descartes, soit dans la rédaction de Beeckmann, soit dans la Géométrie. Il va sans dire en outre que Téquation du 3* degré sans second terme se ramène immédiatement au cas i)récédent si on multiplie tous ses termes par x. Et ainsi a dû se trouver résolu pour Descartes le fameux problème, sans quil eût fait autre chose que de suivre pas à pas l'exemple des Grecs.

Mais, dira-t-on, c'était donc déjà la Géométrie Analytique constituée dans la pensée de Descartes ? Oui et non. Oui, puisqu'il y a ici correspondance entre des lignes et certaines relations quantitatives données, et que c'est là en somme l'essentiel de la Géométrie Analytique. Mais on est ici dans des conditions i)articulières (u'i certaines droites jouent un rôle spécial dans telle ou telle courbe <"onnue et déjà étudiée (axe ou tangente au sonnnet d'une ci»niciue, diamètre d'un cercle) : la propriété caractéristique de la courbe s'est trouvée s'exprimer simplement à l'aide de longueurs parallèlos à ces droites. C'est en tous cas dans de telles conditions que Descartes avait certainement l'impression de ne dépasser en rien, sauf |>ar les simplifications déjà indi(pjées du langage, la Méthode de l'Analyse des Grecs. 11 y aura tout de même un progrès quand plus tard, syslématiquemenl, à jtn^pos de n'importe quel ]^roblème à résoudre, Descartes décidera une fois pour toutes de rapporter les points de toutes les courbes, connues ou clierchées, à ceux dune droite, comme il dira lui-même,

l'œuvre de descartes pendant l'hiver 1619-1620 7i9

sauf à. introduire une deuxième variable, et à faire correspondre à toutes ces courbes des équations dépendant d'un môme système de coordonnées. Or, cette méthode-là, la véritable géométrie analytique, dont Descartes exposera le principe dans toute sa généralité dans Je second livre de sa Géométrie, ne datera que du jour où Golius lui donnera l'occasion, en 1631, de s'attaquer au fameux problème dfi Pappus. De ce moment aussi datera la solution de tous les problèmes généraux qui s'y rapportent, en particulier du problème des tangentes. Le fait que Descartes n'en dit pas un mot à son ami Beeckmann, en 1629, quand il se plaît à lui montrer des échantillons de ses plus belles découvertes, — rend notre affirmation au moins très vraisemblable.

Une lettre à Mersenne a pu donner lieu à un malentendu. Le 29 juin 1638, Descartes, après avoir parlé de la correction qu'il a dû faire subir à la méthode de Fermât pour les tangentes, ajoute que, même ainsi transformée, elle est loin de valoir la sienne : puis il déclare : « Il ne doit pas se persuader que je change d'avis lorsque je l'aurai mieux comprise ; car je ne croy pas la pouvoir entendre mieux que je fais. Et je puis dire avec vérité que je l'ai sceue vingt ans devant que d'avoir son escrit, bien que je, ne m'en sois jamais estimé beaucoup plus sçavant, n'y n'aye creu qu'elle méritast tant de louanges qu'il luy en donne (1). » Il est manifeste que Descartes parle ici de ce que devient la règle de Fermât quand il Ta modifiée, comme il l'a nettement indiqué dans sa lettre à Hardy (2), — et non pas de sa Méthode à lui, de celle qu'il expose dans sa Géoïnctrie, et qu'il continue à trouver infiniment fneilleure. M. Adam s'est donc trompé lorsque, dans ce lémoig-nage de Descaries, il a vu la preuve que Descartes tout jeune était déjà en possession de sa Méthode pour trouver les tangentes aux courbes (3). Celle-ci suppose établi le princi|)e le plus général qui caractérise vraiment la Géométrie Analytique, et posée une fois pour toutes ridée de la correspondance des courbes aux équations liant deux indéterminées.

Le texte de l;i lottnî à Mersenne, et plus encore le détail

(1) Ad. el T., t. XI, p. 178.

(2) /(/., t. XI, p. 169.

(3) /t/., I. Ml, p. 208.

80 DESCAKTES SA\A\T

môme de la règle de Fermât corrigée, tel (iii'il est donné dans la lettre à Hardy, sufdsent à dissiper tout malentendu .

En mérne tem])s, nous apprenons par là que de bonne Iieure Descartes avait conçu une méthode simple pour la construction des tangentes. Les mots « plus de vingt ans devant... » pris à la lettre nous renverraient à 1617 ou 1618... .Mais il paraîtrait alors invraisemblable que le Journal de Beeckmann de 1618-i619 n'en dît rien. Il est beaucoup plus naturel de supposer ici une très légère exagération de Descartes, qui, à distance, le ferait anticiper quelque peu sur la véritable date, et de reporter celle-ci à l'hiver de d619-1620. Très probaldement (nous avons déjà remarqué que son attention élaii wlors attirée sur les coniques) c'est sur Tellipse ou rh\|)erbole, ou mieux sans doute sur la parabole simple, (|u'il s'était essayé. Et il est aisé de refaire son raisonnement et ses calculs, en les calquant sur ceux mêmes qu'expose Descartes dans sa lettre à Hardy : i! suffit en somme de remidacer la parabole cubique dont a ]>arlé Fermai par la ]>arabole ordinaire, c'est-à-dire l'exposant 3 par l'exposant 2.

(( Soit la parabole A B D, sur laquelle le point B est donné. Je fais l'nrdoimée B C = ?>, et A C ^ c Ondemîinde de trouver sur le diamètre un point E tel (pu^ l;^ corde E B coupe la courbe en un ;nilre ]»()îii1 I), (i<.nf l'ordonnée D F

soit, par exemide, à B (] diiiis un rapport—. Posons

E G = //, C F — (*. On a évidemment, par l;i similitude des triangles E G B, E F D,

La pi'npriélé caractéristiipie de la courbe étant ici (jue les carrés des tirdonnées B C, I) 1-' sont cidre eux connut; A G et A F, nous avons aussi

ou c («^^ -\-2 a c -f e^) = a'^ ic + r)

ou 2 a c e -\- c e^ == a^ e

ou enfin 2 n c -{- c e =^ a'^.

l'œuvre de descartes pendant l'hiver 1619-1620 81

La condition que D F eL B G soient dans le rapport -^ donne en outre :

et nos deux équations détermineront les deux inconnues a et e. Si maintenant on veut que la ligne cherchée soit

tangente en B, on supposera - = 1, et donc a + e = «, ou

e = 0, et l'autre équation deviendra

2 a c = a^ nu 2 c ~ a, c'est-à-dire que la distance inconnue E G est le double de A G. ))

G'est là en somme pour Descartes un problème déterminé d'analyse ordinaire, où le système des deux équations pour les deux inconnues présente une solution particulière quand on suppose confondus les deux points de rencontre de la sécante avec la courbe.

Gette méthode très simple à laquelle Descartes s'exerçait tout jeune, d'après son témoignage, et que nous avons pu vraisemblablement faire remonter à l'hiver 1619-1620, — appelle quelques remarques. Tout d'abord si, comme c'est probable, il l'appliquait aux coniques, dont la propriété caractéristique avait chez les Grecs son expression classique en fonction de l'ordonnée et de l'abscisse, Descartes n'y faisait point appel, sauf dans les notations sans doute, à une autre Analyse qu'à celle des anciens. Ge qu'il avait alors de plus nouveau et de plus intéressant, c'est ridée même qu'il se faisait de la tangente.

Tandis que chez les Grecs celle-ci restait In droite n'ayant qu'un point commun avec la courbe, elle devonnit pour Descartes la limite de la sécante tournant autour d'un premier point de rencontre avec lii courbe de telle manière qu'un second vînt se confondra avec celui-là. Gette définition qui s'ai>pliquait si aisémeni à toutes les courlies devait être autrement féconde. Kl, en tous cas, c'est elle qui déterminera et précisera la méthode générnle indirpiée dans la Géométrie, quand se trouvera arn'lée la conception générale de la Géométrie Analytique.

Enfin, cpiand nous étudierons le conflit si curieux i\\u' provoquera entre Fermât et Descaries la règle des tangen-

82 DESCAHTES SAVANT

les du géomètre toulousain, il ne nous sera pas indifférent, pour expliquer l'attitude de Descartes, de savoir quelle méthode, en apparence soml»lal)le, celui-ci avait autrefois rencontrée : convaincu à première vue de l'identité des deux i)rocédés, il aura bien de la peine à en saisir la différence dans les exemples que traiteront Fermât et ses amis.

En dehors des questions que nous venons d'indiquer, pouvons-nous atteindre à quelque autre effort de Descartes pendant son séjour dans le fameux poêle ? On se rappelle que, en mars 1619, il avait parlé à son ami Beeckmann d'un autre grand problème qui le passionnait. Il s'agissait de cette science merveilleuse qu'il jugeait au-dessus des forces d'un seul, et pour laquelle il s'enlliousiasmait. Comprendrait-on qu'il n'y fût pas revenu quehiues mois plus tard, quand se trouvaient réalisées pour lui des circonstances particulièrement favorables à la méditation ? Mais quelles vues nouvelles a-t-il pu en avoir ? Nous sonnues ici réduit.^ aux conjectures, aucune indication positive ne venant à notre aide. H s'agissait, on s'en souvient (1), de classer tous les genres de problèmes en catégories, d'après la complication croissante des lignes d'où ils dé|)endenl. ou des compas servant à tracer ces lignes. Il ne pouvait encore être question en 1620 d'une classification naturelle faite d'après le degré des éiiuations, et telle que nous la trouvons exposée dans la (icoinétrie : sans quoi la Géométrie Analytique, dans toute sa généralité, daterait au moins de cette époque, et. nous l'avons déjà dit, on ne comprendrait vraiment pas le silence de Descaries sur cette création dans ses entretiens de 1628 avec Beeckmann. Ne serait-ce pas du côté du fameux compas de Descaries qu'il faudrait chercher ? Je veux parler du compas décrit dans la Géoinrtrie, oi ijuc Descartes utilisait déjà, nous lavons vu. en KWî). l ii |)assage des Cogitationes privativ. que nous avons cité ailleurs (2) comme C(>mmentaire des itremiers travaux, appelait déjà l'atten-

(1) V..ir .\(1. ol T., I. X, p. 156-157.

(2) Voir ainp. l'^r

l'œuvre de descartes pendant L"ni\ER 1619-1620 83

tion sur les courbes décrites par les points variables de la deuxième branche du compas. Or, le début du livre II de la Géométrie présente, par la série de ces lieux géométriques de plus en plus compliqués, un véritable essai de classification : soient X Y Z le compas, la règle B G perpendiculaire à Y X au point B, position actuelle sur la figure du point fixe A ; puis la règle mobile G D perpendiculaire à Y Z au point G, la règle mobile D E perpendiculaire en D à Y X, etc. Quand le compas s'entr'ouvre, les règles mobiles se déplacent en s'éloignant de Y et les points mobiles B, D, F, H... décrivent certaines lignes. « Le point B, dit Descartes (1), descrit la ligne A B, qui est un cercle ; et les autres points D, F, H, où se font les intersections des autres règles, descrivent d'autres lignes courbes, A D, A F, A H, dont les dernières sont par ordre plus composées que la première, et celle-cy plus que le cercle. Et je ne voy pas ce qui peut empescher qu'on ne conçoive aussy nettement et aussy distinctement la description de cette première que du cercle, ou du moins que des sections coniques ; ny ce qui peut empescher qu'on ne conçoive la seconde, et la troisiesme et toutes les autres qu'on peut descrire, aussy bien que la première : ny par conséquent qu'on ne les reçoive toutes en mesme façon, jiour servir ;iux sj^éculations de Géométrie. » L'usage de ce compas dès 1619 et les considérations des Cofjitationcs pvivatœ nous autorisent à fnire remonler h la jeunesse de Descaries le fond de ces réflexions. L'allusion qui y est faite aux coniques, placées enseml)le dnns une première catégorie, avant la première ligne compliquée décrite |)or le point D, nous fait choisir, ])()ur en fixer l;i date, l'hiver de J620 plul(M que le précédent.

Enfin, (jue peuvent i)ien rire ct's problèmes dont Descartes dit, dans le Discours, (jik* s'il ne les résolvait pas, il ])ouvail au moins entrevoir par quels moyens on les résoudrait ? Ici encore, il finit se borner à formuler une hypothèse. La i)lus naturelle, après ce (pie nous venons de voir,

(i; A^l. ol T., f. VI, p. 302.

c est que Descarles ait voulu considérer, après les équations du 3^ el du 4^ degré, celles de degré supérieur, et qu'il ail entrevu h\ possibilité de généraliser sa méthode par lintersection d'une parabole et d'un cercle, en songeant déjà qu'il suffirait peut-être de remplacer la parabole simple par une parabole plus compliquée dans la série de celles que son compas permettait de disposer par ordre ? EL c'est au fond ce qui devait se trouver réalisé en 1637 dans s;\ (iéoinctiie.

Il reste à parler d'un petit traité qui nous a été heureusement conservé et qui très ])robablement (on verra i»lus loin pourquoi) date du séjour de Descartes dans son po(Me. Il s'agit du de soUdorum démentis (1).

Le traité commence par la définition de l'angle solide droit (celui qui embrasse la huitième partie de la sphère) et énonce presque aussitôt ce théorème : De même que dans une figure i)lane tous les angles extérieurs pris ensemble valent quatre angles droits, de même dans un corps solide, tous les angles solides extérieurs valent ensemble huit angles solides droits. Prouhet, qui a donné dans la Revue de Vlnstruction Publuiue {i" novembre 1800^ une traduction el un commentaire de ce traité, fait remarquer que le lliéorème d'KuhM' sur les polyèdres n'est qu'un simple corollaire de celui que vient de formuler Descaries. Il s'agit de la fameuse relation i -i- s --= a + 2 entre les nombres de faces, de sommets, et darétes d'un même polyèdre quelconque. (On sait depuis Euler que la relation n'existe (pie si le ])olyèdre est convexe., Descaries no l'énonce pas i)récisément, mais donne, lui aussi, une série de relations soit entre le nombre des sommets et la somme des angles itlans, soit entre le noinl»re des sommets et le nombre des faces dans une pyramide ou dans un prisme, puisdans un ]K)lyèdre(|uelconque. 11 en tire la preuve qu'il n'existe (]ue cin(| polyèdres réguliers. Poinsot (u Comptes rendus de TAcadémie des Sciences », XLVI, 70) observait, et cette renia rcpie a été répétée souvent dei)uis, que ces

(1) Ad. cl 1\, I. X, p. 265-277.

l'œuvre de descartes pendant LfiivEH 1619-1620 85

indications de Dèscarles élaienl peut-èire les premiers mots (( d'une science presque encore neuve c|ue Ton peut nommer Géométrie de situation, parce qu elle a principalement pour objet non pas la grandeur ou la proportion des ligures, mais Tordre et la situation des éléments qui les composent ». En réalité, l'importance de cette Géométrie de situation n'a été bien comprise que depuis les travaux de Riemann sur la représentation des fonctions algébriques (1), et Descartes a été loin de la deviner.

11 semble bien que cette première partie toute géométrique du traité ne soit qu'une préface aux calculs qui remplissent la seconde partie, et qui ont pour objet de cliercher le poids des nombres li(jurés polyédriques. — De quoi s'agit-il au juste ? Une série de files de points parallèles, contenant la première un point, la seconde deux, la troisième trois, etc., formait cliez les anciens un nombre triangulaire. Si n était le nombre des j^oints de la base du triangle, celui-ci contenait en tout

— ■ — ^-^ — ou - n- + - n pomts.

Etant donné un polygone régulier, les anciens le décomposaient en triangles par des lignes menées d'un même sommet à tous les autres, puis ils construisaient, avec des files de points équidistantes et resj)ectivement parallèles aux l)ases des triangles, des nombres triangulaires, de telle manière que les rangées situées à la même distance du sommet commun formassent des lignes polygonales, appelées gnomons. La somme de tous ces gnomons donnait le nombre total (]e'> points contenus dans le polygone: celaient IPi les nombres figurés jjolygonaux. Descartes considère les nombres figurés polyédriques, ou plus exactement leur poids, en supposant tous les points de densité égale. On devine, par analogie avec ce que nous venons de dire, comment se forment ces nombres, te polyèdre est décomposé en pyramides a va ni pour sommet commun un sommet du polyèdre, et i)our bases loules les faces auxquelles n'appartient pas ce soinmel : j>uis dans des plans parallèles aux bases et équidislanls on construit des nom-

M) Cfr. Madamard, Le rùïe de la Cânmâtrir de siluatiun en Malhévmtiqxics, « Rnvue du \fois », lome \IIf. p. I^S.

86 DESGAUTES SAVANT

bres polygonaux. Le (jnomon est ici la ligure polyédriiiue dont les faces sont à la môme distance du sommet commun des })yramides, et le nombre figuré polyédrique est la somme ou le poids total de tous les gnomons.

Descaries s'applique à calculer ces poids, d'abord pour les cinq polyèdres réguliers, puis pour neuf polyèdres semi-réguliers, — comjjosés, par exemple, de quatre hexagones réguliers et de quatre triangles équilatéraux, ou de huit triangles et de six carrés, etc. Les résultats sont toujours des expressions entières ordonnées suivant les puissances de n, — comme dans le cas simple du nombre triangulaire indiqué plus haut, — puis(]ue au surplus un pareil nombre est l'élément fondamental (|ui sert à formeltous les autres. Les puissances de n, qui entrent dans ces expressions, sont données par Descaries en caractères cossiques.

Ce dernier détail suffirait à fixer api>roximativement la date du traité : il est antérieur au moment où Descaries, armé déjà de sa méthode, comme il nous le dit dans le Discours, réforme récriture algébrique. Il a donc été écrit dans les premiers temps du séjour dans le poêle, car les détails qui vont suivre ne permettent pas de douter que Descartes l'a composé sous des suggestions qu'il a trouvées à Ulm.

Nous avons déjà rapjielé le lénioignage de Lipslorj) sur Ifes relations — d'ailleurs si naturelles — que Descaries a eues à Ulm avec le mathématicien Faulhaber. Or, s'il est impossible de se ])rocurer aujourd'hui les livres du gé»)mèlre allemand, nous savons au moins, par l'historien des malhém;diques Kci'lsner. (1), qifil a i)iiblié en Ibl'i un ouvrage intiluh'! : \'inncr(is lif/unilus sirr Arillnnrlicn artr mirahili iiimidita i^ova constans. L'ouvrage, — toujours d'après Kœlsner, — contenait neuf colonnes de nombre figurés, dont six se rapj)orlaienl aux i)()lyèdres. Au-dessous de chacpie colonne se trouvait l'expression de ces nombres en caractères cossiques, et enfin, comme dans le traité de Descartes, on y trouvait les mois pondéra^ pour

(1) Geschichte der Mathematik, \. III, p. 120. .îempninlo cette r<f«''ronrc à l'étude do Prouhel (« Rev. de lliistr. publique », tome XX. p. 487).

l'œuvre de descartes pendant l'hiver 1619-1620 87

désigner le poids des nombres figurés, et radix pour désigner les termes contenant la première puissance de n dans les résultats. Prouhet emprunte à Kœtsner cette citation de Faulhaber, montrant quelle haute idée il a de ses découvertes : « Et exinde jucundissimae lucubrationes formari possunt. Est itaque artis inexhaustus thésaurus, non ambrosia saltem mentes hominum perfundens, sed simul Chrislianorum vitae ulilitates conferens insignes ».

N'est-il pas vraisemblable que, dès les premières rencontres, Faulhaber, plein d'enthousiasme au sujet de ses travaux, en aura entretenu Descartes, et que celui-ci se sera exercé à son tour aux mêmes problèmes ? Le difficile est de décider quelle est la part qui revient à Descartes, et ce qu'il doit à Faulhaber, dans le traité que, remarquonsle bien, notre philosophe n'a jamais rendu public. Le témoignage de Kœtsner prouve au moins qu'il a ajouté quelque chose au livre du mathématicien allemand, celuici ne contenant que les résultats relatifs à neuf polyèdres, et le de solidorum elementis en contenant en tout quatorze. Mais c'est là tout ce qu'on peut dire. D'ailleurs ce genre de recherches ne se rattache pas directement à celles qui préoccupent surtout Descartes. S'il s'y est arrêté, et si, comme c'est probable, elles ont dû quelque chose à son génie inventif, c'est peut-être par amour-propre, au moins autant {|ue i>our s'exercer aux choses mathématiques et, selon son expression, « se repaître l'esprit de vérités ».

Avec ce traité se termine la liste des travaux que nous pouvons, tant{M avec certitude, tantôt avec vraisemblance, faire remonter au séjour de Descartes dans son poêle, c'est-à-dire à l'hiver de 1619-1620. Ce ne sont certainement pas les seuls, mais toute hypothèse nouvelle ne i)ourrait être que prratuite.

Quelle impression nous laisse donc cette œuvre de quelques mois ?

S'il n'y a plus lieu d'insister après Descartes sur le lien qui a pu In rattacher à sa Méthode, ne fùt-co (pio i)iir les qualités de clarté, de simplicité, de généralité, et déjà j^ar le désir (\o fniro ceuvre complète, achevée..., on sent aussi

que partout ou presque partout Descartes se place à la suite des Grecs ou de ses contemporains. Le progrès consiste à cet égard en ce que nous ne voyons plus ici, comme Tannée précédente, les incitations directes qui le poussent vers ses recherches, — sauf pour le de solidorum clemcutis ; nous ne voyons plus la chiquenaude qui déclanche chaque fois ses méditations. C'est bien de lui-même, semi>Ie-l-il, qu'il tire les raisons de s'attacher à tel ou tel problème.

Ln autre progrès se trouve réalisé, au point de vue de la valeur des résultats. Le Journal de Beeckmann et les Cogitationes priiatir nous avaient montré, dans les premiers tâtonnements de Descartes, bien des confusions et des erreurs... Tout ce que nous avons pu deviner de son œuvre dans Ihiver de 1(319-1620 porte au contraire la marque de la rigueur. Mais Descartes est loin d'être arrivé au terme du déveloi>pement de son esprit, même à ne considérer que les seuls travaux mathématiques. La distance sera grande, nous Pavons dit, de la simple mise en iruvre de l'analyse des Grecs, ■ — même avec un Algorithme j^erfectionné, — à la vraie méthode de géométrie analytique qu'en 16:31 le problème de Pappus, proposé par Golius, lui donnera l'occasion d'établir dans toute sa généralité î « Les grands mathématiciens, dit M. Adam, sont tels à un âge où il serait matériellement impossible d'être, par exemple, un grand physicien ou un grand naturaliste : une étonnante jjrécocité, loin d'être l'exception, est comme la règle (]u génie dans les mathématiques (1\ »

Celle reiiiiirque s'appli(pie très justement n inMU('ou|t de géomètres, mais ])as autant qu'on pourrait croire à Descartes lui-même. Outre que nous avons n»ité, dans une étude jintérieure. quelque gaucherie et ipielque inexpérience dans les premiers essais de jeunesse que nous a fait vonniiîlro le Journal de Beeckmnnn. nous assistons eiisiiilc. même en ce qui concerne son onivre mathématique, aux m(^ments successifs du développement et de la malurali(Ui de son génie

(1] Ad. et T., f. \II. p. -208.