FERMAT

tite e , nous avons y- = 2 r (x -4- e) — [x -\-e)-. Les deux valeurs d'y étant considérées comme égales dans ces deux situations infiniment voisines, '2r X — x^ z^^ r{x-i-e) — [x-^é) -. Développant et retranchant le terme e - , nul par rapport aux autres , il vient 2j?=:2r — e;ete, étant considéré comme nul, on a finalement

Il sera facile maintenant de faire comprendre la méthode des tangentes. Pour Fermât , toute tangente n'est autre chose qu'une sécante dont les points d'intersection avec la courbe se rapprochant continuellement finissent par coïncider; il faut donc supposer deux ordonnées, dont la distance soit e , indéterminée , et trouver, par l'équation de la courbe , la grandeur des sous-sécantes. Cela donnera une équation dans laquelle il n'y aura qu'à faire e infiniment petit , comme dans la rè- ^\e De maximis et ininimis. Ayant lu la Géométrie , Fermât fut fort surpris , paraît-il , et surtout fort heureux de n'y rien trouver touchant la recherche des pi us grandes et des moindres quantités. Il écrivit aussitôt à Alersenne et lui envoya ses méthodes pour ces sortes de questions , pour les tangentes des courbes et pour la construction des lieux solides, en lui témoignant son étonnement

de ce que Descartes avait omis les premières de ces questions. Cette remarque parut à Descartes un défi injurieux : il était sûr en effet d'avoir dans sa Géométrie donné les principes mêmes de la méthode de Fermât, et tellement généraux et féconds, qu'ils s'appliquaient encore à beaucoup d'autres cas où celle-ci était impuissante; il suffisait d'un peu d'attention pour les y découvrir. Fermât s'était donné dès le début deux autres torts: il avait donné son écrit comme un travail de M. de Carcan, son collègue au parlement de Toulouse , travail qu'il voulait faire croire antérieur à l'apparition de la Géométrie ; et d'autre part il avait donné une règle qui s'appliquait bien , il est vrai , à la recherche de la tangente de la parabole, mais qui, contrairement à ce qu'il pensait, ne convenait plus pour les autres courbes et se trouvait fausse en tant que règle générale.

Descartes reconnut vite la main de Fermai et l'erreur commise. « J'ai cru, dit-il à Mersenne, que je devais retenir l'original de cet écrit, vu principalement qu'il contient des fautes qui sont si apparentes qu'il (Fermât) m'accuserait peutêtre de les avoir supposées, si je ne retenais sa main pour m'en défendre. C'est un esprit vif, plein d'invention et de hardiesse, mais trop précipité.

Si cet auteur s'est étonné de ce que je n'ai pas mis de telles règles dans ma Géométrie , j'ai beaucoup plus de raison de m'étonner de ce qu'il ait voulu entrer en lice avec de si mauvaises armes. » Il montre alors que les règles de sa Géométrie sont plus générales que celles de Fermât, et, après avoir désarçonné son adversaire, déclare qu'il veut bien « lui laisser le temps de remonter à cheval. »

Mersenne, au lieu d'envoyer les remarques de Descartes à Fermât, les fit voira deux des amis particuliers du conseiller de Toulouse, Pascal le père , et Roberval, qui crurent devoir épouser à l'instant même la querelle de leur ami et répondre à Descartes. Celui-ci loua leur zèle, approuva les dispositions de leur cœur, et jugea M. de Fermât heureux d'avoir été prévenu d'un tel secours dans un si grand besoin. Il ne put même s'empêcher de concevoir de l'estime pour la capacité dont il voyait les marquesdans l'écrit de ces deux personnages; mais il trouva que s'ils avaient bien rempli les devoirs de l'amitié à l'égard de M. de Fermat, ils s'étaient assez mal acquittés de la commission qu'ils avaient prise de le décharger et de le défendre. Et s'adressant à Mersenne: « Vous avez différé, lui dit-il, d'envoyer ma réponse De ma-

ximis et minimis à M. de Fermât sur ce que deux de ses amis vous ont dit que je m'étais mépris, en quoi j'admire votre bonté; et pardonnezmoi si j'ajoute votre crédulité. »

Acettelettre, Pascal étant absent , Roberval répondit seul . Il joua du maître vis-à-vis de Descartes; mais se jetant dans des chemins de traverse pour critiquer le Discours, la Dioptrique elles Météores, il montra assez qu'il n'avait rien de solide à répondre sur la question. A partir de ce moment, Descartes répliqua avec les nerfs agacés d'un homme qu'on dérange pour des bagatelles, et aussi avec le juste ressentiment du génie méconnu et offensé, qui se voit accusé d'ignorance parce qu'il a laissé à ses rivaux le soin de tirer les conséquences, faciles à dégager, de ses inventions les plus belles et les plus fécondes. « Ces gens-là, disait-il, ne cherchent qu'à mordre. » Pendant quelque temps, il n'appela plus Fermât que « 31. le conseiller De minimis. » « Tout conseillers, présidents et grands géomètres que soient ces messieurs-là, écrit-il à Mersenne, leurs objections et leurs défenses ne sont pas soutenables, et leurs fautes sont aussi claires, qu'il est clair que deux et deux font quatre. »

Desargues et Hardy prirent le parti de Descartes

DESCARTRS ET FERMAT. d95

et ce fut un procès scientifique, dit Montucla, plaidé avec beaucoup de vivacité et même d'aigreur de part etd'autre. » 11 se termina néanmoins en même temps que celui sur la Dioptrique. La réconciliation, une réconciliation sincère, s'opéra entre Fermât et Descartes, qui étaient faits tous les deux pour se comprendre. Descartes offrit môme son amitié à Pascal et à Roberval. Mais celui-ci conserva toujours de l'aigreur et du ressentiment contre Descaries, et éloigna de lui , autant qu'il le put, les deux Pascal. L'influence de Roberval sur le jeune Pascal fut désastreuse. C'est lui qui l'empêcha d'user de l'Analyse créée par Descartes et qui ainsi priva la France de la gloire des inventions nouvelles qu'un génie aussi pénétrant n'eût pas manqué sans doute d'y ajouter.

Fermât, grâce à ses discussions avec Descartes, corrigea saRègle. La méthode de cet éminent géomètre, telle qu'elle apparaît après les retouches qu'elle subit ainsi, constitue une invention analytique aussi belle, sous certains rapports, que celles de Descartes et conduisant, comme les siennes, au calcul infinitésimal. Aussi Leibniz unit Descartes et Fermât dans sa reconnaissance et , les associant à Grégoire de Saint-Vincent, voit « dans ces trois génies le triumvirat qui prépara l'invention de ce nouveau calcul. » *^

Un autre démêlé célèbre est celui de Descartes avec Roberval relatif aux propriétés de la Roulette ou cycloïde. Pascal ayant écrit, d'après les souvenirs et sous l'inspiration de Roberval, une histoire inexacte de la découverte des propriétés de cette courbe, nous allons la rectifier ici en ce qui touche Descartes. Nous nous appuierons uniquement sur des pièces authentiques (1). On sait que cette courbe est celle qui est décrite par un point d'une circonférence (par le clou d'une roue par exemple) qui roule sur un plan en faisant un tour complet. C'est en 1658, au mois de mai, que pour la première fois Mersenne parle de cette courbe à Descartes , et celui-ci démontre aussitôt , ce que Roberval avait déjà trouvé par une autre voie , que l'aire de la cycloïde est à l'aire du cercle comme 5 est à 1 (27 mai). Sa démonstration ayant été faite en trois coups de plume et Roberval l'ayant trouvée trop courte, il la donne tout au long dans la lettre suivante (27 juillet). Quelques jours après, il apprend que Roberval a cherché la tangente à cette courbe et n'a pu réussir. « J'ai été bien aise , écrit-il à Mersenne (25 août 1658), de voir les questions que vous dites que vos géo-

{{) V. Histoire de la RoiiIcUe de Pascal. — Cf. Lell. de Desc. cl de Mersenne, tom. VII , p. Iô4-, sqq.

DESCARTES ET ROBERVAL. i95

mètres , ni 31. de Roberval même qui est celui que vous estimez le principal d'entre eux , confessent ne savoir pas , car je pourrai éprouver en les cherchant si mon analyse est meilleure que la leur. La première de ces questions est de trouver les tangentes des courbes (cycloïdes) décrites par le mouvement d'une roulette. » Aussitôt, par une voie très-belle et très-simple, il trouve ces tangentes. « A quoi je réponds que la ligne droite qui passe par le point de la courbe dont on veut trouver la tangente et par celui de la base auquel touche la roulette (la roue), pendant qu'elle le décrit, coupe toujours cette tangente à angles droits. De quoi je ne mettrai qu'une démonstration qui est fort courte et fort simple. Si on fait rouler un polygone recliligne, quel qu'il soit, sur une ligne droite, lacourbe décrite par l'un de ses points, quel qu'il soit, sera composée de plusieurs parties de cercles, etles tangentes de tousles points de chacune de ces parties de cercles couperont à angles droits les lignes tirées de ces points vers celui auquel le polygone aura touché la base en décrivant cette partie. Ensuite de quoi, considérant la roulette circulaire comme un polygone qui a une infinité de cotés , on voit clairement qu'elle doit avoir cette même propriété , c'est-à-dire que les tangentes de cha-

cun des points qui sont en la courbe qu'elle décrit doivent couper à angles droits les lignes tirées de ces points vers ceux de la base qui sont touchés par elle au même temps qu'elle les décrit. » Il envoie sa démonstration à Mersenne et ajoute ces mots qui montrent bien la puissance de son esprit généralisateur . « Ce que j 'ai écrit ici des tangentes et ce que j'avais mandé ci-devant touchant l'espace que contiennent ces lignes décrites par une roulette circulaire ( touchant l'aire des cycloides) se peut aussi étendre à toutes celles qui sont décrites par des roulettes qui ont d'autres figures, quelles qu'elles puissent être, excepté seulement que touchant l'espace il faut que les circonférences de ces roulettes soient convexes et que leurs parties opposées soient semblables, comme lorsqu'elles ont la figure d'une ellipse, ou de deux hyperboles ajoutées l'une contre l'autre ; et il est si aisé de leur appliquer les démonstrations que je vous ai envoyées, que cela ne vaut pas la peine que je l'explique ; même il n'y faut changer que fort peu de chose lorsque les circonférences de ces roulettes ne sont pas toutes convexes ; et ainsi je ne crois pas qu'il y ait guère rien à dire touchant ces lignes qui ne soit compris en ce peu que je vous en écris. »

La méthode qu'il donne pour résoudre la question ainsi généralisée s'applique à toutes les lignes décrites par des circonférences quelconques que l'on fait rouler , non-seulement sur des surfaces planes, mais sur des surfaces courbes.

A peu près en même temps que Descartes , au mois d'août 1658, Fermât trouve aussi la tangente de la cycloïde ordinaire. Les deux solutions sont envoyées à Mersenne et à Roberval. Celuici avait « confessé ne pas savoir résoudre cette » question et même ne connaître aucun moyen » pour y parvenir. » Mais le lendemain du jour où il sait qu'on lui a envoyé les solutions, il proclame en avoir aussi trouvé une ; puis il déclare celle de Fermât fausse , ce qui n'est pas. La priorité de l'invention de la tangente à la cycloïde appartient donc incontestablement à Fermât et à Descartes, et, si l'on prend la question dans toute sa généralité, à Descartes seul. Roberval s'exposa à la risée publique en prétendant à cette priorité justement le lendemain du jour où il apprit que le problème était résolu. Plus tard, pour se venger, il dicta au jeune Pascal des dates sciemment inexactes; il osa ajouter que Descartes n'aurait pas trouvé l'aire de la cycloïde s'il n'avait su d'avance qu'elle était le triple du cercle. —

« En ceci , répond Descartes , Roberval est peu judicieux, car 1°. l'espace n'est triple qu'en un seul cas , et la façon dont je l'ai trouvé s'étend à tous les autres, même lorsque la roulette est une ellipse ou deux hyperboles, et 2". je n'ai pas si bonne opinion de lui que de m'arréter à ce qu'il dit. »

Roberval et Pascal , qui ont fait tant de fracas de leur cycloide, n'ont même jamais su considérer ce problème d'une façon générale , comme le fait Descartes. '

Du reste cette maigre question l'ennuyait au milieu de ces recherches de physique et de physiologie , auxquelles il voulait désormais consacrer tout le temps qu'il lui restait à \ivre; et quand on lui proposa de chercher le solide de la roulette, il répondit que « renonçant tout de bon à la géométrie , il ne voulait point s'arrêter à cette recherche. »

J'ai écarté du débat les prétentions ridicules et iniques de Beaugrand et de Torricelli , que Pascal a traitées comme elles le méritaient.

En résnmé, c'est au mois de mai 1C58 que, pour la première fois, Descartes entendit parler de la cycloide ; c'est du mois de mai au mois d'août qu'il trouva l'aire et la tangente de cette

courbe, et que, élargissant et généralisant la question selon les habitudes de son génie, il donna une méthode de résolution qui s'applique à toutes les espèces de cycloides.

Lisez maintenant le récit de Pascal et vous y reconnaîtrez, dès les premières lignes, l'esprit rusé et vantard de Roberval. « Le P. Mersenne, le premier qui ait remarqué cette courbe, proposa la recherche de la nature de cette ligne à TOUS CEUX DE l'europe qu'il en crut capables, et, entre autres, à Galilée : mais aucun ne put y réussir. En 1054, Roberval réussit; le Père, ravi de ce succès, leur écrivit encore à tous etlespressa d'y repenser, en ajoutant que M. Roberval l'avait résolue sans leur dire comment. Lannée (il leur avait donné un an) et plus étant passée sans qu'AUcuN en eût trouvé la solution, le Père leu écrivit pour la troisième fois, et leur déclara alors la raison de la roulette à la roue comme 5 à 1. En 1655, sur ce nouveau secours, il s'en trouva deux (Fermât et Descartes) qui en donnèrent la démonstration. A cette solution M. Roberval en ajouta en même temps deux autres: l'une fut la dimension du solide à l'entour de la base, l'autre l'invention des touchantes de cette ligne. »

Il est vrai que Galilée ne réussit pas dans la recherche des propriétés de la cycloïde ; mais il est faux que Descartes ait échoué aussi; il est faux que le problème lui ait été proposé trois fois ; il est faux qu'il n'ait réussi la troisième fois que grâce au secours de Roberval ; il est faux que Roberval ait trouvé le premier les touchantes de la cycloïde; enfin il est faux que tout cela se soit passé en 1655. C'est en 1G58 que Descartes, en quelques traits de plume , trouve tout ce qu'on lui demande et beaucoup plus. « Mais il faut remarquer , comme l'observe Baillet , que Pascal n'a rapporté cela que longtemps après la mort de son père, et sur la foi du seul Roberval qui n'était pas toujours à l'épreuve de la dissimulation et de la hâblerie , comme le témoignent encore aujourd'hui ceux qui ont eu l'honneur de le connaître. »

Nous avons* rétabli les faits , mais nous sommes loin de nier l'esprit inventif et pénétrant dont Roberval donna tant de fois des preuves en géométrie.

Descartes , dans la dernière partie de sa \ie , dédaigna les mathématiques comme un jeu trop facile. Cependant, malgré sa résolution, il fut encore obligé plusieurs fois, pour être agréable à