CALCUL DES PONTS SUSPENDUS

§. i/ — Longueur des cables.

Nous avons avancé, dans le chapitre précédent, que la longueur des cables intermédiaires est de 40*", 90, et leur flèche de courbure de 3", 5o, 11 faut maintenant indiquer comment se fait le calcul pour trouver ces longueurs : on a recours, pour cela, à l'équation de la coarbe qu'affecte une cDrde pesante, suspendue à de^ix points fixes ; elle est en quantités finies :

A cos « /A — ^ + ï^ (A — pf )^ — K^ i:os^ et,

f k—pX + ^^(A — /y)^ — A^cos^a \ ^ V A(i — sin«> J

Dans cette équation , A exprime la tension de la corde aiï point de siuspension O (fig. 12/) qui est pris pour origine des coordonnées ; a est l'angle que fait la tangente extrême OT avec Taxe des abscisses OX, qui est horizontal; p est le poids de Punité de longueur de la corde, enfin le logarithme est népérien. Voyez la mécanique de Pois^son.

La première chose à faire pour Tapplication , est de convertir le logarithme népérien en un logarithme tabulaire , en mettant à sa place le dernier multiplié par 2,8026 j car on a log. a == 2,3o26 Log. a 5 Log. indiquant le logarithme tabulaire, et log, le logarithme népérien. L'équation ainsi préparée devient :

A cos « /\ — p,'Z [/"(A — /Tv;^— A^cos^*\ , . X = 2,3o26. I^g ( . , ^^^-^— ; ) (0

On a pour l'ordonnée du point inférieur M de la courbe , ou en d'autres termes, pour la flèche de courbure que je représente par/i la relation suivante

f — A ( I — cos ce ) (2>

On a aussi , en appelant d la distance Hcs points de suspension OetO'

-* p ^ \ l — sia et y

Quant à la longueur de la demi-corde OM que je désigne par 5 S , on a lequation

Enfin , en éliminant A entre les équations (2) et (4), on a pour relation entre la demi-longueur de corde et la flèche

La seule manière commode de faire usage de ces formules » est de se donner Tangle « 5 et nous verrons plus loin comment on le détermine de manière à satisfaire aux conditions voulues.

Supposons pour exemple que Tangle « soit de 18°, c'est l'angle qui rend la flèche de courbure PM égale environ au douzième de la distance OO' entre les points de suspension. Supposons de plus que la distance OO' soit de deux cents mètres, ou que c?=20o; et enfln que le mètre de corde pèse un kilogramme, ou que p=i. On aura , en prenant le rayon pour unité :

sin 18° = 0,3090, cos 18*^ = 0,9511 , I — sin 18^ = 0,6910 » I L- cos 18'' = 0,0489. •

Substituant ces valeurs dans lequation (3), on a d'abord, pour déterminer la tension A

100 = 2,3026 . 0,9511. ^%\^^J X -^• d'où A = 329,218.

La tension étant connue, les équations (2) et (4) donneront la flèche et la longueur de la corde

/= 16", 10 et S = 2o3-, 46.

Si Ton suppose que le mètre de corde pèse dix kilogramraes->au lieu de n'en peser qu'un seul, on aura /:)= lo. Alors la tension seule variera et deviendra décuple; mais la corde et la flèche conserveront les mêmes longueurs , parce que A croît proportionnellement à p'^ ainsi donc, ces deux quantités sont indépendantes du poids de la corde.

Mais, de plus, en mettant dans 1 équation de la courbe, au lieu de A, sa valeur : tirée de l'équation (4) , ou tirée

H siii a * I — cos et

de 1 équation (2), le résultat sera indépendant de p , donc: deux cordes de même longueur^ quoique de poids différens y affeo^ feront la même courbure en les suspendant aux mêmes points. C'est d'ailleurs une conséquence nécessaire de ce que les longueurs des courbes sont les mêmes , et les tangentes aux points U , O' et M , communes.

D'après ces considérations , nous simplifierons un peu nos cinq équations, en y mettant mp au lieu de A j /w étant le nombre par lequel il faut, multiplier le poids du mètre de corde pour avoir la tension à l'origine de la courbe; l'équation (3) le détermine. Cette substitution donne : \

X = 2,8026. m cos ce

^\ W(l— since) y

^ cos ce I -^

d = 4^6o52. m cos ùt Loff ( , ' . J (o).

^ \ I —^ sm « y

/= m ( I — cos «) (C).

S=: 2 m aa ce (D).

L'équation (B) donnera m , au moyen de la distance d des deux points de suspension, et de l'angle « que fait avec Thorixonr taie la tangente à l'origine de la courbe. JLa quantité m étant

connue, on aura la tension, en multipliant m par le poids du mètre de corde j et les équations (C) et (D) donneront la flèche f et la longueur de corde S.

Quant à l'emploi de léquatîon (A) , il faut se donner l'ordonnée y pour calculer Tabscisse x, parce que la première entrant dans le logarithme, on n'en tirerait pas facilement la valeur. La quantité soumise au radical est facile à calculer, parce qu'elle est la différence des deux quantités m — y et mc<ys a^ qu'il a fallu préalablement déterminer^

On pourra, au moyen de ces formules, s'assurer que plus la flèche de courbure est petite, et plus les variations dans la longueur de la corde ont d'influence sur la longueur ^de la flèche» à tel point que si cette dernière est le vingtième de la distance entre les points de suspension, un allongement dans la corde d'un deux centième de cette distance, produit sur la flèche un allongement presque triple. En sorte que s'il y a quelque chose à gagner sous le point de vue de la stabilité à donner aux cables d'un pont une faible courbure , on s'expose davantage à voir le tablier s'abaisser ou s'élever par les variations de la température , en même temps qu'on est obh'gé de donner aux culées une plus grande force. 11 faudra donc savoir se tenir dans un juste milieu.

§. 2. — Quelques lignes du cercle.

Dans 1 épure des ponts suspendus, on peut remplacer la chainette par l'arc de cercle qui aurait les mômes tangentes extrêmes ^ attendu que ces deux courbes ne différent pas beaucoup quand la flèche ne dépasse pas le dixième de la distance des points d'appui. C'est ce que nous montrerons plus loin.

Or, en désignant toujours par y la flèche CD (figure i3.*') par d la corde AU , et par R le rayon AO du cercle » on a, pour déterminer le point inférieur de l'arc ;

carCD = OD — OC = R— V^R^— -Çzzzr/", —\fi—JL.\

On a aussi le rayon en fonction de la flèche et de la corde ^ en tirant de 1 équation précédente la valeur de R :

Cette formule ^servira à trouver sans tâtonnement l'ouverture de compas avec laquelle on doit tracer un arc qui ait une flèche déterminée , ce qui est le cas ordinaire de Fépure.

Quant à Tangle « , on le calculera par la formule

Cette valeur se trouve par la proportion, tanga : i = CE : CA; d'où tang «= ^= tJv j mettant aulieu de CA et de CO leurs va-

leurs 5C?et ^ ^ 7-, on a, toute réduction faite, l'équation (>).

Cest au moyen de cette formule que Ion déterminera Tangle , «, dont laconnoissance est nécessaire pour le calcul de la chaînette. On supposera que Tare de cercle et la chaînette de même corde et njiême flèche se confondent; on calculera l'angle « par \ ^

la formule précédente ; on en mettra ensuite la valeur dans les équations (B) et (C) et Ton aura la valeur de f. Si cette valeur diifère trop de celle qu on a supposée, on augmentera ou diminuera l'angle « d'une quantité qu'on jugera nécessaire pour que la flèche y* prenne la longueur convenable; et par cette espèce de règle de fausse position , on atteindra sans beaucoup de peine le but débiré.

Ainsi , par exemple, dans le pont des Tranchées , nous a\^ons cZ = 4o", oo, et nous demandons que la flèche de courbure soit de 3", 5o. Nous commencerons par calculer le rayon par la formule (i8) , et nous trouverons R = 58, 89 ; alors la formule (r) nous donnera par la substitution, log tang« = 9,55766, et, par conséquent , Tangle « = 1 9"*, 5 1 '

Faisant maintenant usage de cet angle dans Papplicalion des formules (B) et (CjL, on trouvera /= 3", 54- Ainsi, avec l'angle de I9^5I' la flèche de courbure de notre chaînette sera de quatre centimètres trop longue. C'est pourquoi on prendra laugle de ig^'nCt l'on trouvera, en répétant le calcul, que la flèche de courbure ne sera plus que de 3",46 , c est-à-dire, de quatre centimètres trop courte 5 mais il n'y a pas de mal, parce que la corde doit tendre à baisser en raison des poids dont elle sera chargée. Si Ton voulait que la flèche fût exactement de 3»,5o, il faudrait prendre pour l'angle de la tangente extrême une valeur moyenne entre les deux précédentes , puisque les deux résultats donnent la même diflerence en sens opposés. Cette valeur serait donc 19*^,25' en négligeant les secondes.

On vient de voir que l'arc de cercle, qui admet les mêmes tangentes extrêmes que la chaînette , descend seulement de quatre centimètres plus bas que cette dernière. C est ce qui m'a fait dire que les deux courbes se confondent presque quand la flèche ne dépasse pas le dixième de la distance entre les points de suspension j ici elle est environ du douzième. Pour s en convaincre encore davantage, il n'y a qu'à comparer Téquation de lare de cercle à celle de la chaînette de même corde et même flèche. Il faut pour cela transporter l'origine des coordonnées du cercle au point de suspensiou A ( figure 14.^ ) en mettant dans Téquation ordinaire du cercle a7'-+-j^*=R^ , au lieu de x et de y

les valeurs x et y + (R -^f) \ car l'ancienne origine étant

^Jl

en O, on a CP=AP-AC=ar- -f , etQ]\f=PM4-PQ=yH-(R-/}.

L'équation devient alors, toute réduction faite:

d . yk f

et en mettant au lieu de R sa valeur

Maintenant, après avoir calculé les valeurs de :i; correspondantes à des valeurs particulières de y dans la chaînette , on calculera par la dernière équation les abscisses du cercle correspondantes aux mêmes ordonnées , et Ton verra qu'il y a peu de différence quand la flèche ne dépasse pas la limite assignée.

Voici ce que j'ai trouvé dans un projet de pont où la flèche de la chaînette n'avait, il est vrai, que 6",oia, lorsque la distance des deux points de suspension était de i5o mètres ; l'angle « avait pour valeur 9.^ 18/ 5o." ancienne division.

Valeurs communes de /

Valeurs de x

poor le cerdr

y=;=2 , 000 ^=s3, 000 y = 4, 000 j = 5 , 000 y = 6, oia

ponr la chaln.

DifFérences.

1,839 i,5ao 44, i48 75,000] ji

La plus grande dîfi^érence entre les abscisses correspondantes n est pas d'un décimètre, quantité bien faible, surtout si l'on fait attention que, par la forme même des deux courbes comparées, la plus petite variation dans les ordonnées en doit amener une très-grande dans les abscisses.

La coïncidence des courbes étant ainsi établie , on prendra réquation du cercle comme la plus simple et la plus DsK^ile à mettre

prr.'^

en nombres ,de préférence à celle de la chaînette, lorsque le rayon étant trop grand pour tracer Tare de courbe au compas^ on voudra le construire par abscisses et ordonnées. Maïs alors il est plus commode de se donner les x pour calculer les y; et pour cela, il n'y a qu à résoudre l'équation par rapport à y : on trouvera

On peut encore construire la courbe graphiquement par le moyen de Tangle dans le segment ADB. On découpera cet angle sur du carton ou sur une feuille de papier fort , eu lui donnant pour longueur de jambes la ligne AB; faisant ensuite rouler l'angle autour des points A et B, de manière que ses jambes passent toujours parles points désignés, le sommet tracera Tare 4e cercle.

§. 3. — Estimation du prix des cables.

Le fil de fer se vend, dans le commerce, par bottes ou masses de cinq kilogrammes; il est donc bon de pouvoir estimer d'avance le nombre de masses qui seront nécessaires , le poids que chaque cable aura à supporter étant coixjiu. Il faut, pour cela, savoir que la longueur du fil qui entré dans une masse est , à très-peu de chose près , en raison inverse de la section du fil. On pourra, donc, en connaissant la longueur pour un certain numéro, calculer les longueurs ppur les autres, lorsque les diamètres des fils seront donnés. Une masse du n.° i4 a environ i8o mètres de développement; c'est du moins ce que j ai trouvé par une moyenne de plusieurs mesures directes.

Soient actuellement S la longueur d'un cable, A sa tension

au point d'attache , due au poids du cable et du pont qui doit

y être suspendu j soit ^ la force absolue d'un fil, Z la longueur

développée de la masse ^ et p son prix. Il est clair qu'il faudra,

pour résister à la tension A» un nombre de fils exprimés par —

DU PONT SUSPENDU EN FIL DE FER. 5g

Ce qui donnera une longueur développée

et un nombre de masses exprime par —

Ainsi le cable coûtera .,..., X/;

et il pi\sera en kilogrammes , 5x —

Exemple: supposons qu'il soit question de faire, avec le fil n.*" i4, un cable de 44 ni^tres de longueur, qui puisse résister à un elFort de 6 700 kilogrammes.

On aura : A = 6 700, S = 44^ <|)==2oo, Z= i8o.

11 faudra un nombre de fils égal à =33,33

et un nombre de masses és:al à 7r'==8,2

Le cable pèsera en kilogrammes 5 x 8,2 =4ivo

et le mètre courant pèsera — = 0,93

Ce sont ces nombres qu'il convient de tripler, dans lapplicatîon, pour avoir un excédent de force convenable, même dîuis le cas le plus défavorable, je veux dire, quand le pont est cou- ^ ert d autant de personnes quil en peut recevoir.

)ft.