CHAPITRE IX

"Considérations générales sur la théorie phj'sico-mathématique des Eaux courantes, — Formules générales déduites de cette théorie f et applicables a la formation des profils trans\^er^ saux des canaux.

53. I^ premit're règle de calcul, susceptible de quelque précision, qu'on ail découverte dans la théorie des eaux courantes, a été établie sur rhypotUèse des vitesses ;7Jty^f?w«ei proportionnelles aux racines quarrées des pentes ou déclivités; ce qui donne, en désignant la déclivité par /, la vitesse moyenne par U^ l'équation U z=z A^^^i.

On na pas su, dès l'abord, si le coefficient A était ou non une quantité constante; el lorsqu'on a rccomui qu'une même valeur de ce coefficient ne convenait pas à toutes les formes de lit, on a vu en méine-temps que ta détermination de la loi à laquelle il était soumis comportait de grandes difficultés. La force de la pesanteur qui sollicite chaque molécule fluide, tend à accélérer continuellement la vitesse; mais l'expérience prouve que , dans un courant dont le régime est établi , la vitesse moyenne est constante dans chaque section transversale : cet effet a lieu parce que Tactioti accélératrice de la pesanteur est contre-balancée, à chaque instant, par certaines résistances qu'il s'agit d'évaluer; et il faut se faire, avant tout, une idée exacte des causes auxquelles elles sont dues. Pour y parvenir, on part des deux faits suivants : « i° Les molécules d'eau adhèrent à rf presque tous les corps avec lesquels elles peuvent être en contact; « a° elles adhèrent aussi entre elles. » Il résulte du premier fait que, si Tcau coule dans un tuyau ou sur un lit susceptible détrc mouillé, une lame ou couche de ce fluide rattache à la matière qui compose ce tuyau oit

48 MARAIS PONTÏNS.

dans laquelle ce lit est creiiae; cette couclie peut être ainsi regardée comme la véritable paroi qui renferme la niasse fluide en mouveineut. Par le second fait, la couclie qui coule immédialeiuent sur la paroi fluide, a une tendance k s y attacher qui retarde son mouvement naturel ( celui qu'elle aurait en vertu de sa pesanteur relative); le retard de cette couche ea produit nécessairement un dans la couche qui lui est superposée, et ainsi de suite; en sorte qu'on peut considérer la masse fluide comme composée d'une infinité de couches ou enveloppes dont chacune est retardée par Yenveloppe qui la contient et retarde Yens'eloppe qu'elle contient.

Les résistantes qui produisent les forces retardatrices, ont des valeurs particulières vers les limites du système ou près de la pnroi, qui, diaprés les •expériences de Dubuat^ sont sensiblement indépendantes de la matière du tuyau ou du lit et de la pression ou charge que supporte la paroi ou la couche fluide qui y est adhérente, phénomènes bien différenls de ceux qti'on remarque dans le mouvement des corps solides glissant les uns sur les autres.

54- Voici une conséquence remarquable des propositions énoncées dans l'article précédent : si, dans une section transversale quelconque d'un tuyau ou d*un canal où leau est parvenue à runiformité de vitesse moyenne^ on tire, dans le plan de cette section et à partir du point où se trouve la molécule animée de la plus grande vitesse par rapport aux autres molécules de la même section, un rayon vecteur dirigé d'ailleurs arbitrairement, les vitesses des molécules qui se trouvent dans la direction de ce rayon vecteur, iront continuellement en diminuant depuis le point du maximum de vitesse jusqu'au périmètre de la section.

On serait tente de croire que le filet jouissant du maximum de vitesse est à la surface dans les canaux découverts : mais on s*est assuré, par l'observation , qu'il est enfoncé au-dessous de cette surface; et cette découverte a explique quelques faits fort extraordinaires relatifs à la résistance qu éprouvent les corps flottants. Le problème de déterminer la position de ce fdet, traité à priori, ne conduirait à aucun résultat applicable; sa solution se pi-ésentc , sans calcul, dans un cas unique, celui du tuyau vertical, dont la section transversale est circulaire.

55. Après s'être ainsi rendu compte des causes auxquelles tiennent les résistances qui rendent la vitesse mojrenne constante, pour avoir la forme de l'expression qui donne cette vitesse, il faut remarquer que la perte absolue de force motrice devra, toutes choses égales d'ailleurs, être plus forte, lorsque le développement de la paroi mouillée sera plus considérable.

puisque c'est contre cette paroi que se fait la perte absolue <lont nous parlons : mais, d*une autre part, plus le filet doué du maximum de vitessa sera éloigné du périmètre de la section transversale, et moins Teffet de la résistance à la paroi sera sensible dans Tétendue de la masse fluide, l'adhésion de molécule à molécule y conservant seule son effet entier ; il suit de lA que i'eipression de la vitesse moyenne doit renfermer, avec Taire d« la section transversale, la longueur du périmètre mouillé, et Ton a reconnu que le coéfGcieut J de Téquation U=z ^ l^7(art. 53) était de la

forme y/ — , en désignant, comme il a été convenu (art. 5a), par g la

force accélératrice due à la pesantt'ur; par ta Taire de la section transversale; par y, la longueur de son périmètre mouillé; et en appelant a, une constante à déterminer diaprés Texpérience : j'ai déjà dit^ art. Si,

qu'on avait donné à la quantité ~ le nom de rayon moyen.

Mais tout ce qui précède suppose que sous une même pente , une même forme et une même grandeur de section transversale, la résistance est simplement proportionnelle au carré de la vitesse. Des expériences très-curieuses et très-exactes ont prouvé que Texpression de cette résistance devait aussi renfermer un terme ayant pour facteur la première puissance de la même vitesse; ce qui donne, entre les quantités f/, /, «, X fi"? 1» relation

U ^iU-^z't gi^

ou I en faisant '^ = a, ; - = ë, ,

,,£/ + 6.£/.= ïi (,),

à laquelle il faut réunir Téquation exprimant Tégalité entre les quantités deau qui passent par les diverses sections transversales, savoir :

Q étant le volume de Teau qui passe par une section quelconque pendant l'unité de temps; a,, 6, des constantes à déterminer par Texpérience. On déduit de ces équations celle que nous avons donnée art. 36.

56. Les trois articles précédents offrent un aperçu de la théorie que nous avons exposée avec tous les développements nécessaires, dans nos Recherches phjrsico^mathématiques sur les eaux courantes; théorie absolument fondée

5o MARAIS PONTINS.

sur un rapprochement des Jaifs et sur 1 emploi crunc méthode Analytique par Iriqiielle ou déduit, des observations, l^s iois des phénuiiièties. L'utilité de notre ttavail consiste autant et peut-êlie plus dans lexpositiou de la méthode dont nous venons de parler, qui met un nouvel instniment de reclierches entre le» mains^le.s hydraulicieus, et dans laderou\ertedes véritahles foruies à donner aux expressions des résistances , que d.nis la détermination numérique des coefficients; si de nouvelles ob«erv.ttion» apportaient queK|ues modifications à cette troisièrae^partie du travail, les deux, premières n'en subsisteraient pas moins.

57. Les équations (1) et (a) de l'art. 55 expriment les relations entre la vitesse, le produit par seconde, la «leclivité, la loriue et la grandeur de la section transversale, ces deux derniers éléments se rapportant à w et/: on doit avoir , pour chaque cas d'application pratique , un certain' nombre de ces variables données par l'état de la question, ou choisies arbitrairement, si le cas d*;q)plication le ])ermet , au moyen desqiiclles les autres variables se déterminent. Or nous avons dit que la condition essentielle à remplir, en construisant les a'mauic des eaux supérieures, était une graduation nuancée des vitesses , telle que les matières terreuses eulrainees par une partie supérieure de canal ne fussent pas déposées dans la partie inférieure; et au moyen fie l'emploi des chutes, nous nous procurons l'avantage de n*étre assujettis à aiurune valeirr des déclivités dcternnnées à priori. D'une autre part, la forme générale du profil est fixée jxar les formules des articles 5i et 5a, de manière que, lorsqu'on connaît la birgeur moyenne jr y on en déduit toutes les autres dimensions (hi profil; et enfin le prixliiii Q, par seconde, est donné par Tétat de la question : les quantités à introduire dans une première analyse sont donc, Qj Uy I et x; la première d'entre elles est une donnée du pi^oblème ; la secondr peut être prise arbilraircmeut entre des limites fournies par l'objet d'application qu'on en a vue, et nous avons deux équations pour déte^n^iner la troisième et la quntrième. *

Voici ces deux équations auxquelles ou parvient aisément par la combinaison des formules données depuis l'article 5i jusqu'à l'article 55 :

/ = 3.(cl. f/T^C. g/^). . . . (I)

INTRODUCTION. — CHAPITRE IX. 5i

On a supposé, pour abréger (art. 5i ),

> = I + nm — xq H- a (/? -¥-q) 9 (I. = wy? + q.

Les quantités X et [a appartiennent exclusivement à la forme de la section transversale, et la signification des lettres qui entrent dans leurs expressions a été donnée à i article 5i.

Lorsque la valeur de x est connue, toutes les autres valeurs, relatives à la forme et aux dimensions absolues du profil transversal, se calculent par les formules de ce même article 5 r . >»

58. Les formules de l'article précédent nous seront fort utiles ; mais nous aurons aussi besoin de déterminer les dimensions du profil transversal en employant, comme données, la déclivité et le produit d'eau par seconde. On déduit de la combinaison des équations des articles 5ï et 57 , pour ce cas , la suivante , dans laquelle e représente ( art. 02 ) la quantité -^ :

Les cas que nous aurons à traiter permettent d'employer, pour celte

'équation du 5* degré, une méthode d'approximation qui abrège beaucoup

le calcul. La voici exposée d'une manière générale et applicable à une

équation d'un degré qiielconque qui ne renferme que deux puissances de

riucoiïnue :

Soit x" — ^x" = By les exposants m et n étant entiers et positifs, m plus grand que «; et ^ et B deux quantités positives, la première desquelles est très-petite par rapport à la seconde. On aura la série suivante des quantités x^, x^, , x„,, etc., approchant de plus en plus de la valeur de X qui satisfait à la proposée.

mx

B {•X^tér *^^m)> ^titi — ^m "*"

etc. etc. etc.

5a MARAIS PONTTNS.

Dans les applications pratiques que noi/s aurons à faire de ces formules à IVquation (C), la première valeur 'l/B pourrait suffire, vu la petitesse de a , et Ton obtiendra une exactitude plus que suffisante en calculant la Taleur de x^, par les données

et Ton aura, par la Aubetitution de ces valeurs,

5— jt/ — ai.