CHAPITRE XL

Relations entre les déclmtéset les hauteurs absolues des pointsextrêmes de trois branches rectilignes de canaux qui se ren* contrent en un point commun.

65. Les équations qui donnent la solution de ce problème nous seront utiles pour la discussion d*une question importante qui intéresse la célèbre voie Appia.

Désignons par C le point commun de réunion , et par D, ^j B, respectivement, les autres extrémités de la i''*', a^ et 3^ branches; et pour obtenir des résultats indépendants des circonstances particulières du problème, supposons variables, tant la hauteur absolue de C, que celles de j^j Bel D : j'appelle z' , z", z"\ z'^^ respectivement, les coordonnées verticales de ^^ B^ Cy Dy ces coordonnées étant élevées au-dessus du plan de la basse mer où se trouvent leurs origines.

Faisons, de plus, C-^=a', C^=:a", Ci> = a'", et, pour établir un rapport général entre les déclivités, posons les valeurs

déclivité àe DC déclivité de DC

âécUvité dt C^ ^^ déclivité de CB

On a, entre ces diverses quantités, des relations exprimées par les équations

/,, j ma"'ï' —(a' H-/na'" ) 2'" + a' «''' = 0

auxquelles on peut substituer, les suivantes, qui n'expriment pas de nouvelles relations, mais qui, dans certains cas, peuvent être plus commodes pour le calcul.

^^^ 1 ma" 2'"-/ia's" + (/ia' — 7/ia")ï"' = o.

Ces deux dernières, retranchées l'une de l'autre, donnent

(3) mnti'" («"— «•) — (na' — //ia")(5'^ — z"') = o.

Remarquez que, dans ces dernières équations, il ne faut pas conclure des hypothèses 2' = o, z" = o, les valeurs z'" = o, z'^ = o; ou z'" = z'^5 mais la relation n a' — /n a" = o; les valeurs de z'" et z '', correspondantes à z' = o et z" •= o peuvent se déduire des équations (i).

Ces équations doivent, en général, être combinées avec les équations du mouvement des eaux dans les canaux, données art. 55 et suivants; mais un de leurs avantages sera de pouvoir être employées , comme nous aurons occasion de le faire dans la 4* section de cet ouvrage, en laissant indéterminées une ou deux des trois déclivités , pour reconnaître si un abaissement donné d'un point déterminé d'une des trois branches est praticable.