CHAPITRE XIII

Méthode de nivellement trigonometrique ^ applicable aux cas oit les méthodes ordinaires seraient ou trop difficiles ou impraticables y et pommant aussi servir a lever , d'une seule station y la carte dan pays.

69. Lorsque nous commençâmes à nous occuper des opérations géodesiques relatives à nos projets de dessèchement des marais Pontîns, ou nous communiqua des nivellements faits, en général, avec soin et exactitude ; mais où nous ne trouvâmes pas les hauteurs de plusieurs points importants tels, par^ exemple, que le lac de Ninfa, d*où s'écoulent les eaux du fleuve de même nom, les sources remarquables qu'on rencontre en suivant la voie Consulaire qui passe au bas de Sennonetta, etc.: ces points placés vers la limite septentrionale des marais sont les plus ëloi« gnés de la nier; il aurait été extrêmement pénible de déterminer leur hauteur au-dessus de la basse-mer en suivant, avec le niveau, des lignes tracées dans la campagne , c'est-à-dire en opérant par la méthode ordinaire des stations successives, travail qu'on ne peut, sous peine de la vie, exécuter qu'en temps d'hiver, et c'est peut-être, par celle raison, que les opérations n'avaient pas été faites. J'avais employé , quelques années auparavant, sur le fleuve du Pô, une méthode géodésique particulière, pour relever, en naviguant, les gisements et les diverses configurations des rivages, et je m'en suis servi, le cercle répétiteur étant substitué au sextant, à mesurer, en évitant les fatigues et les dangers dont je viens de parler , uon-5euIement les hauteurs au-dessus de la nier, mais encore les positions horizontales des points à niveler.

70. L'avantage de cette méthode consiste en ce que l'observateur, sans sortir de la même station , peut déterminer les positions et les hauteurs d'un nombre de points arbitraire, dans l'étendue de terrain visible de s& station^ soit entre eux, soit par rapport à lui.

, Voici le problème fondamental sur lequel son application est fondée: «Étant donnés les longueurs de deux segments contigus d'une même « ligne droite, et les deux angles formés par trois droites tirées d'un <r même point aux extrémités de ces segments , résoudre les<deux triangles « qui ont ce point pour sommet commun et les segments pour base. »

Ce problème peut être regardé comme une dépendance de celui qui a pour objet la détermination de la position d'un point par rapport à trois points dont les positions respectives sont données dans l'espace; il conduit à des formules beaucoup plus simples, et dont j'ai reconnu , par mon expérienee, qu'on pouvait tirer, dans la pratique, un parti fort utile.

Soient b' le segment à droite et &" le sèment à gauche de l'observateur placé au sommet des angles donnés; /, r" et r'" les distances respectives de l'observateur à lextrémité droite de la ligne , au point de division des deux segments, et à l'extrémité gauche de la ligne; a! l'angle formé par r et r" , et a" l'angle formé par r" et r'" : on fera '

et l'on calculera d'abord les nombres

sin. a' 6"' ^

les signes — et 4- , sous le radical , correspondant respectivement aux cas où a est aigu ou obtus, et l'on aura

m m sin. a* m

Tons les côtés et un angle de chaque triangle étant ainsi connus, les angles incoimus se calculent aisément.

Mesurant les distances au zénith des points observés, on a l'inchnaison de la ligne par rapport à l'horizon, et les différences de niveau entre ces points et la station de l'observateur. Je choisissais mes stations, dans les znarais Pontins, de manière à voir toujours l'horizon de la mer; en sorte que je pouvais sur-le-champ déterminer et ma hauteur et celle des points observés par rapport à cet horizon.

Sî Ton mesure l'angle compris entre une des extrémités d'un des segments et un point quelconque pris dans la direction de la droite qui renferme ces segments, on pourra calculer la position de ce point sans

élre oblige de connaître, a priori y sa distance aux segments; on aura ^ pour cela, à calculer un triangle par un de ses côtés et les deux angles adjacents.

Enfin, mesurant autant de bases, chacune divisée en deux segments, qu*il sera nécessaire , et liant ces bases deux à deux par des angles dont chacun ait ses côtés correspondants à deux bases diiférentes, on fait, d'une uiénie station, la carte et le nivellement du pays visible de cette station.

71, Lorsque la ligne observée est verticale, on n'a plus besoin de connaître deux longueurs; une seule sufBt, et le calcul des formules devient plus simple. Voici les valeurs relatives à ce cas, qui peut avoir des applications utiles.

Supposons d'abord que la longueur donnée è" soit toute entière d'un même côté , par rapport à Thorizontale passant par Toeil de l'observateur; comme b' n'entre plus dans le calcul, rien n'empêche de supposer r' horizontale, et a', a' seront tous les deux, ou des angles d'élévation, ou des angles de dépression. On aura

h** COS. a' COS. a

sm. a'

h*' CO8. a ,,' *'

COS. a'

un. a'

Supposons ensuite que l'horizontale, passant par l'œil de lobservateui, rencontre la verticale observée : la longueur b de cette verticale entrant seule dans le calcul, rien n'empêclie de supposer r'' horizontale; des deux angles a' et a" , l'un sera d'élévation, et l'autre de dépression, par rapport à l'horizon, et Ton aura

l^ CCS. a"

sin. a

b COS. a' COS. a'

sm. a

b COS.

sm. a

7a. 9 étant l'angle d'élc'vation ou de dépression , par rapport à Thorizou, d'un point quelconque pris sur la direction de la verticale by et h la différence de niveau entre ce point et l'horizontale /*" , on aura

> & COS. n' COS. fl" . f y\

h = : tang. 9 — (A)

sm. a

Il est bien entendu que, dans tous les calculs fondés sur les formules précédentes, il faut avoir l'égard convenable à la réfraction terrestre. J'ai fait les dispositions nécessaires pour appliquer un procédé auquel

la formule (A) se rapporte, à un nivellement des douelles des elefs des ponts de la Seine, dans la traversée de Paris. Cette opération, qui na jamais été faîte, ne serait pas sans embarras, si Ion voulait y employer Jes mélliodes ordinaires.