REPRÉSENTATION DES SURFACES PLANES

Par conséquent, il suffit de chercher les projections des points A, B, C, D, communs à chacun des quatre côtés du rectangle.

Ô6. Uïie surface plane peut se trouver dans, huit positions différentes à l'égard des deux plans de projection ; elle peut être :

4*> Située dans le plan horizontal; — %** située dans le plan vertical ; — 3° parallèle au plan horizontal ; — 4" parallèle au plan

vertical ; — 5» perpendiculaire au plan vertical ; — 6° perpendiculaire au plan horizontal ; — 7» perpendiculaire à la fois aux deux plans ; — 8<> oblique à la fois aux deux plans.

^7. Ces différentes positions donnent lieu aux principes suivants :

4* Toute surface plane située sur l'un des plans de pro^

jectio7i se projette sur ce plan par une figure égale, et sur l'autre par une droite située sur la ligne de terre ;

2° Toute surface plane parallèle à l'un des plans de projection se projette sur ce plan par une figure égale, et sur Vautre par une parallèle à la ligne de terre ;

3° Toute surface plane perpendiculaire à l'un des plans de projection se projette sur ce plan par une droite; sa projection sur l'autre plan est ou une ligyie droite, ou une figure égale, ou une figure en raccourci; suivant que cette surface est en même temps dans une position perpendiculaire , ou parallèle, ou oblique, à l'égard de ce second plan;

4° Toute surface plane oblique à la fois aux deux plans de projection se projette en raccourci sur chacun de ces plans,

iJ8. TRACEZ LES PROJECTIONS D*UN TRIANGLE ISOCÈLE PA- RALLÈLE AU PLAN VERTICAL ET AYANT SA BASE PARAL- LELE AU PLAN HORIZONTAL.

Soient 9 millimètres Téloignement du triangle donné au plan vertical, 4 millimètres la distance de sa base au plan horizontal,

13 millimètres la longueur de cette base, et 15 millimètres la hauteur du triangle.

Remarquons que ce triangle étant parallèle au plan vertical se projettera sur ce plan par un triangle égal , et sur le plan horizontal suivant une droite parallèle à la ligne de terre (57, 2°).

Tracez la ligne de terre LT. — Pour construire la projection verticale : élevez en un point quelconque de LT une perpendiculaire indéfinie nm; — sur cette perpendiculaire, à partir de la ligne de terre , portez en ma une longueur de 4 mill. égale à la distance de la base au plan horizontal (29 et 30) ; — portez en an une autre longueur de 15 mill. égale à la hauteur donnée du triangle; —par les points a etn menez des parai-

PROBLÈMES. SURFACES PLANES

lèles à LT; — faites aô de 13 mill., et divisez cette li gne en deux parties égales; la perpendiculaire élevée en son milieu, en rencontrant la parallèle ne, déterminera le point c, sommet du triangle; — joignez aceibc, le triangle abc sera la projection verticale cherchée.

Pour déterminer la projection horizontale : abaissez de l'angle b une perpendiculaire indéfinie à la ligne de terre ; — portez ensuite de m en a', dans le plan horizontal, une longueur de 9 mill. égale à la distance donnée du triangle au plan vertical; — puis menez a'b', parallèle à la ligne de terre, elle sera la projection horizontale du triangle.

tf9. TBAGEZ LES PROJECTIONS DU TRIANGLE PRECEDENT, EN SUPPOSANT qu'il AIT TOURNÉ SUR UN DE SES ANGLES ET SOIT DEVENU OBLIQUE AU PLAN VERTICAL EN S'ÉLOI- GNANT DE CE PLAN, SANS QUE SA BASE AIT CESSÉ d'ÊTRE PARALLÈLE AU PLAN HORIZONTAL.

Soient b et b' les projections du point sur lequel le triangle a tourné, et 40 degrés l'angle d'obliquité qu'il a pris par rapport au plan vertical.

Le point B du triangle dans l'espace n'a donc pas changé de position. Mais, pour ne pas mettre deux projections l'une sur l'autre (52), supposons que le triangle, après avoir tourné, a été transporté parallèlement aux deux plans de projection. De cette manière, la nouvelle projection horizontale de ce point est quelque part sur la ligne a'b' prolongée. Prenez-le arbitrairement en b".

t8 DESSIN GÉOMÉTRIQUE.

Dans le mouvement de rotation qui s'est opéré sur le point b, le côté ab est resté parallèle au plan horizontal, les angles a, b, c n'ont pas changé de distance entre eux, et la surface du triangle est restée perpendiculaire au plan horizontal. On doit en conclure que sa projection sur le plan horizontal est encore une droite, et que cette droite est toujours égale à a'b' (52). — Pour la tracer : construisez au point b un angle de 40° sur a'b"; — portez ensuite b'a' en b"a", b'c' en b"c"; vous aurez cette nouvelle projection.

Mais il reste à obtenir la projection verticale : — Élevez de chacun des points a", b", c" des perpendiculaires à la ligne de terre, ces lignes contiendront les projections verticales de ces points (29) . Pour les ûxer, remarquons que dans le déplacement du triangle les angles a et c se sont mus parallèlement au plan horizontal ; — menez donc par ces points des parallèles à la ligne de terre, ces lignes devront aussi contenir les projections verticales du triangle dans sa nouvelle position ; — les points de rencontre a"'j b"', c'" sont donc ces projections, et le triangle a"'b"'c"' la projection verticale cherchée. Nous avons déjà vu que a'b" en est la projection horizontale.

60. TRACEZ LES PROJECTIONS d'UN RECTANGLE PARALLÈLE AU PLAN HORIZONTAL, AYANT SA BASE PARALLÈLE AU PLAN VERTICAL.

Soient 16 millimètres Téloignement du rectangle au plan horizontal, 6 millimètres sa distance au plan vertical, 18 et 12 millimètres les longueurs de ses côtés.

Avant d'entrer en matière sur ce problème, nous prévenons que, dorénavant, nous cesserons de tracer les contours des plans de projection; car ces plans, en effet, sont supposés indéfinis. Toutefois, malgré l'absence de ces limites, on devra toujours considérer la surface située au-dessus de la ligne de terre, comme représentant le plan vertical, et celle située au-dessous de cette ligne comme représentant le plan horizontal. On comprendra donc qu'il n'y a absolument rien de changé dans les conditions précédemment admises (27). Par conséquent, LT représente toujours l'intersection des deux plans de projection.

Cela bien entendu, revenons au problème. Comme le rectangle dont il s'agit se projette dans sa vraie grandeur sur le plan horizontal, auquel il est parallèle (57), — après avoir tracé la ligne de terre LT, construisez dans le plan horizontal, à 6 mill. de LT

PROBLÈMES. SURFACES PLANES

et parallèlement à cette ligne, un rectangle a'h'c'd^ de 48 mill, de base sur M mill. de hauteur; — ce rectangle sera la projection horizontale cherchée.

Iiilllllilllill

La projection verticale devra être une parallèle à la ligne de terre (57), distante de 46 mill. de cette ligne. — Pour la déterminer : prolongez les perpendiculaires indéfinies a'd', h'd , et portez dans le plan vertical une longueur de 46 mill. à partir de LT; — puis menez ab; c^tte droite sera la projection verticale du rectangle donné.

Cl« TRACEZ LES PROJECTIONS DU MEME RECTANGLE, EN ADMETTANT QU'lL AIT TOURNÉ SUR l'uN DE SES CÔTÉS PERPENDICULAIRES AU PLAN VERTICAL SANS CHANGER DB DISTANCE A CE PLAN, ET Qu'iL SOIT DEVENU ORLIQUE AU PLAN HORIZONTAL EN s'eN RAPPROCHANT.

Soient b'd (voir la fig. du problème 60) le côté sur lequel le rectangle a tourné, et 48 degrés l'angle qu'il forme avec le plan horizontal en se rapprochant de co plan.

La droite BC du rectangle de l'espace, n'ayant pas changé de position, et, ayant en quelque sorte servi de charnière au rectangle, a toujours le point b pour projection verticale. Mais, ainsi qu'aux problèmes précédents (52 et 59), pour éviter de surcharger les premières projections, supposez que le rectangle, après avoir tourné, ait été déplacé parallèlement à chacun des plans de projection.

Cette disposition admise : — Tracez la ligne de terre LT, et reproduisez les projections du problème précédent ; — cela fait»

prenez la nouvelle projection verticale de BG à une distance

quelconque de b sur le prolongement de oô. - Le rectangle, tout

IM| ni

en se déplaçant, étant resté perpendiculaire au plan vertical, sa projection sur ce plan est une droite égale à ab et faisant avec la ligne de terre un angle de 48 degrés (57). — Faites donc au point b" l'angle de 48*, et portez'oô de b" en a"; — tracez a"b"; cette ligne sera la projection verticale cherchée.

Quant à la projection horizontale, remarquez que le mouvement de rotation s' étant effectué parallèlement au plan vertical, les points A, B, G, D du rectangle de l'espace ont conservé leurs mêmes distances k ce plan. — Afin d'obtenir leurs nouvelles projections : prolongez d'c' et a'b\ ces lignes devront les contenir puisqu'elles sont parallèles à la ligne de terre. — Mais on doit se souvenir que ces projections doivent aussi se trouver sur des perpendiculaires à la ligne de tei-re abaissées des points a" b" de la projection verticale (29); elles seront donc à leurs points d'intersection a", b'", c"*, d'", — Alors vous aurez le rectangle a"'b"'c"'d"' pour la projection horizontale cherchée.

62. Comme vérification du résultat précédent : construisez DANS SA VRAIE GRANDEUR LE RECTANGLE DONT LA PROJECTION VERTICALE EST LA DROITE a"b"j ET LA PRO- JECTION HORIZONTALE LE RECTANCJLE a"'b"'c"'d"'.

Pour résoudre le problème, il faut faire usage du procédé déjà appliqué aux lignes (50 et 54), en opérant un changement de plan de projection et en rabattant ainsi le rectangle.

Tracez d'abord la ligne de terre LT, et établissez les données, c*est-à-dire les dernières projections obtenues dans le problème précédent. — Supposez ensuite que c'est le plan horizontal qui

PROBLÈMES. SURFACES PLANES

devient parallèle au rectangle. — Menez alors, à une distance quelconque, la nouvelle ligne de terre L'T', parallèlement à

a!'h" ; — abaissez ensuite sur cette ligne les perpendiculaires indéfinies a"a' et b"b' ; — cela fait, portez md"' en m'd' , et ne'" en v!c'; vous aurez ainsi obtenu sur le nouveau plan horizontal le côté d'c' ; — portez encore d"'a"' en d'à' et c"'h"' en c'b'; — enfin, tracez la droite a'b', et vous aurez le rectangle cherché qui doit être égal au rectangle a'b'c'd' du problème 60.

65. TRACEZ LES PROJECTIONS d'UN RECTANGLE PARALLÈLE AU PLAN VERTICAL, ET AYANT SA BASE OBLIQUE AU PLAN HORIZONTAL.

Soient 40 millimètres la distance qui sépare le rectangle du plan vertical, 9 millimètres et 4 4 millimètres les longueurs de ses côtés, 20 degrés l'angle de sa base avec le plan horizontal.

Le rectangle doit se projeter dans sa vraie grandeur sur le plan vertical auquel il est parallèle, et sur le plan horizontal suivant une

droite parallèle à la ligne de terre \.

(57). En outre, il doit reposer par ■ i i i

un de ses angles sur le plan hori- I i < '

zontal, car aucune distance à ce w__i — L-j

plan n'est indiquée dans les données du problème.

Tracez LT, et prenez un point quelconque a sur cette ligne ;

Zt DESSIN GÉOMÉTRIQUE.

— formez en ce point un angle de 20» avec la ligne de terre ; — • faites ab de 9 mil!, de longueur; — construisez sur cette droite un rectangle dont les côtés bd et ac aient 14 mill. — Le rectangle abcd sera la projection verticale cherchée.

Quant à la projection horizontale : — des points a^ b, c, d, abaissez sur la ligne de terre des perpendiculaires indéfinies; — portez, à partir de cette ligne, dans le plan horizontal, une longueur de 10 mill. égale à la distance du rectangle au plan vertical ; — menez b'd parallèlement à LT, elle sera la projection horizontale cherchée.

64. TRACEZ LES PROJECTIONS DU MEME RECTANGLE (63), EN SUPPOSANT QU'iL AIT TOURNÉ SUR SON ANGLE INFÉ- RIEUR ET SOIT DEVENU OBLIQUE AU PLAN VERTICAL, SA BASE FORMANT TOUJOURS LE MÊME ANGLE AVEC LE PLAN HORIZONTAL.

Soient a (voir la fig. du problème 63) le point sur lequel le rectangle a tourné, et 35 degrés Tangle d'obliquité au plan vertical.

Commencez par tracer la ligne de terre et établir les données, c'est-à-dire les deux projections du problème précédent.

Remarquez maintenant, qu'en pivotant sur l'angle a qui n'a pas changé, le rectangle est resté perpendiculaire au plan horizontal ; sa projection sur ce plan sera donc une droite oblique à la ligne de terre (57). De plus, la base nb ayant conservé son angle d'inclinaison par rapport à ce même plan , les autres côtés du rectangle ont, eux aussi, conservé les inclinaisons qu'ils avaient primitivement; il s'ensuit que les distances entre les projections des points n, b, c, d, sont les mêmes sur la droite. Donc, la projection sur le plan horizontal conserve ses mêmes dimensions.

Pour les mêmes motifs que nous avons déjà présentés (52, 59 et 61 ) : supposez que le rectangle, après avoir pivoté, a été déplacé parallèlement aux deux plans de projection.

Prolongez donc b'c\ et prenez un point quelconque a" sur cette ligne ; — construisez en ce point un angle de 35" avec b'a"; — portez ensuite a'c' en a"c", a'd' en a"d", et a'b' en a"b" ; — la ligne 6"c" sera la projection horizontale du rectangle déplacé.

Avant de chercher la projection verticale , il faut jeter les regards sur la figure, pour bien saisir ce qui s'est passé lorsque le rectangle a pivoté. Nous avons déjà dit que le côté ab a con-

PROBLÈMES. SURFACES PLANES. 33

serve sa môme inclinaison avec le plan horizontal , il est donc évident que dans le mouvement du rectangle, les angles b, c, d

ont tourné horizontalement, et qu'alors leurs distances au plan horizontal n'ont aucunement changé. Le point a, lui, est resté sur le plan horizontal.

Par les points b, c, d, menez des parallèles à LT; ces lignes contiendront les nouvelles projections verticales. — Mais ces mêmes projections doivent aussi se trouver sur des perpendiculaires à LT élevées des points a", b" , c" , d" (29) de la projection horizontale; — les points d'intersection a'", b"\ c'", d'" seront donc les projections verticales des quatre angles du rectangle ; — joignez alors ces points deux à deux par des droites, qui devront être parallèles deux à deux ; — vous aurez le parallélogramme a"'b"'c"'d"' pour la projection verticale cherchée.

65. TRACEZ LES PROJECTIONS d'uN HEXAGONE REGULIER PARALLÈLE AU PLAN VERTICAL, ET DONT TOUS LES CÔTÉS SONT ORLIQUES AU PLAN HORIZONTAL.

Soient 8 millimètres la distance de l'hexagone au plan vertical, 9 mill. le côté de l'hexagone, 5 mi II. la distance de son angle inférieur au plan horizontal , et 78 degrés l'ouverture de l'angle que forme avec le plan horizontal une ligne joignant l'angle infé* rieur à l'angle supérieur.

L'hexagone se projette suivant sa vraie grandeur sur le plan vertical, auquel il est parallèle (57). Il s'agit donc de tracer sur le plan vertical un hexagone remplissant les conditions des données. — A cet effet, tracez la ligne de terre LT, et prenez arbitrairement sur cette ligne un pointa; — en ce point, formez avec LT un angle mac de 78«; — élevez une perpendiculaire mn en

un point quelconque de LT ; — sur mn, à partir de la ligne de terre, portez dans le plan vertical une longueur de 5 mill. égale

à la distance de l'angle inférieur au plan horizontal; — par le poiiit n menez nh parallèle à la ligne de terre ; — le point d'intersection b de cette parallèle avec l'oblique, est la projection verticale d'un des angles de l'hexagone. — Prenez maintenant une ouverture de compas de 9 mill., et portez cette longueur, à partir du point 6, sur ac; — vous aurez ainsi f pour le centre de la circonférence dans laquelle l'hexagone doit être inscrit; — tracez cette circonférence, puis des points h et c, divisez-la en six parties égales; — enfin tracez l'hexagone hecd, qui sera la projection verticale cherchée.

Quant à la projection horizontale, nous avons vu précédemment qu'elle doit être une droite parallèle à la ligne de terre (57). D'autre part, nous savons aussi que les projections horizontales de chacun des angles doivent être situées sur les perpendiculaires à. LT abaissées des projections verticales de ces mômes angles (29). — Abaissez donc des points dj bj e^ etc., des perpendiculaires à la ligne de terre; — sur l'une d'elles, portez, à partir de LT, dans le plan horizontal, une longueur de 8 mill. égale à la distance de l'hexagone au plan vertical; — enfin, menez d'e' parallèle à LT; cette ligne sera la projection horizontale chjBrchée.

66. TRACEZ LES PROJECTIONS DU BIEME HEXAGONE (65) DEVENU OHLIQUE AU PLAN VERTICAL, SANS AVOIR CESSE ; D*ÊTRE PERPENDICULAIRE AU PLAN HORIZONTAL.

Soient e l'angle de l'hexagone sur lequel il a tourné (voir la fig. du problème 65), et 50 degrés l'angle d'obliquité qu'il forme avec le plan vertical, en s'écartant de ce plan.

En examinant la nouvelle position que l'hexagone a prise, il est facile de reconnaître que la projection verticale devra représenter ce polygone en raccourci, et que la projection horizontale sera toujours une droite oblique à la ligne de terre (57).

Nous avons vu aussi aux problèmes précédents (59 et 64) que

PROBLÈMES. SURFACES PLANES. 3:5

cette droite reste la même, et que les points qu'elle contient conservent entre eux leurs distances relatives.

Tracez d'abord la ligne de terre, et établissez ensuite les données, c'est-à-dire répétez les projections du problème 65. — Et, aûn d'éviter la complication des lignes (comme nous l'avons déjà dit 52, 59, 61 et 64) : supposez que l'hexagone, après avoir tourné, a glissé parallèlement aux deux plans de projection. — Prolongez donc la ligne d'e\ et prenez arbitrairement un point e" sur cette ligne; — construisez en e" un angle de 50" avec d'e";

— portez ensuite e' b' en e"b", e'c en e"c", e'd' en e"d", etc.

— La droite d"e" sera la projection horizontale de l'hexagone.

■ Relativemenf à la projection verticale, nous ne recommencerons pas de nouveau le raisonnement que nous avons fait au problème 64 ; nous nous contenterons seulement de rappeler ce qui en est ressorti. En tournant sur l'angle e, les autres angles do l'hexagone se sont déplacés par rapport au plan vertical en s'en éloignant, mais ils ont chacun conservé leurs mêmes distances au plan horizontal.

Menez alors par chacun des angles b, e, c, etc., des parallèles à la ligne de terre, elles contiendront les projections verticales cherchées; — élevez ensuite, des points d' , c' , e'j etc., des perpendiculaires à LT, ces perpendiculaires doivent également contenir les projections verticales de ces points (29). — Leurs intersections b'", e"' , c'" , etc., détermineront donc la projection verticale cherchée de l'hexagone. .

67, TRACEZ LES PROJECTIONS d'uN CERCLE PARALLÈLE AU PLAN HORIZONTAL.

Soient 40 millimètres le rayon du cercle, i5 mill. sa distance au plan horizontal, et 8 mill. celle au plan vertical.

La projection horizontale est un cercle de même grandeur, et sa projection verticale une droite parallèle à la ligne de terre (57). Tracez la ligne de terre et élevez sur cette ligne une perpendiculaire indéfinie dd'; — portez sur cette ligne, à partir de LT et dans le plan horizontal, d'abord une longueur mf de 8 mill. égale à la distance du cercle au plan vertical ; — de /* en ^ portez encore une distance de 10 mill. égale au rayon du cercle de l'espace; — du point g comme centre, avec gf pour rayon, décrivez la circonférence adef^ qui sera la projection horizontale cherchée.

Pour déterminer la projection verticale, — portez à partir de la ligne de terre, dans le plan vertical, de m en d' une longueur de 15 mill.; — par le point d', menez une parallèle à LT; — menez également dans la projection horizontale le diamètre ae parallèlement à la ligne de terre ; — par les points Of e^ élevez deux perpendiculaires à LT, qui déterminent ae' pour la projection verticale du cercle.

vr.

68. TRACEZ LES PROJECTIONS DU MEME CERCLE (67) DE- VENU OBLIQUE AU PLAN HORIZONTAL EN TOURNANT SUR SON DIAMÈTRE PERPENDICULAIRE AU PLAN VERTICAL.

Soit 35® l'angle d'inclinaison du cercle au plan horizontal.

On a vu (44) , que toute courbe tracée dans un plan perpendiculaire à l'un des plans de projection se projette sur ce plan par ^me droite oblique à la ligne de terre, et sur l'autre par une courbe en raccourci. D'autre part (4î), on sait qu'il faut, pour

PROBLÈMES. SURFACES PLANES

déterminer une courbe, chercher les projections de plusieurs de ses ppints.

Commencez par tracer la ligne de terre et établir les données. — Puis, prenez à volonté un certain nombre de points sur la circonférence, douze, par exemple (voyez I'* partie,' 3i 8); — des points a^ b, c, d, etc., élevez des perpendiculaires indéfinies à la ligne d© terre, elles détermineront les projections verticales de ces points en a', b', c' , d', etc. — Maintenant, pour tracer la nouvelle projection verticale du cercle devenu oblique, rappelezvous- ce que les problèmes 59, 64 , 64 et 66 vous ont montré sui^ abondamment, que cette projection verticale, qui est une oblique, ne change pas de longueur. — Prolongez indé6niment a'e' , comme vous Favez déjà fait précédemment; — prenez un point quelconque d" sur cette droite, il représentera la projection du diamètre rf/" qui a servi de charnière au mouvement du cercle ; — en ce point d", tracez avec a'd" un angle de 35^ ; — portez d'à' en d"a", d'b' en d"b", d'c' en d"c", etc. — En6n, pour déterminer la projection horizontale, des points a", b", c"^ d", etc., ainsi répétés sur l'oblique, abaissez des perpendiculaires indéfinies à la ligne de terre; — par les points a, b, c, rf, etc., menez des parallèles à la ligne de terre; — les points d'intersection a'", b'", c'", d"\ etc., donneront le passage de la courbe qui sera la projection horizontale du cercle. — Cette courbe est une ellipse.

69. TBACEZ LES PROJECTIONS d'uN TRIANGLE EQVILATÉRAL CURVILIGNE OBLIQUE A LA FOIS AUX DEUX PLANS DE PRO- JECTION, ET REPOSANT PAR UN DE SliS ANGLES SUR LE PLAN HORIZONTAL.

Soient 50 degrés son angle d'obliquité au plan horizontal; 60 degrés l'angle qu'il forme avec le plan vertical; 15 millimètres la distance au plan vertical de l'angle sur lequel il repose; et 10 mill. le rayon de la circonférence circonscrite au polygone.

Nécessairement, le triangle se projettera en raccourci sur chacun des deux plans (57, 4°).

Pour obtenir ces projections, il faut faire subir au polygone plusieurs changements de position : — Il est d'abord nécessaire de connaître la vraie grandeur du polygone, et pour cela en déterminer les projections en le considérant comme parallèle au plan vertical. — Ensuite, supposez que son obliquité aux deux plans s'est produite successivement pour chacun d'eux, et non simultanément; conséquemment, chercher ses projections en le considérant comme oblique seulement à l'un des plans. — Enfin, tout en conservant son obliquité à l'un des plans, le considérer comme devenu oblique à l'autre, et, alors, chercher ses projec-* tions dans ce dernier cas.

Nous allons développer ces opérations successives.

Dans la première position supposée, il est parallèle au plan vertical et repose sur le plan horizontal. La projection verticale est alors un polygone de même grandeur, et sa projection horizontale une droite parallèle à la ligne de terre (57, t°).

Tracez la ligne de terre et élevez-lui une perpendiculaire ad; - portez, à partir de LT dans le plan vertical, une longueur ad

PROBLÈMES. SURFACES PLANES

de lOmill. égale au rayon de la circonférence circonscrite; — du point d décrivez la circonférence; — divisez-la en trois parties égales (ï, 317); — des points de division a, b, c, comme centres, avec un rayon ab, décrivez successivement les arcs bc, ca et ab, Le polygone curviligne abc sera la projection verticale cherchée.

Pour déterminer la projection horizontale : — Portez dans le plan horizontal une longueur aa' de 15 mill., égale à la distance qui sépare le plan vertical de l'angle sur lequel le triangle repose; — par le point a', menez une parallèle à LT; — des angles a^ c, h, abaissez des perpendiculaires indéfinies à la ligne de terre; — la ligne b'c' sera la projection horizontale du triangle équilatéral parallèle au plan vertical.

Passons à la seconde position du triangle.

Admettez maintenant que le triangle ait pivoté sur l'angle qui repose sur le plan horizontal, et qu'il ait pris une position perpendiculaire aux deux plans de projection. — Les projections seront alors deux droites perpendiculaires à la ligne de terre (57, 30).

Pour obtenir la projection verticale : — En un point quelconque a" de la ligne de terre, élevez une perpendiculaire indéfinie à cette ligne; — remarquez que le pivotement du triangle n'a nullement changé les distances d'aucun des points de son contour par rapport au plan horizontal; — menez donc par les angles b, c, ainsi que par les points e, f, g, des parallèles à LT; — la droite a"e" sera la projection verticale cherchée.

Quant à la projection horizontale : le point d , sur lequel le trianjîle pivote, ne change pas ; et déjà vous avez vu que la ligne b'c' , en changeant de position, conserve s^ grandeur. —

Prolongez b'c' parallèlement à LT; — du point a'", portez «'fc* en a"'b"', a'd en a"'c"', etc.; — la droite h"'c"' sera la nouvelle projection horizontale.

Supposez actuellement que le triangle soit devenu oblique au plan horizontal, tout en restant perpendiculaire au plan vertical. — Dans ce nouveau cas, sa projection verticale sera toujours une droite, et sa projection horizontale sera un triangle en raccourci (57, 3<»).

Pour déterminer ces projections : — Prenez arbitrairement un pomt à' sur LT (*); — formez en ce point, avec la ligne de terre, un angle de 50^ ; — comme cette projection conserve ses dimensions, reportez les longueurs de, ab, ag en a"e'\ a"b", a" g". — La droite a"e" sera la nouvelle projection verticale.

Mais, dans le déplacement que le triangle a subi, tous ses points ont conservé les mêmes distances au plan vertical. — Menez donc par a\ b' , c', etc., des parallèles indéfinies à la ligne de terre; — puis, abaissez des points a'\ b", e" , etc., de la projection verticale, des perpendiculaires à la ligne de terre ; — les intersections a'"^ b"', e'", etc., de ces perpendiculaires et des parallèles, donneront les angles et les points intermédiaires; — tracez trois courbes passant par ces points. — Le triangle a!"b"'c"' sera la projection horizontale cherchée.

{{) Nous faisons remarquer qu'afln d'éviter l'augmentation du nombre des accents tout en conservaut les mêmes lettres pour désigner les mêmes points, nous supprimerons les lettres aux projections qui cesseront d'être utiles, en les reportant aux mêmes p^^ints de celles des prcjections encore nécessaires.

PROBLÈMES. SURFACES PLANES. 44

Nous sommes enfin arrivés à la dernière phase du problème. Considérez que le triangle, en pivotant de nouveau sur son angle inférieur, est devenu oblique au plan vertical, tout en conservant l'inclinaison qu'il avait prise précédemment par rapport au plan horizontal.

Dans cette nouvelle condition, la projection horizontale no change ni de forme ni de grandeur, puisque le triangle conserve son angle d'inclinaison au plan horizontal; elle change seulement de position , et ce changement doit s'opérer sur le point a', qui seul reste fixe.

Prenez donc arbitrairement a" sur une parallèle à la ligne de terre, menée du point a' de la dernière projection obtenue ; — formez, en un point quelconque m de LT, un angle Lma" de 60° égal à l'angle d'inclinaison de la surface du triangle au plan vertical ; — menez par le point a" une perpendiculaire à ma"; — copiez en a", et sur l'axe a"e", un triangle égal à dh'c'. — Le triangle a"h"c" ainsi reproduit sera la projection horizontale.

Quant à là projection verticale : comme le triangle, en se déplaçant, a conservé son inclinaison au plan horizontal, ses angles et les points de son contour se sont déplacés parallèlement à ce plan, et, par conséquent, ont conservé leurs distances respectives à ce même plan. — Menez par les points b, g, e, etc., des parallèles indéfinies à la ligne de terre; — parles points a", h", c" , etc., de la projection horizontale, élevez des perpendiculaires indéfinies à LT; — faites passer par les points d'intersection les

courbes a!"g"'h'", h"'e"'c"\ c"'f"'a"', elles formeront le triangle a"'h"'c'"j qui sera la projection verticale cherchée.

Les deux polygones curvilignes a"b"c'* et a"'b"'c"' sont les solutions du problème.

On pourrait encore construire ces différentes projections en employant la méthode des rabattements, dont nous avons donné des exemples (54, 62).