CHAPITRE

UéTHObB DES PROJECTIONS.

S 1.— REPRESENTATION DES SOtlDES,

70. On détermine les projections d'un polyèdre en cherchaDt celles de ses sommets ; car les projections des sommets donnent celles des arêtes, par suite celles des faces, et permettent ainsi de reconnaître toutes les dimensions du polyèdre.

Exemple : soit à projeter une pyramide SADCD. On abaisse successivement de chacun des sommets des perpendiculaires sur chacun des pians de projection ; on joint ensuite les pieds de ces

perpendiculaires par des droites, de manière à avoir les projections des arêtes. La figure sabcd sera la projection horizontale de la pyramide, et la figure s'd'a'û'b' en sera la projection verticale.

Nous rappelons ici que, pour éviter toute confusion dans la lecture des projections des corps, nous sommes convenus (17) de représenter les lignes visibles par des lignes pleines, et les lignes

cachées par des lignes ponctuées. On se souvlericlrâ atfssi (ïSy que les lignes de construction et celles de projection sont formées de petits traits séparés par des points.

71. Maintenant, afin de reconnaître celles des arêtes qui sont visibles et celles qui peuvent être cachées, il est nécessaire que le dessinateur suppose se placer successivement de manière que la pyramide soit entre son œij et chacun des plans de projection.

Si Ton considère le plan horizontal : on reconnaîtra facilement que les quatre faces SAB, SBC, SGD et SDA , sont vues entièrement; il n'y a que la base ABCD qui soit masquée par le corps. Toutes les arêtes, dans la projection horizontale, seront donc visibles.

Si l'on considère ensuite le plan vertical : les feces antérieures SAD et SAB sont entièrement visibles; celles postérieures SBC et SCD seront masquées, et l'arête SC, commune aux deux faces, sera inviisible. Elle devra donc être représentée en ponctués dans la projection verticale.

72. TRACEZ LES PROJECTIONS d'uN PARALLÉLIPIPÈDE REC- TANGLE DONT LES FACES SONT PARALLELES ET PERPEN- DICULAIRES AU PLAN VERTICAL, ET DONT LA BASE EST DANS LE PLAN HORIZONTAL.

Soient \ l millimètres le coté de la base qui est un carré, \ 6 milL la hauteur du parallélipipède^ et 44 mill. la distance de son axe au-plan vertical.

Tracez d'abord la ligne de terre, puis élevez une perpendiculaire en un point quelconque m de cette ligne ; — portez dans le plan horizontal, à partir de LT, une longueur mn de 14 mill. égale à la distance de l'axe au plan vertical; — du point n comme centre avec un rayon de 6 mill. égal à la moitié du côté de la base, décrivez une circonférence; — menez ^e8 tangentes abet de parallèles à LT ; — menez aussi les tangentes ad et bc perpendiculaires à la ligna

PROBLÈMES RELATIFS AUX SOLIDES. 4î>

de terre : — le carré aftcrf sera la projection horizontale cherchée.

Pour la projection verticale : — Élevez des points a et 6 les perpendiculaires aa' et bb' à la ligne de terre; — portez, à partir de LT, de e' en a' une longueur de 46 mill. égale à la hauteur du solide ; — par le point a' menez a'b' parallèle à LT : — le rectangle a'b'f'e' sera la projection verticale du parallélipipède.

En effet : Les fac^s extérieure et postérieure, étant parallèles au plan vertical, se projettent en vraie grandeur, et Tune sur l'autre, sur ce plan, suivant le rectangle a'b'f'e' (57,2°). Les faces latérales, étant perpendiculaires au plan vertical, se projettent sur ce plan par des perpendiculaires à la ligne de terre, suivant les ligues a'e' et b'f ( 57,3' ). La base supérieure, étant parallèle au plan horizontal, se projette sur ce plan en vraie grandeur suivant le carré abcd. De plus , les arêtes du parallélipipède étant per- .pendiculaire? à ce môme plan horizontal, il s'ensuit que la base supérieure se projette en se superposant sur la base inférieure. — Il est bien évident que les 4)rojections du parallélipipède sont le carré abcd et le rectangle a'b'f'e'.

75. TRACEZ LES PROJECTIONS DU MEME PARALLELIPIPEDE (72) REPOSANT TOUJOURS SUR LE PLAN HORIZONTAL, ET SES FACES ETANT DEVENUES OBLIQUES AU PLAN VERTICAL SOUS DBS ANGLES DE 45 DEGRES.

Admettez que le solide ait tourné sur son axe, lequel n*a pas changé de distance au plan vertical.

— Je*

Le mouvement avant eu lieu sans quitter le plan horizontal, la

projection sur ce plan reste la même que la précédente, seulement le carré aura tourné son centre.

Prenez arbitrairement un point f" sur la ligne de terre, et élevez une perpendiculaire Indéfinie à cette ligne ; — par «, m3nez mi' parallèle à LT; —du point n' comme centre, avec une ouverture de compas na égale à la moitié de la diagonale, décrivez une circonférence; — inscrivez le carré a"h"e"d'\ qui sera la projection horizontale.

De chacun des angles de cette projection, élevez des perpendiculaires à la ligne de terre; — prolongez a'b' parallèlement à LT ; — la projection verticale sera a'" c'" g'" e'".

Les problèmes (59, 64 , 66) nous en donnent suffisamment la preuve.

74. TRACEZ LES PROJECTIONS DU MEME SOLIDE (72), RE- POSANT TOUJOURS SUR LE PLAN HORIZONTAL, ET LES FACES OUI ÉTAIENT PERPENDICULAIRES AU PLAN VERTICAL ETANT DEVENUES ORLIQUES A CE PLAN SOUS DES ANGLES DE to DE- GRÉS.

Admettez encore que le mouvement du solide se soit fait sur son axe.

Comme dans le problème précédent, la projection horizontale restera la même; seulement le carré aura tourné sur son centre.

En un point quelconque m^ élevez une perpendiculaire à la ligne

de terre; — menez nn parallèlement à LT; — ei n' décrivez une circonférence d'un rayon de 6 roill. égal à la molUà du çà^^

de la base ; — formez avec LT, en un point quelconque de cette ligne, un angle L;no de 25^; — menez les tangentes a'd" et b"c'* parallèles à om\ — menez ensuite les tangentes a"b" et d'c" perpendiculaires aux premières: — le carré a"b"c"d" sera la projection horizontale.

Pour obtenir la projection verticale , élevez de chacun des angles a", 6", etc., des perpendiculaires à la ligne do terre; — prolongez a'h' parallèlement à LT; — et vous aurez a"'c"'g"e"' pour projection verticale.

L'arête d"'h"' sera ponctuée, parce qu'elle ne serait pas visible pour un œil placé en avant duparallélipipède.

7^. TRACEZ LES PROJECTIONS d'uNE PYRAMIDE DROITE RÉ- GULIÈRE A BASE PRNTAGONALE REPOSANT SUR LE PLAN HORIZONTAL, ET DONT UNE DES ARÊTES EST PARALLÈLE AU PLAN VERTICAL.

Soient tù millimètres sa hauteur, 40 millimètres le rayon de la circonférence circonscrite à sa ba^e, et 16 millimètres la di^ ^tance de l'axe au plan vertical.

Tracez la ligne de terre, et, en un point quelconque 4jf, élevezr lui une perpendiculaire; — portez, dans le plan horizontal à partir de LT une longueur ^/*de 46 mill. égale à la distance de

Taxe au plan vertical; ^ menez ft parallèle à la ligne de terre; — du point f comme contre, avec un ray;on de 40 mUI., décrives

une circonférence; — inscrivez un pentagone régulier en prenant le point c pour départ de la division (r%32i); —le polygone tracé sera la projection horizontale de la base de la pyramide. — Menez ensuite /*a, fb^ fc, fd, fe, qui seront les projections en raccourci des cinq arêtes partant du sommet de Ja pyramide, et joignant les angles de la base.

Pour la projection verticale : Observez que la base de la pyramide étant dans le plan horizontal, elle devra se projeter verticalement sur la ligne de terre (57, \% — Élevez donc les perpendiculaires aa', bb', ce', etc. ; — portez de g en f une longueur de 20 mill. égale à la hauteur de la pyramide, le point f' sera la projection du sommet; — tracez /"'a', f'b'^ f'c\ etc., qui sont les pï^ojectioris verticales des diverses arêtes*

Les projections des arêtes partant des angles rfet é se confondent avec celles des arêtes fa' et f'b\ Les droite» fc et f*^c* sont les projections de l'arête parallèle au plan vertical.

Nous engageons les élèves à faire le développement de chacun des solides qui font le sujet des problèmes (voir Impartie, 4^7, 434 et suivants), afin qu'à l'aide de ces reliefs ils puissent plus facilement se rendre compte de leur représentation sur le papier. •Pour' plus de facilité, ils donneront à ces solides les ditnensions indiquées sur les feuilles de l^ïitlas.

76. TRACEZ LES PROJECTIONS DE LA BlÊlIE PYRAMIDE, SA BASE ÉTANT DEVENUE OBLIQUE AU PLAN HORIZONTAL, ET SON AXE ÉTANT RESTÉ PARALLELE AU PLAN VERTICAL.

Soient 35 degrés l'angle que la base forme avec le plan horizontal, et C l'angle sur lequel la pyramide s'est inclinée.

Le mouvement de rotation ayant eu lieu parallèlement au plan vertical, puisque l'axe n'a pas cessé d'être parallèle à ce plan, la projection verticale sera la même que la précédente, à part l'inclinaison.

Il faut donc copier la première projection verticale. — Pour cela, prenez arbitrairement un point c" sur la ligne de terre; — faites en ce point un angle Lc'V de 35^; — portez ensuite c'g de c" en g\ et de g' en /*'; puis db' de c" en 6", c'a' de c" en a"; — comme Taxe f'g perpendiculaire à a'c' ne cesse d'avoir cette position dans la nouvelle projection, tracez alors au point g' une perpendiculaire à a!'c" \ — portez ensuite gf en g f"\ — enfin tracez les droites f'i£\ f'b", f"c'\ qui expriraeiU toujours les mêmes arêteâ de la pyramide. t

PROBLÈiiES RELATIFS AUX SOLIDES.

Pour la projection horizontale, remarquons que les divers points du solide ont conservé leur môme distance au plan vertical, puisqu'ils se sont mus dans des plans parallèles à celui-ci.

Conséquemment, ainsi que nous l'avons vu aux problèmes 68 et 69, ces points auront leurs projections sur des parallèles à la ligne de terre menées par chacun des angles de la première projection horizontale. D'autre part, leurs projections seront aussi sur des perpendiculaires abaissées des angles de la projection verticale qu'on vient de tracer.

Menez donc des divers points a, 6, c, d, e^ des parallèles à la ligne de terre; — des points a", 6", c'', d'\e'\ abaissez des perpendiculaires à cette môme ligne; —joignez deux à deux les points d'intersection, vous formerez le polygone a"'h"'c"'d"'e"' qui sera la projection de la base; — déterminez de la même manière la projection du sommet /", vous l'aurez en f" ; — enfin, tracez les arêtes f"'a"', f"'b"\ etc., qui compléteront la projection horizontale cherchée.

Remarquez que les côtés b"'c"' et c"'d"' de la base, de même que l'arête c'"/'", doivent être ponctués, car ils sont cachés par i© solide vO d'en haut.

77. TRACEZ LES PROJECTIONS DU MEME SOUDE (75 ET 76), AYANT PIVOTÉ SUR SON ANGLE INFERIEUR, SA BASE AYANT CONSERVÉ SON INCLINAISON AU PLAN HORIZONTAL, ET SON AXE ÉTANT OBLIQUE AUX DEUX PLANS DE PROJECTION.

Soit 55. degrés l'angle d'obliquité de l'axe de là pyramide au plan vertical.

La base ayant conservé la même inclinaison par rapport au plan horizontal quand la pyramide a pivoté sur son angle G, les autres angles se sont mus parallèlement à ce plan. On doit en conclure que la projection horizontale reste la même, sauf le déplacement.

Il ftiut alors copier la dernière projection obtenue, en donnant à l'axe une inclinaison de 55^ avec la ligne de terre. —A cet effet, prolongez c'f parallèlement à la ligne de terre; — formez en un point quelconque m de LT un angle de 55^ ; — portez c'n de c" en n' ; — par le point n' menez la droite a"e" perpendiculaire à

n'/*"; — . portez encore m' en n!a" et en n'e"; — du point c'* comme centre, avec une ouverture de compas égale à c'b\ décrivez des arcs de cercle ; — des points a" et c", comme centres, avec upe ouverture de compas égale à a'h\ décrivez des arcs qui coupent les premiers; — tracez alors les droites a"b'\b"c'%c"d"

PROBLÈMES RELAlTIFS AUX SOLIDES. 54

et rf"c"; — portez maintenant c'f en c"f'\ et tracez les arêtes a"f'\ h"f'\ d"f'\ e"f". — La projection horizontale sera tracée.

Pour la projection verticale, faisons le même raisonnement que nous venons de faire au problème qui précède, nous en conclurons que les nouvelles projections des angles de la pyramide doivent se trouver sur des parallèles à la ligne de terre menées de chacun des angles de la projection verticale qui sert de donnée.

Des divers points a, h^ c, /", menez donc des parallèles à la ligne de terre; — et des points a'\ b'\ c'\ d'\ e'\ f'\ élevez des perpendiculaires à celte même ligne ; — joignez deux à deux les points d'intersection; vous formerez la figure f"'a"'h"'c"'d"'e"' pour la projection verticale cherchée.

Les arêtes f'"c"' et f"'d"' sont ponctuées parce qu'elles sont cachées par le solide pour le spectateur placé en avant de ce solide.

78. TBAGEZ LES PROJECTIONS d'uN CYLINDRE DBOIT REPOSANT PAR SA BASE SUR LE PLAN HORIZONTAL.

Soient 4 8 millimètres le diamètre de la base, 22 millimètres la hauteur, et 4 7 millimètres la distance de l'axe du cylindre au piao vertical.

Tracez la ligne de terre et élevez-lui, en un point quelconque, une perpendiculaire ; — portez, dans le plan horizontal, à partir de LT, une longueur mn de 47 mil! . ; — de n comme centre avec une ouverture de compas de 9 mill., décrivez une circonférence qui sera la projection horizontale du cylindre.

Remarquons que Taxe est parallèle au plan vertical, et que, si l'on fait passer par cet axe un plan parallèle au plan vertical , ce plan coupera le cylindre suivant un parallélogramme (1, 45oJ qui se projettera en vraie grandeur sur le plan vertical (59, 2*) ; tous les points du cylindre se projetant évidemment dans Tintààaœc eu paralMlo^mme, celui-ci sera la projection verticale

fiî

Menez donc, par les extrémités a et 6, du diamètre ah des tangentes parallèles à mn; — portez sur l'une d'elles, dans le plan vertical, et à partir de LT, une longueur a'c' de 22 mill. ; — tracez c'd' parallèle à LT; le rectangle a'c'db' sera la projection verticale du cylindre reposant sur le plan horizontal,

79. TRACEZ LES PROJECTIONS DU MBMB CYLINDRE (78), EN SUPPOSANT QUE, REPOSANT TOUJOURS SUR LE PLAN HORI- ZONTAL, SON AXE EST DEVENU OBLIQUE A CE PLAN, TOUT EN RESTANT PARALLELE AU PLAN VERTICAL.

Soient 45 degrés l'angle d'inclinaison que l'axe fait avec le plan horizontal, et a le point de la base sur lequel le cylindre s'est incliné.

Comme nous l'avons déjà vu (76), la projection verticale sera ia môme que celle précédemment obtenue, sauf l'inclinaison à là ligne de terre.

Il faut donc, après avoir construit l'angle de 45° en un point quelconque de LT, prendre la ligné of" comme axe de la projection, et, sur cette ligne, copier le rectangle a'c'd'h\

Quant à la projection horizontale, i'emarquons : que les bases sont des cercles, que les génératrices du cylindre sont parallèles

entre elles; enfin, que les divers points du solide ont conservé leurs mêmes distaiices au plan vertical, puisqu'ils se sont déplacés parallèlement à celui-ci. Nous avons vu au problème 68 comment on obtient la projection d'un cercle oblique à l'un des plans de projection.

Divisez donc en parties égales la circonférence formant la projection horizontale des données (* ) ; — projetez ces points sur la projection verticale, vous aurez autant de génératrices du cylindre. — Répétez ces génératrices sur le cylindre incliné ; — abaissez ensuite de chacun des points d\ d" , e",f", etc., de la base supérieure, des perpendiculaires à la ligne de terre, elles contiendront les projections horizontales cherchées; — pour les déterminer, menez de chacun des points de division a^ h, e, f, etc., des parallèles à LT ; — tracez la courbe passant par les points d^intersection de ces perpendiculaires et de ces horizontales. — Construisez de la même manière la projection de la base inférieure. — Enfin, joignez les deux bases par des tangentes. — Remarquez qu'une partie du contour de la base inférieure, étant cachée par le corps, devra être ponctuée.

On peut simplifier l'opération en: déterminant seulement les projections des deux diamètres ab et fh, c'est-à-dire en ne projetant que les quatre points a, h, f, h; car, sachant (68) que la projection d'un cercle placé obliquement à l'un des plans de projection donne pour résultat une ellipse, il suffira d'en déterminer les deux axes; la courbe pouvant ensuite être tracée en employant la bande de papier (I"; partie, 355). Ce tracé de l'ellipse est celui que le dessinateur doit appliquer préférablement à tout autre, car il ne laisse aucune trace d'opération.

CO. TRACEZ LES PROJECTIONS DU MEME CYLINDRE (78) , ADMETTANT QU'iL AIT PIVOTÉ SDR LE POINT DE SA BASt PAR LEQUEL IL REPOSE SUR LE PLAN HORIZONTAL, DE . TELLE MANIÈRE QUE SON AXE AIT CONSERVÉ SON INCLI- NAISON AU PLAN HORIZONTAL, ET SOIT DEVEjNU OBLIQUE AU PLAN VERTICAL.

Soit 50 degrés l'angle d'inclinaison de l'axe au plan vertical. L'axe du cylindre ayant conservé la mèmte inclinaison au phm

. (1) Noiis ferons remarqaer ici qiie, chaqne fois qirnne circonféience esta diviser arbitrairement en uu nombre de parties égales, il convient toujours de prendre les divisions de 6, il ou 24, à cause de la facilité et de la rapidité avec laquelle ces divisions peuvent être obtenues. (Voir notre I" partie, 317, 318, 319 et 320.)

horizontal quand le solide a pivoté sur le point a" de sa base, les autres points se sont déplacés parallèlement à ce plan. La projection horizontale sera donc la même, sauf le déplacement de position.

Il faut commencer par établir les données; — puis, comme au problème 77, tracer ensuite dans le plan horizontal un angle de 50^ avec la ligne de terre; — sur ^c", côté de cet angle, et qui devient l'axe de la nouvelle projection, répétez la projection horizontale du problème précédent (79).

Pour la projection verticale, opérez comme précédemment (77), c'est-à-dire des divers points c' , â! , f , etc., de la base supérieure, menez des parallèles à la ligne de terre ; — des mômes points c", d" , f", de la projection horizontale, élevez des perpendiculaires à LT. — Après avoir reconnu les intersections respectives de ces parallèles avec les verticales, unissez les points c'", d'", f", etc., et vous aurez une ellipse pour la nouvelle projection de la base supérieure. — Répétez la même opération pour former la projection de la base inférieure; — puis menez des tangentes aux deux ellipses. — Remarquez qu'une partie du contour de la base inférieure sera ponctuée parce qu'elle se trouve en arrière et masquée par le solide.

01. LES PROJECTIONS d'uNE PYRAMIDE REGULIERE HEPTA- GONALE ÉTANT DONNÉES, DETERMINEZ LA SECTION FAITE PAR UN PLAN PARALLÈLE AU PLAN HORIZONTAL.

Soient 21 millimètres sa hauteur, 40 millimètres le rayon de là circonférence circonscrite au polygone de base; 46 millimètres la distance de Taxe au plan vertical, et 42 millimètres la hauteur du plan sécant au plan horizontal. Admettez qu'une ctes arêtes soit parallèle au plan vertical.

Commencez par construire les données du problème. — Élevez une perpendiculaire ss' à la ligne de terre; — portez dans le plan horizontal une longueur de 46 mill. égale à la distance de j'axe au plan vertical ; — du point s ainsi obtenu avec un rayon de 40 mill., décrivez une circonférence; — divisez-la en sept

parties égales en prenant le point de départ de la division sur l'horizontale sd (I, 324); — inscrivez un heptagone abcd^ etc.; — joignez sa, sb, se, etc., vous aurez alors la projection horizontale de la pyramide supposée entière. — Pour la projection verticale ; — élevez les perpendiculaires aa, bb, ce, dd, etc. ; — déterminez le sommet en portant sur ss' , à partir de la ligne de terre, la hauteur 24 mill. de la pyramide: — menez s'a, s'b, se, etc., et la projection verticale sera complète.

Maintenant, à \t miJI. de Ja ligne de terre, dans le plan vertical, tracez une parallèle a'd' à LT; — la parallèle ainsi menée représente la trace ou projection verticale du plan de section.^ — Pour projeter horizontalement la section faite par ce plan, remarquons que les arêtes sont coupées aux points a\ b'j c'j d'. Leurs projections horizontales doivent se trouver sur les projections horizontales correspondantes de ces mêmes arêtes. — Abaissez dont; dès perpendiculaires aa\ bb' à LT (29), les intersections a'j b', &, d'j dans le plan horizontal, seront lés projections horizontales de ces mêmes points; — joignez a'b'^ b'c' , c'd^, etc.. Vous aurez la projection horizontale cherchée, qui sera urt heptagone régulier. L'arête parallèle au plaii vertical est la droite srf;

La porti<5n de la pyramide située au-dessus du plan coupant doit être ponctuée, parce que cette partie est supposée enlevée et qu'elle n'a été tracée que pour déterminer la position des arêtes,' II en est de même dans là projection horizontale pour les parties de ces mêmies arêtes t}ui se projettent dans le polygone de sefclion. On remarquera que cette section est exprimée par des hachures, conformément à ce qtte nous sommes convenus (19) pour désigner les parties coupées d'un corps quelconque.

82. LES PROJECTIONS d'UN PRISME DROIT A BASE OCTOGO- NALE RÉGULIÈRE ÉTANT DONNÉES, DÉTERMINEZ LA SEC- TION FAITE PAR UN PLAN PARALLÈLE AU PLAN VERTICAL.

Soient 21 millimètres la hauteur, 40 millimètres le rayon de la circonférence circonscrite à la base, 15 mill. la distance de l'axe au plan vertical , et 8 mil). la distance du plan sécant à l'axe du prisme. Admettez aussi qu'il ait toutes ses faces obliques au plan vertical.

Établissez d'abord les données du problème. — Élevez une perpandiculaire à la ligne de terre; — portez sur cette perpendiculaire, dans le plan horizontal, une longueur de 15 mill. égale à la distance de l'axe du prisme au plan vertical; — du point ainsi obtenu, comme centre, avec un rayon de 10 mill., décrivez une circonférence; — inscrivez un octogone régulier de telle manière qu'aucun de ses côtés ne soit ni parallèle ni perpendiculaire à la ligne de terre (I, 315); — le polygone abcde sera la projection horizontale du prisme. — Pour la projection verticale : — Élevez les perpendiculaires na, bb, ce, dd; — portez sur l'une d'elles, à partir de LT, une longueur de t\ mill. égalé

^ la hauteur du prisme; — par le point ainsi obtenu, menez une parallèle à la ligne de terre, vous aurez la projection verticale.

Tracez maintenant la projection horizontale du plan sécant, en menant à 8 mill. du centre du polygone une parallèle fg à la ligne de terre. — Remarquez que les deux faces bc et cd sont coupées par le plan, de sorte que la partie antérieure du solide qui est comprise entre les plans fc, cg et gf, est enlevée; il en résulte que la face fg est mise à découvert, et que deux nouvelles arêtes sont formées. — Des points /" et </ élevez des perpendiculaires à LT. — Le rectangle fghi sera la projection verticale de la section.

85. LES PROJECTIONS d'uNE PYRAUIDE DROITE REGULIERE A BASE PENTAGONALE ETANT DONNEES, DETERMINEZ LA SECTION FAITE PAR UN PLAN OBLIQUE A l'hORIZON ET PERPENDICULAIRE AU PLAN VERTICAL.

Soient 24 millimètres la hauteur de la pyramide, 11 millimètres le rayon de la circonférence circonscrite à sa base, 16 millimètres la distance de l'axe au plan vertical, 38 degrés l'angle d'obliquité du plan sécant avec le plan horizontal, et 17 millimètres la distance du sommet de cet angle à l'axe de la pyramide. Admettez que l'une des arêtes fasse avec le plan, vertical un angle de 44 degrés.

Il convient toujours de commencer par établir les données du problème. — Pour déterminer la projection horizontale : — tracez une perpendiculaire à la ligne de terre, elle contiendra l'axe des deux projections; — portez dans le plan horizontal, à partir de LT, une longueur ws de 16 mill. qui déterminera la position de l'axe dans la projection horizontale; — en ce point s, avec un rayon de 40 mill., décrivez une circonférence; — formez sur le centre s, avec une parallèle à la ligne de terre, un angle de 14 degrés; — partez du point d'intersection a de cet angle avec la circonférence, pour diviser cette dernière en cinq parties égales ; — tracez le polygone, et joignez le centre s avec chacun des angles a, b, c, à, etc. ; — vous aurez la projection horizontale de la pyramide. — Vous obtiendrez la projection verticale en opérant comme vous l'avez déjà fait aux problèmes qui précèdent. — Élevez les perpendiculaires aa^ bb, ce, etc. ; — portez sur Taxe, dans le plan vertical, une longueur de 24 mill. égale à la hauteur de la pyramide ; — joignez le sommet s avec les points a, b, c, etc., sur la ligne de terre; — et vous aurez la projection verticale.

Les données ainsi construites, portez 17 mill. de m en n sur la ligne de terre; — au point n formez avec LT un angle de 38° ; — cette ligne sera la trace du plan coupant. — Déterminez les projections horizontales des intersections a', b', c\ etc., du

plan coupant avec les arêtes de la pyramide comme au problème 78 ; — le polygone a'b'c'd' sera la projection horizontale de la section.

Ce polygone est irrégulier et vu en raccourci. L*a*rête sa est celle des arêtes de la pyramide dont l'inclinaison au plan vertical est de 38^. Vous remarquerez que dans la projection verticale deux des arêtes doivent être ponctuées parce qu'elles sont cachées par le solide lui-même, et appartiennent à la partie postérieure de la pyramide par rapport à la position du spectateur.

84. DÉTERMINEZ LA SECTION FAITE PAR UN PLAN PARAL- LELE AU PLAN HORIZONTAL DANS UNE PYRAMIDE DROITE RÉGULIÈRE A BASE HEXAGONALE, ADMETTANT QUE l'uNE DES ARÊTES SOIT DANS UN PLAN PERPENDICULAIRE A LA FOIS AUX DEUX PLANS DE PROJECTION.

La hauteur de la pyramide est de 24 millimètres, le rayon de la circonférence circonscrite à la base est de de 11 millimètres, la distance de Taxe au plan vertical est de 16 millimètres, et la distance du plan sécant au plan horizontal est de 1 S millimètres.

Commencez par tracer les données du problème, c'est-à-dire par construire les projections de la pyramide suivant la condition de position imposée à une de ses arêtes. Dans ce but, nous rappelons que les projections d'un plan perpendiculaire à la fois aux deux plans de projection sont deux droites, toutes deux perpendiculaires à la ligne de terre (57, 3*»); en conséquence, la droite située sur ce plan aura également pour projections deux droites perpendiculaires à la ligne de terre.

Élevez une perpendiculaire.ss' à LT; — du point s distant de 46 mill, de LT, et avec un rayon de 11 mill., décrivez une circonférence dans laquelle vous inscrirez un hexagone régulier en prenant pour départ de la division le point a situé sur ss' (1,375); — le polygone tracé, joignez sb^ se, sd, etc., vous aurez la projection horizontale. — Élevez ensuite, des points a, b, c, d, etc., des perpendiculaires à la ligne de terre; — de cette ligne, portez 24 mill. de a! en s' ; — menez s' h*, s'f, et la projection verticale sera déterminée.

Tracez dans le plan vertical une parallèle à LT à 12 mill. de cette ligne. Cette droite sera la trace ou projection verticale du plan qui coupe la pyramide.

Reste à projeter horizontalement la section faite par ce plan. — Opérez comme précédemment, en abaissant des points o, m, n,

des perpendiculaires à la ligne de terre, dont les intersection^ avec les projections horizontales des arêtes correspondantes donneront les angles du polygone de section. — Mais remarquez que le procédé, ne peut s'appliquer à la détermination du point o,

car la perpendiculaire menée de ce point à la ligne de terre se confond nécessairement avec l'arête as; par conséquent, on ne peut alors connaître la distance de ce point sur la projection horizontale. — Pour la déterminer, il faut supposer que la pyramide fasse un .quart de révolution autour de son axe. Dans ce mouvement, on Voit aisément que la droite sa se rabattra dans un plan parallèle au plan vertical et prendra la position sa'\ car son pied, ayant décrit un arc de cercle dans le plan horizontal, est venu se placer en a" ; — projetez verticalement ce point en a"' sur la ligne de terre ; — menez sV", et vous aurez dans sa vraie longueur la projection verticale de l'arête s'a', — Mais le point cherché a décrit aussi un arc de cercle dans le plan de section, par conséquent sa projection verticale se trouve siir nm prolongée; comme, d'ailleurs, il ne cesse d'appartenir à l'arête qui s'est rabattue en s'a'", il est dortc projeté verticalement en o',intersec- ,tion de ces deux lignes.

Projetez donc le point o' en o" ; — tracez ensuite du centre s l'arc o"o"', qui ramène ce point sur l'arête sa. — Enfin, complétez le polygone en traçant les côtés o"'m', o"'n'\ Le point de section sur l'arête sd se trouve également obtenu.