LES PROJECTIONS D'UN CYLINDRE DROIT ÉTANT DONNEES DÉTERMINEZ
h^'hk SECTION FAITE PAR UN PLAN PERPENDICULAIRE AU PLAN VERTICAL ET INCLINÉ A l'hORIZON *,
2* LA MÊME SECTION , ADMETTANT QUE LE CYLINDRE , AYANT TOURNÉ SUR SON AXE, AIT DÉCRIT UN QUART DE RÉVOLUTION *,
3o LA MÊME SECTION, EN SUPPOSANT QUE LE CYLINDRE, AYANT DE NOUVEAU TOURNÉ SUR SON AXE, AIT DÉCRIT UN SIXIEME DE RÉVOLUTION.
Soient 48 millimètres le diamètre de la base du cylindre, 24 millimètres sa hauteur, 15 millimètres la distance de l'axe au plan vertical, 60 degrés l'angle d'inclinaison du plan sécant avec l'axe du cylindre, et 40 millimètres la distance de la base inférieure au point le plus rapproché du plan de section.
Admettons que le cylindre repose sur le plan horizontal. — Établissez d'abord les données des trois problèmes, c'est-à-dire, tracez trois fois les projections du cylindre (78). — Cela fait, portez sur une génératrice extrême du cylindre, à partir de LT, une longueur ma' de U mill. ; — au point a' ainsi obtenu, formez avec la génératrice un angle de 60^. —La droite a'n' sera la trace du plan sécant perpendiculaire au plan vertical.
Pour obtenir les deux autres projections demandées, il faut imaginer un certain nombre de génératrices tracées sur le cylindre. — Commencez donc par diviser chacune des circonférences formant les projections horizontales en un nombre quelconque de parties égales, 12 par exemple (I, 318); — projetez les points de division a^ b, c, rf, etc., sur les projections verticales, chacune de ces lignes est à la fois la projection de deux génératrices, situées l'une en avant et l'autre en arrière du cylindre; cette disposition diminue le nombre des lignes de construction.
Il est évident que dans chaque projection verticale les génératrices doivent conserver leur même grandeur, puisque le cylindre tourne sur son axe sans cesser de reposer sur le plan horizontal.
Cela posé, menez de chacun des points a\ h\ c\ d\ etc., des parallèles indéfinies à la ligne de terre; elles contiendront les projections verticales cherchées, car elles mesurent les hauteurs respectives des génératrices du cylindre tronqué. — Appliquez aux divisions des deux dernières projections horizontales les
mêmes lettres qu'à la première, en observant toutefois" le changement de position de ces points résultant du déplacement du cylindre sur son axe. —Élevez ensuite de ces points dés perpendiculaires à la ligne de terre, afin de répéter sur les deux der-
nières projections verticales les génératrices déjà tracées sur la première. — Les intersections de ces verticales avec les parallèles menées des différents points situés sur la droite a!n' déterminent les mêmes longueurs pour chacune des génératrices dans les trois projections verticales. — Tracez enfin les deux ellipses qui sont les nouvelles projections de la surface de section.
On peut obtenir le même résultat en opérant, pour chacun des deux derniers problèmes, un changement de plan de projection ; c'est-à-dire, en supposant le plan vertical déplacé par rapport att cylindre (50, 54).
86. LES PROJECTIONS d'UN CONE DROIT ÉTANT DONNÉES, TRACEZ LA SECTION FAITE PAR UN PLAN PARALLÈLE AU PLAN HORIZONTAL, c'eST-à-DIEE PERPENDICULAIRE À
l'axe.
Soient 22 millimètres le diamètre de la base, 48 millimètres la dislance de l'axe au plan vertical, 30 millimètres la hauteur du cône, et 45 millimètres la distance du plan sécant au sommet du cône.
Commencez par construire les données du problème. — Pour cela : élevez sur la ligne de terre la perpendiculaire S5', projec-
tion verticale de l'axe; — portez de wi en s une lon^eiir de 48 millimètres égale à la distance de Taxe au plan vertical; — du point 5 projection horizontale de l'axe, avec un rayon sa de 44 millimètres, décrivez un cercle : il sera la projection horizontale de la base du cône. — Pour avoir la projection verticale, menez le diamètre ab parallèlement à la ligne de terre; — élevez les perpendiculaires aa\ bb' tangentes à la circonférence; — pour avoir le sommet, portez sur ss' à partir de LT une longueur ms' de 30 millimètres, égale à la hauteur du cône; — menez les droites s'a', s'b', qui sont les génératrices extrêmes du solide. — Le triangle a's'b' sera la projection verticale du cône supposé entier.
Pour obtenir la section, portez de s* en n une longueur de 45 millimètres égale à la distance du plan sécant au sommet du cône ; — menez ne' parallèlement à LT : la droite c'd' sera la projection verticale de la section, — Pour en avoir la projection horizontale , abaissez du point c' une perpendiculaire à LT ; — de s comme centre, décrivez la circonférence se tangente à ce' : ^Uè sera la projection cherchée de là section (I'* partie, 468).
87. LES PROJECTIONS d'UN CÔNE DROIT ETANT DONNEES , TRACEZ LA SECTION FAITE PAR UN PLAN PARALLELE AU PLAN VERTICAL ET PASSANT PAR l'AXE DU CÔNE.
Soient 22 millimètres le diamètre de la base, 48 millimètres la distance de Taxe au plan vertical, 30 millimètres la hauteur du cône.
Établissez d'abord les données du problème comme vous l'avez fait précédemment (86). — Tracez ensuite le diamètre ab : il sera la projection horizontale du plan sécant ; car ce plan, étant parallèle au plan vertical et devant passer par Taxe du cône, se projette suivant une droite parallèle à la ligne de terre (57, 2').
La projection verticale de la section sera le triangle a's'b' ■{l'% '167).
88. LES PROJECTIONS d'uNE SPRÈRB ÉTANT DONNEES, TRACEZ LA SECTION FAITE PAR UN PLAN PARALLELE AU PLAN HORIZONTAL.
Soient 22 millimètres le diamètre de la sphère, 15 et 20 millimètres les distances de son centre au plan vertical et au plan horizontal, et 2 millimètres la distance du plan de section au contour du solide.
Construisez d'abord les données du problème. — A cet effet, tracez une perpendiculaire à la ligne de terre; — portez sur cette ligne de w en c une longueur de 45 mill. égale à la distance du centre au plan vertical ;— portez aussi de m en c' une longueur de 20 mill., distance du centre au plan horizontal; — des points c et c' comme centres, avec un rayon de 41 mill., décrivez deux circonférences : elles seront les projections de la sphère.
Afin d'obtenir la section : — portez, sur la perpendiculaire ce' prolongée, une longueur no de 2 mill. ; — par le point o, menez a'b' parallèlement à LT : — la droite a'b' sera la projection verticale de la section.
Quant à la projection horizontale : — abaissez la perpendiculaire a'a; — dec comme centre, avec le rayon ca, décrivez une circonférence tangente à aa\ vous aurez la section en projection horizontale (ï", 475).
89. LES PROJECTIONS D*UN CÔNE DROIT ÉTANT DONNEES, TRACEZ LA SECTION FAITE DANS CE CÔNE PAR UN PLAN PERPUNDIGULAIRB AU PLAN VERTICAL ET INCLINÉ A l' HO- RIZON.
Soient 22 millimètres le diamètre de la base, 48 millimètres la distance de Taxe ^u plan vertical, 30 millimètres la hauteur du
cône, 43 degrés 1 angle d'iaclioaison, et 8 millimètres la distance de lajMise au point de rencontre du plan sécant avec une génératrice extrême.
, Commencez par construire les données comme au problème 86. — Portez ensuite sur l'axées', ou sur toute autre perpendiculaire à la ligne de terre, une longueur mu de 8 millimètres égale à une .distance du plan sécant sur une génératrice extrême ; — menez h' h" parallèlement à LT; — au point h" formez avec h'.h" un angle de 43^ : — la droite h"a' sera la projection verticale de la trace du plan sécant; car, le plan donné étant perpendiculaire au plan vertical, la courbe résultant de la section devra se projeter suivant une droite (57, 3«).
Il ne s'agit plus maintenant que de trouver la projection horizontale de la section. Deux constructions satisfont à cette partie du problème.
Pour la première : ramenez le problème a celui qui précède (87), en imaginant sur le cône un certain nombre de génératrices que vous traiterez ensuite comme les arêtes d'une pyramide (voyez 83) . — A cet effet, divisez la circonférence de la base, à partir du diamètre horizontal, en un nombre quelconque de parties égales;— imencz les rayons si, sk, si, sq, qui seront les projections horizontales d'autant de génératrices. — Projetez les points i et k sur la
ligne de terre; — tracez les droites s'i\ s'k' ; chacune de ces lignes est à la fois la pg3Jection de deux génératrices, situées Tune en avant, l'autre en arrière du cône, t— Cela fait, abaissez, comme lors de la pyramide (83), de chacun des points a\ h\ c\ A", intersections des génératrices avec le plan sécant, des perpendiculaires que vous prolongerez jusqu'à la rencontre des projections horizontales correspondantes. — Par les nouveaux points d'intersection a, />, c, Â, etc,, faites passer une courbe, qui sera la projection horizontale cherchée. Cette courbe es' une (!'• partie, 169).
Pour la seconde construction i rappele2-vous que les sections faites dans un cône droit à base circulaire, par des plans horizontaux, sont des cercles (86). — Cela posé, entre les points a* et h\ rencontres extrêmes du plan coupant avec le cône, menez un nombre quelconque de parallèles à la ligne de terre; chacune de ces lignes est la trace d'un plan horizontal. — Abaissez des points a\ c', f des perpendiculaires à LT ; — du point s comme centre, décrivez des circonférences tangentes à ces perpendiculaires; chacun de ces cercles sera la projection horizontale de la section correspondante. — Observez maintenant que le plan c'd' coupe le plan de section a'h' suivant une droite qui, étant perpendiculaire au plan vertical, se projette sur ce dernier en un seul
point, et, par conséquent, sur le plan horizontal, suivant une perpendiculaire à la ligne de terre (40, 3«).— Celaçosé, du point d\ situé à la fois sur le plan horizontal et sur le plan de section, abaissez une perpendiculaire à LT jusqu'à la rencontre de la circonférence cde ; — la droite de est alors la projection horizontale de l'intersection du plan c'd' avec le plan de section, et les points d et e, qui appartiennent à la fois à ces deux plans, sont des points de la courbe cherchée. — Déterminez de nouveaux points en opérant de la même manière, en observant toutefois que les sections a'b' et f'h' ne contiennent chacune qu'un seul point de la courbe.
Ces deux constructions peuvent être appliquées simultanément à la solution du problème, pour déterminer ceux des points dont les intersections, se présentant sous des angles très-aigus, laissent de l'indécision, et, par conséquent , nuisent à l'exactitude du résultat cherché.
Mais la projection que nous venons d'obtenir par deux moyens différents ne donne pas les véritables dimensions de la section, car elle se projette en raccourci dans le plan horizontal ; il est pourtant essentiel d'avoir la courbe suivant sa grandeur réelle.
Pour obtenir ce résultat, transportez- la parallèlement à ellemême jusqu'en a"h'\ afin de ne pas confondre entre elles les lignes d'opération; — faites-la tourner ensuite autour de la droite a"h'\ comme axe, jusqu'à ce qu'elle se rabatte parallèlement au plan vertical ; — élevez à a' h' des perpendiculaires indéfinies des points a'd'h'. — Remarquez que les distances comprises entre ces parallèles mesurent les vraies longueurs de la section , tandis que dans la projection horizontale ces distances sont en raccourci ; remarquez aussi que la ligne de^ dans cette dernière projection, a sa longueur réelle, puisqu'elle est parallèle au plan horizontal. — Portez donc, à droite et à gauche de a" A", les demi -longueurs rfo, oe, de o' en d" et en e"\ — faites passer une courbe par les points obtenus, et cette courbe sera l'ellipse dans sa vraie grandeur.
90. LES t»ROJË(2TtONS D*im CONfi DROlf ÉtANT DONNEES, DÉTERMINEZ LA SECTION FAITE PAR UN PLAN PARALLELE A UNE GÉNÉRATRICE DU CÔNE, EX MÊAIE TEMPS QU'iL EST PERPENDICULAIRE AU PLAN VERTICAL.
Soient 22 millimètres le diamètre de la base, 48 millimètres la distance de l'axe au plan vertical, 30 mtHimètres la hauteur du
cône, et 7 millimètres la distance du plan sécant à la génératrice.
Comme dans les problèmes précédents, la projection verticale de la section est une droite (57, S»).
Commencez par établir les données comme au problème 86.
Portez ensuite sur la ligne de terre, de m' en c', une longueur ' de 7 mill. égale à la distance de la génératrice extrême au plan sécant ; — par le point c', menez une parallèle à w's' : la droite cCc' sera la projection verticale de la trace du plan coupant.
Pour obtenir la section en projection horizontale, il faut appliquer la seconde construction indiquée au problème précédent (89),
Menez donc, k volonté, des sections horizontales, en n'omettant pas néanmoins d'en faire passer une par le point a'. — Observez que cette section ne donnera qu'un seul point en projection horizontale, lequel point sera le sommet de la courbe, parce qu'ici le cercle obtenu pour section dans le cône ne fait que toucher le plan sécant. D'où l'on conclura que toute section faite au-dessus de n'a! ne fournira pas de points à la courbe. — Lefe extrémités c et e de la courbe s'obtiennent, comme l'indique suffisamment la figure, en projetant l'intersection du plan coupant c'a! avec la base du cône. — Tracez la courbe chade.
Afin de déterminer cette courbe dans ses dimensions réelles, il
faut, comme précédemment, faire un rabattement. — Faites donc tourner la ligne c'a! autour du point a! comme charnière, jusqu'à ce qu'elle soit dans la position a'p qui représentera alors le plan coupant; — transportez a'/? parallèlement à elle-même en a";?'. — Dans le mouvement autour de a', le point h' décrit l'arc h'o pour se placer en o. — Supposez maintenant que le plan de section représenté par la nouvelle ligne a"/?' tourne autour d'elle jusqu'à devenir parallèle au plan vertical. — Prenez alors avec le compas la distance sh, et portez-la eno'6"; — cette même distance portée en o'd" donnera le rabattement du point symétrique d, — Opérez de la même manière pour d'autres points, et vous formerez la courbe c"b"a"d"e", qui est une parabole {repartie, 170).
91. LES PROJECTIONS D*UN CONE DROIT ÉTANT DONNEES, TRACEZ LA SECTION FAITE PAR UN PLAN PARALLELE A SON AXE ET AU PLAN VERTICAL.
Soient 22 millimètres le diamètre de la base, 48 millimètres la distance de l'axe au plan vertical, 30 millimètres la hauteur du
cône, et 4 millimètres la distance de l'axe au plan coupant.
Établissez d'abord les données (86).
Remarquez que la section du plan dans le cône se verra sur le plan vertical suivant sa véritable grandeur, et que sa trace horizontale sera une droite (57,3").
On comprend alors facilement que la construction qui a été exposée au problème 90 trouvera encore son application dans le cas présent, en en ren- '\^ ^-— ' ,' versant seulement la raar-
''"•-- '"'^ che. Comme ce serait une
répétition, nous nous contenterons d'iodiquer la construction de deux points delà courbe. A 8 mill, du centre «^ projection horizontale de l'axe du cône,
PÉNÊTUATIONS DES SOLIDES. 71
tracez une droite ah^ qui sera la trace du plan sécant dans cette projection.
Maintenant, du centre s, avec la distance se, décrivez l'arc de cercle cm tangent à la trace ah; — projetez le point m en m', et menez l'horizontale m'c'; — le point c' ainsi obtenu est le sommet de la courbe. — Pour obtenir un autre point : — de s, comme centre, avec un rayon quelconque, décrivez l'arc edn qui coupe la droite ab; — projetez w en n', et menez n'e' parallèlement à LT ; — projetez verticalement les points rf et e en rf* et en e'; — opérez de même pour obtenir d'autres points par lesquels vous ferez passer la courbe, qui est, dans ce cas, une branche d'hyperbole (I»-* partie, 171).
"92. ÉTANT DONNÉES LES PROJECTIONS VEUTICALES DE DEUX CYLINDRES DROITS DE DIAMETRES INÉGAUX, DONT LES - AXES, SITUÉS DANS UN MÊME PLAN J>ARALLÈLE AU PLAN \ERTICAL, SE COUPENT A ANGLE DROIT, TRACEZ-EN LES COURBES DE PÉNÉTRATION.
Soient 12 et 18 mrllimètres les diamètres des deux cylindres, 32 millimètres la longueur du premier, et 42 millimètres celle du second.
Avant de commencer nos explications, nous ferons remarquer que dans le tracé des figures du problème qui va nous occuper, la ligne de terre est supprimée, quoi qu'il y ait des projections verticales et des projections horizontales; il en sera de même pour les problèmes suivants. En agissant ainsi, nous voulons préparer les élevés à ce qui se fait fréquemment dans les applications des projections , surtout lorsqu'il s'agit de la représentation de corps isolés.
Construisez les données du problème, c'est-à-dire les projections verticales, latérale et longitudinale, de chacun des cylindres. — A cet effet, tracez une horizontale indéfinie; — portez deux fois sur cette droite, en aa et en ch, une longueur de 16 mill. moitié de celle du premier cylindre. — Ménagez une distance arbitraire hd, et portez deux fois, de c^ en /" et de f en e, une longueur de 21 mill. égale à la moitié de celle du second cylindre. — De c, comme centre, décrivez une circonférence ^^ 9 mill. de rayon ; — de /"comme centre, décrivez une circonférence
de 6 mill. de rayon; — menez à ces circonférences des tangentes parallèles à Taxe commun ac des deux projections; — enfin, des pointe a, h, d, e, élevez des perpendiculaires à ae : les projections verticales des deux cvlindres donnés seront tracées ( ûg. \ et 2).
Par la simple inspection des deux solides, on apercevra sans dout« que les courbes suivant lesquelles ils se pénètrent se projettent nécessairement sur le plan vertical suivant les cercles ghi et klm, ce qui a évidemment lieu quand bien môme leurs axes ne se rencontreraient pas. Ce n'est donc pas le cas dont il s'agit ici que nous avons à résoudre.
Dans le problème que nous considérons, les courbes d'intersection ne sont plus projetées verticalement, mais horizontalement.
Nous allons indiquer le moyen de les obtenir.
Commencez par tracer la projection horizontale des deux cylindres dont vous avez déjà construit les projections verticales. — A cet effet : menez h'e' parallèle à ae; — la droite h'e' sera l'axe des projections à construire; — abaissez ensuite les tangentes kk' et mm' perpendiculaires ^ae; elles détermineront les contours du petit cylindre. — Menez aussi les perpendiculaires dd', ee\ qui limitent la longueur du gros cylindre. — Prenez le
rayon cg de celui-ci, et, en c', tracez une circonférence à laquelle vous mènerez des tangentes parallèles à h'e'; elles détermineront les contours du gros cylindre. — Enfin, prenez par moitié la longueur ab du petit cylindre, pour la reporter en a'b'. Les deux cylindres seront représentés en projection horizontale.
Pour avoir les courbes de pénétration, supposez, comme au problème 78, qu'un certain nombre de génératrices soient tracées sur le petit cylindre. — Pour cela, divisez la circonférence klm en parties égales; — projetez ces points de division sur le petit cylindre (fig. \ et 4). -r- H est évident que ces génératrices (fig. \) cessent d'être visibles lorsqu'elles rencontrent le gros cylindre. — Pour ne nous occuper que d'une d'elles n (fig. 2) , on pourrait mesurer sa longueur visible de 7i' en o (fig. \) et de p en u, pour la porter en n"'o" et en p"u" (fig. 4); mais il est préférable de projeter directement les points de rencontre de ces génératrices avec la surface du gros cylindre. — Dans ce but, tracez le rabattement (fig. 3) des deux cylindres, en supposant qu'ils aient tourné autour de l'axe a'b' y et aient décrit un quart de révolution. — Projetez alors les points de rencontre de chacune des génératrices du petit cylindre avec le cercle de base du gros cylindre (fig. 3), sur les génératrices correspondantes du même cylindre (fig. 4). — Puis, par les points ainsi obtenus, faites passer les courbes de pénétration ou d'intersection des deux surfaces cylmdriques.
95. ÉTANT DONNÉS DEUX CYLINDRES DROITS DE DIAMETRES ÉGAUX, DONT LES AXES, SITUÉS DANS UN MÊME PLAN PARALLELE AU PLAN VERTICAL, SE COUPENT A ANGLE DROIT, CONSTRUISEZ -EN LES PÉNÉTRATIONS.
Soient \ 8 millimètres le diamètre de chacun des cylindres, 30 millimètres la hauteur de l'un d'eux, et 38 millimètres la longueur de l'autre.
Construisez les projections horizontale et verticale (fig. \ et 2) des deux cylindres, de la même manière qu'aux problèmes 78 et 91.
Les cylindres donnés étant de même diamètre, et leurs axes étant situés dans un plan vertical, les courbes résultant de leur pénétration se projetteront verticalement suivant des droites perpendiculaires entre elles. Car, en cherchant, par le procédé ci-dessus, à construire différents points de ces courbes, on recon-
naltrd aisément qu'ils se trouveront dans deux plans perpendiculaires entre eux et au plan vertical, et que les courbes cherchées ne sont autres que des ellipses égales. Nous nous sommes
Fig. 2.
Fig. 1.
k4 X . jS
