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Fig.

contenté, pour faire voir le cas que nous considérons, d'indiquer les projections de quelques points par les mêmes lettres dans les deux figures.

La demi-circonférence ponctuée est le rabattement de la base du cylindre horizontal ; c'est à l'aide de ses divisions égales que les génératrices sont projetées sur c« cylindre.

04. CONSTRUISEZ LES PENETRATIONS DES MÊMES S0L1DE9 (93), l'un DES CYLINDRES ÉTANT INCLINÉ AU PLAN VER- TICAL*

Soient 20 degrés l'angle d'obliquité de Taxe du cylindre placé horizontalement, au plan vertical.

D'après les nouvelles conditions du pi*oblème, il faut admettre que le cylindre vertical a tourné sur son axe, entraînant avec lui le cylindre horizontal ; de sorte que celui-ci a pris la position oblique au plan vertical.

Établissez les données, en commençant par tracer la projection horizontale des deux cylindres. — tracez ensuite leur pro-

jection verticale, en opérant de la même manière qu'au problème 78 pour celui dont Taxe est vertical; et, pour le cylindre horizontal, employez la construction du problème 79. Les bases de ce dernier cylindre seront alors représentées, en projection verticale, par des ellipses.

Les opérations du problème précédent (93) ont nécessité le tracé des génératrices sur chacun des cylindres; ces lignes vont nous servir pour déterminer les courbes de pénétration. — Vous aurez la projection a' d'un point a, en observant qu'elle doit être sur la verticale aa\ et comme ce point qui est en a' (ûg. 2) ne cesse de conserver la même distance au plan horizontal , il s'ensuit que sa projection sera aussi sur l'horizontale aa', — Déterminez donc de la même manière tous les points indiqués dans la fig. 4. — Les courbes d'intersection se couperont en

Fig. 4.

Fig. 3.

deux points a' et e' projetés sur l'axe du cylindre horizontal; l'un a' est apparent, et l'autre e' est caché. — Elles apparaissent alors sous leurs formes elliptiques.

11 est essentiel de tracer sur le cylindre horizontal les génératrices passant par les points f el g du cylindre vertical , afin d'obtenir sur celui-ci les points tangents des courbes sur les génératrices extrêmes.

U^. TRACEZ LES PÉNÉTRATIONS DE DEUX CYLINDRES DROITS DE DIAMÈTRES INEGAUX, DONT LES AXES, SITUÉS DANS UN MÊME PLAN PARALLÈLE AU PLAN VERTICAL , SONT TOUS DEUX OBLIQUES A L'hORIZON ET SE COUPENT SOUS UN ANGLE QUELCONQUE.

Soient i8 millimètres le diamètre d'un des cylindres, et 44 millimètres sa longueur; 12 millimètres le diamètre du second cylindre, et 42 millimètres sa longueur; 60 degrés l'angle formé par les deux axes.

Pour établir les données, — tracez deux droites qui se coupent et forment un angle de 60'* ; — sur ces lignes prises comme axes, construisez les rectangles abcd et efgh (fig. 1), qui représentent

Fig. 1.

Fig. 2.

longitudinalement les deux cylindres en projection verticale. — Pour construire la projection latérale (fig. 2) des mêmes corps ( ^\ — tirez une verticale c'h'. — La base ah se projettera suivant une ellipse (79), que vous tracerez facilement au moyen de son grand axe i'V égal au diamètre ah, et de son petit axe a'h', projection raccourcie de ce diamètre. — La partie vue de la base cd sera projetée suivant une demi -ellipse semblable. — Projetez de même la base ef du deuxième solide par l'ellipse e'm'f.

(t) Comme on le voit ici, pour représenter les deux cylindres, il y a deux projections verticales et pas de projection horizontale. Dans ce cas, on suppose que le corps a décrit un quart de révolution; de façon que le plan des axes, qui était parallèle au plan vertical de projection, est devenu perpendiculaire à celui-ci.

PÉNÉTRATIONS DHS SOLIDES. 77

Les projections des deux corps étant ainsi formées, menez (fig. 2) la ligne rCo' , trace d'un plan parallèle à celui des axes ; — ce plan coupera le premier cylindre suivant un rectangle limité par deux génératrices et les bases (P*, 155). — Les extrémités de ces génératrices sont situées en o' et en /)' sur la base inférieure : — projetez ces points en o et en ;? (ûg. i) ; — par et f, menez des droites parallèles à l'axe, et vous aurez les projections longitudinales de ces génératrices. — Mais le plan sécant coupe aussi le petit cylindre selon un rectangle compris entre les génératrices 7i' et r' que vous projetterez sur la base ef; — par les points w et r menez des parallèles à l'axe du petit cylindre, et vous aurez également sur ce dernier la projection du rectangle de section. — Or, comme ces deux rectangles ne forment ensemble qu'un seul et même plan, les intersections des droites qui les limitent et qui appartiennent d'une part au gros cylindre, et d'autre part au petit cylindre, donneront quatre points 8, i, Uj Vj, des courbes cherchées.

Pour obtenir d'autres points, menez de nouveaux plans coupants toujours parallèles au plan des axes, et opérez comme il vient d'être dit. — Pour avoir les sommets des deux courbes, menez un plan qui soit tangent au petit cylindre (fig. 2). Or, comme ce plan qui a pour trace m'k' coupe le gros cylindre suivant deux droites, et ne touche le petit que suivant une seule ligne mq^ il s'ensuit que les points d'intersection q de ces lignes avec le rectangle de section seront les sommets cherchés.

Enfin, projetez les points q,, s, etc. (fig. 1) en q', s', etc. (fig. 2) sur les traces correspondantes des plans coupants, pour avoir, sur cette seconde projection, la partie visible d'une des courbes de pénétration. L'autre courbe est complètement cachée.

90. TRACEZ LES PENETRATIONS d'uN TRONC DE CONE DROIT ET d'un PRISME, DONT LES AXES, SITUES DANS UN MEME PLAN PARALLÈLE AU PLAN VERTICAL, SE COUPENT A ANGLE DROIT.

Soient 26 et i 6 millimètres les diamètres des bases du tronc de cône, 26 millimètres sa hauteur; 12 millimètres le côté du prisme, et 40 millimètres sa longueur.

Afin de simplifier la question, admettons que le prisme est un parallélipipède rectangle dont la base est un carré.

Établissez les données, en commençant par la projection horizontale (fig. 1). — Tracez la verticale xx' et les deux horizon-

taies y'z' et yz. — Au point d'intersection x de ces lignes, comme centre, décrivez avec des rayons de 43 millimètres et do 8 millimètres deux circonférences concentriques, qui seront les projections horizontales des bases du tronc de cône ; — du centre x^ décrivez deux arcs de 6 millimètres de rayon , et menez des tangentes parallèlement à ^2' ; — portez à droite et à gauche une distance de 20 millimètres égale à la moitié de la longueur du prisme ; — par ces derniers points y et z^ menez yy' et zz parallèles à xx\

Fig. 2.

Fig. 1.

Pour faire la projection verticale des deux solides, — menez, parallèlement à xaf^ des tangentes aux circonférences des bases; — portez, au-dessus et au-dessous de l'horizontale y'z' , projection verticale de l'axe du prisme, une distance de 13 millimètres égale à la demi-hauteur du tronc de cône; — menez les parallèles m'n'^ o'p\ et joignez m'o' et n'p'. — Le trapèze m'n'o'p' représentera verticalement le cône tronqué. — Opérez ensuite pour le prisme comme vous avez déjà fait en projection horizontale.

Nous avons renversé la projection horizontale de ces deux corps, afin qu*on pût voir la base inférieure du tronc de cône et Tintersection de ce solide avec la face inférieure du prisme. D'après cette position les points /"et g (fig. 1 ) devraient être marqués en h et en i*, et réciproquement; cependant, comme on s'aperçoit

PÉNÉTRATIOxNS DES SOLIDES. 79

sans peine que la partie située au-dessus de yz est tout à fait symétrique à la partie située au-dessous, on peut se permettre sans inconvénient d'indiquer ces points tels qu'ils sont sur la figure.

Le plan c'g\ face inférieure du prisme (fig. 2), coupe le cône suivant un cercle ; par conséquent, sa projection horizontale sera le cercle décrit du point x aveca?c pour rayon. On concevra qu'il ne faut en tracer que les arcs fch et gi, qui seuls existent par rapport au prisme. Ces arcs sont, en projection horizontale , les intersections du prisme et du cône.

Mais il faut encore chercher l'intersection du tronc de cône avec la face verticale du prisme. — Menez encore deux plans coupants b'x' et a'l\ dont les projections horizontales sont les cercles décrits avec les rayons xb^ xa; — ces sections rencontrent la face fg en Â: et en / (fig. 1 ) ; — projetez ces points sur les sections respectives, et vous aurez k' et l' (fig. t) pour leurs projections verticales; — faites passer une courbe par les trois points l'k'g' ; — opérez de la même manière pour les points symétriques situés sur fg. — Vous aurez pour résultat deux portions symétriques d'une branche d'hyperbole, car la face a'I'g'f qui coupe le cône est parallèle à l'axe de ce solide (91).