TRACEZ LES PÉNÉTRATIONS d'uN CÔNE TRONQUÉ ET

d'un cylindre dont les axes, situés dans un même plan parallèle au plan vertical, 8e coupent perpendiculairement.

Soient 26 et i6 millimètres les diamètres des bases du cône tronqué; 26 millimètres sa hauteur; 42 millimètres le diamètre du cylindre, et 40 millimètres sa longueur.

Établissez les projections des deux solides^ ainsi qu'il vient d'être dit au problème 96. — La projection horizontale est également renversée ; on devra donc avoir égard à l'observation précédemment faite à ce sujet.

Il est facile de reconnaître que l'on a quatre points des courbes de pénétration par les intersections des génératrices extrêmes du cône avec celles du cylindre; ces points se projettent tous sur la ligne ab {^^. 3), projection horizontale de ces génératrices.

Pour obtenir d'autres points : commencez par tracer les cerclesirf'c'e' et dce^ qui représentent en projection verticale et en projection horizontale les rabattements de la base du cylindre. — Remarquez que ce second rabattement, par rapport au premier, a décrit un quart de révolution pour se mettre en projection avecle

cylindre (fig. 3). — Cela compris, menez (fig. 4) un nombre quelconque de parallèles horizontales qui représentent autant de traces de plans horizontaux. Chacun de ces plans coupe le cône ^uivant un cercle, et le cylindre suivant un rectangle. Les points d , e' et c, e, dans les rabattements, indiquent les projections des génératrices qui limitent les rectangles.

Projetez maintenant l'une de ces sections e'f. D'une part, le cercle oist en sera la projection horizontale relativement au cône; et d'autre part, le rectangle mnpq en sera aussi la projection horizontale relativement au cylindre.— Mais ce rectangle et ce cercle, provenant d'une môme section, ne forment ensemble qu'une

môme surface, dont les quatre points d'intersection s, ^, o, i, appartiennent à la fois au cylindre et au cône; ils sont par conséquent des points des courbes cherchées. — Projetez les points s et i, que vous venez d'obtenir (fig. 3) sur la section correspondante en projection verticale (fig. 4) , et vous aurez alors, dans cette projection en s' et i', un point de chacune des courbes symétriques. — On concevra facilement qu'en répétant cette opération à chacun des plans de section , on aura un nombre suffisant de points pour tracer les courbes de pénétration des deux solides.

Observez maintenant qu'une partie de ces courbes doit être ponctuée (ûg. 3), parce qu'elle est cachée par le cylindre même.

98. TRACEZ LES PENETRATIONS d'uNE SPHERE PAR UN CY- LINDRE DONT l'axe, PERPENDICULAIRE AU PLAN HORI- ZONTAL, PASSE PAR LE CENTRE DE LA SPHERE.

Soient 24 millimètres le diamètre de la sphère, 16 millimètres le diamètre du cylindre, et 34 millimètres sa hauteur.

Tracez les projections horizontale et verticale des deux solides ;78et88).

Imaginez un nombre quelconque de plans sécants parallèles au plan vertical, de manière qu'un d'eux passe par le centre de la sphère, et, par conséquent, suive l'axe du cylindre, et qu'un autre soit tangent à ce dernier solide. — Leurs traces horizontales seront représentées par les parallèles ca, 66, ce.

Cela fait, projetez les sections faites par ces plans dans chacun des solides. Relativement à la sphère : — vous aurez, pour le plan «a, passant par son centre, le cercle dont le rayon est m'a\ c'està-dire le contour même de la sphère, car c'est un grand cercle de ce corps ; — et les plans hb et ce donneront les petits cercles, dont les rayons sont m'b' et m'c'. — Relativement au cylindre : la section aa, qui passe par l'axe du solide, donnera un rectangle

dont les génératrices limites se confondront avec celles extrêmes du cylindre; — la section bb produira un rectangle plus petit; — enfin, la troisième section ce donnera seulement une génératrice mm'.

Les deux premières sections donneront donc chacune quatre points des pénétrations, et la dernière deux points seulement. — Faites alors passer des lignes par ces points, et vous aurez, en projection verticale, deux droites dont les projections horizontales sont deux cercles qui se confondent aveô celui de la base supérieure du cylindre.

99. TRACEZ LES PENéTRATIONS d'UNE SPHÈRE ET t»'UN PRISME DROIT, DONT l'AXE, PERPENDICULAIRE AU PLAN HORIZONTAL, PASSE PAR LE CENTRE DE LA SPHERE.

Soient 24 millimètres le diamètre de la sphère; 16 millimètres le diamètre de la circonférence circonscrite à la base du prisme, et 34 millimètres sa hauteur.

Admettons que la base du prisme soit un hexagone régulier. Tracez les projections horizontale et verticale des deux solides donnés (78 et 82).

Remarquez d'abord que toutes les faces du prisme, étant également distantes du centre de la sphère, la rencontreront nécessairement selon des cercles égaux (88). —Or, la face verticale projetée sur ce coupe cette sphère suivant un cercle qui est représenté verticalement en oc'd'n, — Les arcs c'd\ compris entre les arêtes c'c' et d'd' du prisme, sont les seules parties qu'il suffit de tracer.

Les intersections des faces ac et de avec la sphère se projettent évidemment chacune suivant une ellipse (68), dont le grand axe b'b' n'est autre qu'un diamètre du cercle qu'on vient de décrire, et dont le petit axe est la projection verticale g'f du diamètre horizontal projeté en gf.

Mais, comme on n'a besoin que des parties a'b'c' de cette courbe, on peut se servir du moyen suivant pour les construire.

Il est d'abord évident que les points a' et c', situés sur Thorizontale a'd', appartiennent à l'ellipse. — Gela reconnu, divisez les droites c'd' et a'c' en un môme nombre de parties égales; — à

chaque point de division marqué sur c'd\ élevez des perpendiculaires qui seront comprises entre cette corde et l'arc; — portez leurs différentes longueui;| sur les perpendiculaires correspondantes menées des points de division de a'c\ et tracez la courbe passant par les points d'intersection ainsi obtenus, vous aurez l'arc d'ellipse a'b'c'. — Employez le même moyen pour tracer les autres arcs, et vous obtiendrez ainsi toutes les courbes de pénétration des deux solides donnés.

100. TRACEZ LES PENETRATIONS d'uNE SPHÈRE ET d'uN CYLINDRE DROIT DONT L'AXE, PERPENDICULAIRE AU PLAN HORIZONTAL, EST EN DEHORS DU CENTRE DE LA SPHÈRE.

Soient 24 millimètres le diamètre de la sphère, 46 millimètres le diamètre du cylindre, 34 millimètres sa hauteur. Admettons aussi que la distance du centre de la sphère à l'axe du cylindre,

mesurée sur une horizontale et une* verticale, soit de 21 millimètres.

Tracez les projections des deux solides.

Il sera facile, d'après ce que nous avons vu (98), de déterminer les courbes suivant lesquelles les corps se pénètrent.

Supposez un plan bb qui coupe à la fois le cylindre et la sphère parallèlement au plan vertical ; — projetez verticalement la section du cylindre, vous aurez un rectangle limité par les génératrices c'c' et d'd' ; — projetez également la section de la sphère, vous aurez verticalement le cercle c'd'd'c'. — Les intersections

de ces deux surfaces tracées dans un même plan, puisqu'elles résultent d'une même section, vous donneront quatre points dont deux pour chaque courbe de pénétration.

Cherchez d'autres points de ces courbes en répétant la même opération à l'égard d'autres plans sécants. — Vous observerez alors que les deux plans tangents au cylindre ne donneront pour ces courbes que chacun deux points, dont les deux derniers sont cachés par le solide; et que tout plan sécant en dehors du cylindre ne procurera pas de points. Vous reconnaîtrez aussi qu'il est essentiel d'avoir les deux plans sécants, dont l'un passe par le centre de la sphère, et l'autre par l'axe du cylindre ; car ils détermineront les points tangents des courbes de pénétration aux contours de chacun de ces solides.

101. TRACEZ LES PENETRATIONS d'uNK SPHÈRR ET d'uN CQNE DROIT, DONT l'aXE , PERPENDICULAIRE AU PLAN HORIZONTAL, EST EN DEHORS DU CENTRE DE LA SPHERE.

Soient 32 millimètres le diamètre de la sphère ; 26 millimètres le diamètre de la base du cône, et 46 millimètres sa hauteur.

Admettez encore que les distances du centre de la sphère à l'axe du cône, mesurées sur une horizontale et sur une verticale, soient 3 et 8 millimètres.

Commencez par tracer les projections horizontale et verticale ^des deux corps suivant les conditions du problème.

Cherchez ensuite les courbes suivant lesquelles les deux solides se pénètrent. A cet effet : menez, dans la projection verticale, la trace ab d'un plan horizontal qui coupe la sphère suivant un cercle dont ab est le diamètre; — tracez-en la projection horizontale, en décrivant du centre m' la circonférence a'c'b'. Mais la section qui vient d'être faite coupe également le cône suivant un cercle du diamètre éd., — du point s', décrivez la circonférence e'c'd\ qui en est la projection horizontale. — Ces deux cercles, qui sont tracés dans le même plan de section, se rencontrent en c' et eh d': ces deux points sont les projections horizontales de deux points de la courbe inférieure de pénétration. — Tracez-en sur ab les projections verticales en c et en d. — Répétez cette opération pour avoir d'autres points.

Comme on le voit, la seconde courbe de pénétration, représentée par ses deux projections, ne s'obtient pas en même temps que la première: on la construira par le même procédé, en faisant en sorte que chaque plan sécant coupe les deux solides suivant deux cercles qui se rencontrent, ce dont on sera assuré après avoir trouvé les points limites n et o, que nous allons déterminer.

Imaginez un plan passant par l'axe du cône et le centre de la sphère. 11 sera représenté sur le plan horizontal par la ligne m'l\ qui joint les centres m\ s'. — Supposez maintenant que ce plan tourne autour de la droite mm' pour devenir parallèle au plan vertical. — Dans ce mouvement, les points s' et l' traceront des arcs de cercle pour se placer en s" et en l" ; il s'ensuit que l'axe du cône se projettera suivant la verticale s"s"' ; —joignez s"'l"' et vous aurez le rabattement de la génératrice s'I' (84) qui, comme on le voit, perce la sphère aux points p eiq. — Ramenez maintenant le plan dans sa première position, ces derniers points décriront autour de la droite mm' des arcs de cercle horizontaux qui auront pour traces verticales les droites pr et qt^ parallèles à

la ligne de terre; — ces arcs couperont la génératrice s'I' en n' et en o' ; — projetez verticalement ces points en n et en o.

Remarquez que, si vous tracez la projection horizontale des deux solides, les cercles des sections faîtes par les plans pr et qt dans ces deux corps, ces cercles ne feront que se toucher les uns en n\ les autres en o'. Donc, tout plan horizontal compris entre

pr et qt ne donnerait pas de points appartenant aux courbes cherchées, car les cercles de sections ne se couperaient plus.

Mais il est encore essentiel d'obtenir les points situés sur les génératrices extrêmes du cône. — Ces génératrices se trouvent situées dans le plan vertical, dont la trace horizontale est e'rf' ; — ce plan coupe la sphère suivant un cercle projeté en uv; — tracezen la projection verticale en décrivant du centre m la circonfé-

rence u'v\ qui rencontrera les contours du cône en quatre points. — C'est en ces points que les deux courbes de pénétration devront être tangentes aux génératrices extrêmes du cône.

102. TRACEZ LES PENETRATIONS d'uN TORE PAR UN CYLINDRE DROIT, LES AXES DES DEUX CORPS ÉTANT PARALLÈLES AU PLAN VERTICAL.

Le tore ou anneau est un solide produit par la révolution d'un cercle autour d'un axe fixe, de telle manière que chaque point du cercle décrit une circonférence.

Soient 46 millimètres le diamètre du cylindre, 42 millimètres sa hauteur; t% millimètres le diamètre du cercle générateur du tore, 44 millimètres le diamètre de la circonférence décrite par le centre du cercle générateur, et 24 millimètres la distance des axes des deux solides.

Tracez les projections horizontale et verticale des deux corps. — L'anneau sera projeté horizontalement par les circonférences a'c'b\ d'e'f'\ et verticalement suivant la figure agbh, — La base du cylindre donné sera le cercle i'I'k'.

Comme dans les problèmes précédenLs, menez un plan horizontal mn (fig. 2j ; — ce plan coupe le cylindre suivant un cercle projeté sur sa base même, et l'anneau selon une couronne limitée par deux circonférences; — l'une d'elles seulement, représentée par l'arc m'l'n\ rencontre le cylindre aux points V eto'. — Projetez ces points verticalement sur la section mn (fig. \)\ — leurs projections Z et o sont deux points de la courbe supérieure.

Maintenant, au-dessous de ahy et à la même distance de cette ligne, menez-lui une parallèle pq^ pour représenter un second plan horizontal.— -Ce second plan coupe l'anneau suivant une couronne dont les circonférences limites se projettent horizontalement sur les premières. — Conséquemment, vous aurez en o' et V les projections de deux nouveaux points qui appartiennent à la courbe inférieure. — Projetez ces points en l" et en o".

On voit donc qu'en menant deux plans à égale distance de a6, on détermine à la fois quatre points des courbes cherchées. Mais, comme ces quatre points sont insuffisants pour tracer les courbes, il faut alors, afin d'avoir de nouveaux points, répéter la même opération à l'égard d'autres plans de section.

Pour obtenir les limites ss" des courbes, opérez comme au problème précédant (101 ). — Faites passer un plan h' s' par l'axe du cylindre et celui de l'anneau (fig. 1 ) ; — imaginez que ce plan tourne autour de gh^ qui lui sert de charnière, et prend la position

h'b' parallèle au plan vertical. — Dans ce mouvement le point .?',

qui représente une génératrice du cylindre, décrit un arc de