DÉFINITIONS PRÉLIMINAIRES

c'est-à-dire susceptibles de définitions exactes, sur un plan unique, tel qu'une feuille de papier.

9. Pour parvenir à déterminer rigoureusement les formes d'un corps donné, le moyen le plus simple est de le rapporter à deux plans perpendiculaires entre eux, appelés plans de projection. L'un est horizojilal, et Fautre par conséquent est vertical.

10. La droite formée par l'intersection commune de ces deux plans s'appellp ligne de terre,

11. Les figures tracées sur le plan horizontal se nomment projections horizontales ou simplement plans, et celles tracées sur le plan vertical s'appellent projections verticales ou élévarlions,

12. Lorsqu'on veut représenter l'intéjneur d'un objet, d'un édifice, d'une machine, etc., on les suppose coupés par un plan; c'est-à-dire, sciés en deux parties. Si le dessin représente à la fois les parties coupées et celles qui ne le sont pas, la projection prend le nom de section ou cowpe,- mais si le dessin n'exprime que les parties coupées, la projection est un profil. Enfin la section est dite coupe horizontale ou coupe verticale, selon que le plan sécant est horizontal ou vertical.

15. On désigne sous le nom de dessins géométraux les plans, les élévations, les coupes, les profils et généralement toutes les projections. On dit d'un corps qu'il est projeté géométralement.

14. Les lig^ics de projection sont les lignes de construction dont OR se sert pour déterminer les projections; ces droites sont parallèles entre elles et perpendiculaires à chacun des plans de projection. On suppose qu'elles sont abaissées sur ces plans de chacun des points du corps situé dans l'espace.

18. On nomme trace horizontale ou verticale d'un plan , J'intersection de ce plan avec le plan horizontal ou vertical de

projection. Les deux tracés d'un plan doivent couper la ligne de terre au même point, ou lui être parallèles.

16. En terminant ces notions préliminaires, nous établirons quelques règles essentielles à observer dans le tracé de toutes les études. Ces dessins, en effet, devant servir à représenter exactement la forme des objets, il faut que les divers modes de ponctuation qu'on y emploiera offrent une sorte de langage intelligible aux yeux, c'est-à-dire qu'ils manifestent clairement la position relative des différentes parties, distinguent celles qui sont cachées de celles qui sont visibles pour l'observateur, et fassent discerner les résultats d'un problème d'avec les lignes qui n'ont servi que de moyens auxiliaires pour y arriver^ c'est pourquoi nous adopterons constamment les règles suivantes :

17. Les lignes principales, c'est-à-dire celles qui représentent les données ou les résultats d'un problème, seront

Lijj^nes principales visibles.

Lignes cachées.

toujours marquées par un trait plein et continu, lorsqu'elles seront visibles; mais si ces lignes principales sont invisibles ou cachées, elles seront ponctuées, c'est-à-dire formées de points allongés,

18. Les lignes de projection^ ainsi que les autres lignes do construction seront aussi ponctuées et composées de petits traits

Lignes de projection.

séparés entre etuc par un point. Quant à ces lignes il n'y aura jamais lieu de distinguer si elles sont visibles ou non, parce qu'elles sont fictives et censées n'exister que dans l'imagination du dessinateur qui les conçoit pour parvenir au résultat demandé. 19. Les parties coupées seront exprimées sur les dessins par des hachures, c'est-à-dire par des lignes pleines parallèles et rapprochées, et toujours obliques à la ligne de terre sous un angle de 45'. Et, comine l'objet d'une coupe est de montrer clairement la section faite par le plan coupant, on supposera toujours, en la considérant (selon que le plan coupant sera vertical ou horizontal), que la partie extérieure ou supérieure du corps coupé, est rc-

Hachures.

tranchée de ce corps; car sans cela cette partie cacherait la section qu'il s'agirait de faire voir.

20. Nous désignerons toujours par des majuscules les points de l'espace; et par des minuscules analogues leurs projections verlicales ainsi que leurs projections horizontales. Le plan vertical sera désigné par les lettres VV, le plan horizontal par celles HH', et la ligne de terre par LT.

Quand il y aura lieu d'exprimer plusieurs fois les mêmes points d'un corps dans diverses projections, on aura soin de les représenter par les mêmes lettres affectées des accents ' ( prime ) , " (seconde), '" (tierce), etc.

21. Il est évident que la forme exacte d'un corps et sa grandeur, celle d'une surface, ou d'une ligne, seront parfaitement connues ou déterminées,, quand on pourra, au moyen de données , trouver les positions relatives de tous les points qui composent le corps, la surface et la ligne.

Il est donc facile de sentir que le premier pas à faire dans la science des projections consiste principalement à bien entendre les projections d'un point, ou, ce qui est la même chose, à savoir déterminer la position d'un point dans l'espace. Car, lorsqu'on saura projeter un point, on saura nécessairement en projeter deux; or, comme deux points déterminent la direction d'une ligne droite, on saura par conséquent faire la projection d'une droite; et, par une. semblable conséquence, on saura faire la projection d'une surface , ainsi que celle d'un solide, puisque cette opération n'est qu'une suite ou répétition de la première.

Nous allons tâcher de faire comprendre ceci par des exemples.

22. L'espace n'ayant pas de limites, on ne peut déterminer la position d'un point qu'en le rapportant à des limites de convention qui sont deux plans perpendiculaires entre eux (Voyez 9) (*).

Concevons (fig. suiv.) un point A placé dans l'espace compris entre le plan horizontal HH'LT et le plan vertical VV'LT (*).

(1) Lorsque, pour éclaireir U matière que nous traiterons, nous aurons besoin de renvoyer le lecteur à d'autres articles de cet ouvrage ou à des articles de la première partie de ce Cours, nous mettrons les numéros de ces articles, dans le premier cas entre parenthèses, suivant l'nsage que nous ayons déjà suivi, et dans le second cas nous ferons précéder le numéro de l'article du chiffre romain I.

(2) Pour mieux faire comprendre la position de deux plans, nous les avons supposés vus en perspective, moyen que nous emploierons tontes les fois que nous le croirons nécessaire.

Supposons que le spectateur se place de telle façon que le rayon visuel qui émane de son œil et passe par le point A soit perpendiculaire au plan vertical W (14) ; le point a^ où cette perpendiculaire rencontrera ce plan , sera la projection verticale du point A .

Si le spectateur, se déplaçant, vient mettre son œil au-dessus du point A de manière que son rayon visuel, en passant également par ce point, soit une perpendiculaire au plan horizontal HH'. le pointa', pied de cette perpendiculaire, sera la projection, horizontale du point A.

as. On voit, parce que nous venons d'exposer, que la projection d'un point sur un plan est le pied de la perpendiculaire abaissée de ce point sur le plan. Donc, la position d'un point donné dans l'espace est déterminée en menant de ce point une perpendiculaire à chacun des deux plans de projection.

24. Gela posé, faisons abstraction du point original A, et ne considérons que ses projections a

et a'. De chacun de ces points, imaginons une perpendiculaire indéfinie élevée sur chacun des deux plans VV et HH' ; nous verrons que ces deux lignes s'entrecoupent nécessairement au point A, puisque par la première opération ces perpendiculaires sont émanées de ce point sur chacun de ces deux plans. La position de A dans l'espace se trouve ainsi déterminée par la connaissance de ses seules projections. Donc, les projections d'un point déterminent la position de ce point dans l'espace,

25. Maintenant, si Ton conduit un plan par des droites A a et A a'^ ce plan sera vertical et, à la fois, perpendiculaire aux deux plans HH' et VV, et par suite à leur intersection LT. La figure kaba' est évidemment un rectangle ; on observera les résultats suivants : — 1" que la distance ka du point A au plan vertical est égale à la distance a'h de sa projection horizontale à la ligne de terre LT (40) ; — 2° que la distance ka' du point A au plan horizontal est égale à la distance a 6 de sa projection verticale à la

ligne de terre ; — 3" que les deux perpendiculaires ab et a'b à la

A^ i ka

ligne de terre LT, abaissées des projections a et a' du point A, coupent cette ligne au même point b,

26. Mais dans la pratique du dessin, on opère sur une feuille de papier ou sur toute autre surface plane unique, et, dans ce qui précède, nous avons considéré deux plans perpendiculaires entre eux. Pour ramener toutes les constructions à n'être exécutées que sur la feuille de dessin et ainsi sur un plan unique et non dans l'espace, on suppose que le plan horizontal HH' tourne autour de la droite LT, comme autour d'une charnière, pour se ra--

Pig. 1

Fig. 2.

battre et devenir le prolongement du plan vertical W, avec lequel alors il ne fait plus qu'un seul et même irfan WAA'.

Dans ce mouvement, le plan horizontal aura décrit l'arc H'^', ou un quart de circonférence; par conséquent, la projection horizontale a' ainsi que la droite a'b entraînées avec le* plan auront décrit dans le même temps un arc semblable, dont le centre sera en 6, et dont les rayons ba' et ba" sont égaux ; de plus, la ligne a'b en venant se placer en a"b reste, dans cette dernière position, perpendiculaire à LT, et devient ainsi le prolongement de la droite ab. Il résultera donc après le rabattement du plan que les deux projections a et a" d'un même point A seront situées sur une même perpendiculaire à la ligne de terre.

27. C'est donc sur le plan unique YV'HH', fig. 2 (qui représente la feuille de dessin et les deux plans de projection dans leurs dimensions régies, c'est-à-dire sans être en perspective comme dans la fig. 4, et où les mêmes lettres correspondent 9UX mêmes points de la fig. 4 ), que l'on trace effectivement toutes les constructions que l'on est censé faire dans l'espace.

Alors la partie du dessin au-dessus de la ligne de terre LT est considérée comme étant le plan vertical , et la partie située au-dessous de cette ligne, comme représentant le plan horizontal.

28. Néanmoins, il ne faut pas perdre de vue que ce rabattement n'est admis que comme moyen d'exécution; et, toutes les fois qu'on examine un dessin, il faut par la pensée relever la partie supérieure de la feuille et se la figurer toujours dans une situation perpendiculaire à la partie inférieure, la ligne de terre marquant la direction du pli.

29. De ce que nous venons de voir précédemment (25 'et 26), il résulte les principes suivants qui servent de bases à la théorie des projections :

4® Les deux projections d'un même point sont toujours sur une même ligne perpendiculaire à la ligne de terre ;

2® La distam^e d'un point de l'espace au plan horizontal, est indiquée sur le plan vertical par la perpendiculaire abaissée de la projection verticale sur la ligne de terre ;

3® La distance d'un point de l'espace au plan vertical, est indiquée sur le plan horizontal par la perpendiculaire abaissée de la projection horizontale sur la ligne de terre.

50. D'où il faut conclure, qu'on doit toujours mesurer sur le plan horizontal les distances de l'objet au plan vertical ; et réciproquement, mesurer sur le plan vertical la distance du même objet au plan horizontal.

51. Quand une figure est énoncée ou décrite dans l'espace, il faut pouvoir l'écrire immédiatement sur la feuille de dessin ou,

en d'autres fermes, sur un seul plan ; et réciproquement, quand une figure est écrite sur la feuille de dessin, il faut savoir la lire immédiatement dans l'espace. Pour cela il faut, au moyen des projections d'un point, concevoir de suite la position qu'il occupe dans l'espace; et réciproquement, connaissant la position d'un point dans l'espace, il faut savoir en déduire de suite les positions de ses deux projections.

52. Supposons donc qu'un point s'éloigne ou se rapproche du plan horizontal en suivant une perpendiculaire à ce plan. Il est évident qu'il aura toujours la môme projection horizontale, et que la projection verticale seule s'éloignera ou se rapprochera de la ligne de terre; l'inspection de la figure le montre suffisam-

ment. Il est encore Facile de Tfoir que, tant que le point A sera au-dessus du plan horizontal, sa projection verticale sera audessus do la ligne de terre LT, tandis que cette même projection serait sur cette ligne si le point que l'on veut projeter était sur le plan horizontal même.

•53. Donc, selon qu'un point dam V espace sera au-dessus du plan horizontal ou dans ce plan, la projection verticale de ce point, sur le dessin, sera aur dessus de la ligne de terre, ou sur cette ligne.

De môme, selon qu'un point dans Vespace sera en avant du plan vertical ou dans ce plan, la projection horizontale de ce point, sur le dessin, sera au-dessous de la ligne de terre, ou sur cette ligne.

34. Les principales positions que peut prendre un point de J'espace à l'égard de deux plans de projection sont au nombre de quatre; le point peut être :

4* Au-dessus du plan horizontal et en avant du plan vertical ; 2° Sur le plan horizontal et en avant du plan vertical ;

3<> Sur le plan vertical et au-dessus du plan horizontal ; 4° A la fois dans les deux plans de projection, c'est-à-dire sur la ligne de terre (*).

Nous nous sommes un peu étendu sur ce paragraphe de la représentation du point, parce qu'il est le fondement ou la clef de tout ce qui nous reste à dire, et qu'il est très-important de ne pas le passer sans l'avoir parfaitement compris.

§ lY. PROBLÈMES RELATIFS AU POINT.

55. DÉTERMINEZ LES PROJECTIONS d'lN POINT PLACÉ ENTRE LES PLANS DE PROJECTION.

Soient 11 millimètres la distance du point au plan horizontal, et 14 millimètres celle au plan vertical.

Comme nous l'avons vu précédemment (27) , le rectangle VV'HH' représente la feuille de papier. — Tracez à volonté la ligne de terre LT qui est l'intersection du plan vertical VV'LT avec le plan horizontal LTHH'. Ce dernier est censé rabattu sur le prolongement du plan vertical ; l'élève pourra le supposer redressé pour l'intelligence de la construction (28).

(i) Pour bien se rendre compte de la représentation des différentes positions du point, nous engageons les élèves à établir deux plans de projection à l'aide d'une feuille de carton qu'on divisera en deux au moyen d'nn coup de canif donné en ligne droite^ à demi-épaisseur, pour déterminer le pli du carton.

Rappelons (^9 et 30) : que les projections d'un même point sont sur une même perpendiculaire à la ligne de terre; que la distance du point dans Tespace au plan horizontal , doit se porter dans le plan vertical à partir de la ligne de terre; et que la distance du point au plan vertical doit se porter sur le plan horizontal à partir de la ligne de terre.

Menez donc une perpendiculiaire indéûnie à la ligne de terre; — portez ensuite M millimètres au-dessus de la ligne de terre, et 44 millimètres audessous. — Les points a et a' ainsi obtenus, seront les deux projections cherchées.