TRACEZ LES PROJECTIONS D UNE DROITE PERPENDICULAIRE AU PLAN VERTICAL

Soient 43 millimètres la longueur de la droite donnée, et 40 millimètres sa distance au plan horizontal.

(1) Noos devons préveDir le lecteur qu'il ne peut apprendre qne la règle et le compas à la main; il ne doit lire qn'en faisant à mesure toutes les constructions indiquées. Nous l'engageons même à tâcher de résoudre seul, et sans consulter le texte, les divers problèmes proposés. S'il éprouve d'abord quelques difficultés il en sera bien dédommagé plus Urd par l'habitude qu'il acquerra de décomposer et d'analyser 8»s idées.

Remarquons d*abord que la droite étant perpendiculaire au plan vertical, elle doit se projeter sur ce plan par un point (40); et, que sa projection horizontale doit être une perpendiculaire à la ligne de terre de môme longueur que la droite de l'espace. De plus, qu'aucune distance au plan vertical n'étant donnée, il faut en conclure que la droite dans l'espace touche ce plan par une de ses extrémités.

Élevez à la ligne de terre une perpendiculaire indéfinie ; — sur cette perpendiculaire , à partir de la ligne de terre, portez dans le plan vertical une distance de 40 mill. ; le point a sera la projection verticale cherchée. — Ensuite, portez sur cette même perpendiculaire, dans le plan horizontal, une longueur de 13 mill.; la ligne a' h' sera la projection horizontale.

47. TRACEZ LES PROJECTIONS D'uNE DROITE PARALLELE AUX DEUX PLANS DE PROJECTION.

Soient h t millimètres la longueur de la droite donnée , 9 millimètres sa distance au plan vertical , et 8 millimètres celle au plan horizontal.

La ligne donnée étant à la fois parallèle aux deux plans de projection, doit se projeter sur chacun de ces plans suivant deux droites parallèles à la ligne de terre, et d'une longueur de 42 millimètres, égale à celle de la ligne dans l'espace (40). Comme les extrémités des deux projections doivent se trouver, chacune, sur une perpendiculaire à la ligne de terre (29), on peut résoudre ce problème par la construction suivante :

Portez sur la ligne de terre une longueur de 42 millim. égale à celle de la ligne donnée, et élevez par ces points deux perpendiculaires indéfinies. — Dans le plan vertical, portez sur l'une de ces perpendiculaires, à partir de la ligne de terre,

une longueur de 8 milL égale à la distance au plan horizontal (29 et 30]; — menez ab parallèle à LT; ce sera lar projection cherchée. — Dans le plan horizontal , portez de môme une longueur de 9 mill. égale à la distance de la ligne au plan vertical ; — parle point a' ainsi obtenu, menez a' b' parallèle à LT; la ligne a! b' sera la projection horizontale cherchée.

48. TRACEZ LES PROJECTIONS d'uNE DROITE PARALLELE AU PLAN HORIZONTAL, ET OBLIQUE AU PLAN VERTICAL.

Soient 46 millimètres la longueur de la droite donnée, 7 millimètres sa distance au plan horizontal, et 43" l'angle qu'elle forme en rencontrant le plan vertical.

D'après l'énoncé du problème, les projections de cette droite doifent être (40) : sur le plan vertical, une parallèle à la ligne verticale de terre ; et sur le plan horizontal, une oblique égale à la droite de l'espace. De plus, comme aucune distance au plan vertical n'est donnée, il s'ensuit qu'une extrémité de la droite doit toucher ce plan.

Pour construire la projection horizontale, faites à l'aide du rapporteur, en un point quelconque de la ligne de terre, un angle de 43° ; — portez en a'b' une longueur de 46 mill. égale à celle de la ligne donnée. -— Pour la projection verticale , élevez des extrémités a' et b' deux perpendiculaires indéfinies sur la ligne de terre; — portez sur l'une de ces perpendiculaires de a' en a une longueur de 7 mill. égale à la distance de la ligne au plan horizontal (29 et 30); — menez ab parallèle à la ligne de terre, ce sera la projection cherchée.

40. TRACEZ LES PROJECTIONS d'UNE DROITE PARALLÈLE AU PLAN VERTICAL, ET OBLIQUE AU PLAN HORIZONTAL.

Soient 43 millimètres la longueur de la droite dans l'espace, 4 millimètres et 9 millimètres les distances de ses extrémités au plan horizontal, et 8 millimètres sou ébignement du plan vertical.

La ligne étant parallèle au plan vertical se projette sur ce plan dans sa vraie grandeur (40) , et sur le plan horizontal suivant une droite parallèle à la ligne de terre.

Élevez en un point quelconque de la ligne de terre une perpendiculaire indéfinie ; — dans le plan vertical, portez sur cette perpendiculaire, à partir de la ligne de terre, une longueur de 4 mill. égale à la distance d'une des extrémités de la droite donnée au plan horizontal ; vous aurez le point a;

— sur la même perpendiculaire, et toujours à partir de la ligne de terre, portez une nouvelle longueur de 9 mill. égale à la distance de l'autre extrémité au plan horizontal, vous aurez le point m;

— menez mb parallèle à LT; — du point a comme centre, avec une ouverture de compas de 13 mill. égale à la longueur de la ligne donnée, décrivez un arc de cercle ; — le point b ainsi obtenu est la projection de la seconde extrémité de la droite; — tirez ab qui sera la projection verticale cherchée. — Ensuite , portez sur la perpendiculaire , dans le plan horizontal , une longueur de 8 mill. égale à la distance au plan vertical ; — par le point a' ainsi obtenu, menez une parallèle à la ligne de terre; — de 6 abaissez une perpendiculaire à cette dernière ; la ligne a' b' sera la projection horizontale.

80. ÉTANT DONNÉES LES DEUX PUOJECTIONS d'uNE DROITE OBLIQUE AUX DEUX PLANS DE PROJECTION, DETERMINEZ, A l'aide de ces PROJECTIONS, LA GRANDEUR DE LA DROITE SITUÉE DANS l'eSPACE.

Il faut commencer par établir les données, c'est-à-dire par construire les deux projections qui sont supposées connues. — Élevez sur la ligne de terre les deux perpendiculaires aa' et bb' , — Menez à volonté les deux obliques ab et a' b', — W s'agit maintenant de déterminer la ligne de l'espace qui a pour pro- * jections les droites ab, a'b\

La droite étant oblique aux deux plans de projection, se projette en raccourci sur chacun de ces plans (40). Pour résoudre le problème, il faut déterminer sa projection sur un plan auquel

elle serait parallèle, puisque alors elle se projettera sur ce plan suivant sa vraie grandeur (40). 11 faut donc pour cela opérer un changeme?it de plan de projection.

Cette opération est très-simple. Supposons que le plan vertical change de place et vienne se poser parallèlement à la droite de l'espace, à une distance quelconque. — La nouvelle ligne de terre sera L' T' menée parallèlement à la projection horizontale a' b\ et à une distance arbitraire comme le nouveau plan vertical convenu. — La projection verticale est toujours a 6, car la droite dans l'espace ainsi que le plan horizontal n'ont éprouvé aucun changement.

Pour déterminer la nouvelle projection verticale : Menez à la nouvelle ligne de terre les perpendiculaires indéûnies a'm\ b'n', — La distance de la droite de l'espace au plan horizontal étant restée la môme, les distances de ses extrémités à ce plan sont toujours réprésentées par maetnb; — portez donc ma en m'a" et nb eu n' b"; — puis menez a"b", cette ligne sera la nouvelle projection verticale égale à la droite cherchée.

tfl. TRACEZ LES PROJECTIONS d'uNB LIGNE BRISÉE, SITUÉE DANS UN PLAN PARALLELE AU PLAN VERTICAL.

Soient 9 millimètres sa distance au plan vertical, et 6, 12, 4, 4 millimètres celles au plan horizontal des extrémités de chacune des droites dont elle est composée. Les longueurs de ces ttiémes droites étant de 7, 45 et 11 millimètres.

La ligne brisée étant parallèle au plan vertical se projette sur ce plan dans sa vraie grandeur et sur le plan horizontal suivant une droite parallèle à la ligne de terre (40 ).

Pour déterminer sa projection verticale, il suffit donc de tracer dans le plan vertical une ligne brisée ahcd égale à la ligne donnée. Pour cela il faut répéter, pour chacune des droites ab, bc, C(/qui la composent, la construction du problème préC/é-

dent (49). —A cet effet, en un point quelconque de la ligne de terre, élevez une perpendiculaire indéfinie a'm\ — dans le plan vertical, portez sur cette ligne, à partir de la ligne de terre, une longueur de 6 mill. égale à la distance de la première extrémité de la ligne brisée; vous aurez-ainsi le point a. — Sur la même perpendiculaire et, comme nous l'avons déjà vu, toujours à partir de la ligne de terre, portez une autre longueur de 12 mill. égale à la distance de l'autre extrémité du premier tronçon de la ligne brisée ; — par m ainsi obtenu, menez m b parallèle à LT ;

— puis du point a comme centre, et avec une ouverture de compas de 7 mill. égale à la longueur de la droite ab, décrivez un arc de cercle qui coupera mb au point b; — enfin, tirez ab.

— Obtenez de la même manière, et successivement, les deux autres points c et e/; le résultat donnera la ligne brisée abcd qui sera la projection verticale de la ligne de l'espace.

Quant à la projection horizontale : — portez dans le plan horizontal, sur la perpendiculaire a'm, et à partir de la ligne de terre , une longueur de 9 mill. qui est la distance de la ligne de l'espace au plan vertical ; — par le point a' menez une parallèle à LT ; — enfin , abaissez sur cette ligne, des points b, c, d, des

perpendiculaires. — La droite a'â! composée de a!h' , h'c* , c'd\ sera la projection horizontale cherchée.

iS2. TRACEZ LES PROJECTIONS DE LA LIGNE BRISEE CI-BES- SUS, EN SUPPOSANT QU'ELLE AIT TOURNÉ AUTOUR d'uNB DE SES EXTRÉMITÉS ET SOIT DEVENUE OBLIQUE AU PLAN VERTICAL SOUS UN ANGLE DE 40°, SANS CHANGER DE DISTANCE A l'ÉGARD DU PLAN HORIZONTAL.

Soient a et a! les projections du point sur lequel la ligne a tourné.

Cette ligne ayant effectué son mouvement de rotation parallèlement au plan horizontal , sa projection sur ce plan est encore une droite égale à a'd\ Pour la tracer, prolongez indéfiniment a'd'; — sur cette ligne prolongée , prenez arbitrairement a"; — par ce point menez une droite' a" rf" faisant un angle de 40» avec la ligne de terre ou avec a'a'* ; — portez a'b' en a" h", b'c' en b"c", et &d' en c"d".