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Si des points a!', h'*, c" , d", on mène des perpendiculaires indéfinies à LT, les projections verticales seront quelque part sur ces perpendiculaires (Î9). Pour les fixer, remarquons que les divers sommets de la ligne brisée se sont mus parallèlement au plan horizontal, que, par conséquent, leurs distances à ce plan n'ont pas changé. — Menez donc par les points a, b, c, dj des parallèles à la ligne de terre; ces lignes devront contenir les pro-

jections verticales de la ligne brisée déplacée. — Les points de rencontre a'" , h'" j c'" , d!" , de ces parallèles avec les perpendiculaires seront par conséquent les projections verticales cherchées.

On remarquera, par l'inspection de la première figure, que la solution du problème eût pu être obtenue sur les projections mômes de la ligne brisée; mais nous avgns préféré reporter la construction en dehors de ces projections afin d'éviter la confusion des lignes. Néanmoins, par cette première figure, on peut voir clairement la différence qui existe entre la première et la seconde projection obtenue, et les raccourcis qui en résultent.

55. TRACEZ LES PROJECTIONS d'uNE LIGNE COURBE PARALLELE AU PLAN HORIZONTAL.

Soient 10 millimètres l'éloignement de la couri)e de l'espace au plan horizontal, et 7, 10, 5, 2, 6 millimètres les distances de plusieurs de ses points au plan vertical; de plus, supposons qu'on sache que les lignes de projection abaissées de ces points sont espacées entre elles de 5 millimètres.

La courbe étant parallèle au plan horizontal se projette sur ce plan par une courbe égale, et sur le plan vertical suivant une droite parallèle à la ligne de terre (42).

Portez sur la ligne de terre des longueurs de 5 mill. égales aux distances qui séparent les lignes de projection; — élevez par ces points de division des perpendiculaires indéfinies à LT ; — portez, dans le plan horizontal, successivement sur chacune

PROBLÈMES KiaÀTIFS AUX LIGNES. t3

d'elles, à partir de la ligne de terre, les longueurs 7, 40, 5, 2 et 6 mil!, égaies aux distances données au plan vertical ; vous aurez les points a! , b' , c' , d' , é ; — joignez ces points par une courbe tracée à la main, cette ligne sera la projection horizontale cherchée.

Pour la projection verticale : portez dans le plan vertical, à partir de la ligne de terre, une longueur de 10 millimètres égale à la distance donnée au plan horizontal ; — par le point a ainsi obtenu, menez une droite ae parallèle à LT, cette ligne sera la projection verticale de la courbe de l'espace.

34. TRACEZ LES PROJECTIONS DE LA LIGNE COURBE PRÉ- CÉDENTE (53), EN ADMETTANT QU'eLLE AIT TOURNÉ AUTOUR d'une DE ' SES EXTRÉMITÉS ET SOIT DEVENUE OBLIQUE AU PLAN HORIZONTAL SOUS UN ANGLE DE 55% SANS CHANGER DE DISTANCE A l'ÉGARD DU PLAN VER- TICAL.

Soient e et e* les projections du point sur lequel la ligne a tourné.

Raisonnons comme au problème 52 ; en observant seulement qu'ici le déplacement de la ligne a lieu par rapport au plan horizontal, tandis que dans le problème 52 le déplacement s'est fait relativement au plan vertical; que dans le problème actuel il n'y a pas de changement de distance au plan vertical, tandis que dans le problème 52 la ligne conserve sa même distance par rapport au plan horizontal. Cette différence établie, remarquons que la ligne dont il s'agit ayant opéré son mouvement de rotation parallèlement au plan vertical, sa projection sur ce plan est encore une droite égale à ae, et que les points b. c, d ont suivi le mouvement de rotation sans changer de distance entre eux.

11 s'agit donc, pour déterminer les projections de la ligne donnée dans la nouvelle position qu'elle a prise, d'opérer comme au problème 52, déjà cité.

On obtiendra pour projection verticale la droite a"e" oblique à la ligne de terre sous l'angle de 55°, et pour projection horizontale la courbe raccourcie a"'b"'c"'d"'e'*'.

Comme vérification de ce résultat, cherchez la ligne courbe qui a pour projection verticale a"e", et pour projection horizontale a"'c"'e"'.

Il faut, comme au problème 50, opérer un changement de plan de projection, et faire le rabattement de la ligne. — A cet effet,

menez parallèlement à a''e", et à une distance quelconque, la nouvelle ligne de terre L'T' ; — de chacun des points a'% b", c", etc.,

abaissez sur cette ligne des perpendiculaires indéfinies; — portez ma'" en m'a', nb'" en n'b', etc ; — tracez la ligne courbe passant par ces points, elle sera égale à la courbe donnée a'b'c'd'e'.