DE G. D. DE SAGE. DIT. T

égales , raDgées régulièrement en figuré quelconque, est à celle d’un bloc solide de même dimension, comme la circonférence d’un cercle est au triple de la diagonale du carré circonscrit ( ainsi qu’on le verroit aisément si la démonstration que j’en ai n’éloit pas trop longue pour devoir être insérée ici ) , ce qui fait environ le rapport de355 à 5 fois 5yy‘. 4o8 mc ' t qui est celui de 48 280 à 66201 , ou à peu près de 20 à 27 : donc s’il y a deux ordres de boules, la matière sera les 48n8o\65aot mt * des 48a8o'.65aoi r,l * t àu. volume apparent 5 s’il y en a trois ordres, la matière sera les (48a8o‘.65aoi) 5 du volume, et ainsi de suite. Donc s’il y a, par exemple, 25 ordres, la matière sera les ( 48280', 65aot) ^ du volume, c’est-àdire à très-peu près la / '.fooo m ‘i et si le nombre des ordres est septuple de 25, c’est-à-dire 161 , le nombre des zéros du dénominateur de la fraction qui exprime la densité , sera septuple de trois, c’est-à-dire 21, de sorte que cette densité sera d’une mille trillionième.

Troisième façon. Des boules dont le diamètre soit beaucoup plus petit que la distance de leurs centres, unies par des fils roides, beaucoup plus minces encore.

Si, par exemple, ces boules e'toient égales

et rangées régulièrement , si leur masse seule étoit les 48n8o\()520i m ' ! de celte même masse augmentée de celle des fds , et si leur diamètre étoit la dix millionième partie (t'.to ) de la distance de leurs centres, la masse du corps composé de la sorte , seroit la mille trillionicme ( i\io ”) de son volume apparent.

Quatrième façon. On pourroit ne conserver du tissu précédent que les fils; et au lieu de les faire prismatiques, cylindriques, par exemple , comme on seroit porté à les concevoir, les supposer formés d’une file de boules égales contiguës, pour la commodité du calcul. Alors, si l’on vouloit que la masse du composé ne fît, par exemple, que la mille trillionième partie du volume apparent, il faudroit que la distance des points d’intersection des files valût environ X^X so’.aç] fois

le diamètre des boules , ce qui fait les deux tiers de cent mille millions.

Dans la recherche des conséquences de ce dernier tissu , on pourra s’aider du théorème suivant : L’attraction qu’une file rectiligne fort nombreuse de boules égales exerce sur la première boule de la file , est à la sixième partie de l’attraction que la seule seconde boule exerce

DE G. L. IÆ SAGE. DIV. I. 45 sur cette même première, en raison doublée de la circonférence d’un cercle à son diamètre, c’est-à-dire , comme g’ 86g 6o4 , 4oi 089, 558 618 , 834 4 etc. , est à l’unité.

De la forme des élérnens , et de leur perméabilité.

§. 4o. a) Je penche à présent beaucoup à croire, avec M. Fatio (1), que les élémens sont des espèces de cages , ou des polyèdres - réduits à leurs côtés ou arrêtes; et que ces côtés sont des fils dont l’épaisseur est prodigieusement moindre que la longueur ; par exemple, i\io ao . A. quoi j’ajoute, que cette épaisseur est la même pour tous les corps ; puisque les poids de diverses matières, prises en égale quantité, se sont trouvés sensiblement égaux. 1

( 1 ) Nie. Fatio de Duillier, ami de Newton', avoit conçu une explication de la pesanteur , qui a de grands rapports avec celle de G. L. Le Saoe. Celui-ci mit beaucoup de soin à faire connoître les travaux de son devancier, dont lui-même n’eut connoissance que fort tard. ( Vojez la Notice de la vie et des écrits de G. L. Le Saoe, p. 64. Chez J. J. Paschoud, impr.-libr, à Genève.) ( Note de t éditeur.)

b) Mai* je laisse indécis si ces fils sont tous des cylindres ou tous des prismes qui aient une même section, ou bien s’ils sont des suites de petits globes polyèdres , comme le pensoit Redeker (i) ; et je ne décide pas non plus si ces cages sont toutes des polyèdres re'guliers ou s’il y en a d’irréguliers, s’ils sont tous semblables ou s’il y en a de différentes formes , s’ils sont tous égaux ou s’il y en a d’inégaux , enfin s’ils sont combinés et assemblés de façon à remplir un espace , ou s’ils laissent enlr’eux des interstices.

c) Je remarque seulement ceci, que si les cages qui composent un même corps sont toutes égales , semblables et contiguës $ et que si une çnême cage a toutes ses faces égales et semblables ; les seules formes que ces corps puissent avoir sont ou celle d’un cube ou celle du dodécaèdre de M. IIorrebow. Les faces de ce dernier sont des rhombes dont la petite diagonale est à la grande, comme le côté d’un earré est à sa diagonale.

• (1) Rr.Dr.KER s’étoit aussi occupé de la recherche de la cause de la pesanteur. Le Sage s’étoit procuré sa Dissertation , et se proposoit d’en parler en détail dans son histoire projetée de la pesanteur.

• ,l *' ■ '' ( Note de F éditeur.}

DE G. li. liE SAGE. LIV. I. ^

et) Je me propose principalement ici de rechercher quel est le rapport qui doit régner dans les principaux polyèdres, entre l’épaisseur des côtés (supposés des fils cylindriques), et la longueur de ces côtés, pour obtenir une imperméabilité déterminée; et j’observe en passant, que cette imperméabilité est égale au rapport qui a lieu entre la projection ichnographique des arrêtes seules, et celle de tout le polyèdre s’il étoit massif, puisque les puissances inlerceptrices des corps ( à l’égard d’un courant dont toutes les particules se meuvent dans des routes parallèles entr’elles , et par conséquent à l’égard de plusieurs pareils courans), sont proportionnelles à ces projections, e) L’imperméabilité d’un polyèdre, déterminé à tous égards , varie beaucoup , suivant la direction du courant auquel il est exposé. Par exemple , si ce polyèdre est un cube , et que la direction d’un courant soit exactement perpendiculaire à une de ses faces, pendant quç la direction d’un autre courant s’écarte un peu de cette perpendiculaire selon la diagonale de cette face, la projection des arrêtes sera à peu près double dansle second cas, pendant que celle de tout le cube supposé massif, pe sera pas sensiblement plus grande ; de sorte que l’imperméabilité sera presque double.

48 ' i .“ TRAITÉ. PHYSIQUE MÉCANIQUE

f) Comme donc chaque élément d’nn corp9 est expose’ à des courans ultramondains , sous un nombre prodigieux de directions différentes; et comme les élémens d’un même corps, pourroienl bien avoir des figures différentes; comme aussi ces élémens , lors même qu’ils seroient semblables , seroient probablement dans des situations différentes; enfin, comme leur figure est même encore inconnue ; nous devons considérer tant leurs arrêtes que leurs faces comme disposées à l’égard d’un courant donné , sous un très-grand nombre de directions différentes, qui feroient des angles égaux avec leurs voisines, et concevoir qu’il y a sous chacune de ces directions des nombres égaux d’arrêtés et des nombres égaux de faces.

g) Dans le sujet que nous traitons ici , on peut considérer comme une seule et même direction toutes les directions parallèles entre elles, ou même toutes celles qui différeroieat du parallélisme d’une quantité moindre qu’un certain petit angle donné ; et on peut même , sans altérer les conséquences, concevoir :

t.°que toutes les arrêtes parallèles, ou censées telles, sont placées bout à bout sur une seule ligne droite, qui part d’un certain point, le même pour toutes les directions, lequel de-

DE G. îi. LE SAGE. LIV. ï. 4§

viendra par ce moyen un centre, d’où partiront plusieurs grands rayons égaux, faisant en tous sens avec leurs voisins des angles très-petits , égaux; a.° que toutes les forces parallèles, ou censées telles , sont placées à côté les unes des autres sur une même surface, triangulaire) carrée ou hexagone , presque plane et régulière , lesquelles grandes surfaces seront égales; en vertu du paragraphe précédent (/), et semblables, pour pouvoir couvrir presque exactement la surface d’une grande sphère, à laquelle j’ai droit de les concevoir appliquées. >

, h ) Lemme. Quand un très-grand nombre de droites égales, qui parient d’un même point, font en tous sens des angles égaux avec leurs voisines , et qu’il n’importe pas qu’on change le plan où chacune d’elles est placée , pourvu qu’on ne change pas leur longueur ni ce sommet commun, ni l’angle que celte droite fait avec un certain axe commun , de sorte qu’on puisse concevoir, par exemple, qu’elles sont toutes placées dans un même plan ; on peut les représenter par des rajons d’un quart de cercle , faisant avec l’axe des angles dont les cosinus croissent uniformément.

Démonstration de ce lemme. Les extrémités de toutes ces droites sont dans la surface

d’une même sphère, et elles y sont parsemées uniformément ; de sorteque , dans différentes portions de cette surface , les nombres de ces points sont proportionnels à çes portions.

Si donc on divise l’axe de cette sphère en parties e'gales très - petites , et qu’on coupe ensuite sa surface par des plans perpendiculaires à cet axe , menés par tous les points de division (d’où résulteront des zones égales)^ ces zones contiendront toutes les extrémités d’un nombre égal de nos droites égales : donc, à la somme de toutes les droites terminées à chacune de ces zones , substituant une seule droite qui.fasse avec l’axe un angle moyen entre les angles presqu’égaux qu’elles font avec cet axe , et qui égale toutes ces droites ensemble en longueur (et en épaisseur, si ce sont des lignes physiques) ; ces nouvelles droites seront toutes égales , et elles feront avec l’axe des angles dont les cosinus croîtront par des différences égales très-petites : donc, elles pourront être conçues comme les rayons d’un quart de cercle disposés de la sorte. C. q. f. d.

i) Corollaire. Si à chacun de ces rayons on vouloit substituer le sinus de l’angle qu’il fait avec l’axe ; comme tous les rayons terminés à une même zone font presqu’un même angle

Ï>E G. L k LE SAGE. LlV. î. 5i

avec Taxe , de sorte que tous ces angles ont des sinus propres égaux : la somme de ces sinus seroit à celle des rayons comme un seul sinus est à un seul rayon. Puis donc que nous avons représenté la somme des rayons d’une même zone par un seul rayon , nous pouvons représenter aussi la somme des sinus de celte zone par un seul sinus.

, k) Projection des arrêtes. La projection ichnographique d’un cylindre droit, beaucoup plus long que large , sur un plan perpendiculaire à une certaine direction, est uti rectangle de même largeur que ce cylindre , et dont la longueur est à celle du cylindre , comme le sinus de l’angle que fait l'axe de ce cylindre avec cette direction est au sinus total. Si donc cette direction est celle d’un courant de corpuscules gravifiques, et que les arrêtes de nos polyèdres puissent être regardées comme des cylindres droits de diamètres égaux : la quantité des corpuscules interceptés par ces arrêtes sera à la quantité qu’elles en auraient interceptée, si elles eussent toutes été perpendiculaires à cette direction ; comme la somme des sinus des angles qu’elles font avec elles, est à la somme d’aulantde foisle sinus total; c’est-à-dire, comme la somme des droites qu’on peut mener dans

5a 1 TRAITÉ. PHYSIQUE MÉCANIQUE, un quart de cercle parallèlement à l’un des rayons qui le terminent, à distances très-petites et égales, est à la somme de ces mêmes droites prolongeas jusqu’à la rencontre de la tangente qui leur est perpendiculaire (Jîg. 1 .) ; c’est-àdire, comme la somme des rectangles qui ont pour longueur ces premières droites et pour largeur leur distance mutuelle , est à la somme des rectangles qui ont pour longueur les secondes droites et pour largeur la même distance 5 c’est-à-dire, comme la surface d’un quart de cercle est à celle du carré de son rayon ; c’est-à dire enfin, comme la circonférence d’un cercle est au quadruple de son diamètre (1).

(1) Jusqu’ici cet article est la copie d’un papier qui porte la date de 1767.

A ce papier se rapporte la note suivante de l’auteur :

« Dans ma lettre à M. Matthey , du 17 juin 176^, il paroît , que je n’avois pas alors une notion bien arrêtée de la figure des derniers élémens des graves ; je veux dire des cages toutes d’une pièce à peu de barreaux.

» Mais je ne tardai pas beaucoup à acquérir une telle notion : et très-certainement j’en étois en possession avant le 29 mars 1766, jour auquel je reçus les papiers physiques de Patio.

» Cet intervalle vaut plus de 2 ans et 9 mois. »

( Note de V éditeur.')

DE G. Ii. LE SAGE. LIV I.

Calculs grossiers , de la minceur des verges imperméables aux corpuscules gravifiques.

kx.Lemme. Si le globe terrestre éloit compose' de grilles planes parallèles éloignées d’un pouce, et dont les verges fussent éloi-* gnèes d’un pouce ; quel seroit le plus grand diamètre qu’on pût assigner à ces verges, pour satisfaire à la proportion apparente qui a lieu entre les poids des corps célestes vers un même corps , et les masses de ces corps ?

Résolution. Le diamètre moyen du globe terrestre vaut 471 à 47a millions de pouces, nombre auquel nous substituerons 5 oo millions; et la plus grande imperméabilité de ce globe aux corpuscules gravifiques , selon ce diamètre, que la proportion apparente mentionnée permette de supposer , est d’environ une vingt millième : donc l’imperméabilité d’une seule grille, est 5 oo millions de fois moindre qu’une vingt millième, c’est-à-dire une dix billionicme : donc le diamètre horizontal d’une seule verge est la dix billionième partie de la distance mutuelle de deux verges voisines , c’est-à-dire d’un pouce.

$. 42 . Problème. Si la distance ‘des grilles et la distance de leurs verges qjoient la div

millionième partie d’un pouce , quel serait le diamètre d’une verge ?

Résolution. Le nombre des verges serait cent billions de fois plus grand que ci-dessus. Afin donc que l'imperméabilité totale fût la même , il faudrait que leurs diamètres fussent cent billions de fois moindres que ci-dessus : donc, ces diamètres seraient mille quatrillions de fois moindres qu’un pouce, ou cent tril— lions (t) de fois moindres que la distance mutuelle.

Remarque t. J’ai employé' ici pour la distance des grilles et celle des verges, non la plus grande que pourraient me fournir des corps quelconques (par exemple, des corps organisés , ou des fluides considérés d’une façon recherchée) , mais la plus grande seulement que pouvoient me fournir des graves palpables non-organisés, tels que l’or, par exemple, envisagé dans l’épaisseur de celui qui recouvre les fils d’argent , dorés le plus légèrement. M. de Réaümür assigne à cette épaisseur la 3,100000 partie d un ponce : or, on ne peut guère lui assigner moins de cinq couches d’atomes, même sans aucune considération dé-

licate.

DE G. Tj. le SAGE. LIV. I. 55

Corollaire. La masse du globe terrestre seroit dix mille sextillions (lü^) de fois moindre que sou volume.

Démonstration. Le diamètre des verges étant cent triliions (io 10 ) dç fois moindre que leur distance mutuelle , la masse de chaque grille seroit cent triliions de fois moindre que la lame continue dont elle fait partie ; or, ce même diamètre, et par conséquent l’épaisseur de chaque lame , étant aussi cent triliions de fois moindre que la distance des grilles ou des lames , la masse des lames idéales éloit déjà cent triliions de fois moindre que tout le volume : donc, la masse de toutes les grilles seroit cent triliions de fois cent triliions de fois moindre que tout le volume apparent.

N. B. J’ai suppose' que la terre et les verges e’toient des parallélipipèdes.

Remarque a. Afin que ces verges-là puissent former des cubes évidés , il faut en tripler le nombre, c’est-à-dire en concevoir, selon une seconde dimension , autant qu’il y en a déjà ; et autant encore selon une troisième.

Et afin que ces cubes puissent se séparer , il faut encore quadrupler le nombre des verges; puisque autrement chacune d’elles serviroit à quatre cubes à la fois : il faut donc en tout dodécupler l’imperméabilité.

56 l." TRAITÉ. PHYSIQUE MÉCANIQUE

Remarque 3. Cependant l’imperméabilité totale ne croîtroit pas daDs un aussi grand rapport que cela , parce que ou bien deux des dimensions mentionnées seroienl horizontales, et alors la troisième seroit verticale , de sorte qu’elle ne produiroit aucune interception sensible , ce qui réduiroit le multiplicateur i 2 au multiplicateur 8 , ou bien l’une seroit liàrizontale et les deux antres obliques, également obliques, par exemple, ce qui re'duiroit le nombre 12 au nombre 4-4-4 ï/" 2 , ou enfin elles seroient toutes trois obliques également, par exemple, et alors le nombre 12 seroit réduit à 4 6.

N. JB- Les nombres 3, 2 , i-+->/‘ 2 , et sont entr’eux à peu près comme les nombres 4ao „ 380 , 338 , et 343,

article 5. . i . *

Mesure de V interception.

§. 43. Théorème 1 , Quand les densités des corps interoeptans sont égales, l’interception qu’ils exercent sur des particules semblablement placées est proportionnelle à leurs dimensions correspondantes; par exemple, àleurs rayons , si ce sont des hémisphères.