II. La spirale hyperbolique a une draUe asymptote

Si par le sommet s {fig. 27 ) du cône oh mène un plan perpendiculaire à Taxe z , ce plan coupera l'hélice H en un point ta, et la génératrice a du cône sera parallèle au plan sécant â:;^, ou, en d'autres termes, au plan de la spirale 9.

Dès lors , la courbe 9 a un point situé à l'infini et qui n'est autre que celui en lequel la génératrice horizontale sa coupe le plan sécant xy.

Or, si l'on voulait construire la tangent.e au point d de la spirale <p, il faudrait construire le plan T tangent au cône suivant la génératrice smdde ce cône, et ce plan T couperait le plan de la courbe 9 suivant la tangente demandée.

Pour construire le plan T, il faudrait mener au point m de l'hélice H la tangente 6 de cette hélice, et la génératrice sd et la tangente 6 détermineraient le plan T.

Par conséquent , pour construire la tangente pour le point situé à l'infini sur la spirale 9, il faudra construire le plan T, tangent au cône suivant la génératrice horizontale sa de ce cône.

Et ce plan T, passera évidemment par la génératrice sa du cône et par la tangente 0. menée à l'hélice H au point a. Cette tangente 9. faisant un angle avec Taxe , coupera nécessairement le plan sécant xy et en un point ei dès lors l'asymptote de la courbe 9 ne sera autre que ta trace A du plan T. sur le plan xy^ et cette trace A passera par le point e et sera parallèle à la génératrice horizontale sa.

La tangente de l'angle eofr ou , en d'autres termes, de l'angle sous lequel Thélice H coupe les génératrices du cylindre sur lequel elle est tracée , nous est connue ; nous savons qu'en désignant cet angle par 6 on a :

2ir . R

tang. 6

( désignant par R le rayon du cercle section droite du cylindre de révolution sur lequel l'hélice est tracée , et par h le pas de cette hélice ). Dans le triangle œb rectangle en 6 , on a donc :

ebrrs ab tang. S

Or, nous avons posé ci*desstts :

ab=^b

donc Ton a

-r îtr.R.è eb = =

Or, eb mesure la distance du point a à la droite A ou du pâle à Vasytnptote de

I ' '•' '• I lÊ M"

— SI- ED faisant ummer la droite si autour de l'axe s, cette droite engendrera un c^e de révolution Y ayant le point s pour sommet et pour base le cercle D ayant pour centre le point asymptote o de la spirale 9.

Et comme toutes les tangentes 9 à l'hélflce H font le même angle avec Taxe &, il s'ensuivra que Chacune de ces droites aura sa parallèle parmi les génératrices du cône V.

Gela posé :

Remarquons que les deux droites si et mk étant parallèles , seront dans le plan tangent mené au ctee hélicoïdal suivant sd, et que dès lors les trois points /, k et d seront en ligne droite.

Remarquons que la projection horizontale de la génératrice «d n'est autre que te rayon prolongé opd du cercle G qui est lui-même la projection horizontale de r hélice H, et que dès lors la tangente pk au cercle G sera la projection de la tangente 9 à l'hélice H.

Or, les droites apd et pk sont perpendiculaires l'une à l'autre ; donc la droite 0/ projection de si sera perpendiculaire sur od. Ainsi , le triangle lod est rectangle en 0; la droite ol est y comme on le sait , dite sous^iangente pour les courbes polaires; ol est constant , quelle que soit la projection du point m sur l'hélice H et par suite quelle que soit la projection du point d sur la spirale 99 on en conclut donc

que la saus^tangenie est constante pour la spirale hyperbolique.

Nous avons désignée par 6, et la tangente de l'angle IsoesX égale à -^ , par con-

—, 2ffR ,

sequent 0/= -^ • b.

Or, nous avons vu ci-dessus que la distance du point asymptote à la droite

asymptote était égale à — ^^-^ ; par conséquent, nous pouvons énoncer ce qui

suit :

Dans la spirale hyperbolique , les pieds des sous'tangentes sont situés sur un cercle , ayant le point asymptote pour centre et la droite asymptote pour tangente.

V. Le cône liéticddal est coupé par des cylindres concentriques suivant des kéUcee

ayant toutes même inclinaison.

Pour résoudre cette question, construisons hfig^ 30, et pour cela :

i* Imaginons les trois axes rectangulaires entre eux oc, ojf, os;

2* Traçons sur le plan xy une suite de cercles G , G', G" ayant le point pour centre commun ;

3* Imaginons les cylindres 2, 2', 2^' ayant tous l'axe % pour axe de révolution, et respectivement pour section droite les cercles G, G', G"; A" Prenons sur l'axe z un point «, et considérons ce point comme le sommet

Vr. Une spinAe^h/petbc&tfÊe éUmt donnée par zm tracée cmMtuire la imgente^m de ses pointé.

On donne {fig. 31 ) la spirale hyperbolique <p et son point af^mptôtè o, et Ton demande de construire au point d la tangente T à cette courbe.

Par le point o (m mèoera la droite arbitraire ox] dli point o comme centre et avec» un rayon arbitraire, on décrira le cercle G coupant la spirale 9 au point/. Ou point comme centre, et avec le rayon vecteur ad comme rayon, on décrira un second cercle qui coupera la droite ax au point cf.

Par le point 0, on mènera os perpendiculaire à oxj et Ton prendra sur as un point arbitraire s.

On mènera la droite sd'.

Par le point p\ en lequel la droite ox est coupée par le cercle C, on mènera la droite pW perpendiculaire à ox et coupant sdf en m\

Cela fait :

On développera l'arc y^ du cercle C, et Ton aura une droite FP; en P on mènera PM égal kpW et perpendiculaire à l'arc^ rectifié suivant PM, et Ton aura l'angle FMP ou y.

On portera de M en P^ sur MP la droite sa et l'on mènera F^P' parallèle à FP, et coupant la droite MF en F'.

On portera P'F' sur al perpendiculaire au rayon vecteur ody depuis le point asymptote jusqu'en /;

On joindra les points /etc/, et l'on aura la tangente demandée.

La construction de la tangente nous conduit à une remarque importante.

Sur le cylindre vertical {fig. 31 ), ayant le cercle C pour section droite, est tracée une hélice H , directrice du cône ayant le point s pour sommet et la spirale cp pour base.

La tangente 9 au point m de l'hélice H (ce poinf métant celui en lequel la génératrice sd du cône perce le cylindre ou s'appuie sur l'hélice H ) coupera le plan de la spirale 9 en un point k situé sur la droite T tangente en (f à la courbe <p.

Or, il est évident que l'arc fp du cercle G est égal à h Broite kp , puisque l'hélice H passe par le point /en lequel le Cercle G est coupé par la spirale 9.

Gette remarque nous conduira à la solution de plusieurs problèmes : d'abord elle nous permet de simplifier la construction de la tangente en un point de la spirale hyperbolique , et ainsi qu'il suit.

Pour construire {fig. 31) la tangente md à la spirale 9, on décrira le cercle C avec un rayon (^f plus petit que od, prenant pour centre le point asymptote a.

On décrira la développante i du cercle G ayant pour origine le point /en lequel le cercle C coupe la spirale 9; cm joindra le point o et le point d, et la droite ad

coupera le cercle G en un point p ; en ce point p on mènera la tangente au cercle G, laquelle coupera normalement la développante i au point ft; en joignant par une droite les points ket d^ on aura la tangente demandée.

VU. Êiani donnée une droite T ei un poini d sur ceUe druUej et un point o hors de la droite T, construire la spirale hyperbolique passant par le point d , ayant le point o pour point asymptote , et la droite T pour tangente au point d.

Étant donné (fig. 32) le point o et la droite T et le point (/sur T, on tracera une suite de cercles G , C\ G", du point o comme centre commun;

On mènera le rayon vecteur o(f coupant les cercles G, G', G", aux pointsp, p', p"; en ces points on mènera les tangentes kp^ k'p\ k"p" aux cercles G, G', G'^;

Ges tangentes couperont la droite T aux point ft, k'^ k".

Gela fait :

On enroulera les droites pk sur le cercle G, pk' sur le cercle G', p"k" sur le cercle C et Ton tracera ainsi les développantes circulaires 3, 3', 3", lesquelles couperont leurs développées G, G'*G'*en les points/,/,/'.

Et ces divers points//,/', ainsi que le point (f , appartiendront à une spirale hyperbolique 9 ayant le point pour point asymptote , et ayant la droite T pour tangente au point d.

Ge que nous venons de dire nous conduit à un rA^or^e important. '.

Théorème : Si l'on a deux courbes A er B tangentes l'une à l'autre en un point m ; si l'on prend un point hors de ces courbes et que l'on mène par ce point la droite om et une droite on perpendiculaire à om; considérant om comme axe des y et on comme axe des%,on pourra transformer les courbes ketB en deux autres courbes A, et 6. en regar^ dont le point comme pôle ou centre commun d'une suite de cercles ayant pour rayons les ordonnées y des courbes A et B, et enroulant sur chaque cercle l'abscisse x correspondante de ces courbes AetB,et les courbes A. et B,, seront tangentes l'une à l'autre au point m. transformé du point m. « ^

Nous désignerons ce mode de transformation par le nom de transformationpolaire ; ainsi, par ce mode, nous pourrons transformer une courbe A, à coordonnées rectangulaires, en une courbe A., à coordonnées polaires; tout comme nous avons transformé la droite T {fig. 32 ) en une spirale hyperbolique <p , et vice versa. Nous ferons une application de ce théorème lorsque nous examinerons les propriétés dont jouit la spirale dArdàmède.

VIII. Étant donnés deux poinu et une droite, construire la spirale hyperbolique ayant

l'm de ces ptrinU pour asymptote et passant par VaiUre point) et ayant ta droite pour tangente.

On se donne {fig. 33 ) les-deux points o et / et la droite T; on demande de oonstruire la spirale <p ayant le point o pour point asymptote et passant par le point/ et tangente à la droite T.

Du point comme centre et avec q/* comme rayon , on décrira le cercle D.

On décrira la développante circulaire d ayant son origine en/; la courbe i coupera la droite T en un point k ; par le point k on mènera une tangente au cercle D , dont le point de contact sera en p sflr ce cercle G; on mènera le rayon op qui , prolongé, coupera la droite T en d et la spirale cp demandée sera tangente en d à la droite T.

On pourra se procurer autant de points que Ton voudra de la spirale 9 au moyen de ce qui a été dit art. YII.

Remarquons que du point k on peut mener deux tangentes au cercle D : Tune kp et l'autre A:p,, et que dès lors il semblerait que l'on peut construire deux spirales résolvant le problème proposé; mais on ne peut employer cette langente kp,^ puisqu'elle ne serait pas normale à la courbe d.

Mais remarquons que la développante du cercle D est composée de deux branches d et d' et que la branche y coupera la droite T en un point £' d'où l'on pourra aussi mener la tangente&y au cercle D^ &V étant normale à la branche ^^ en sorte quele problème proposé paraîtra la première vue, n'avoir quedeux solutions; mais il en a réellement un nombre infini ; et en effet : la développante (d, d'), faisant autour du cercle D un nombre infini de révolutions, la droite T la coupera en un nombre infini de points , et de chacun d'eux on pourra mener une tangente au cercle D , et chacune de ces tangentes conduira à une spirale hyperbolique résolvant le problème proposé.

IX. Étant donnés trois points , construire la spirale hyperbolique passant par deux de ces points et ayant le troisième pour point asymptote.

On donne {fig. 34) les trois points' 0, fei d et l'on prend le point a, pour point asymptote.

Ou point o comme centre et avec of pour rayon , on décrit le cercle G.

On trace la développante d du cercle G ayant pour origine ou point de rebroussement le point /.

On joint le point et le point d par une droite coupant le cercle G au point p.

Enp on mène la tangente au cercle G , cette tangente coupe la développante S au point k ; on joint les points ii: et d par une droite , et cette droite kd sera tangente en d à la spirale demandée.

Et le point g décrira sur la surface 2 une hélice H' qui aura le même pa$ que l'hélice H.

La droite ks ou L décrira donc une surface hélicoïde gauche 2,'.

Or ; la surface ^ doit être considérée comme engendrée par le mouvement de rotation de la droite L s'appuyant sur l'axe z, sur Thélice H', et faisant un angle constant avec l'axe z.

Et l'on sait que cette surface s! eA coupée par le plan horizontal , ou , en d'autres termes, par tout plan perpendiculaire à Taxe z suivant une spirale d'Archimède.

Par conséquent , si l'on construit la Sipirale d' Archimède i passant par le point k donné et ayant le point o pour origine, cette spirale ^ coupera la développante den ift) point q, et ce point q sera sur le plan horizontal l'origine de l'hélice H' suivant laquelle les deux surfaces 2 et 2' se coupent.

Cette hélice H' se projettera suivant un cercle D décrit du point o comme cenlre et avec o^ pour rayon.

Et le point >, en lequel la droite ok sera coupée par le cercle D , sera la projection du point g, en lequel se coupent et la droite de l'espace ks ou L et l'hélice de l'espace H'.

Si donc on mène du point rla droite rp taogente au cercle D, ou H'^ projection de l'hélice H, on aura en rp ou 6^ la projection de la droite d de l'espace.

Par conséquent , la droite apd ou G'' sera la projection de la génératrice G du cône, suivant laquelle le plan T, déterminé par les droites d et L , est tangent à ce c6ne i et dès lors la droite kd ou H^ sera la trace horizontale de ce plan, et par suite la tangente demandée à la courbe spirale 9.

D'après ce qui précède, on voit que la solution du problème dépend entièrement du tracé de la spirale d' Archi mède i.

Pour tracer cette courbe Ç , il faudra connaître le rapport qui existe entre l'angle oi> et le rayon vecteur p.

Or, d'après ce qui a été dit, nous savons que ce rapport est le même que celui qui existe entre la circonférence D et le pas de l'hélice M.

Ainsi , il faudra connaître le pas de l'hélice H.

Or, c'est ce que nous avons appris à faire, art. Y I ( fig. 31 )..

De h tpirale hyperbolique antique.

Si Ton trace sur un plan une spirale hyperbolique et que l'on enroule ce plan sur un cône de révolution, en ayant soin de placer le point asymptote de la courbe

Tbéorêii E 1. La mrface dévehppabte l,qiAa pour arête de rebromsement tme spirale hyperboliqve conique ^^ est coupée par un plan Q passant par le sommet du cône de révolution ( sur lequel la courbe ^ est tracée ) et perpendiculaire à Vaxe de ce cône suivant un cefcle ayant pour centre le sommet du cône , et pour rayon la sous^^tangente de la spirale hyperbolique plane, projection de la courbe ^ sur le plan Q.

Ce théorème nous permet de résoudre le problème suivant :

Problème 1. Construire en un point m de la spirale hyperbolique conique^, le plan osculateur de cette courbe à double courbure.

Le plan osculateur d'une courbe à double courbure est tangent à la surface déve* loppable formée par les tangentes de cette courbe, par conséquent le plan osculateur demandé sera le plan tangent suivant la droite 9 à la surface qui a la courbe ^ pour arête de rebroussemen t (fig. 36) ; ce plan aura donc pour trace sur le plan Q une droite L tangente en q au cercle D trace de la surface développable sur ce plan Q.

La droite L étant perpendiculaire à la droite sq sera perpendiculaire au plan vertical U passant par Taxe % et le rayon sq] et dès lors le plan O osculateur en m à la courbe ^ sera perpendiculaire à ce plan U; le triangle msq est rectangle en «, nous pourrons donc donner à la droite «f le nom de sous -tangente de la courbe à double courbure tp.

Et dès lors nous pourrons énoncer le théorème suivant :

Théorème 2. Le plan osculateur d'une spirale hyperbolique conique ^ est perpendiculaire au plan passant par la souS'-tangente de cette courbe et par taxe du cône sur laquelle cette courbe est tracée.

Ce qui précède nous permet de résoudre le problème suivant :

Problème 2. Construire le rayon de courbure en un point d'une spirale hyperbolique conique.

Pour le point m* projection du point m, on construira la tangente 6^ à la spirale \|/^ projection de la courbe à double courbure ^ ; on construira le cercle D lieu des pieds des sous- tangentes de la courbe t^f", et en unissant le point 9, en lequel 6^ coupe le cercle D , avec le point m on aura la tangente 9 enmkt^; puis , en 9 , on mènera la tangente L au cercle et le plan déterminé par les droites L et 6 coupera le cône B sur lequel ^ est tracée suivant une section conique 6 qui sera osculaCtrice ^n m à la couche ^.

Le rayon de courbure de la courbe 6 sera le rayon de courbure demandé.

Or : 10 On sait construire la tangente 9* à une spirale 4^* donnée par son

oscuiftteur le lof^g de la génératrice sd, ce cône sera coupé par le plan de la courbe cp suivant une section conique y oscuiatrice en (f à la courbe 9.

Le problème sera donc résolu si Ton parvient à construire le cône .0.

Or : si en m de ThéUce H on construit le plan osculateur 1, et si Ton trace dans ce plan I le cercle 6 osculateur en m à l'hélice H, le cône qui aura, pour sommet le point «et pour directrice le cercle 6, sera osculateur au cône hélicoïdal tout le long de la génératrice sd.

On peut exécuter graphù/uem^i toutes les constructions que nous venons de décrire; en un mot, on peut faire V épure de toutes ces constructions ^ et elles ne peuvent embarrasser, car, on les exécute presque toutes dans les cours de géométrie descriptive.

§ IV

Étant^ donné un cylindre de révolution A , et sur ce cylindre une hélice H, on pourra prendre le sommet $ du cône qui a pour directrice Thélice H tracée sur le cylindre A tout autre part que sur Taxe 2 de ce cylindre A.

l"" Si l'on prend le sommet s du cône hors de l'axe z, mais en dedans du cylindre, on aura un cône hélicoïdal qui, coupé par un plan Q perpendiculaire à l'axe z , donnera une spirale ^ ayant toujours une droite asymptote et un point asymptote. La droite asymptote sera donnée par l'intersection du plan Q et du plan tangent au cône hélictAdal suivant sa génératrice parallèle au plan Q. Le point asymptote sera l'intersection du plan Q et de la droite qui , menée par le sommet s , sera parallèle à l'axe 2 ;

20 Si l'on prend le sommet s sur le cylindre A , la courbe <{/ repassera indéfiniment par le point en lequel la génératriccf , du cylindre A , menée par le point s perce le plan Q.

Et il est évident qu'en ce point asymptote d'un nouveau genre , toutes les spires de la courbe t^ auront même tangente , laquelle ne sera autre que la tangente en ce même point au cercle section du cylindre A par le plan Q ;

S" Si Ton prend le sommets hors du cylindre A, la courbe ^ sera composée de deux courbes serpentantes s'approcbant indéfiniment (sans pouvoir l'atteindre ) du point en lequel le plan Q coupe la droite menée par le point s parallèlement à Taxe z du cylindre A. La courbe ^ aura encore, dans ce cas , un point asymptote ; et elle aura encore une droite asymptùte qui sera déterminée comme dans les cas précédents.

Daas l'un et l'antre deces trois cas, la courbe i]i sera composée de deux brauches symétriques.

Et dans le troisième cas, les deux branches de la courbe ^ viendront toucher

Nous allons donner Téquaiion générale qui représente toutes les spirales de ces quatre groupes.

Prenons Taxe du cylindre de révolution A pour axe des z, et désignons par R le rayon du cercle section droite de ce cylindre, et par h le pas de F hélice H tracée sur ce cylindre.

Les équations de Thélice H en coordonnées rectangulaires seront :

et

» = ^ . arc (sin a;)

Prenons le point $ sommet du cône hélicoïdal dans le plan des xâ: , les coordonnées de ce point seront x=:a, z=:by 9=:0, et les équations d'une droite G passant par ce point $ seront :

z — b=fn{x — a) (3)

Au moyen des équations (1), (3), (A), on peut obtenir les valeurs dex^y^ 2, et Ton aura :

^M ±nV/(V— ff) (n*+l)*+a?

= 6 «04.-^1^^ iV/cH'-o-XW+l)*-^.*]

Transportant les valeurs de x et s données par (6) et (7) dans l'équation (2) ^ on aura une équation en m et n , et qui sera :

Et si Ton remplace m et n dans Téquation (8) par les valeurs

m =• et n 3s — ^

Or : Il est évident que celte courbe d, fiera idea tique à la c<>ttf be d, lisu des pieds des sous-tangentes de la courbe G. Ainsi , la courbe d sera sur le plaa de la courbe G la projection orthogonale de la courbe d..

Et cela aura lieu , quel que soit le demi-angle au sommet du côneV.

En sorte que si l'on a une suite de cônes concentriques et de révolution V, ^'9 ^'\ ayant dès lors même axe et même sommet , tous ces cônes seront coupés par le cylindre U suivant des courbes G., G/, C^'\ qui seront les arêtes de. rebroussement de surfaces développables 2, l\ l", lesquelles seront coupées par le plan Q suivant une courbe unique d.; ou, en d'autres termes , les surfaces 2, 2ff l'\ s'entrecouperont suivant une courbe d, , qui sera plane, et dont le plan passant par le sommet des cônes concentriques sera perpendiculaire à Taxe de ces cônes.

De9 spirales ayant une courbe asymptote.

On peut concevoir des courbes-spirales qui , au lieu d'avoir un point asymptote, ont une courbe asymptote; et ainsi des spirales telles qu'elles tournent sans cesse autour d'une courbe fermée sans jamais pouvoir l'atteindre.

Imaginons un cylindre vertical de révolution ayant pour base un cercle G et |

pour axe une droite z. i

Traçons sur ce cylindre une hélice H , et concevons une sphère S d'un rayon plus.pètît que le rayon du cercle G et ayant son centre situé sur l'axe z.

Faisons mouvoir une droite G sur l'axe z, sur l'hélice H ^t et tangentiellement à la sphère S.

Noua engendrerons une surface gauche qui sera coupée par un plan Q perpendiculaire à Taxe z suivant une courbé 9.

Or, il est évident qu'à mesure que le point m de l'hélice H , par lequel la droite G passe, s'éloignera de la sphère S, soit en dessus, soit en dessous du centre de cette sphère , l'angle que la droite G fait avec l'axe z diminuera, et que dès lors le rayon vecteur de la courbe 9 qui passe toujours par le pied de l'axe z sur le *

plan Q,>liminuera.

Mais il est évident que ce rayon vecteur ne pourra jamais devenir plus petit que le rayon de la sphère S , car lorsque le point m sera situé à l'infini sur l'hélice H, la droite G sera verticale et toujours tangente à la sphère 6.

Ainsi, pour cette courbe (;, le cercle décrit du pied de l'axe z, sur le plan Q, comme centre et aivec un rayon égal à celui de la sphère , remplacera le pmnt

aê^mpUHe de la spirale hyperbolique, et sera un cercle asymptote pour la courbe !^

nera une courbe à double courbure y , qui sera une spirale d'Archimède conique.

Et si l'on mène un plan Q perpendiculaire à l'axe Y du cône B, cette ^irale conique y se projettera orthogonalement sur ce plan Q, suivant une courbe y*" qui sera une spirale plane d'Archimède.

Ainsi y si Ton conaissait la tangente 9 à la courbe de l'espace y, la projection 9^ de la droite 9 serait tangente à /.

Or, la courbe y peut être considérée comme une courbe parcourue par un point qui , se mouvant sur la surface du cône B , décrirait des angles égaux autour de l'axe Y en même temps qu'il se rapprocherait du sommet s de quantités aussi égales :

Si donc l'on considère trois génératrices G^ G.» G, du cône B, ces génératrices

faisant entre elles des angles égaux ^ on aura dès lors G , G,= G,, G,; et si l'on considère trois points de la courbe y, savoir : m sur G^ m. sur G., m, sur G,, on voit que les distances mm^j rritin/'i ntjn^ de ces trois points au plan Q seront telles que Ton aura :

Si donc l'on conçoit trois droites K, K, , K, horizontales et s'appuyant sur l'axe Y, et passant respectivement par les points fn^m,^ m,; ces droites seront les positions d'une droite mobile se mouvant dans Tespace en s'appuyant sur l'axe Y et sur la courbe y et restant parallèle au plan Q ou perpendiculaire à

l'axe Y ; et comme l'on a , par hypothèse , G, G, = G, , G. , on aura évidemment

K, K, «=K,, K^, Et comme l'on a :

on voit que la différence des distances des droites K et K, au plan Q, sera égale à la diffërence des distances des droites K, et K, à ce même plan Q.

La droite K peut donc être considérée comme engendrant une hélicoîde gauche 2 (surface de filet de vis carré) (*).

Dés lors , pour construire la tangente 9 au point m de y , il faudra construire

(*) Les mêmes raiscnmements amtmt liea si Ton' suppose qne les droites K , K', K", an lien de faire un ongle droit aTec Taxe Y, font aTec cet axe Y un angle constant et aigu «.

Alors, la surface hélicoide gauche 2 engendrée par les droites K sera la surface du filet de vis triangulaire. On peut donc considérer la spirale conique d'Archimède comme prorenant de Pintersection d'un o6ne de révolution et de Tune on l'autre des deux surfaces hëlicoldes , savoir : filet dw vis carré on

filet de vis triangulaire.

me point a situé sur le cercle C , et que dès lors , le point % peut se détermiQer de suite, puisque l'on a : rp* égal à Tare rectifié op* du cercle C.

Problème 2. Étant donnée une spircUe plane d* Archimède et son pôle ou origine, construire la tangente en un de ses points.

Soit donnée {fig. 38) la spirale plane 7\ son pôle ^, et proposons-nous de construire 9 en un de ses points m*, sa tangente 6^.

En vertu de ce qui précède , on fera la construction suivante :

i"" Du pointa, comme centre et avec un rayon arbitraire , on tracera le cercle G f coupant la spirale en un point a.

2* On mènera le rayon vecteur «*m*qui, prolongé, coupera le cercle C au point p*.

S"" On mènera la droite H* tangente en p^ au cercle G , et déroulant l'arc op^, au moyen de la développante i^ qui a son origine en a, on aura le point r situé sur H*.

Â"" On joindra les points r et ^ par la droite K^.

5^ On mènera par le point m!" la droite tj", parallèle à H* et coupant la droite K^ au point x.

6"" Par le point x , on mènera la droite H®, parallèle à la droite K* ou au rayon vecteur **m*; cette droite H® coupera la droite H* en un point z.

T Enfin , on unira les points z et m* par la droite 0^, et on aura la tangente demandée.

Ge qui précède nous conduit au théorème suivant :

TnÉORÈME i. Si l'on donne sur un plan P une spirale d'Arckimide y'', dont V équation

soit " = 0; si par son pôle s on mène une droite y perpendiculaire au plan P ; si l'on

trace sur le plan P tin cercle ayant son centre au pôles et son rayon égal à a; si parle point s on mène une droite G faisant avec l'axe y un angle a , et que F on fasse tourner la droite G autour dej,on aura un cône B de révolution et dont le demi -angle au sommet sera égal à a; si ton conçoit un cylindre  ayant pour section droite la spirale -/", le cylindre A. et te cône B se couperont suivant une spirale conique d'Àrchiméde y; et si ton fait mouvoir une droite K parallèlement au plan P et s'appuyant sur l'axe y et sur la courbe à double courbure y, on aura une héUccUde gauche l'j cela posé :je disque le cylindre A et la surface gauche 1 se couperont suivant une hélice H qui coupera les gêné* ratrices droites du cylindre H sous un angle égala cl.

Et en effet :

Désignant par p le rayon vecteur «*m* de y*, par p, le rayon vecteur homologue 5m de y 9 on aura

P = pi sin OL

d'où

/ fnp

Il faut donc , pour que lé théorème soit vrai, que Ton ail :

p:-i^ = f""^ = etc. = constante.

Or : les deux triangles ^sm!" et 917/ sont semblables , on a donc :

Et comme xm" est égal à x^p" par construction , on aura, en désignant «V P^^ ^ '

Et pour un aulre point m"" de la courbe 7*, on aura :

* pV:p'::pV:R d'où

ç^ ^ R t JL == A

p*z p^ yV p'V

On devra donc avoir pour que le théorème énoncé soit vraf :

R.my R m V ^ pV p'V

ou

mV : pV : : m'V'* • p'^r (i)

Or, cette proportion est exacte; car {fig. 37) : l"* les deux triangles rectangles prp et pVy* sont semblables , puisque leurs hypoténuses rp et r'p' sont les tangentes à Thélice H ; ils donnent donc la proportion

pp* : p*r : : p p'* : p'^r (2)

et 2'' les deux triangles rectangles fnm''p'' et mm^p'^ sont semblables, puisque leurs hypoténuses mp^ et m'p'^ sont sur les -génératrices du cône de révolution, ils donnent donc la proportion

et par suite

Or y en prenant la droite i'a pour origine des angles od, l'équation delà spirale sera :

p=a.Gt) +R

puisque pour (k>=: o , ond oit avoir pt=sR.

D'où • •

On a donc («.N) = a

ce qu'il fallait démontrer.

La tangente trigonom^rique de Tdngle r^p*, en désignant cet angle par e, j aura pour expression :

La tangente trigonométrique de l'angle «mV? ^^ désignant cet angle par e , aura pour expression :

tang e =--rjf == rnrr == r- " mj^ tnp a

On aura donc :

tang e, : tang e : : p — R : p ou

tang g. : taag: e : : mV * ^^'^

L'angle e a pour limite zéro\ car la tangente trigonométrique , ayant pour expression -, devient nulle ^ lorsque p = 0.

Ainsi, pour le pôle, la tangente à la spirale se confond avec le rayon vecteur.

La tangente trigonométrique de Tangle e. a pour limite -; ainsi, au pôle, la

R tangente irîgOQOtnétrîqve de 1 -angle e, a pour valeur - ; mais le rayon R est arbi*

traire ; et dès lors , lorsque B sera égal à a , on aura tang e, = 1 ; lorsque R sera plus grand que a ou la sous-normale , on aura tang e, > 4 , et si Ton ^ ti<ay on ama tang e. < 1.

par le même poiot m on mène la génératrice G de rhélicoSde, Le plan T tangent en m à l'hélicoide passera par 6 et 6 ; et ce plan T coupera le plan horizontal , suivant une droite qui sera tangente en m à la spirale E.

Il est facile de voir que l'angle ê étamt donné , Findinaison a de l'hélice d» sur les génératrices du cylindre dont G est la section droite, dépend de cet angle 6; et que réciproquement, l'inclinaison a de Théliced étant donnée, on en conclut Tangle S.

On peut donc se donner arbitrairement l'angle a.

Et dès lors , en menant par le point o une droite 9^ faisant avec la ligne de terre LT un angle a^ complémentaire de l'angle a , et par le point m, une droite 6* parallèle à la ligne de .terre LT, on aura en 9^1 8^, les projections de la tangente en m à l'hélice d.

Cherchons maintenant les projections de la droite G , ou mieux la grandeur ou ouverture de l'angle S sous lequel elle doit couper l'axe A.

La spirale E coupe la ligne de terre en n.

La droite G , en passant de la position en laquelle elle coupe l'hélice 9 au point m en la position en laquelle elle coupe cette même courbe j au point n , a donc décrit un angle droit autour de l'axe A, «ou ^ en d'autres termes, cette droite g a parcouru sur l'hélice d , un quart de spire.

La droite G, en passant du point m au point n, a donc parcouru sur l'axe A une longueur égale au quart du pas de l'hélice d..

Si donc f sur la ligne de terre , en prend ox égale au quart de la circonférence G 9 la droite xy sera égale au quart du pas de l'hélice i.

Cela fait :

Le plan vertical de project ion X puisqu'il passe par l'axe A) coupe : 1^ le cylindre dont G est la base suivant deux génératrices droites H et H^ perçant le plan horizontal en les points q et q', qui sont les intersections du cercle G et de la ligne de terre ; et 3^ l'hélicoide suivant une génératrice G, , passant par le point n en lequel la spirale E perce la ligne de terre.

Si donc on prend sur H , qz égal à a:y ; la droite G, passera par tes points z et fi et coupera l'axe A au point «,, et fera avec Taxe A l'angle g cherché.

Et la droite G qui doit passer par le point m percera Taxe A en un point $, tel que m, sera égal à xy ou au quart du pas de l'hélice is

La droite G étant connue , il suffira de faire passer le plan T par G et 9 » et de construire la trace horizontale de ce plan T.

Or, pour cela faire, il suffit de mener par le poin^ «, une droite si parallèle à 9% et d'unir le point / (en lequel cette droite perce la ligne de terre) avec le point m ; et l'on aura en /m , la trace horizontale H* du plan tangent en m à l'hélicoide, et par suite la tangente en m à la spirale d'Archimède E.

Substituant les valeurs trouvées pour a», axetxy daùs l'expression

on trouvera :

ou enfin

et par suite

-= 08, ox

ir • p' . OOt a ir . p

—. (ait — p) *• S ir\p'.cota

ir . p. cpt g ai;*.p«006 a

7iU

Ainsi , la sous-normale pour le point m est égaie à a.

Mais quel que soit le point m, considéré sur la spirale, en prenant la ligne de terre perpendiculaire au rayon vecteur om, les constructions seront toujours les mêmes et Ton retombera toujours sur la ligne on, qui dépendra toujours de la valeur de qn ; ou, en d'autres termes, de la diffihreocede d^x rayons vec* leurs à angle droit; or, dans la spirale d'Ardiimède, il est évident, en vertu de son équation p = aa> et en vertu de la construction graphique de cette courbe,

que cette diflérence est constante et égale à ^ •

Ainsi , il est démontré que, pour la spirale d'Àrchimède, la sous-normale est constante et égale à a.

On doit voir que «e q«i précède conduit plus simplenient au théorème relatif ji la sou»-aormale et donne aussi une oonstraction plus simple de la tmgênie en un point de la spirale d'Arcbimède.

Remarque. L'on peut encore simplifier la démonstration précédente, car l'angle a étant arbitraire, on peut le prendre égal .à un demi-droit, et dès lors

{fig. 39 biê)j on ^oxc=.xyf ei par suite, atsssaê] et par conséquent la sousnormale op ss r:.

'^ oê

Les deux triangles semblables a$q et os,n donneront :

o$:oq :: 0$,: an

Cela posé :

Décriv<ms du sommet s du cône B, comme centre et avec R pour rayon, une ^hère 6; désignons par. G' la génératrice du cône B^.sur laquelle se place ie rayon vecteur G, de y, ; par m , le point de y situé sur G » et en lequel se place le point m, de 7,. Désignons par T le plan tangent au cône B, le long de G.

La tangente 6. se placera en 9 tangente en m à y, et 9 sera dans le plan T.

Menons par le point m le plan X perpendiculaire à 9 ; nous aurons le plan normal de 7 pour le point m. Ce plan X coupera le plan T suivant une droite N perpendiculaire à 9, et le plan T coupera la sphère 6 suivant un grand cercle G,.

Gela posé| ai par le sommet s du cône B, nous menons une droite L perpendiculaire à G et située dansle plan T, cette droite L sera perpendiculaire à l'axe y du cône B , parce que ce cône 6 est de révolution. *

Et la droite N viendra couper la droite L en un point n.

Or , si l'on déroule le cône B sur son plan tangent T, la courbe 7 se transformera en la courbe 7, laquelle aura pour tangente au point m la droite 9 , et pour normale la droite N , et pour sous-normale la droite m.

Et toutes les droites L seront dans un plan perpendiculaire à l'axe du cône de révolution B, et passeront par le sommet de ce cône, puisque toutes ces droites L sont perpendiculaires à Paxe du cône B et passent par le sommet de ce cône B. '

Le théorème énoncé est donc démontré.

Nous pouvons donc dire :

Que (si Ton appelle normale de la courbe spiraie conique 7, la droite intersection du plan tangent T au cône B et du plan normal N à la courbe 7) le lieu de toutes les normales est une surface gauche qui ^st coupée par le plan Q, mené par le sommet s du cône B et perpendiculairement à son axe, suivant un cercle D, ayant le sommets pour centre et pour rayon la sous-norn^ale de la transformée 7, de 7; 7, étant la courbe que Ton obtient en planifiant le cône B.

Il est évident que ce théorème est, pour la spirate conique, l'analogue de celui qui , pour la spirale plane , s'énonce ainsi : la sous^normale est constanie.

De ce qui précède on déduit ce qui suit :

Étant donnée une Spirale plane 7. tracée sur un plan P et ayant un point «, pour pôle, el dont la sous-normale est égale à R; si l'on enroule le plan P successivement sur les cônes de révolution B, B', B''(ces cônes ayant même axe Y et même sommet «), de manière à ce que les points s et s, se superposent et que la tangente au pôle s, de la courbe plane 7, prenne dans l'espace une position K perpendiculaire à l'axe Y ; et ensuite de manière à ce que le plan P prenant les positions U, U', U^'dans l'espace, ces plans U, U", M" étant d'ailleurs

Première solution. Étant donnés {fig. 42 ) le point s\ le point m* et la droite e** passant par ce point , on se propose de construire la spirale plane d'Archimède ayant le point ^ pour pôle et passant par le point mf et ayant en ce point 9^ pour tangente.

Nous construirons d'abord la sous-normale tf'q.

Du point 6^ comme centre et atec i^q pour rayon , nous décrirons le cercle C.

Pair le pointa, nous imaginerons un axe Y perpendiculaire au plan sur lequel on veut tracer la courbe , et ce plan sera pris pour plan horizontal de projection.

Nous pourrons donc prendre une ligne de terre LT perpendiculaire à la sousn(M*male s'^q, ou , en d'autres termes, parallèle au rayon vecteur ^tn.

Et répure s'effectuera en exécutant graphiquement les diverses constructions que nous allons indiquer :

l"" On prendra sur l'axe Y un point s arbitraire, et on le regardera comme le sommet d'un cône B de révolution ayant pour trace horizontale le cercle C ;

S"* On construira un cylindre de révolution ayant ce même cercle G pour, base et la droite Y pour axe ;

3"" On construira le point m situé sur le cône B et ayant m^ pour projection horizontale;

A"" Par le point mon mènera une droite K horizontale et s'appuyant sur Taxe Y ;

5*" Par le point mon fera passer une hélice H coupant lei génératrices du cylindre sous un angle égal à l'angle que la génératrice du cône B fait avec l'axe Y ;

6"* On fera mouvoir la droite K sur Taxe Y et sur l'hélice H et parallèlemenl au plan horizontal ; cette droite K engendrera un hélicoîde gauche 2 , lequel coupera le cône B suivant une spirale conique d'Archimède dont la projection horizontale sera la spirale demandée.

Problème à. Étant dmnés trois points s, metm' { non en ligne droite ) , construire la spirale d*Archiméde passant par les deux points m et m' et ayant le point s pour pôle.

On joindra (fig. 44) les points m et m' au point s.

Du point s comme centre et ayec sm pour rayon on décrira un cercle C coupant le rayon vecteur sm au point q. On divisera l'arc cm en n parties égales et la droite qm' aussi en n parties égales et traçant des rayons X^, X^', passant par les points de division r, /', de l'arc qm et des cercles G'^ C'\ passant par les points de division q\ q'\ de qm^ ces rayons et ces éercles se couperont respectivement en des points x\ x", qui appartiendront à la spirale y demandée , etc.

Ge que nous venons de dire et ce qui a été dit plus haut au sujet de la construction de la tangente en un point de la spirale d' Ar^shimède , nous permet de donner une solution plus simple du troisième problème.

— 1i2 — Seconde gobukm du furoblèmeS, dont l'énoncé snit :

Problème 3. ËUmt donnés une draiie Ji, un poini m sur cette droite et un point s hors de cette droite, construire la spirale d'Archiméde ayant le point s pourpôle et passant par le point m et ayant pour tangente en ce point la droite 6.

Du poiûU {fig. 45) comme centre et avec un rayon sp égal au double du rayon vecteur sm^ on décrira le cercle C coupant la droite 6 au point p, et en ce point p on mènera la droite pr tangente au cercle G en ce point p.

On mènera la droite sr paraître à et coupant la droite pr au point r; et au moyen de la développante i on enroulera pr sur le cercle G, et on aura le point a qui sera sur le cercle C l'origine de la développante i et* qui sera un point de la spirale d* Archimède ; on retombera ainsi sur le problème 4.

De lacourbe-lieu des pieds des diverses tangentes menées à ta spirak plane d'jérchimêde.

Le triangle rectangle {fig. 40) pmx^ dans lequel sm est le rayon vecteur, mx la tangente et mp la normale , nous donne :

sm =::pS X SX

Et désignant sm par p , ^ par N et m par p. , on pourra écrire :

Or^ Féquation de la spirale plane d'Archimède étant : p=3 a. a». Nous aurons pour l'équation polaire de la courbe X, lieu des points x, on, en d autres ternies , des pieds des tangentes à la spirale plane y d' Archimède :

La spirale représentée par cette équation pourra recevoir le nom de spirale parabolique f puisque son équatioq polaire a la même forme que Téquation, en coordonnées rectangulaires, de la parabole.

Il est évident que la droite-origine des angles (ù de la spirale parabolique sera en n)éme temps la droite-origine des angles a> de la spirale d" Archimède > en vertu de la marche suivie pour passer de Téquation de la spirale d' Archimède (p = acd) à

réquation Ip, = |^ wM de la spirale parabolique.

Du phm oêeuhUmr de la $piraU conique SArclwmMt.

On se donne un cône B de révolution ; désignons par s son sommet et par Y son axe.

On trace sur le cône B une spirale conique y d'Archimède ;

On mène par le sommet s un plan Q perpendiculaire à l'axe Y ;

On ptojette la courbe y en / sur le plan Q.

La courbe 7^ est une spirale plane d'Archimède, je désigne par N sa sous-nor- U

maie. ^'

L'équation de la courbe y" étant p:=:=aa), la courbe X, lieu des pieds des tm-

gentes menées à la courbe /, aura pour équation p. == ï? œ* ; et comme nous savons que la sous-normale N est égale à a / l'équation de la courbe se réduira à :

p,c=aû)' Cela posé :

Il est évident que touteales tangentes à la spirale conique y perceront le plan Q en un point situé sur la courbe X.

Si donc nous considérons un point m de la courbe y, sa tangente pour ce point m percera le plan Q en un point n situé sur la courbe X.

La courbe \ étant la trace sur le plan Q de la surface développable formée par les tangentes de la courbe 7, si au point fi on mène la droite <- tangente à X, le plan O passant par les droites i et 6 sera osculateur en m à la spirale à double courbure y.

Dès lors , le plan O coupera le cône B sinvant une section conique E qui sera osculatrice en m à la courbe y.

Ainsi donc le rayon de courbure de E sera le rayon de courbure de y ;^ et si l'on projette la courbe E sur le plan Q on aura une section conique & qui «era oscu- ^'

latrice en m* à la courbe y* ; et le rayon de courbure de E* sera le rayon de courbure de y*.

On voit donc que le rayon de courbure d'une spirale plane d'Archimède s'obtiendra facilement lorsque l'on saura constmire le plan osculateur d'une spirale conique d'Archimède, et que le plan osculateur sera lacile à construire si l'on sait construire la tangente en un point de la tpimle (pUme) parabolique.

De la qnrvife parabolifue.

Au moyen de V analyse on parvient à une propriété remarquable de la spirale

parabolique^

— lU —

L'équation de celte courbe est , ainsi qu'il a été démontré ci-dessus :

L'expression générale delà sous-tangente dans les courbes polaires est fp'.-^J En désignant la sous-iangente par x on aura pour la sp\T2\&parab^ique

Menons par le sommet s un plan Q perpendiculaire à Fase Y, et loupant dès lors le'cylindre A suivant un cerde G. ayant puur centre le poiAt s et ion rayon étant évidemment égal à R.

Cela fait :

Traçons sur le cdne B une spirale conique d*Archimède y ; cette courbe passera par le point s et coupera le cercle G en un oertain point à.

Si nous faisons mouvoir une droite K parallèlement au plan P, et s* appuyant dans son mouvement sur Taxe Y et sur la courbe à double courbure y , nous savons que la surface gauche I qu'elle engendrera-^ coupera le cylindre À suî* vant une hélice H passant par le point a.

Cette hélice H viendra couper le cercle G, tracé sur le plan Q en un point a, ; et si l'on unit les points s et a, par une droite K,^ on aura en K, la position qu'occupe la génératrice droite de la sur&ce gauche 1, lorsque cette génératrice passe par le point « de la spirale emiqtie y. .

Gela posé :

Rappelons-nous (fig. 37) que la tangente au point m de y est Tintersection du plan tangent au cône B et du plan tangent en m à la surface gauche £•

Rappelons-nous, encore , que le plan tangent au cône B est perpendiculaire au plan méridien M de ce cône passant par le point m.

Dès lors, pour le point Sj le plan méridien passera par Taxe Y et par la droite K,, et il coupera le cône B suivant une génératrice G..

Le plan tangent T. au cône B et mené suivant G„ contiendra la tangente demandée.

Le plan tangent 0,, mené à la sqffece gauche 2 et au point $f contiendra les génératrices des deux systèmes se croisant en s et appartenant au paraboloide de raccordement; or, il est évident que pour le point «, ces deux généralriees sont : l'une l'axe Y et l'autre la droite K..

Le plan O, est donc vertical et n'est autre que le |^n méridien M du c6ne B.

Ainsi 9 la tangente demandée ne sera autre que la génératriee G, du cône B.

Ce qui précède tious permet de résoudre le problème suivant :

PaoBLÈXB 6. Êiani émméè une êpirale pkne d'Archiméde ei mn péle^ tcmtnme la umgeate au pôlen

On donne (fig. 46) la spirale y et son pôle s^ et l'on propose de eoMtnnîpè sa tangente et en son pôle $.

On prendra deux points aïrbitraires m et n sur la courbe;

Du point s y comme centre et ayant un pour vayon (le point m étacnt plua éloigné du pôle ê que le point n), on décrira le cercle G.

On prradra la ligne de terre LT parallèle au rayon vecleiir tm ;

On mènera la droite sik peipendiculaire à LT , h droite ik représentant la projection verlicale de l'axe Y.

On prendra un point k arbitraire sur la droite indéûnie ik ; et projetant le puot m en m', la droite km' sera la projection de la génératrice du cAne B , laquelle est parallèle au plan vertical de projectiov.

La génératrice K de la surface gauche 2 se meut sur Taxe Y du cône B et sur l'héfice H tracée sur le cylindre A ; pour toute position de K , située au-dessous du plan Q perpendiculaire à Taxe Y et passant par le sommet s , cette génératrice K perce la nappe inférieure du cône B, mais pour toute position de la droite K, située au-dessus de ce plan Q, cette génératrice K perce la nappe supérieure du cône B.

Et il est évident que les deux branches de la courbe y qui se soudent au point s ont même tangente en ce point, qui est, comme nous Ta vous dit, la génératrice G. du cône B, située dans le plan méridien M passant par la génératrice K. de la surface 2 qui correspond au sommet s.

On voit donc que la courbe y, avant et après le point Sj sera située d'un même côté par rapport au plan méridien M, et sera inversement symétrique par rapport au plan méridien M, perpendiculaire au plan M 9 en sorte que ce qui se trouvera à droite par rapport au plan M. et au dessous du plan Q, existera à gauche par rapport au plan M, et au dessus du plan Q.

D'après cela/ il est évident que la spirale plane oflfre la forme indiquée par ; hfig. 47.

Le Tmfon de c€furbwre au pâle ou êommei de la spirale d*yirditn%ède est nul.

On sait que lorsque l'on a une surface dévelbppable 1 ayant pour arête de rebroussement une courbe D , si l'on coupe . cette surface 1 par une surface quelconque A, la courbe G d'intersection a toujours, pour le point d en lequel elle coupe la courbe D , un rayon de courbure qui est nul.

Par conséquent, toute courbe tracée sur un cône et passant par le sommet s de ce cône, aura en ce point s un rayon de courbure qui sera nul.

La spirale conique d'Archimède aura donc, pour le point situé au sommet du cône, un rayon de courbure égal à zéro.

Et comme toute courbe, ayant en un point s un rayon de courbure nul, se projette suivant une courbe ayant aussi un rayon de courbure nul au point de projection de ce point particuliers; il s'en suit que la spirale plane d'Archimède aura un rayon de courbure nul en son sommet , ou pôle^ ou origine.

Et dès lors, la développée de la spirale plane d'Archimède doit affecter la forme indiquée par la fig^ 48.

C'est HACHETTE qui le premier a remarqué que la projection de la courbe intersection d'une surface annulaire et d'un conoïde ayant même naissance et

Faisons mouvoir une droite parallèiemeiilau plan P et s'appuyant sur la droite A et la courbe à double courbure E, on aura le conoïde dont on se sert maintenant pour former la douelle des passages ou partes pratiqués dans une voûte annulaire , et qui constituent «e que Ton appelle la voûte d'arête en tour ronde.

Démontrons : l' que si Ton coupe le premier concfide par un plan quelconque N, , mais parallèle au plan N , la section sera une ellipse dont Tun des axes sera toujours vertical et égal au rayon du cercle G ; 2'' que si Ton coupe le second candide par une surface cylindre de révolution quelconque A, i mais ayant pour axe la droite A , la courbe E' à double courbure que Fon obtiendra pour section , se développera sur un plan tangent au cylindre A. suivant une ellipse E/ ayant toujours l'un de ses axes vertical et ^1 au rayon du cercle E..

1* Du con€ltde à courbe direciriee pkme.

Soient LT la ligne de terre (fig. 49) , A% A* les projections de la directrice droite A. Traçons dans le plan vertical le cercle G ayant son centre en o sur la ligne de terre et sur A*. Coupons la surface conoide par un plan N. parallèle au plan vertical de projection .

Je dis que la section sera une ellipse ayant l'un de ses demi-axes vertical et égal au rayon du cercle G, son autre axe étant horizontal et égal à pY-

Et en effet :

Partageotis le rayon op du cercle G en n parties égales , on aura :

p«* = aï^^ = ^o.

Joignant le point A* aux points p» o^» /, o, on aura les projections horizontales de diverses génératrices droites du conoide ; ces projections couperont la droite H"', trace horizontale du plan N,, en les points p\ a;'\ y^, o\ et Ton aura évidemment :

Et les points x\ y' de l'espace seront respectivement à la même hauteur audessus du plan horizontal que les points a;, y; car les points x et x\ y ely' déterminent deux à deux une génératrice droite du conoïde* . i .

Gela posé : .

Du point p comme centre, et avec un rayon égal i p'q'y décrivons sur le plan horizontal le cercle 6, et du point p menons une tangente à ce cercle 6; la droite qm sera égsde à pY, et si par les points a^, i^j o^ nous menons des parallèles iî

la droite pm , ces parallèles diviseroat la droite qm en des points x '\ y"'y o \ tels

que l'on aura :

ffk f/k ffk itk^if

mx ==x y =y

Et chacune des divisions mx"" de la droite qm sera égale à Tune des divisions px" de la droite p'q'.

Si ensuite on suppose que Ton mène par les divers points Xj y, du cercle G des parallèles à la droite pm , on formera un cylindre A ayant le cercle G pour base sur le plan vertical de projection.

Ge cylindre A sera coupé par un plan M, vertical et ayant ^pour trace horizontale suivant une courbe qui sera évidemment identique à la section faite dans le conoïde par le plan N,, puisque ces deux couii)es sont par construction évidemment superposables.

Or : la section faite dans le cylindre A par le plan M, est une ellipse ayant pour l'un de ses axes la droite qm , et l'autre de ses axes étant vertical et ^1 au diamètre du cercle G 4 donc , etc«

De ce qui précède on déduit le corollaire suivant :

Supposons que la courbe G {fig. 49 ) est une ellipse ayant son centre en o et or et op pour demi-axes.

Si un conoide a pour directrice une ellipse ayant l'un de ses axes horizontal » et l'autre étant dès lors vertical et parallèle à la directrice droite A de ce conoide, on pourra toujours trouver un plan parallèle au plan de l'ellipse directrice qui coupe la surface suivant un cercle ; et pour trouver ce plan , il suflSra d'inscrire dans l'angle pk^q (en supposant que pq soit le diamètre horizontal de l'ellipse directrice) une droite p'q' parallèle k pq et égale au double du demi-diamètre vertical ro de cette ellipse directriee.

2o Du conoide d directrice d double courbure.

Soit LT (tangente en au cercle D) la ligne de terre {fig. 50); traçons dans le plan vertical de projection le cercle E. ayant le point pour centre.

Gonsidërons le cercle D comme la base d'un cylindre vertical, dès lors le plan vertical de projection sera tangent à ce cylindre suivant une génératrice ayant pour trace horizontale le point 0. Enroulons le plan vertical sur ce cylindre , la courbe E. se transformera en une courbe à double courbure E qui se projettera horizontalement suivant l'are fM/ du cercle D, cet arc pq rectifié étant égal en longueur à pjq, diamètre du cercle E, .

Du point A^ comme centre, décrivons le cercle D. concentrique au cercle D,

et regardons 0, comme la base d'im cyliadre vertical N, ; je dis que ce cylindre coupera le conoide ayant la droite A et la courbe £ pour directrice suivant une Goufbe qui, planifiée, sera une ellipse.

Et en effet:

Au polni d menons la droite ip^(\[ parallèle à LT, cette droite sera tangente en o' au cerde D. ; prenons o'if[ égal à l'arc rectifié o'ifl \ prenons oV ^^ ^ ^^^^ rectifié dq.

Les trois points p, ip\ A* sont en ligne droite par construction ; les trois points e, o', A^ sont aussi en ligne droite par construction ; dès lors les trois poits p,, p/, A'' seront en ligne droite , puisque les arcs qui , dans deux cercle concentriques » sous-tendent un mêoie angle sont entre eux comme les rayons des cercles.

Si donc Ton considère le concriide auxiliaire engendré par une droite horizontale s'appuyant sur la directrice droite A et sur la courbe plane ^ , il sera coupé par le plan vertical ayant pour trace horizontal p/ x\[ suivant une ellipse d,. Et en enroulant Ja courbe E^ sur le cylindre qui a pour base le cercle D et l'ellipe jj, sur le cylindre qui a pour base le cercle D«., on aura deux courbes £ et d telles que si on &it mouvoir une droite horizontale sur E et d, elle s'appuiera toujours sur la droite A et engendrera le premier conoîde considéré; car ce que nous avons dit de la droite p^/A* se transformant en la droite pp'A^ se dira de toute autre génératrice horizontale appartenant soit au premier, soit au second conoide ; donc , etc.

On pourra dés lors déduire le corollaire suivant :

Si la courbe E, était une ellipse ayant pour ses demi-axes , or et op., on pourrait toujours trouver le cercle D. base du cylindre vertical qui couperait le odlioide ayant pour directrice la courbe à double courbure E suivant une courbe qui, planifiée , serait un cercle.

Pour cela , il suffirait de construire la droite oX égale à «r (égale au demiaxe vertical de Tellipse EJ et traçant avec AV pour rayon le cercle D.» Tare of' rectifié serait égal à la droite o'ip^.

Bemanpie. Dans la solution du premier problème nous avons transformé le conoide en un cylindre. Et dans la* solution du second problème , nous avons transformé le conoide à directrice à double courbure en un conoide à directrice plane*

La transformation de surfaces en d'autressurfaces est un des modes de recherche et de démonsiraiian les plus utiles et les plus féconds en géométrie descriptive.

On parvient ainsi à reconnaître sur une surface compliquée une propriété qui serait restée inaperçue, mais qui devient évidente en la faisant passer de la surface simple en laquelle est transformée la surface plus compliquée^ sur cette dernière surface.

ConUrueibm de la imigmie m un point de la tfirale

Si étant donnée une spirale d'Arcliimède /^ on peul parvenir à déterminer la surliice annulaire et la snrfiice conoide à directrice k double courbure dont la courbe d'intersection y se projette suitant cette courbe y*, la constfiiiction de la tangente en un point m* de y* ne sera pas difficile, puisqu'il suffira de construire la tangente au point m de y et que cette tangente est Tintersection des plans tangents au point m : 1^ à la surface annulaire et 2'' à la surface conoide.

Le problème à résoudre est donc celui-ci :

Ékmi dàdméewM 9pifak (fJtàlàmèie, eMàmète im êwfmee mvmkà n êi wm eutface ootuUde telleê que leur iaienecûon se projette màvani un arc de la courbe damSe.

Soient donnés {fig. 53) la spirale 4* ArchimMo y^ et son pMe â et un point m^ de cette courbe.

Od prwdfft tt» potBl 3t arbitraire sur y\ et Tok nènera Itt droite w.

Om mènera par le p0fe f deux droiteaspel^v, T une à droite eC l'autre à gaweke de w, «I faisant «tec cMie droite «# dea angles égaux (oh i^'arrMfsra pour que le point wt soit ooauprts entre les pointa pet ^ en leaqiieHes see droites eoupent la spirale / ).

rn^rs}

••JCî »î*>

avait uM courbe plane, alors la projection de rinteraeotion serait une courbe dont l'équation serait

— - — = constante, tang»

Et en effet :

Le condde aurait pour directrice le cercle C, on devrait donc partager le rayon </ç/en ji parties égales par les points \\ 2', 3', 4Vet unissant ces points au point A\ on aurait des droites qui couperaient les oeccles décrits, autour du point A* comme centre, par les points i , 2, 3, 4^ en des points», n\ n",j n'"^ qui formeraient une courbe y,* différente de y^i.

Et il est évident, par la construction, que les accroissements de la tangente trigonométrique de l'angle o* sont proportionnels aux accroissements du rajon vecteur p. ».

Et il est évident > par la construction elle-même , que l'une et l'autre spirale passent pa^ le point A* qui sera leur pôle.

Ainsi , l'épure de la voûte d'arête en tour ronde conduit , suivant les dcHinées , à une ifirale dArcUmède ou à une epirak UmfetMf/de ayant le point A^ pour

TU

Cela fait : du point s comme centre et avec tp pour rayon ^ on décrira un cercle qui viendra couper la droite sq en g.

On décrira du même point $ comme centre, et avec sx pour rayon, un cercle qui viendra couper la droite sqen &; il est évident que le point k sera le milieu de qg.

Du point fc comme centre, et avec kg pour rayon, on décrira un démi^ercleC, et regardant sq comme une ligne de terre VT\ le cercle G sera h courbe méridienne de la surface annulaire demandée, la verticale passant par le point s étant Taxe de rotation de cette surface.

Cela fait : au point o, en lequel la droite sx coupe le cercle pog, on mènera op, tangente en o à ce cercle pag ; et Ton prendra op. =arc op.

On joindra le point p, au point s par ladroite p.«, et l'on prendra or' égal au rayon kg du cercle G.

On mènera p.p/ parallèle à sx et coupant la droite ip, en p'.

On mènera p'o' perpendiculaire ksx^ et du point s comme centre et avec s(/ pour rayon on décrira le cercle D,.

On prendra la droite oY pour nouvelle ligne de terre LT, et on décrira du point o' comme centre et avecoy pour rayon le cercle C\ et le cercle C sera la transformée de la courbe à double courbure i tracée sur le cylindre vertical ayant pour base le cercle D' ; le conoîde cherché aura pour directrices la verticale passant par le point s et la courbe à double courbure d.

La construction de la tangente au point m" de la spirale donnée y" n'offirira plus de difficulté pour ceux qui savent ce que l'on enseigne ordinairement dans les cours de géométrie descriptive.

Con8ifw:ïion de la (angenU m un poini de la ^irale tangenMde.

Le problème sera résolu si Ton trouve la surface annulaire et le conoîde à directrice plane dont rintersection se projette suivant un are de la courbe proposée.

On fera les mêmes constructions que précédemment pour obtenir la surfece annulaire.

Ainsi {^g. 58 ), on mènera i droite et à gauche de sx drax droiteti tp^ et «9, et l'on supposera que les droites ^. et «f font des angles égaux avec k droite «c.

fH pour obtenir la «urfaoe conoîde , an fera les oonatruettoM aui vantes : sur la ' ^ord6p,9qui coupe sx m pointo, on prendra 41/ s ^fc; op uraeem r>/ paraliéJe à SX et coupant la droite *p, en p/; on mènera p,V perpendiculaire à sx et cou-

pant $x en o'; oïè décrira do point cf oomme centre i et wec i/p." ocrninie ray^n , le cercle C\ et l'on prendra m cerde G' pour la directrice plane du conoide.

Remarque. Étant donné un problème à résoudre sur le plan ; passer dans Tespace au système à trois dimensions , dont le système sur le plan serait la projection , et résoudre le problème sur le système de l'espace, est une méthode fort commune en géométrie descriptive , et qui facilite très-souvent la solution du problème proposé sur le plan. Car il arrive souvent cjue le problème à résoïklre sur le système à trois dimensions est moins difficile ou que 1» solution- apparaît plus vite à l'esprit, que si Ton voubit s'obstiner à ne considérer que le sjfsiême^pkm proposé.

Nous devons faire remarquer : que pour la solution du problème précédent, nous avons eu soin de prendre la droite sx qui divisait en deux parties égales l'angle psq comprisentreles droites qui représmtaient les génératrices extrêmes du conoide (celles qui sont situées sur le plan horizontal), telle qu'elle ne passait pas par le point m^ de la courbe y\ point pour lequel on voulait construire la tangente. Et cela devait étre^ car Ton doit-se rappeler que la oourbe-intensection d'une surface annulaire et d'une surface cohoide, ayant même naissance et même montée, se compose de deux branches qui se croisent au point culminant , lequel point culminant n'est autre que Fintersection du cercle culminant de la surface annulaire et de la génératrice droite culminante du conoïde. Or, J'en voit que le cercle odc{fig. 52 et 5?) est la projection du cercle culminant de la surface annulaire engendrée par le cercle G, et que la droite sxest la projection dé fa génératrice culminante du conoide.

Et pour ce point culminant de la courbe-intersection des deux surfaces , la construction de la tangente échappe à Fa méthode ordinaire , puisque pour ce point culminant le plan tangent à la surfkce annulaire est horizontal , ainsf que le plan tangent à fa surflice conoïde.

Les deux plans tangents se confondant en seufplan, la méthode ordinaire ne peut conduire à la construction de la tangente.

Toutefois, la construction de cette tangente peut être effectuée par diverses considérations géométriques.

Cims^-uetionde kitsmgmUeaupaiiUculm^ courbe-intersection

éPune surface annulaire et dPune Sfiarface eoncUde ayant mime naissance et même montée.

Soit {fiy. 54) la courbe / projection de l'intersection de la courbe y, intersection d'uno «irfoce annulaire et d'un oonoide ayant pour directrice courbe une courbo à double courbure.

•VB^P^^'*"!" ■

( D'après ks deiiaé« partîciilîèreft ée la qocatiott , le cercle D, aéra la baae du cjKiNlre qui wape le ooncide somiU um courbe qui, planifiée, de&ae le cercle B,.)

On propose de conaimire la tangente au point m^ de /•

Pour cela, on fort p»aer par n^ le cercle X* ayant V pour eetilre, H la droite G'' panant par le point k^.

X^ aéra la projection (f un ceréle ou paraHèle, tracé sur la suffaee annulaire et dont le plan sera distant du pian horizontal d'une qvanttlé égale à t/'y.

G^ sera la projection d'une génératrice droite du conoide, distant du plan horizontal d'une quantité égale à n,\i et l'on sait que n.\=if^y> puisque les cercles G et B. ont leurs njwm égaux.

Gela fait :

On constraira la trace borisoaiale H* du plan T tangent à la surface annulaire au point m , et la trace horiaootale ff' du plan T, tangent au coneide au même point m.

(On sait construire ces traces) ; et en vertu de la construction , on a : •

jj^ SIS II *^, ae ll*g.-

Or , si l'on suppose que la . surface annulaire a pour courbe méridienne le cercle G' au lieu du jcercle G^ et que la surface conoide a le cercle B/ de même rayon que le ceVde G' au lieu du cercle B, , pour transformée de la courbe à double courbure qui lui sert de directrice courbe, on aura toujours j^y^=:it.V .

Par conséquent , les deux nouvelles surfaces se couperont suivant une courbe / qui aura encore pour projeotion la courbe y^ (^).

Dans la construction de la tangente , au point m" de y*, on aura donc encore la sous-tangente du point y' égale à la sous-tangente du point it/i tout comme on avait la sous-tangente «y^ du point y égale à la sous tangente n.*f, pour le point fi, ; et par suite, égale à la sous-tangente n^q pour le point n , dont le point n. est le transformé.

On doit donc conclure de là que, dans la construction de la tangente ^ les deux lignes s/ et tif^q doivent être égales sans s'inquiéter de leur longueur.

Et dès lors , la construction de la tangente au point m* de -/" ne devient plus qu'une construction plane, puisqu'elle se trouve indépendante de$ paramètres des deux surfaces annulaires et conoîdes*

>*%i*ri»>«B«-«wa*^i***a

(*)f ai pnblië ime note à ce sujet dans ie ButteHn de ié S^cféiépkilomafêtué* rofêZ là iMiM au 12 janvier 1833.

Par cooséqvanty la oonstroeiion qui donne la taogeote au point m^, donnera la tangenie en tout autre point de la courbe / et aussi au point o^ projection du point culminant 9 car la figure nous démontre que ce pmnt «^ n'est pas an point singulier de la courbe o^, son pôle A^ est son seul point singulier.

Gela dit :

Appliquons la construction précédente au point o^ de y* projection du point culminant x dey» cette courbe y étant Tintersection des deux surfaces annulaire et conoide de dimensions données.

1* La courbe y^ étant une spirale (f Archimède :

Nous porterons (fig. 55) sur le rayon vecteur \^a^ et à partir du point a^, une longueur arbitraire a^s\ et nous mènerons par ce point s' une droite H* perpendiculaire au rayon vecteur A*x*.

Du point A* comme centre et avec un rayon convenable nous décrirons un cercle D,, tel que Tare pV rectifié soit égal au rayon gk du cercle Ç, courbe méridienne de la surface annulaire.

Par le point Cf situé sur le rayon vecteur A*a^, nous mènerons la droite oh perpendiculaire à ce rayon vecteur, et nous prendrons o'h ==a^8'.

Nous joindrons les points h et A^ par une droite , et nous mènerons par le point a^ une droite a^r parallèle à o^h et coupant la droite A^A en r.

Par le point r nous mènerons la droite H*' parallèle au rayon vecteur A V et les deux droites H* et H^' se couperont en un point z.

Enfin , unissant les points z et a/" par une droite 9^» nous aurons la tangente demandée»

Nous avons , dans les diverse» ûgwes que noua avoQs MMtruiiM » conservé la mèiw notatiofiietceUeqite j'ai adoptée CD géméirieile$eripihet pour qnele lecteur puisae plus iMihmmt se railler, en anivtant les o^nstriielkNas , les théorèmes géométriques qui servent de base ioee diverses eoMtt'uclîoos.

2"" La courbe y* éiam une spirale tangenUnde.

Les constructions seront identiqMflsent ks mêmes, seulement (/îgp. 56) Ton

inscrira dans Tangle pAV une droite p'p perpendiculaire à A V et égale au double du rayon ^ilc du cercle G, courbe méridienne (te la snrface annulaire.

Remarque. Remarquons que {fig. 55 et 56 ) le rayon vecteur AV est égal à la droite ^A^ c*est-à-dire à la distance du centre du cercle méridien de la surface annulaire à son axe A de rotation. Nous pourrons désigner cette distance par/.

La droiteo'A^ est toujours bcile à construire» et nous la désignerens par i .

• I "i , V ■ ■ ^ ■•! H II ^^m^t^^mmmm^^^'^m^^m^mtfmi^mmimm^rm^mmmmmmKm

Et comme o'A= West arbitraire, noua pourrons représenter ces deux lignes par d.

Dés lors , les triangles semblables rb*A* et Ao'A* nous donnent :

ahi^ : k^o' .: al'r : oh d'où .

■fa» • • Jw # • cl

d'où Ton tire :

Et si nous désignons par a l'angle que la tangente G* fait avec son rayon vecteur AV^ nousaurons :

'tanga=-j^ Et comme

« 2 = xr

on aura

iang« = j-^=^ j

Par conséquent, a sera égala un angle demi-droit lorsque Ton aura I;=r, et aussi lorsque le conoîde sera tel que le point o' he sera autre que le point a!". Ce qui précède nous permet de résoudre le problème suivant :

Étant donnée une spirale d'Ardumède^ trouver le jHjmt de^cette courbe pour iequel la

^ tangente et le rayon vecÉourfmt entre eux un angle donné.

i Lorsque {fig. 64 ) nous avons construit la tangente au point m* delà spirale y*,

en nous servant deé^lans tangents au oonoide et à la surface annulaire , le point m" n'était point la projection du point culminant de la courbe à double* courbure y.

Or,4[M>ur ce point m\ en désignant l'angle AWz par e, on a:

tange=-r- ow =-Tr

^ Et comme les deux triangles A Wr et A VA sont semblables , on a :

m V ; A*m* : : ii*A : A V Or, on peut représenter A*m* par p rayon vecteur du point m^ de la spirale /.

On peut représenter A V par R rayon du eercle base du cylindre qui coupe le conoide suivant une courbe à double couiiHire qui , planifiée^ donne un cercle de même rayon que le cerde méridien de k surface onnulaire.

Et par construction , on a 9'm^^=i vl'h*

Par conséquent :

WLr=:i'^-r^ et tange=-

Donc, pour résoudre le problème proposé, on considérera la spirale donnée comme la projection de la courbe-intersection de deux sur&ces, Tune conoide et l'autre annulaire, ainsi qu'on Ta fait [fig. 53)..

La construction de la fig. 52 eiïectuée, on construira un triangle rectangle {fig. 52 bis) xmxfy pour lequel Thypothénuse xg fera avec la base l'angle t qye la tangente à la spirale doit faire avec le rayon vecteur.

On prolongera gm jusqu'en p, de manière qu/e Tenait ypp=R, et menant pf parallèle à mr, on aura en pf la longueur du rayon vecteur.

U suffira donc de décrire, du pôle de la spirale comme centre et avec un rayon égal à pf , un cercle qui coupera la spirale donnée au point demandé.

Ce qui précède permet de donner une nouvelle construction et assez simple de la tangente en un point d'une spirale d'Archimède.'

Et en effet :

Ayant construit, comme (fig. 52), les deux surfaces dont Tintersection jse projette suivant la spirale plane donnée y\ pour mener la tangente au point m*, on mènera le rayon vectepr «^m*, lequel coupera le cercle D, ( base du cylindre qui coupe le conoide suivant une courbe qui se dévelo(^ suivant un cercle de même rayon que le cercle méridien delà surface annulaire) en un point v.

Par le pôle «^, on mènera s^« perpendiculaire sur ^m'^, et l'on prendra

On unira les points te et v, et menant par le pointtn^ de la spin^e une parallèle $ à la droite m , on aura la tangente demandée.

Ita spirale d'Arehîmède peut encore être la projection de la courbe intersection d'une surface rampante connue en coupe des pierres sous le nom de m$ SmUr&k$ et d'un conoide ayant pour directrice une courbe à double courbure qui ne se transforme point en une ellipse telle que les points de contact de ses

d'un eoaCHlde awc vie surface mmutme ou avec uAe ««r&ce na^ipaoto étai^iine apmid d'Arohittède, aous ooiHk^ît à ^éMralmr.le problèive.

£t en eSiM :

Étaat dDQjBiés un plan horiiMlal H et un axe, vertical Z persane ce plan H. en un point a |. nous pourrons iaîre passer par Ja droite Z un ^lan M et trai;er dans oe pbia H une courbe arbitraire d, et par un point m de d mener une droite X borixonlate et coupant Tai^e Z.en un point z.

Nous pourrons ensuite concevoir un cylindre de révolution A ayant pour axe ia droite Z et GO«q[>ant le. plan horizoptal H suivant un cercle C dont le rayon R sera éfgû à la disiance m% du point m de la courbe d à Taxe Z.

Menons un plan T tangent, au cyHndre Amiivant une généralrice L^ et traçpns dans ce pbn T ane courbe if identique à la cowbe det telle que le point ta àfiH soit Tbomologne du point m de d ; el qu'ainsi menant dans le plan T et par ce point m une droite horizontale X', les deux droites X et X' se trouvent ^ lai^titoe hauteur au-dessus du plan horiaonta! H.

Et de plus, concevons que la courbe ^ etf plaeée par rapport à la droite X', de la mtflM manière que la courbe d est planée par la droite X, et que par çopséijpient la tangente 6' en m' à fai courbe 9f fasse avec l'axe X' un angle éigal à 4e|ui que fak la langcttite 6 en m à la courbe d avec la droite X.

Cela fait , enroulons le pian T sur le cylindre A » la courbe plane f 4e tr^^s-r Ibrmera en une coorbe d/ qui , tracée sur le cy lindrCt A , se projettcira hoitiz^pniale^ ment suivant un are du eercle G.

Imaginons maintenant que la courbe d tourne autour de Taxe Z y elle j^igen* drera une aurfaoe de révolution £.

Imaginons qu'une droite G se meuve , dans l'espace , parallèlement au plan JH et em s'appnyant à la fois et sur l'axe Z et sur la courba à double courbure d/ ; cette droite C ei^endrera un coninde ^»

Les surfaces 2 et 41 se couperont suivant une courbe Ç dont la projection (* sur le plan H sera une spirale d'Arcbimède ayant le point po«r fâk ou origineu

Et en dfet : si je divise la droite 1 en parties ^les k partir du point m et par des points 4, % 3, 4, etc., et si je divise aussi jb drokeX'en parties^les à partir du pointm', et par des points i\ V, d^ i'y etc. leadifviflionsde X étant égales entre elles etainx dMaimade X , enéiennnt par les peints i> 2, a, 4, etc. des verticales, 6ileeoo«|»erant la «oorbe I en des points y, ^ y,, y,, y^ , ^e. 9 et les vertioalw miçoées parles pointsi', 2', 3, A\ etd.oomperotti la eourbe d'en dea points y/, »/• y^, »/,^-

Or, il est évident que les droites X et X' étant considérées comme axe respectif des abscisses pour les courbes i et d", les ordonnées des points y. et t//, y^ ^^ 9/» ^^- seront égales entre elles.

— Isa —

Par éoBséquent, en metlâiil en projecHen sur ie plan H, les cercles décrits par les divers points y,| y.» y«9 etc. de la courbe 9, et les génératrices droites du conoide t{; passant respectivement par les points y!\ y/', ^[\ etc. de la courbe à double courbure d/, et qui sont tes transformés des -points bomologues y/, y' y v'%% ^^<^* ^ '^ courbe plane 3^; les projections de ces cercles et de ces droi^ tes se couleront en des points qui appartiendront à la courbe ^, laquelle se trouvera évidemment construite de la même manièfé que la spirale plane d'Archimède.

On pourrait encore concevoir le plan H y Taxe Z , le plan M , la courbe d , son point m et la droite X, et le cylindre A passant par le point m, et mener au cylindre A un plan T tangent au point m , et tracer dans ce plan T et par le point m une droite horizontale X' et une courbe t qui passant par le point m serait identique à 1* oourbe d et placée, par rapport à la droite X'/ comme la courbe h Test par rappoi:t à la droite X.

Cela fait : concevons que le point m décrive snr le cylindre A une hélice S lii* sant avec le plan horizontal H un angle ar.

Nous tracerons dans le plan T et par le point m une droite X/ ftiisant avec X' un angle «, et par les divers points \\ 3', d^^-i', etc. de X', nous élèverons des verticales qui perceront la droite X/ en des points i.^-S/, 3/, 4/, etc. , et nous transformerons la courbe plane ^ (et dans le plan T) en une courbe ^'j qui aura pour axe des abscisses la droite X/, pour origine le point m', et dont les ordonnées seront vertical^ et respectivement %iies aux ordonnées de la courbe }l.

On raroûlera cette courbe d" sur le cylindre A » et Ton aura une courbe à double courbure K'-

En feisant mouvoir la courbe d sur l'hélice 6, la droite X restant toifours horizontale en s'appuyant sur Taxe Z, Ton engendrera une surface riwiponie 2,.

En faisant mouvoir une droite 6 sur Taxe Z et la courbe à double oourbure )/', et parallèlement au plan horizontal H , l'on engendrera un conoSde 4^.

Les deux surfaces 2, et 4^, se couperont suivant une courbe ^ dont la projection S,^ sur le plan H sera évidemment une spirale d'Arohiméde*

Tout ce qui précède peut s'appliquer à la constmction deia<i«jmMy0, con* sidérée comme étant sur ie plan H la projeetioa de Tînterseetioa -d'.iHi MMÂde et d'une surface de révointian ou d'une sur&ce rampame.

§ IV

NmKtdte ctusinictio» de la tangente en un point de ta apirale d'Ardumède.

Supposons une apirale d'Arobimède complète , et dès lors composée de ses deux braqches E et E' ayant au sommet o, la droite oD pour tangente {fig. 58).

En considérant la droite D comme l'origine des angles o), l'équation de cette courbe sera :

Si Ton prend un point m sur la branche E , et que du point o comme centre et avec ie rayon vecteur om pour rayon on décrive un cercle venant couper la droite D au point p, on aurai en désignant Tare mp par x et om par p:

d'où

Et en vertu de l'équation (i), on aura :

De sorte que si au point p on élève une perpendiculaire à la droite D et égale à Tare rectifié pm on aura le point q qui appartiendra à une parabole représen tée par F équation (2) et ayant dès lors son sommet au point o, origine de la spirale, et étant rapportée aux deux axes rectangulaires oD eiok{oD étant Taxe des p et o^ l'axe des x ).

Gela posé :

Si Ton voulait construire la tangente 9 au point m de la spirale , on construirait la tangente i au point g de la parabole, on transformerait cette tangente i en une spirale hyperbolique y ayant le point o pourpoint asymptote et celte courbe serait tangente en m à la spirale d' Arcfaimède, et dès lors construisant la tangente en m à la spirale hyperbolique y, on aurait la tangente demandée 0; et eela aurait lieu en vertu du théorème que nous avons établi lorsque nous avons examiné les diverses propriétés géométriques dont jouissait la spirale hyperbolique.

Si l'on dislingue deux branches sur la parabole , Tune oP et l'autre oP\ ces deux branches étant considérées comme se réunissant au sommet o , on vok de suite que la branche P sera la transformée de la branche E de la spirale, et que la branche P' sera la transformée de la seconde branche E' de la mèm^ spirale.

Bu.

peodiciilaire à la (boîte D; et qui a le point o pour origine de ses coordonnées, puisque l'équation (4) est satisfaite par xs=soetf:=io.

La parabole et la spirale jouissent, pour le point m y d'une propriété remarquable :€Ue9 80Ht km^enies tune à Vautre en ce paini m.

En effet :

&i , sur le milieu / de la droite am 9 on mène la droite kf perpendiculaire à amy cette droite Ufsen Taxe infini de la parabole.

Si donc, on prend lq = 2.nl, en joignant les points q et m on aura la tan* gQUte en m à la parabole : (puisque la sous-tangente est double de Fabseisse dans la parabole).

Si , au point m on mène la normale à la parabole , ir sera la sous-normale.

Calculons cette sous^normale; on a :

ri . lqz=.lm (5)

Or:

Im = ^ . om 2=2 7 . p î=s ^ . air et

L'équation (5) donnera donc :

Mais en menant op perpendiculaire sur om, on aura :

op=32 . br puisque

Im = 7 . €$n

On aura donc : op = a.

Or, pour la spirale, la sous-normale est égale à a en vertu de l'équation de cette courbe, qui est : pc=a(7r — w').

La droite pm est donc normale à la spirale , la droite mq est donc tangente à cette même spirale.

Si maintenant, au lieu de prendre la droite oh pour origine des angles &/^ on prenait la droite D', l'équation de la spirale serait alors :

Et l'on voit que, si l'on transformait la spirale sur le rayon vecteur om\

cercle C de même rayon que le cercle C , et que cela aura lieu que le conoide aoit droit ou oMiqye.

L'on sait aussi ^ que tout plan P parallèle au plan V coupe le conoide suivant une ellipse dont le grand axe est parallèle à la droite Z » si le plan P est situé entre les plans V et V; et suivant une ellipse dont le grand axe est parallèle à la droite I intersection des plans de projection H et V, si le plan P est situé au delà du plan V ou du plan Y, par rapport à la droite Z.

Gela posé :

Il est évident que : i"" désignant par E^ E^, E"', etc. les ellipses sections du conoide par les plans P situés entre les plans Y et V^ le lieu de leurs foyers sera une courbe plane a , située dans le plan A lequel passe par la droite Z et le centre o ; et cela aura lieu que le conoïde soit draii ou oblique.

2* Désignant par E,, E/, E/', etc. les ellipses sections du conoide, par les plans P situés au delà des plans V et V'; le lieu des foyers de ces courbes sera une courbe plane 6 , située dans un plan B , qui passant par le centre o du cercle C, sera parallèle au plan horizontal H; et cela aura lieu que le conoide soit droit ou oblique.

On voit donc de suite , que la courbe a située dans le plan A sera une courbe fermée , et que la courbe 6 située dans le plan B sera une courbe composée de deux branches infinies.

i"* La courbe a est une ellipse.

Et en effet :

Désignons par t le point en lequel la droite Z est coupée par le plan B, et par 6 et G' les deux génératrices droites suivant lesquelles le conoide 2 est coupé par le plan B.

Menons un plan P' parallèle au plan V et compris entre les plans Y et V', ce plan P' coupera la droite ot qui unit le point t avec le centre o du cercle G , en un point p' et la droite G en un point g\

Ce plan P^ coupera le conoide 1 suivant une ellipse E' qui aura pour demi petit axe la droite p'g\ et dont le demi grand axe sera parallèle à la droite Z (c'est à dire vertical ) et égal au rayon A du cercle G.

Le foyer /' de l'ellipse E' aura donc pour hauteur au-dessus du plan horizontal H , une droite p'f qui sera telle que l'on aura :

Désignons par (a l'angle que la droite G fait avec la droite ôî; par X l'angle que la droite G fait avec la droite ^y.

Concevons Tarète culminante du conoide 2, par rapport au plan horizontal H ; cette arête, désignée par K, sera la génératrice de contact du conoide 1 et d'un plan tangent à ce conoîde, mené parallèlement au plan B.

Cette droite K sera dans le plan A qui passe par la droite Z et le centre o du cercle G.

La distance de cette droite K à la droite ot, sera égale au rayon R dti cercle C.

Et le plan P" coupera la droite K en un point ç"; on aura donc : q'y^z=^R.

Gela posé : *

Si du point q\ comme centre et avec un rayon égal à pV ' ^^^"^ décrivons dans le plan P" un cercle 3, ce cercle 3 coupera la droite p'V' ^^ ^^ point/" qui sera Fun des foyers de l'ellipse E".

Et Ton aura :

Désignons par yL l'angle que la droite G fait avec la droite ot; par >. Fangle que la droite G fait avec la droite g'Y'] On aura dans le triangle ip^'g'j

D'où l'on tire :

p g : sin^ :: tp : sinX

p flf =IP . T—

Portant la valeur pV' (Ô) dans l'équation (5) et remarquant que p'g" z=:^Y\ on aura :

Et désignant dans le plan B, ip" par x eif'g" par y y On aura :

\8inA/ ^

Cette équation (8) est celle d'une hyperbole rapportée aux axes obliques oî et ib y en désignant par ib la droite menée par le point i et dans le plan B et parallèlement à la droite p"g".

Le point i sera l'origine des coordonnées et swa en même temps le èenlre de

l'hyperbole.

Le d«mi'-axe dirigé suivant Z sera égal à R , et le dem-iaxe dirigé suivant G* sera égala :R-; — ..

L'angle V pourra être droit» alors la droite mobile R fera constamment un angle droit avec la droite G, tandis que, lorsque l'angle X' est aigu, la droite R fait en chacune de ses positions dans Tespacé un angle différent avec la droite G.

Dans le cas où Tangle ï! est droit, le demi-axe de l'ellipse E dirigé suivant la

droite G* aura pour valeur-: — ,.

Et Ton voit de suite que la réciproque est vraie , savoir :

Que se donnant : V sur un plan A une ellipse E ayant son centre en un point i et ses axes égaux à 2R et 2L( l'axe 2R coupant l'ellipse E en les deux points r et r, et l'axe 2L coupant l'ellipse E en les deux points /et ty en sorte que les quatre points r, r\ leit seront les quatre sommetsde l'ellipse E), et 2'' une droite G passant par le point i et située dans le plan U, lequel sera mené par Taxe 2L , et dés lors perpendiculairement au plan A , et 3o un plan X passant par Taxe 2R ; si l'on fait mouvoir une droite K parallèlement au plan X et s'appuyant pendant son mouvement sur la droite G et sur l'ellipse E , chaque génératrice K aura sa partie interceptée par la droite G et le plan A ^al à R^ si toutefois le plan X et la droite G sont dirigés dans l'espace de manière à satisfaire aux conditions ci-après :

Du point / comme centre, et avec un rayon égal à R, décrivons dans le plan U un cercle D , la droite G devra couper ou au moins toucher ce cercle D.

La droite G coupant le cercle D en deux points d et (f , le plan X passant par l'axe 2R devra être parallèle à l'une ou à l'autre des droites dl ou d'L

Et en désignant par X le plan parallèle à la droite dl et par X' le plan parallèle à la droite (tl^ on voit que la réciproque est vraie, en vertu de la proposition directe énoncée précédemment; car en vertu de la proposition directe, on sait qu'en faisant mouvoir une droite d'une longueur constante R parallèlement au plan X ou au plan X', l'une de ses extrémités parcourant la droite G, et son autre extrémité s'appuyant sur le plan A, le conoide 9 (ainsi engendré) sera coupé par le plan A suivant une ellipse E' ayant le point t pour centre et ses axes égaux à 2R et2L.

La proposition réciproque nous démontre que tant que la droite G coupera le cercle D , il existera deux conoides du système (p (ayant une diredrice droite G) s'entrecoupant suivant la même ellipse E et ayant pour plan directeur, l'un le plan X et l'autre le plan X'.

Et que si la droite G est tangente au cerde D, alors il n'existera qu'un seul conoide (f\ mais alors les deux plans X et X' se confondent en un seul plan qui est

ti<L

Cette propriété, pour les conoides du genre ly n'est qu'un cas particulier d'une propriété plus générale, savoir : que si Ton coupe un conoîde du système 2 ou du système f, par des plans parallèles entre eux et à la directrice droite Z , les courbes de sections seront des courbes de même nature et du même genre.

C'est ce que nous allons démontrer.

Goaeevons i"" un plan V sur lequel on a tracé une courbe arbitraire C; S"" un plan H coupant le plan Y suivant une droite I et sous un angle arbitraire a; 3^ une droite Z, dirigée d'une manière arbitraire par rapport au plan H et coupant ce plan en un point A, mais cette droite Z étant dirigée parallèlement au plan V.

Imaginons une droite G se mouvant parallèlement au plan H en s'appuyant sur la droite Z et la courbe C»

On engendrera un conoîde 2' dont le mode de génération est le même que celui des conoides elliptiques 2.

Menons un pian Q parallèle au plan V; ce plan Q coupera le çonoide 2' suivant une courbe E.

Je dis, que l'on pourra toujours construire un cylindre A. ayant la courbe C pour directrice j et tel qu'il soit coupé par un certain plan Q, suivant une courbe E. identique avec la courbe E; en d'autres termes, je dis que les courbes E et Et seront superposables.

Et en effet :

Concevons une suite de génératrices droites G^ G', G'', G"' , de la surface

l! ; menons par la droite Z et chacune de ces génératrices un plan, nous aurons

les plans sécants X, X", X'", \'"j qui couperont le plan H suivant les droites

K, K', lL"j Vl"\ lesquelles passeront toutes par le pointa et couperont la droite

I aux points p, p', p'', p"', et couperont la droite J intersection du plan H et

du plan Q, aux points 9,9', q"j q"

Or, il est évidrat que si les points PrV'y v\ ^^^ également espacés entre eux , les points ^, q\ q\ seront aussi également espacés entre eux , et

qu'une division pp' de I sera à la division correspondante qq de J , comme Ap et kq ou comme hp et fa/, etc. sont entre elles.

Il est encore évident, que les plans X, X', X'', couperont : 1^ le plan V

suivant des droites P, P', P'^ parallèles entre elles et coupant la courbe C

en les points r, r, t'*\ et S'' le plan Q. suivant des droites R, R', R'', parallèles entre elles et aux droites P, P\ P'", et coupant la courbe E aux

points/, r,r

U est évident que l'on aura : <^f = rp, (qt=^r\i, Cq' :=ry\ puisque les

droites G , G', G"', sont parallèles au plan H .

Cela posé :

Nous pouvons toujours concevoir que te plan H soit choisi de telle manière qu'il coupe la courbe C en un pointm.

Dés lors, désignant par G la génératrice qui passe par te point m , cette génératrice sera dans le plan H et les points p et r de la courbe C se confondront

ta courbe E tme $mie dér qflmdreê A, A.i A.» A»v** ayonl leurs génératrices éreiêes

reipeciivemeni paraUèles aux plans P^ P.» P« > P, On pourra umjaurs mener par

une droite Z^-paraUik à la Hroite Z et située dans le plan X ^ wiesuitede pkmsh^ R. ,

R,, R,,.... tpis qu^ils coupent respectivement les cylindres H y A,, A»9^s9 suivanides

courbes D, D, , D,^ I>3« • • • • tqutes' idleniiqnes au superposables entre elles et à la section E^

Mais cet énoacé a ^soin d'èlre complété on ce Xjai coaceme les cylindres A, A., A, ,.••• <^r on ne pourra mener qu'un seul cylindre parallèle à Tun qudcon4|ue des plans P, P., P.f.... Et en effet : imaginons deux plans quelcoimues Y et Y' passant par la directrice droite Z et coupant la droite 1 intersection du plan directeur H et dii plan X en les points a et 6 et coupant la droite T intersection des pbns H et X' en les points a' eib\ -

Sur abj coinme hypoténuse^ on construira un triangle rectangle dont l'un des côtés de l'angle iroit sera égal à a 6"^; on aura ainsi un triangle abm.

En faisant tourner ee triangle autour de ab comme axe, le sommet m de l'angle droit décrira un cercle ( dont le plan sera perpendiculaire à la droite ab et dont le centre çera situé sur cette même droite ab.

On concevra deux cônes de révolution ayant ab pour axe commun et le cercle i pour base commune, l'un de ces cônes A aura le point a pour sommet, et l'autre B aura le point 6 pour sommet.

Gela posé :

Le plan P coupera le cône A suivant une droite K et le cône fi suivant une droite L , les génératrices du cylindre A seront parallèles à la droite K , et le plan R sera parallèle à la droite L.

Et l'on doit observer que cette construction est bien celle que nous avons employée ci-desjsus , lorsque nous avons transformé le conoide général du genre 1 en un cytliidrel

Parmi lesconoides du genre 1, nous^evons faire remarquer le conoide particulier 2, engetidrée de la manière suivante :

GoDCfvons : 1* deux plans Y et H se coupant suivant une droite I, et ftdsant entre eux un angle aigu a ; 3* une droite Z parallèle aux plans Y, et dirigée dan« l'espace de manière à faire un angle droit avec la droite I, sans couper celle droite et perçant le plan H au point h.

D*uD point a «tué sur la droite I, décrivons dans ie plan Y un cerdci G d'un rayon arbitraire R.

Gela posé :

Imaginons une droite G se moavam parallèlemenl au plan H en s'appuyant sur la droite Z et sur le cercle G ; on obtiendra un conoide 1,.

Il pourra arriver deux cas : l"" la droite oh pourra être perpendiculaire à la

El M effet : " '

Les coDoides droit et oblique, ceux- pour lesquels les plans V et H étaîenc rectangulaires entre eux , mms donnaient pour le Heu des foyers de leurs sections elliptiques y une> ellipse rapportée à ses axes^ tandis que les conoîdes £.' et Z/' rpônr lesquels les plans Y et H se coupent sous un angle aigu a) nous doanent pour le lieu des foyers ^e leurs sections elliptiques , une ellipse rapportée k ses diamètres conjugués, dirigés l'un suivant Z et l'autre suivant oo\

Ceci nous conduit done encore à un iecond nouveau conoide elliptique, et engendré de la ntnière suivante ( lorsque nous considéfOM l'ell^ne e oemme étant le lieu des foyers des sections* dliptiques du conoide 2/).

ComÉructign d'unsticond nouveau cmMiê

Étant donnés un plan A et un point î sur ce plan , menons par ce point t et dans le plan A , deux droites M et M' comprenant entre elles un angle aigu 6.

Portons sur M, à partir du point t, une longueur im^ nous aurons le point m.

Portons sur M', à partir du point t, une longueur im\ nous aurons le point ta.

Construisons sur tm et im comme demi-diamètres conjugués une ellipse e , ayant le point i pour centre»

Menons par la droite M un plan H perpendiculaire au plm A ; traçens dans, ce plan.H, du point m comme centre et avec im' conmie rayon , un craele ^;

Menons du point t , une droite G située dans le plan H et coupant le eerele i en deux points 9 et 9'; • '

Si Ton fait* mouvoir sur la droite G et Tellipse e une droite d'une longueur constante tmV^tte droite pourra engendrer deux coooîdes l'o» f., l'autre <p^; le premier ,ayant pour plan directeur un plan U , passant par la droite M' et mené parallèlemetit au rayon mg, et le second ayant pour plan directeur un plan U', passant par la même droite M^ et mené parallèlement au rayon mg.

Nous retombons donc sur ce qui existait dans le cas où l'on avait pour directrice courbe du conoide <p une ellipse tracée sur ses axes.

Mais si noue considérons l'ellipse e comme le lieu des foyers des aeetio«s elliptiques du conoide 2/', nous devons nous rappeler que le plan H n'élMA plus perpendiealaire au plan (Z, o);.dès lors^ le nouveau comnde elliptique devra être engendré de la manière suivante.

Étant donné un plan A et un point i«eur ce plan , menons par ce point i et dans le plan A , deux droites M et M', comprenant entre elles un angle aigu 6.

L Si, pour les conoides f , oo trace sur Je plan directeur U une suite de cer«

des concentriques D, D", D'^ ayant tous pour centre commun le point o;

les cylindres K, K^ K'\ qui auront respectivement pour bases les cercles

D, D', D'^ et qui auront leurs génératrices droites parallèles à la droite Z,

couperont le conoide 9 suivant des ellipses , dpnt les plans passeront tous par le demi-axe ou le demi-diamètre de Tellipse E par leqjuel passe le plan directeur U.

II. Si^ pour les conoides x» on imagine une suite de cylindres de révolution , ayant tous la droite Z pour axe commun; ces cylindres couperont le conoide X suivant des ellipses.

«Démontrons d'abord la propriété énoncée *pour les conoides 9.