I. Sectiims elliptiques des conoides du genre

Soit Tellipse e (§g. 60), ayant pour demi-axes ou demi-diamètres conjugués im et im\ et le point t pour centre.

Soit G la directrice droite du conoide f et e sa directrice courbe.

Le plan (M, G) fera avec le plan de l'ellipse e un angle droit ou aigu.

La droite mg^ située dans le plan (M, G) et qui sera une génératrice droite du conoide 9, sera égale en longueur à R.

Menons par la droite M' un plan P , ayant pour trace- sur le plan ( M , 6 ) la droite ty..

Menons un plan X parallèle au plan directeur U , lequel passant par la droite M' est parallèle à la droite mg-j ce plan X coupera : l*" le plan de l'ellipse e suivant la droite ap ; 2'' le plan (M , G) suivant la droite qp parallèle à m^ ; et 3"* le conoide 9 suivant la droite ga, dont la longueur sera ^âle à R ; et 4Me plan P suivant h droite ay.

Or y ip etpa étant les coordonnées rectangulaires ou obliques du point a de l'ellipse e, (suivant que im et m seront les demi -axes ou les demi-diamètres conjugués de l'ellipse e); ^' et pV seront les coordonnées rectangulaires ou obliques du point a' de la section e' du conoide 9 par le plan P.

Gela posé :

L'équation de Tellipse e sera :

Or, les deux triangles semblables qap et qap' dbnnent :

ap : €^p' ** pq ' qp'-

entre, elles. La oombe e est donc, en ^ertu de ce qui a été dit âur les conoides (p , § Y, UB6 ellipse tracée dans le plan P, ayant le point i pour centre et ayant ses demi^iés ou dlemi-di^^mètrès conjugués dirigés suivant ig et im' ; fe demi-axe ou

demi-diamètre dirigé suitant ig étant égal à ig et le demi-axe ou demi-diamètre

dirigé suivant itn étant égal à \m^=^gg.

V II. StctMim tUijUfques des amùïdei du gmrex •

Concevons un cylindre A de révolution , ayant pour axe la droite A {fig. 61), et Q9iipé par un plan perpondiculaiire à cet axe A , suivant un cercîe C projeté en cb et ayant son rayon égal à R.

Menons un jdan perpendiculaire au plan méridien X, et coupant le cylindre A suivant une ellipse E projetée sur le plan X , suivant la droite ab.

Imaginons un cône droit B, ayant le cercle G (projeté en cb) pour base et pour sommai le poini $ situé sur Taxe A . ;

Imaginons la snrfiice réglée ^ engendrée par une droite Vappuy an t sur l'axe A, Vellipae E et se mouvant parallèlement au cône B.

Cette surface <gaudie ^^^i^ dans le plan X deux génératrices , savoir : sb et s.a ; sb étant -la génératrice du cône B , et «^ étant parallèle à la génératrice se de ce eôneB.

On aura donc m, z=cai ^^ ^n désignant lo grand axe ab de l'ellipse E par M , et son petit axe par 2R (se rappelant que R est la longueur du rayon du cercle C ) on aura ca'=M* + IR* .

Goupoos le oône B par un plan V parallèle au plan du cercle G ; ce plan U eaufiera le cône B suivant un cercle G' projeté sur le plan X suivant la droite cV parallèle à c4. ,

Et le cylindre de révolution A' qui ayra le ceide G' pour section droite, coupera les génératrices sb et sja de la sur&ce x ^n les points é' et a' , et Ton

aura c'a! = ca.

Or f si l'on conçoit l'ellipse E' ( projetée suivant a b' sur le plan X ) et ayant pour grand axe aV , et pour petit axe le diamètre c'b' du cercle G'; c^tte^dJipae E' sera évidemment une section du cylindre A'.

Maintenant, si l'on engendre une surface réglée x^ p^r* une droite s'appuyant sur Taxe A et sur l'ellipse E\ et se mouvant parallèlement au cône B ; je dis que les deux surfaces x et x' ^^ sont en réalité qu'une seule et même surface ^ et en effet : les génératrices de la surface x font avec l'axe A un angle constant et qui est égal k celui que les génératrices de la surface x font avec ce même axe

A, c'est-à-dire égal à l'wgle y que la génératrice du cône 6 fait avec l'axe de ré* volution de ce cône; ou , en d'autres terme», égal au demi-angle au aommet de ce cône B. Si donc je mène un plan méridien X' coupant l'ellipse E en ira point x et Tellipse E' en un point x\ il faudra , pour que la proposition énoncée soit yraie, que la droite xaf fasse avec l'axe A un angle y; ou, en ^d'a^res termes, il faudra que la génératrice sb en passant du plan X dans le plan X' soit descendu le long de Taxe A de la même quantité pour les surfaces x ^^ x -

Concevons donc le cône directeur de révolution {fig. 61 ) ayaAt son sommet en s sur Taxe A ( cet axe A étant vertical ).

Prenons pour jplan vertical de projection le plan méridien X.

Coupong le cône directeur par deux plans'horizoïitaux , et dès lors perpendiculaires à son axe A , nous aurons les cercles G et G".

Regardons ces cercles comme les sections droites de deux cylindres BeiB'de révolution et ayant pour axe commun Taxe A.

Coupons le cylindre B par un plan perpendiculaire au plan vertical X , nous aurons une ellipse E dont la projection horizontale E^ ne sera autre, que le^cercle C^ et dont la projection verticale E^ ne sera autre que la droite o^.

G)upons le cône directeur par un pjan méridien X', nous obtiendrons dans ce cône et pour section une génératrice dont les projections seront ix/ ( projection verticale) et A V ( projection horizontale).

Descendant cette génératrice parallèlement à elle-même jusqu'à ce que le point X, situé sur le eercle G se trouva en x sur l'ellipse E, on aura la génératrice' du conoîde x» et dont les projections seront pa?^ ( verticale ) et AV( horizon laie).

Pour nneévokiUm^ égale à deux an'gles^roits» autour deFaxe A, la génératrice sb du cône directeur prendra la position sc^ et en la descendant parallèlement à ellemême d'une quantité égale à ca, on aura en s'a la génératrice du conoide x-

Or f l'on a : ca=ca''j donc en menant la droite a'b' on aura la projection verticale de l'ellipse E' intersection du concède xt si toutefois les trois points a\ x'^ et b' sont en ligne droite.

•Et en effet : ces trois points sont en ligne droite.

Car , menant dans le plan vertical X et par les points x* et x"^ des perpendiculaires à l'axe A, on aura ^ ca:qa :: cb : qx'y puisque le^ trois points a^ x' etb sont en ligne droite.

Pour que les trois points a\ x'' et b' soient en ligne droite, il faudra que Ton ait aussi.

cV : qW : : c'6' : çV^ (1)

Or:

caxs^c'a et cqf = cV = ^^=*/'*'' = «/a5^

La proportion*(l) pourra donc s'écrire ainsi :

caïqa i\ 4fb' i q'x'' (2)

Mais, par construction , on a :

La proportion (2) pourra donc s'écrire ainsi :

ca '. qaw cb' : cx^ (3)

Mais les trois points «, x[^ et x^ étant en ligne droite , on a :

cV : c'x^ :: cb: cx^.

La proportion (3) pourra donc s'écrire ainsi :

ca^qa\\cb\cx^ (4)

Mais cx^ =: q7^ par construction , .on a donc :

ca : qa :: (A : qx' (6)

Ainsi , en posant la proportion (i) on retombe sur la proportion (5) qui est vraie , la proportion (1) est donc aussi vraie ; ainsi les trois points a\ x"^ et b' sont en ligne droite.

Ainsi, il est démontré que le conoide x ^^^ coupé suivant des ellipses, non semblables entre elles et non situées dans des plans parallèles , par une suite do cylindres de révolution ayant Taxe A pour axe commun. .

ADDmON AD s ni DU GHAPirBE 0.

A la fin du § III de ce second chapitre (page 132), j'ai dit que la construction delà umgenitXde pouvait être déduite en considérant cettecourbe comme la projection sur le plan horizontal H de l'intersection : 1* d'une surface de révolution ayant pour courbe méridienne une courbe arbitraire C et d'un conoide ayant pour directrice

tiques, y.«=»y/» 9»^=^y,\ yt^^y/»-** ^^* ; ^ ferticales ptMant par leg points i\ ^» 3\... de la droite Y, ooiqperoiit la courbe <p en des points i'\ ^'\ 3^,.«-« etc. ; et si 9 à partir de ces points, <m porte sur les Torticales des longueurs y/'s=^\ y"psy^^ y"s=sy^\.... etc. f on déterminera une courbe plane C" située dans le plan T.

Cette courbe aura ses abscisses curvilignes comptées sur la courbe 9 et à partir de l'origine m , et ses ordonnées rectilignes comptées sur la droite J , et aussi à partir du mèiM point m.

Cela posé:

Si l'on fait mouvoir une droite 6 parallèlement an plan H en s'appuyant sur l'axe A et sur la courbe plane C", on engendrera un conoide If.

Et il est évident, si l'on se rappelle ce qui a été dit au sujet de la ipbràle àfArchimède , que la courbe intersection de la surface rampanie 2 et du conoide i se prc^èttera sur le plan horizontal H suivant une tmèffenuflde.