T ENSUIT B

DE L*UTIL1TÉ ET DE l'eMPLOI DBS COURBES d'eRREUR.

Je me propose d'abord :

1'' De donner la construction des nœuds et des points de rebroussement que peut présenter danason cours la projection horizontale ou verticale dé la courbe intersection de deux surfaces en générai , ce qui me conduit à un essai de no^ menclature graplàqiÊe des coniques frfanes du quatrième et du troisième degré , appelant conique à double courbure ^ la courbe-intersection de deux cônes , du second degré , et amique plane la projection sur un plan de la conique à double courbure.

2^ De déduire de la construction de ces nosmb, celle du point en lequel la génératrice droite d'une sur&ce développable se trouve tangente à la courbe de contact d'une suHbce donnée et de cette môme surface développable.

Je me propose ensuite :

3* De construire la tangente à la projection horizonti^e ou verticale de la courbe-intersection de detlï surfaces données , cette tangente étant construite parallèlement à une droite donnée sur le plan de projection.

4« De déduire de h MMtrabtimi'de cette tangente ptnllèleà une droite , celle d^iine tangente commane à deux courbes situées dans un même plan , et par suite de montrer F utilité et remploi des courbes €enew^ pour b sohitiott de divers autres problèmes.

Ces divers problèmes ne sent pas sans intérêt , sous le point de vue graphique ; puisqu'il faut ^ après avoir construit les divers points de la projection de la courbe d'intersection ou de contact de deux surfaces, unir les points par un trait continu et arriver ainsi à obtenir, le plus approximativement que faire se peut , le tracé rigoureux ou géométrique de la projection de la courbe de l'espace.

Pour obtenir un semblable résultat, il fiiut donc employer tous les moyens de vérification que les itoéthodes de la géométrie descriptive mettent à notre disposition.

On doit dès lors concevoir que la détermination des points singuliers et Aes points limites , dans certains cas , de la courbe-intersection de deux surfaces doit être utile et nécessaire pour que l'épure soit aussi exacte que possible , et qu'ainsi les erreurs soient peu considérables lorsque Ton passera de l'épure au tracé ou à la construction en grand et à l'échelle réelle soit sur le terrain , soit dans l'espace ; ou, en d'autres termes, lorsqu'on se servira de l'épure qui est toujours exécutée à une petite échelle pour construire le relief de grandeur naturelle.

ComtrtMicn des nœuds et des poinis de rebroussemeni que peut présenter la projection hartumUde ou verticale de la caurbe-intersectian de deux surfaces.

Concevons deux surlaces 2 et 2^ se coupant suivant une courbe G ; désignons par G* la projection horizontale de cette courbe G , et par G'' sa projection verticale.

Si G* présente un nœud , c'est que deux points m et n de la courbe G se projettent horizontalement en un seul et même point. |f Pour déterminer les noouds de la couÂe C\ il faut donc chercher les points

de G tels que m et n et pour lesquels la cordé nm qui les unit se trouve verticale.

Si l'on conçoit toutes les cordes verticales de la surface I , et qu'on prenne le I point milieu de chacune d'elles , tous ces points mUteux détermineront une sur-

face 3 qui sera la surface diamétrale de 2 et la surface 8 passera par le point o milieu de la corde mn.

Si l'on conçoit de même toutes les cordes verticales de la surface 2', et qu'on prenne le point milieu de chacune d'elles, tous ces p<Mnts milieux détermineront

une rarfiM» if foisera la MrfiK» diamétrale ëe t^ et y passera par le point o miliea de la corde mn.

Les deuK aorfiices > et d' se oooperont suivant une courbe y qui passera dmc par le p<wil o milieu de nrn.

Par conséquent , 7^ passera par d" qui ne sera autre que la projection horiz<mtale des deux points m et ii.

La courbe 7^ coupera donc la courbe G^ aux points qui seront les nœuds demandés.

Si y^ ne coupe pas G^, c'est que cette projection G^ n'aura pas de nœuds.

Par une méthode analogue , on trouverait les nœuds qui peuvent exister sur la courbe G^; ces nœuds seront situés sur la courbe X^ projection verticale de lacourbeX intersection des deux surfaces diamétrales A et A", la première A pour la surface 1 par rapport aux cordes parallèles entre elles et perpendiculaires au plan yertical , la seconde A^ pour la surface 2' par rapport aux cordes ayant aussi leur direction perpendiculaire au même plan vertical de projection.

Si Ton considère le cylindre V qui projette borizontalement la couii)e y intersection des deux surfaces diamétrales d et d", on voit de suite que ce cylindre V coupera la surface 2 suivant une courbe U et la surface 2" suivant un courbe U', et ces deux courbes U et IT seront telles que les.points en lesquels elles se couperont ou se toucheront , appartiendront à la courbe G intersection des surfaces 2 et 2'.

Les deux courbes '^U et U' ne pourront donc se couper qu'en un nombre de points, tels que , deux à deux ou trois à trois ou n à n , ils seront situés sur des verticales dont les pieds sur le plan horizontal seront les nœuds de la courbe C^.

Les deux courbes U et U' peuvent se toucher en un ou plusieurs points, et pour chacun de ces points la tangentecommune à U et U' sera verticale; par conséquent, si l'on conndère le cylindre vertical B tangent à la surface 2 suivant le contour apparent A et le cylindre vertical B' tangent à H suivant le contour apparent A", les deux icourbes A et A' se croiseront au point de contact p des courbes U et U^

Dès lors , les projections A^ et A'^ des contours apparents des deux surfaces 2 et 2" sur le plan horizontal se couperont en un point p* projection du point p, et ce point sera un point de rebrcmêsement de la courbe C^.

La courbe G^ aura donc autant de points de rebroussemeni qu'il y aura de poiois de contact entre les courbes U et U'.

Si pour le point p les deuK surfaces 2 et 2' avaient même plan tangent, alors la courbe G aurait un nœud ou point multiple en ce poinij p et les deux branches

Or 9 mk wifffmtuti que la surface de révofattion 2 est celle dont Taxe est vertical 9 tandis que Taxe de la surface de révolution 2^ est obiiqne par rapport au plan horizontal , tout en étant parallèle au plan vertical de projection , on voit de suite :

i"" Que la surface diamétrale d prise par rapport aux cordes verticales , sera une surface de révolution dont la courbe méridienne M s'obtiendra en menant dans le plan méridien de la surface 2 et qui est parallèle au plan vertical de projection^ une suite de cordes parallèles à Taxe de révolution et prenant les points milieux de ces cordes.

2"* Que pour déterminer la surface diamétrale if y prise par rapport aux cordes verticales de la surface i\ il faudra imaginer une suite* de plans parallèles entre eux et au plan vertical de projection , tels que Y, Y', Y", etc. lesquels couperont la surface 2" et respectivement suivant des courbes X, X^ X", etc.;

et ^ue prenant les milieux des cordes parallèles à l'axe de la surface 2, et tracées dans les plans des diverses courbes X , X', X", etc. , on aura successivement les courbes a, a\ a\ etc. lesquelles courbes définiront la surface diamétrale 9f.

Ainsi, dans le cas qui nous occupe, la surface diamétrale d de 2 est une surlace de révolution définie par sa courbe méridienne M et son axe de révolution qui n'est autre que celui de 2 et la surface diamétrale d' de 2" est définie par une suite de sections planes a, a\ </'.... etc. parallèles entre elles et au plan vertical deprofection.

Les deux surfaces diamétrales d et d" étant complètement définies, ainsi qu'on vient de le dire , il faut construire leur courbe d'intersection y, en d'autres termes il faut construire par points les projections y" et y de la courbe y.

Pour trouver l'intersection de deux surfaces, l'une de révolution et l'autre définie, par une suite de sections planes et parallèles, il faut absolument considérer la surface de révolution comme étant définie aussi par une suite de sections planes et parallèles^ les plans des sections faites dans la surface de révolution ayant même direction que ceux des sections feites dans la seconde surface.

Il vant donc mieux considérer tout de suite la surfece diamétrale S comme définie de la même manière que la surface if.

Dès lors, on coupera les deux surfaces 2 et 2^ par une suite de plans verticaux pwallèles entre eux et au plan vertical de projection, savoir : Y, \\

Y"j etc., lesquels couperont la surface 2, et respectivement suivant des

courbes parallèles entre elks, savoir : E, E', E'\ etc. et aussi la surface 2'

suivant des courbes pardièles entre elles, savoir : X, X", X"', etc.

On prendra les milieax des cordet wrtiailes pour chacane de cet oonrbet* on aura donc :

La courbe e, diamètre de E.

— e' — E', etc.

D'après tout ce qui précède , ii faudra ;

1"" Construire les traces verticales V et V des deux cylindres 2 et 2' ;

2*" Construire les courbes P et P' lieux des milieux des cordes des courbes V et V", ces cordes étant perpendiculaires à la ligne de terre;

3*" Construire la courbe y intersection des deux cylindres diamétraux ayant respectivement pour traces verticales les courbes P et P^

Et la courbe 7^ coupera la courbe C* en des points qui seront ou des nœuds ou des points de rebroussemenl.

Il n'y aura évidemment ni nœuds ni points de rebroussement , si les deux courl)es '/ et C^ ne se coupent pas.

Examinons maintenant comment nous pourrons reconnaître si les points communs entre les courbes 7^ et C* sont des nœud» ou des points de rebroitsseineni.

Nous chercherons les deux courbes intersection des deux cylindres 1 et 2' par le cylindre K qui projette horizontalement la courbe y.

Désignons par U Tintersection du cylindre 2 par le cylindre K, et par IJ' Tinterseciion des deux cylindres 2' et K.

1"" Les deux courbes U et M' se couperont en des points qui seront deux à deux, ou trois à trois, ou quatre à quatre, etc., sur des perpendiculaires au plan horizontal.

Ces points d'intersection se projetteront sur le plan horizontal et suivant des nœuds ou des points multiples double ^ triple, quadruple ^ etc., ainsi nommés parce que les deux, ou trois , ou quatre branches de la courbe C^ qui passent par chacun d'eux, ont chacune et en chacun de ces points une tangente distincte.

2"" Les deux courbes U et U' se toucheront en un certain nombre de points, mais pour chacun de ces points de contact la tangente commune aux deux courbes U et U^ sera verticale.

La projection horizontale de chacun de ces points de contact donnera iK>ur Cy un point de rebroussemem.

y II pourra arriver que pour un point de contact des deux courbes U et U' les deux cylindres 2 et 2' aient même plan tangent, plan qui dès lors serait perpendiculaire au plan horizontal ; dans ce cas le point de rebroussement serait changé sur la courbe C^ en un point multiple ^tmp/e, ainsi nommé parce que les branches de la courbe C^qui passeraient par ce point auraient en ce point même tangente.

Remarque. D'après ce qui vient d'être exposé ci-dessus (2^ et d""), on voit que les

courbes C et y peuvent se couper ou non ; mais l'on voit aussi que les points en

lesquels la courbe C (intersection des deux cylindrejs 2 et 2', est coupée par la

courbe y intersection des deu^ cylindres diaioiétraux 9 et d') se projettent toujours

sur C* en des points multiples simples si les cylindres 2 et 2,' ont en chacun de ces

points un plan tangent commun , pu ej) des points de mbroussement si les deux

d'un cône du second degré et d^un cylindre du second degré, ne pourra jamais présenter trois nceuds doubles ou trois points de rebroussement ou deux nœuds sbnples.

Nomenclature des coniques planes du qualrièine et du troisième degré.

La discussion précédente n'est pas sans intérêt , car elle trouve son application lorsque Ton veut faire la nomenclature des coniques planes du quatrième et du troisième degré , désignant ainsi la projection de la courbe intersection do deux cônes du second degré , courbe qui est une courbe du quatrième ou du troisième degré. Suivant les diverses positions que les deux cônes peuvent affecter l'un par rapporta l'autre dans Tespace, cette projection peut présenter toutes les formes diverses que peut affecter la conique plane du quatrième et du troisième degré.

Nous pourrons donc, d'après ce qui précède, affirmer qu'une conique plane du quatrième degré peut présenter et ne peut présenter dans son cours que :

V Deux points multiples doubles; 2^ Deux points de rebroussement ;

3"" Un point multiple double et un point de rebroussement ; i*" Un point multiple double et un point multiple simple; S"" Un point multiple simple et un point de rebroussement; 6"" Un point multiple double;

V Un point multiple simple ; 8* Un point de rebroussement.

Si nous nous rappelons que la courbe intersection de deux cônes du second degré peut être composée de plusieurs branches offrant chacune Tune des trois formes suivantes, ou 1* une branche fermée dite ellipiiquej ou S"" une branche infinie dite parabolique et sans asymptote, ou 3"* une branche infinie dite hyperbo-- Uque et ayant une asymptote; et si Ton remarque en construisant l'épure de la branche hyperbolique que si l'on prend sur cette branche un point divisant en deux arcs infinis la branche hyperbolique, ces deux arcs ont pour asymptote commune Tasymptote construite, nous voyons de suite que la courbe intersection de deux cônes du second degré peut être composée ainsi qu'il suit :

i"* De quatre branches hyperboliques ;

2* De deux branches hyperboliques et d'une branche parabolique ;

3* De deux branches paraboliques ;

^"^ D'une branche parabolique et d'une branche elliptique;

5* De deux branches hyperbolique et d'une branche elliptique;

6^ De deux branches elliptiques;

7"* D'une seule branche elliptique.

Mais dans chacun de ces sept cas , la courbe d'intersection des doux concs

Si-^ enfin , on remarque qu'une courbe de l'espace peut être telle quo pour un de ses points (celui pour lequel la tangente n'est pas verticale ) le plan osculav&ur peut être vertical; on voit que la projection horizontale de celte courbe présentera un point pour lequel le rayon de courbure sera infini , ce point pourrait être, V un point dHnflexion ébuble^ ou T un point méplat.

Pour compléter la nomenclature graphique des coniques planes du quatrième degré, il faudrait donc rechercher si un semblable point peut exister sur la projection de la courbe intersection de deux cônes , et combien cette courbe de l'espace peut en présenter lorsque les deux cônes sont du second degré et enfrn voir si un pareil point peut coexister avec les divers points singuliers dont nous avons parlé «plus haut.

Par ce qui' précède, on voit donc que, quoique le travail doive être long, la géométrie descriptive permet de donner la nomenclature graphique et complète des coniques planes du quatrième degré , celte nomenclature étant fondée sur des différences essentielles de forme; la collection des tracés de toutes les coniques planes du quatrième degré ne serait pas, je crois , sans intérêt pour la géométrie des courbes.

Examinons et discutons maintenant tes deux questions posées ci-dessus.

Première question. Les sept combinaisons que Ton peut faire entre les branches elliptiques, hyperboliques et paraboliques, peuvent-elles coexister avec les huit combinaisons qui peuvent avoir lieu entre les trois points singuliers , nœud double , nœud simple et point de rebroussement ?

Pour résoudre cette question , concevons la droite y interseclion des deux plans diamétraux i et d^, construits par rapport aux cordes verticales ; concevons le plan K mené par la droite y et perpendiculairement au plan horizontal.

Imaginons enfin les deux sections coniques U et V suivant lesquelles le plao K coupe les deux cônes du second degré.

Nous pourrons toujours représenter les deux cônes en imaginant hors du plan K deux {loints S et S', lesquels seront respectivement les sommets des cônes ayant les courbes U et U' pour directrices ou bases ou traces sur le plan K.

Les deux cônes (S,U) et (S\ U') se couperont suivant une courbe C dont la projection C^sur tout plan P perpendiculaire au plan Ksera du quatrième degré.

Rappelons-nous que pour que la projection C^ sur le plan P affecte dans son cours les divers points singuliers, nœuds et pointe^ de rebroussement j il fout que les deux courbes U et U' se coupent : 1* en quatre points ou en deux points situés deux à deux sur une peppendiculaire au plan P, ou T se touehent en deux points ou en utt seul point pour chacun desquels la tangente soit perpendiculaire au* plan P, ou 3^ se coupent en deux points et se touchent en un poini, tels que la

tangente au point de contact soit perpendiculaire au plan P et parallèle à la droite qu^unit les deux points d'intersection.

Et rappelons-nous encore que si nous prenons le milieu des cordes de la courbe U ainsi que les milieux des cordes de la courbe l}\ ces cordes étant pour Tune et Tautre courbes dirigées perpendiculairement au plan P, ces points milieux seront sur une seule et même droite ^ qui ne sera autre que la droite y.

Supposons que les deux courbes U et U' sont deux ellipses; imaginons la droite qui unit les sommets S et S' des deux cônes donnés; et désignons par p le point en lequel cette droite perce le plan P ; concevons que le cône (S^^ D') reste fixe et que le cône (S , U) se meuve parallèlement à lui-même , son sommet parcourant la droite (S, S^ qui unit les deux sommets S et S' jusqu'à ce que le sommet mobile S se superpose sur le sommet fixe S' ; et désignons par V" la courbe-section du cône mobile ( en la position où les sommets S et S' sont superposés) par le plan K.

Les deux courbes U' et U" seront semblables, et semblablement placées par rapport au point p qui sera leur pôle de similitude*

Les deux courbes U' et U'" seront donc deux ellipses.

Comment U' et U'' pourront-elles se comporter Tune par rapport à l'autre, en vertu des positions respectives des courbes U et U' ?

l"" Si les deux courbes M et H' se coupent en quatre points , les deux courbes U' et U'' pourront :

V Se couper en quatre points;

2^ Se couper en deux points et se toucher en un point.;

S'' Se couper en deux peints ;

A"" Se toucher en un point ;

5"" N'avoir aucun point commun ;

6"" Se toucher en deux points*

Les deux courbes U' et V ne pourront^as avoir un seul point d^intersection ; par conséquent la courbe du quatrième degré ne pourra , dans aucun cas y être composée d'une branche hyperbolique et d'une branche eUipiique.

Ainsi, avec deux noeuds doubles ^ on a sept courbes distinctes.

2"" Si les deux courbes U et li' se coupent en deux points et se touclient en un points les deux courbes V et U^^ présenteront les mêmes positions que celles indiquées ci-dessus, n^ i.

Ainsi, avec un nœud double et un point de rebroussement, on aura sept courbes distinctes.

3"" Si les deux courbes V et 13' se coupent en deux points et se touchent en un point , le

poiot p pourra être placé sur la UDgeole verlicale au point de coDlacl des deux courbes U et U'; dans ce cas , le polat de rebroussement devient ud nœud simple.

Pour cette positioD particulière du point p, les deux courbes U' et U" peuvent affecter les positions indiquées ci -dessus, n" i et d' 3.

Ainsi , avec un nœud double et un nœud simple la courbe du quatrième degré ne ]>eut pas être composée d'une branche hyperbolique et d'une branche explique; on aura donc sept courbes distinctes.

4° Si tes deux courbes V et\}' se coupent en deux points, les deux courbes U' et U" pourront présenter les mêmes relations de position que celles indiquées dans les numéros précédents; ainsi, on aura encore $ept courbes distinctes.

Pour tous les autres cas, on ferait les mêmes remarques.

Ainsi, l'on peut affirmer que la conique plane du quatrième degré peut tou' jours présenter l'un des huit cas pour les points singuliers , naud double , nœud simple et point de rebroutsement, avec l'une quelconque des six combinaisons que l'on peut faire entre les branches hyperboliques, paraboliques et elliptiques, on aura donc huit fois sept courbes , ou cinquante six courbes présentant des points singuliers tels que nœud double, nœud simple et poijit de rebroussemenc et sept courbes ne présentant aucun de ces points remarquables, et dès lors en lout soixante-trois courbes distinctes.

Maintenant , examinons et discutons les cas où une des asymptotes de la courbe intersection des deux cdnes du second degré sera perpendiculaire au plan horizontal P.

Ot> sait que tout plan parallèle à une génératrice du cûne du second degré coupe ce cône suivant une courbe qui est ou une parabole ou une lufperbole; on sait aussi que si la génératrice du cône n'est pas parallèle à une ligne de plus grande pente du plan sécant , la section est une hyperbole, et que si celte génératrice est parallèle ù la ligne de plus grande pente du plan sécant, la section est une parabole.

Si donc nous concevons deux génératrices , l'une G du cdne (S , U) et l'autre G, du c«)ne(S',U') telles qu'elles soient parallèles entre elles et de plus perpendiculaires au plan horizontal P, le plan K qui coupe les deux cônes suivant les courbes U et U' étant vertical , les deux génératrices G et G, seront parallèles au plan K.

Dès lors, le plan K coupera le cône (S, U) suivant une bifperboleou xïne parabole, et ce même plan K coupera le cône (S', U') suivant une ht/j^rbole ou une parabole.

On peut toujours concevoir que le plan K coupe les deux cônes suivant des hyperboles, car on peut toujours, sans changer la base des deux cônes, faire varier de position dans l'espace les sommets des deux cônes pour que cela ait4ieu.

Ainsi , admettons que les deux courbes U et U' seront des hyperboles.

Mais lorsqu'un plan esi parallèle à deux génératrices d'un cane du second degré, la courbe hyperbole de section a ses asymptotes parallèles aux deux génératrices.

Par conséquent, les deux courbes U et V auront une asymptote commune qui sera verticale et parallèle à le fois aux deux généralrices G du cdne (S, U) et G, du cône (S', U').

Or : 1* deux liyperiioles qui ont une asymptote commune ne peuvent jamais se

On peut fecilement résoudre la question par la considération suivante:

Imaginons deux sections coniques L et V situées dané jun plan vertical ; on peut toujours concevoir que ces deux courbes auront un contact du second ordre en un point a;; on pourra toujours aussi concevoir que ces deux courbes sont respectivement les bases de deux cônes, l'un (S, L) ayant son sommet en un point S de l'espace et l'autre (S", L^ ayant son sommet en un autre point S' de Tespace.

Il est bien évident que les deux cônes (S , L) et (S', L') se couperont suivant une courbe 1 du quatrième degré qui passera par le point x^ et que cette courbe 1 aura en ce point x un contact du second ordre soit avec la courbe L, soit avec la courbe L'.

Par conséquent, la projection 1^, sur le plan horizontal, de la courbe I aura pour le point o^ un rayon de courbure infini.

La conique plane du quatrième degré peut donc, dans certains cas, présenter un point pour lequel le rayon de courbure est infini.

Cela dit :

On pourra toujours placer les sommet S et ^ dans l'espace de manière à ce que les deux cônes se coupent : V

i"* Suivant quatre branches hyperboliques;

2"^ Suivant deux branches hyperboliques et une branche parabolique ;

3"* Suivant deux branches hyperboliques et une branche elliptique;

i!^ Suivant deux branches paraboliques ;

5^ Suivant une branche parabolique et une branche elliptique;

6* Suivant deux branches elliptiques.

On ne pourra pas avoir une seule branche elliptique ou courbe d'arrachement y parce que, de quelque manière que Ton coupe ces deux cônes ^ dans Je cas particulier qui nous occupe en ce moment, par un plan, les deux sections ne pourront s'envelopper^ et dès lors le contact du second ordre ne pourrait exister.

On aura donc^encojce six nouvelles Qourhes du quatrième degré.

Ainsi^ on trouve soixante-douze courbes du quatrième degré ou coniques planes.

Je n'ai pu encore parvenir à démontrer si le point ponr lequel le rayon de courbure est infini pouvait coexister avec les points singuliers dont l'existence a été reconnue, savoir : nœud double, noeud simple , point de rebroussement.

Hais j'ai pu démontrer que lorsqu'il existe un point pour lequel le rayon de courbure est infini , il ne peut pas exister de point pour lequel Je rayon de courbure soit nul.

Et en effet : les deux courbes L et L' situées dans un plan vertical et ayant au

sur dêd droites différentes , lorsque ces cinq points ne sont pds en ligne droite trois à trois.

Or /le contact du second ordre établit que la courbe X' a trois points successifs et infiniment voisins , communs a\ec la courbe U"; par ces trois points (non en ligne droite ) et les deux points p et </, on peut donc toujours concevoir une section conique plane X".

Or, par deux courbes du second degré qui ont une corde -commune , on peut toujours faire passer deux cônes du second degré , nous pourrons donc toujours envelopper les deux courbes U et €' par un cône 1 et les deux courbes X et X' par un cône l'..

Et comme nous pourrons toujours nous arranger pour que les points x et x soient placés , le premier sur la courbe U et le deuxième sur la courbe U' de telle manière que la tangente en a; à U ne soit pas parallèle à la tangente en x à 13', il est évident que les deux cônes 2 et 2' n'auront pas une génératrice commune ; par conséquent, ils se couperont suivant une courbe 1 passant par les points x et od,

La conique plane du quatrième degré peut donc présenter dans son cours deux points pour lesquels le rayon de courbure soit infini ; et cette courbe ne pourra en présenter davantage, parce que deux sections coniques qui ont une corde commune ou une tangente commune déterminent un cône du second degré, et suffisent pour le déterminer.

Ainsi, on aurait encore de nouvelles formes de la conique plane du quatrième degré, qu'il faudrait ajouter aux soixante-dix-huit formes précédemment trouvées.

Je n'ai pu , dans le cas de deux points pour lesquels le rayon de courbure est infini, déterminer le nombre des formes que pourrait présenter la conique plane du quatrième degré.

La démonstration précédente pouvant ne pas paraître rigoureuse, et donner lieu dès lors à des objections , je crois devoir exposer la démonstration suivante , contre laquelle aucune objection ne peut être élevée.

Concevons dans un plan R une section conique U; construisons en un pointa; de la courbe U la sedion conique X ayant avec U et en ce point x un contact du second ordre.

Construisons en un autre point %j de la courbe U une seconde section conique Y ayant en ce point i/ un contact du second ordre avec cette même courbe U.

Comme l'on peut, pour un point d'une courbe du second degré, construire une infinité d'ellipses ou d'byperboles osculatrices du second ordre de cette courbe proposée, on pourra toujours se procurer deux courbes X et Y ffelles qu'elles se coupent en deux points ;» et 9.

deux points pour lesquels la tangente se trouve avoir un contact du second ordre avec la courbe.

Peut-être parviendrai-je plus tard à résoudre toutes les questions et à compléter ainsi la nomenclature graphique des coniques planes du quatrième degrés

Toutefois , je dois faire remarquer que la nomenclature fournie par les considérations géométriques qui sont propres à la géométrie descriptive me parait devoir être préférée à celle donnée par les considérations analyliqites ; et en effet , qu'est-ce qui peut mieux caractériser les différences essentielles qui distinguent plusieurs courbes de la même famille, ou , en d'autres termes^ représentées par une équation du même degré, si ce n'est les variétés essentielles que peut présenter la forme de la courbe? Et qu'est-ce qui modifie la forme ? Les points singuliers, sans aucun doute.

De plus, combien il serait difficile d'effectuer les tracés des diverses coniques planes du quatrième degré d'après leurs équations; tandis que la géométrie descriptive fournit un moyen simple de les construire , puisque pour avoir chacune d'elles il suffit de construire la projection horizontale de l'intersection de deux cônes ayant pour bases des sections coniques , et qu'il sera toujours facile , en vertu de ce que nous avons dit précédemment , de déterminer les données de l'épure pour chaque cas.

Aussi, la géométrie descriptive me parait -elle pouvoir permettre un jour d'exécuter avec quelque facilité une monographie complète, non^seulement des coniques planes du quatrième degré, mais même de toutes les courbes du quatrième degré;, car les coniques planes ne forment qu'une classe, puisque l'équation générale des courbes du quatrième degré renferme quatorze constantes arbitraires, et que l'équation de la conique plane du quatrième degré ne renferme que huit constantes arbitraires.

On peut, par des considérations géométriques analogues à celles qui précèdent, parvenir à déterminer la nomenclature des coniques planes du troisième degré qui sont représentées par l'équation du quatrième degré renfermant huit cotir stantes arbitraires lorsque cette équation peut être décomposée en deux facteurs , l'un du troisième degré et l'autre du premier degré*

Et en effet , on peut , dans ce cas , concevoir deux cônes ayant une génératrice commune G ; ces deux cônes se couperont alors suivant la droite G et une courbe I qui sera du troisième degré.

Les deux bases B et B' des deux cônes (S, B) et (S', B') donnés auront donc dans ce cas un point commun m , lequel sera la trace horizontale de la généra^ trice G , laquelle contiendra les deux sommets S et S".

devront nécessairement se couper en un second point (/tel que les points a et o^ soient situés sur une verticale; dès lors il pourra arriver :

i^^Que U et V n'aient en commun que les points a et a", et alors la conique plane du troisième degré n'offrira aucun point singulier;

2"" Que U et U^se coupent en deux nouveaux points nécessairement situés sur une verticale, et alors la conique plane du troisième degré ofiiîra un nœud double;

3"" Que U et U' se touchent en un point pour lequel la tangente sera nécessaire* ment verticale , et alors la conique plane du troisième degré, offrira un point de rebroussement.

Ainsi, dans le premier cas j on peut avoir neuf courbes différentes; on ne pourra pas avoir de nœud simpley parce que la courbe-intersection des deux cônes devrait offrir un point muUiple pour que le nœud simple pût exister : ce qui est évidemment impossible.

Dans le deuxième cas, les courbes U et tl' se toucheront en un point b qui sera celui en lequel la droite G est coupée par le plan R ; et forcément ces deux courbes se toucheront en un autre point b' situé avec 6 sur une verticale.

Dans ce cas, les courbes du troisième degré n'ont aucun point singulier ; mais Ton peut toujours concevoir que le plan tangent commun aux deux cônes le long de la droite G soit vertical, alors les deux courbes U et U^ auront une tangente commune et verticale ^ dès lors les points b et b' se réuniront en un seul point.

Dès lors , lés deux courbes U et U' pourront :

l"" Se couper en deux points , et alors la conique plane du troisième degré offrira un nœud double;

2^ Se toucher en un second point pour lequel la tangente sera verticale, et alors la conique plane du troisième degré offrira un point de rebrcussement.

La conique plane du troisième d^ré ne pourra présenter de nmud simple, par la même raison indiquée ci dessus.

Ainsi, dans le deuxième cas , on peut avoir neuf courbes différentes.-

On pourra toujours s'arranger pour que l'une des asymptotes soit verticale , dès lors on aura quatre courbes du troisième degré (à branches hyperboliques) offrant chacune un point pour lequel le rayon de courbure est nul ; et ce point exclut tout autre point singulier.

Ainsi, nous trouvons vingt-deux courbes différentes pouf les coniques planes du troisième degré.

Examinons maintenant si la conique plane du troisième degré peut avoir un point tel que son rayon de courbure soit infini.

On sait que lorsque deux cônes du second degré se touchent ou se coupent suivant une génératrice G, laquelle droite contient dès lors les sommets S et &'

de ces cônes , la courbe I intersection des deux surfaces passe par les sommets S et S' et ne coupe la droite G qu'en ces deux points S et S'.

On sait encore que , lorsque deux cônes du second degré ont deux plans tangenls communs, ils se coupent suivant deux courbes planes qui sont alors deux sections

coniques.

Si donc on conçoit un plan vertical R sur lequel on trâice deux sections coniques A et K' ayant en un point a; un contact du second ordre, et si par ce point x on conçoit une droite G et sur cette droite G deux points S et S', ces points pourront être considérés comme les sommets de deux cônes (S, A) et (S^, A% lesquels seront en contact tout le long de la génératrice G et la courbe I intersection de ces dieux cônes passera par les points S et S' et ne coupera la droite G qu'en ces seuls points S et S\

De plus, en établissant que les deux courbes A et A' ont un contact du second ordre, c'est établir que les deux cônes ont deux plans tangents communs (ces plans tangents étant successifs et infiniment voisins ) se coupant suivant la droite G.

Donc les deux cônes ainsi construits se couperont suivant deux sections coniques, et Tune de ces sections coniques ne sera autre que la droite G, laquelle jouera dans ce cas le rôle de parabole*

La conique plane du troisième degré ne peut donc présenter dans son cours de point pour lequel le rayon de courbure soit infini.

Les diverses recherches précédentes, louchant les formes que peut présenter laconique plane du quatrième et du troisième degré, sont très-incomplétes ; mais, cependant, tout incomplètes qu'elles sont, elles doivent nous faire concevoir l'espérance de voir un jour la géométrie descriptive nous fournir une collection d'épurés représentant le tracé exact de toutes les formes variées que peut présenter la conique plane du quatrième et du troisième degré.

Et de plus , ces recherches ne nous donnent-elles pas le droit de dire que la géométrie descriptive n'est pas seulement tin ori donnant les moyens de représenter rigoureusement les formes de l'espace limité par des surfaces, mais qu'elle est vraiment une science y puisqu'elle permet de découvrir certaines propriétés géo* métriques dont les surfaces et les courbes jouissent, en vertu de leur forme et de leur mode de génération ; et de découvrir aussi toutes les propriétés géométriques relatives aux relations de positions qui peuvent exister entre certains groupes de points, de courbes ou de surfaces.

Aiissi^ je crois quel'on peut dire que la géwnétriedescriptwej ou la langue ^apAt^ur, est éminemment apte à exprimer et à faire découvrir les relations de position ^ et que tanalyscj ou la langue algébrique^ est éminemmentapte à exprimer et à faire découvrir les relations métriques.

Dans ce qui précède, nous avons, en ne nous servant que des méthodes de la géométrie descriptive^ essayé d^établir une nomenclature des coniques du quatrième et du troisième degré) en fondant cette nomenclature sur les points singuliers (\\xe les diverses courbes composant cette famille pouvaient présenter.

Nous allons maintenant démontrer que la projection, sur un plan, de la courbe à double courbure, intersection de deux surface du second degré, est toujours une conique plane du quatrième degré, et, dans certains cas, une conique plane du troisième degré.

Théorème 1. Par huii points situés trois à trois dans des plans différents j on peut toujours faire passer deux surfaces coniques du second degré; ou, en d'autres termes : par les huit points- sommets d'un octogone gauche {dont y par conséquent, trois côtés consécutifs ne sont pas situés dans un même plan ), on peut toujours faire passer deux cônes du second degré.

Démonstration. Par huit points situés trois à trois dans des plans différents^ on peut faire passer une infinité de surfaces du second ordre, puisque neuf points situés trois à trois dans des plans différents déterminent toujours une surface du second ordre , et qu'ils n'en déterminent qu'une seule.

Parmi toutes ces surfaces du second ordre déterminées par huit points de l'espace , ne peut-il pas exister un cône du second degré ?

Et si un cône du second degré peut toujours passer par huit points situés dans l'espace et placés trois à trois dans des plans différents, n'en peut-il passer qu'un seul ou plusieurs ?

Telles sont les questions que je me propose de résoudre.

Désignant par a, 6, y, les coordonnées du sommet d'un cône, on sait que l'équation générale des surfaces coniques est de la forme :

L'équation d'un cône du second degré sera dènc

(^)+K^M^)(S)+<£;Më)+''- »

Ou, après avoir Ordonné :

1/'+ Ao;' + Ez'4- ftry — 26

y-2ka

X — Ca

+ Cx« — Ba

— Bê