Dyz — Dy

— Cy

2Ey

+ 2Cay • +2Dy6

Or, si l'on se donne les coordonnées

des huit points de l'espace , et que Ton substitue les valeurs de ces coordonnées à la place de (x, y, z) dans l'équation (i), on obtiendra huit équations, dans lesquelles entreront les cinq coefficients A , B , C , D , E et les trois coordonnées (a y Sy y) du sommet du cône t^ déterminer.

On aura donc autant d'équations que de quantités à déterminer.

Ainsi : on peut toujours faire passer par huit points de l'espace situés trois à trois dans des plans différents une surface œnique du second ordre.

Cela démontré , Féquation ;

î^+ Ax'+ E«*+ Byz 4- My + Na; + P«+ K=0

-f-Ca»

représentera toujours un cône , si Ton pose les quatre équations de condition suivantes :

M4-26 +B«+ Dy =

N-f-2Aa+BS+ Cy =

P +- C« + D6 + 2Ey=0

K= ff H-Aa"+ Ey'+ 2BaS + 2Cflty + 2D6y

Or, si Ton se donne les coordonnées de huit points de l'espace, on pourra toujours substituer les valeurs de ces coordonnées à la place de {x , y, z) dans l'équation (2) et déterminer les quantités A, B, C, D, E, M, N, P, au nombre de huit , en fonctions des coordonnées des huit points et de la quantité K.

Ensuite , dans les équations (3) , on pourra remplacer les coefficients A , B, C, . . . par les valeurs trouvées.

Or, remarquons que K entre au premier degré daûs TéquatioD (2); par conséquent, les valeiirs des coefficients A , B , G seront de la forme :

A=VK-|-U, B=V'K + ll', C = V"K+U^....

V et U, V'et U', V et U'V--- étant des fonctions dans lesquelles il n'entre que les coordonnées des huit points de l'espace.

En un mot» A, B, G,.--* seront des fonctions linéaires de K.

Les trois premières équations (3) pourront donc être écrites de la manière suivante :

26+ a (V K4- U' ) + y (V'''K+ \]"') + (M.K-f- MJ =0) 2«(V K-|-U) + 6(V'K-hU' )+y(V''K+U")+fN,K4-N.)=^0[ (i)

Les équations (4) serviront à déterminer a , 6 , y en fonctions de K.

Et l'on trouvera pour a 5 6 , y, des fonctions du quatrième degré en K.

Substituant donc ces valeurs de «, g^ y dans la dernière équation (3), on trouvera une équation du huitième degré en K.

Or, cette équation ne pourra avoir qu'un nombre pair de racines réelles ; et comme nous avons vu ci-dessus que par hnit points de Tespacei on pouvait toujours faire passer une surface conique , nous savons que cette équation du huitième degré en K doit admettre une racine réelle, et par conséquent au moins deux racines réelles.

Ainsi : par huit points de l'espace situés trois à trois dans des plans différents 9 on peut toujours faire passer deux surfaces coniques du second degré ; ce qu'il fallait démontrer.

Nous venons de démontrer que par les huit sommets d'un octogone gauche on pouvait toujours faire passer deux cônes du second degré ; il resterait à démontrer qu'on ne peut faire passer que deux cônes.

L'équation du huitième degré en K nous montra qu'il ne peut exister trois cônes passant par la courbe qui unit les huit points de l'espace, car K ne peut avoir seulement trois valeurs réelles; il faut, si K a trois valeurs réelles, qu'il en ait nécessairement quatre. Il foudrait donc discuter l'équation du huitième degré en K, et prouver qu'elle n'admet que deux lacines réelles. Or, les calculs seraient trop longs

L'équation en K précédemment donnée ne peut donc noub seivir pour résoudre, d'une manière prompte et simple, la question posée ci-dessus. Dés iors^ nous allons recourir aux considérations géométriques.

Désignons par G la courbe qui unit les huit points de l'espace ; par S le sommet

du premier cône qui enveloppe la courbe G ; par S' le sommet du deuxième cdne

qui enveloppe aussi la même courbe G.

Par la droite SS' des sommets, faisons passer un plan sécant P.

Ge plan P coupera le cône (S^ G) suivant deux génératrices G et G'; ce même

pian coupera le cône (S", G) suivant deux génératrices H et H^

Ges quatre génératrices se couperont deux à deux en quatre points , qui seront

ceux en lesquels la courbe G est coupée par le plan P, et Ton voit évidemment,

par ce qui précède, qu'un plan ne peut couper la courbe^intersection de deux

surfaces du second ordre en plus de quatre points.

Désignons par m le point intersection de G et H

m' 6 et H'

m" G' et H

m"' 6' et H'

Désignons par T le plan tangent au cône (S, G) suivant G.

T' suivant G'

6 le plan tangent au cône (S', G) suivant H

e' suivant H'

Les deux plans T et T' se couperont suivant une droite X.

Les deux plans @ et 6' se couperont suivant une droite Y .

Les plans T et T couperont la droite Y respectivement aux points y et y .

Les plans 6 et 6' couperont la droite X respectivement aux points x et x'.

Les plans tangents T, T', 8 et 0' se couperont deux à deux suivant les tangents

à la courbe G aux divers points m , m', vii\ m"\

Désignons par t la tangente au point m

t lit

La droite. . . t passera par les points m , x , y

^ fn\ Xt y'

I" fn'\af,y

Or, par t et ^, par T et t'" passent les plans tangents du système 9 au cône