SS G
Or, par i et ^% par i' et r"'' passent les plans tangents du système T ao cône
Pour qu'il y ait un troisième cône , il faudrait que Ton pût faire passer deux
plans, Tun par f" et ^'j l'autre par t et tf'\
SV»H« s".
Or, cela est impossible , puisque i et t\ t et i" ne se couperont deux à deux qu'autant que les droites X et Y se couperont, et alors c' et f se couperont en un seul et même point qui ne sera autre que celui en lequel X et Y se couperont.
Or X et Y ne se couperont qu*autant que la courbe G ne sera autre que deux courbes planes A et B, en d'autres termes, qu'autant que la courbe G ne sera autre que deux sections coniques.
Et alors le point de rencontre des droites X et Y sera situé sur la droite intersection des plans des courbes A et B.
Ge n'est donc que lorsque les deux cônes (S, G; et (S', G) se couperont suivant deux courbes planes A et B que leur courbe d'intersection pourra être enveloppée par trois cônes du troisième degré; et dans ce cas, le troisième cône ne sera autre que les deux plans des couii>es A et B, dont se compose la courbe G.
Ainsi, la courbe géométrique et à double courbure qui passe par les huit sommets d'un octogone gauche, est située et ne peut être située que sur deux cônes du second degré.
Démontrons maintenant que la courbe-intersection de deux surfaces du second ordre, n'est autre que la courbe géométrique passant par les huit sommets d'un octogone gauche.
On sait que par huit points de l'espace l'on peut faire passer une infinité de surfaces du second ordre , et que par neuf points de Tespace on ne peut faire passer qu'une seule surface du second ordre.
Désignons par 2 la surface du second ordre qui passe par neuf points donnés; par S et S' les deux cônes du second ordre qui passent par huit de ces neuf points.
Désignons par G la courbe-intersection des cônes S et S'; par B l'intersection de 2 et S ; et par B' l'intersection de 2 et S'.
Je dis que les trois courbes à double courbure G , B et B' ne sont qu'une seule et même courbe.
Et en effet :
L'intersection de deux surfaces du second degré est une courbe du quatrième
degré.
Si deux surfiices se coupent suivant une courbe du quatrième degré , et que Tune des surfaces soit du second degré, il faut nécessairement que la seconde surlace soit du second degré.
Or si le cône S et la surface 2 se coupent suivant une courbe B différente de la courbe G , comme les courbes B et G passent toutes deux par les huit mêmes points, il s'ensuivrait que l'on pourrait faire passer par huit points de l'espace plus de deux surfaces coniques du second degré. Donc , etc.
Puisque d'après ce qui a été dit ci-dessus : t'intersecûon de deux surfaces du
second ordre peut êoujours ëlre enveloppée par deux cônes du second degrés l'on n'a qu'à etaminer les propriétés dont jouit la projection de la courba-intersection de deux cônes du second degré, pour connaître toutes les propriétés dont peut jouir la projection de ia courbe-intersection de deux surfaces du second ordre \ c'est ce qui nous a engagé à donner à la courbe géométrique intersection de deux su rfaces du second ordre le nom de conique à double courbure du quatrièmedegré, et par suite le nom de conique plane du quatrième degré à la projection sur un plan de la conique à double courbure.
Mais il peut arriver que l'un des cônes envelopant la courbe-intersection de deux surfaces du second ordre devienne un cylindre ; il peut arriver aussi que les deux cônes enveloppant cette courbe deviennent l'un et l'autre un cylindre du second degré.
On doit donc, lorsque l'on considère la projection sur un plan delà courbeintersection de deux cônes du second degrés comme représentant toutes les coniques planes du quatrième degré, supposer les cas où l"* le sommet de chacun des deux cônes, ou 2^ le sommet d'un seul des deux cônes serait transporté a l'infini.
Par conséquent, la projection (sur un plan) de la courbe-intersection : 1<^ de deux cônes du second degré , 2"" d'un cône et d'un cylindre du second degré, 3*^ de deux cylindres du second degré , représentera toutes les coniques planes du quatrième degré.
Lorsque Ton combinera : i"" un cône et un cylindre, et 2^ deux cylindres ( du second degré) entre eux , on devra remarquer qu'il existe trois cylindres du second degré :
l"" Le cylindre ayant pour section droite une ellipse ou un cercle;
2'' Le cylindre ayant pour section droite une parabole;
3"" Le cylindre ayant pour section droite une hyperbole.
Huit points de l'espace déterminant une courbe géométrique à double courbure, huit points situés sur un plan détermineront toujours unecourbegéométrique.
Cette courbe plane sera du quatrième degré* Si l'on prend donc l'équation générale des courbes du quatrième degré , et qui est :
a:* ■+- Dy^ + Hx^y 4- Ao;' + Ey^ + Kxy^ +• Rt' . h Fy' H- La: Y + Cx -hCy -hMx'y } =0
+ îiy^x
+ Pxy
On pourra donner à aix, des quatorze coeffîcienta» de& valeurs arbitraires et déterminer les huit autres par la condition que la courbe passe par les huit points donnés.
On obtiendra donc la valeur de ces huit coefiicîents en fonction des, Goordonaées des huit points et des valeurs attribuées auxsix coefficients choisis arbitrairement.
L'équation à laquelle on parviendra sera du quatrième degré et représentera une conique plane du quatrième degré^ par cette méthode , on n'obtient qu'une courbe particulière^ mais par la méthode suivante on peut obtenir l'équation générale des coniques planes du quatrième degré, en considérant les équations de deux cônes ayant pour base sur le plan 09 , l'un la courbe ayant pour équation : y^-hmx^+nx + 9=50, l'autre ayant pour équation : y'-Hac'H-tey+«c+cty-|-/=0.
Ces deux cônes auront pour équation ; le premier
(y—Sy + m ix—»y + »(«—«) (»— y) + q {z—yY = le deuxième
(X, 6, 7 étant les coordonnées du sommet du premier cône; a^ S>9 y étant les coordonnées du sommet du second oôae. En éliminant % entre ces deux équations, on aura l'équation générale des coniques planes du quatrième degré , renfermant les quatorze constantes
On pourra attribuer à six de ces quatorze constantes des valeurs arbitraires; les huit autres seront déterminées en fonction des coordonnées des huit points et des valeurs attribuées aux six constantes arbitrairement choisies , et l'on obtiendrait l'équation d'une conique plane particulière.
Mais on pourra simplifier l'équation de la conique plane du quatrième degré , en supposant que l'origine des coordonnées se trouve sur l'une dés bases des deux cônes, ainsi on pourra , sans affecter la généralité de l'équation de la conique plane, supposer que ^ =0.
Dès lors, l'élimination de z sera facile, et l'on aura pour l'équation générale des coniques planes ;du quatrième degré :
+1. SteT^ ^]"®
Celte équation no renferme plus que treize constantes arbitraires , on pourra donc donner des valeurs à six d'entre elles, et les sept autres seront déterminées en fonction de ces valeurs et des coordonnées des huit points par lesquels la conique plane particulière doit passer.
On aura donc une équation de condition qui devra être satisfaite. Cette équation de condition sera celle qui établit que l'origine des coordonnées est située sur la section conique, base de l'un des deux cônes.
En général , on pourrait choisir les coordonnées des deux sommets pour les six constantes auxquelles on attribue des valeurs arbitraires.
On sera conduit , dans ce cas , à calculer les coefficients m , n , a , 6 , c , d, /, qui , étant connus , permettront de construire les bases des deux cdnes ; et par suite les deux cônes seront connus de forme et de position.
Il est donc évident qu'au moyen de la géométrie descriptive^ on pourra toujours construire la conique plane du quatrième degré assujettie à passer par huit points donnés.
Théorème 2. Par cinq points de l'espace et une droite, on peut toujours faire passer deux cônes du second degré.
En effet : l'équation du cône du second degré dont les coordonnées du sommet sont représentées par (a, 6, y) est, ainsi que nous l'avons vu ci-dessus, page 478.
y- + Kx^+Ez' +
— 2Aa « —
hxy—26
y — 2Aa
Cx%—Ba
Dyz ~ Dy
— Cy
Ga
Représentons par («', y, *'), («", y", %"), («„ y,, *,) les coordonnées des
cinq points de l'espace , et par
: — as=3m(s — y)J
les équations de la droite donnée dans l'espace.
La droite devra être tout entière sur la surCsice conique , il faudra donc que les équations (1) et (2) aient lieu en même temps.
En tirant des équations (2) les^ valeurs de a? et y et les substituant dans l'équation (i), on aura une équation de la forme :
Xi'+Y«+Z=20
qui devra être satisfaite, quel que soit z; on aura donc, les équations de condition :
