X:=0, Y=îO,Z

Or, X, Y, Z sont des fonctions des coefficients A, B, C, D, E, et des coordonnées a , 6 , 7 du sommet du cône.

En remplaçant x, y, z dans l'équation (i) par les valeurs des coordonnées des cinq points de l'espace, on obtiendra cinq équations qui , avec les trois équations de condition (8), serviront à déterminer les huit indéterminées A , B, G , D , E, a , 6,7. Ainsi, on aura autant d'équations que d'indéterminées -, on doit donc conclure : qa*il passe toujours un cône du seconde degré , par une droite et par cinq points de l'espace.

Cela posé :

Qui nous empêche de prendre sur la droite de l'espace trois points a, 6, c, lesquels, avec les cinq points primitivement considérés, formeront un groupe de huit points.

Désignant par {x\ y z'), (x"\ y\ z")j (x"', y"\ %'") les coordonnées de ces trois poiVits a, 6, c, on devra avoir les équations de condition suivante :

rr"— a?"'

En remplaçant x^ y,% dans l'équation (i) par les valeurs des coordonnées des cinq premiers points et des points 6 et c, et ensuite par z' et les valeurs de y' et de x' tirées des équations {Â), on obtiendra toujours une équation du huitième degré en K telle que celle que nous avons obtenue précédemment lorsque nous avons donné la démonstratipn du théorème 1.

Et comme nous venons- de démontrer ci-dessus que, par une droite ou par trois points en ligne droite et par cinq autres points de l'espace , on pouvait toujours feire passer un ctoe du second degré, cette équation du huitième degré en K admet nécessairement une valeur réelle pour K, et comme l'équation est de degré pair , elle admet au moins deux valeurs réelles pour K.

Ainsi, par une droUe et par cinq points de l'espace, ou par huH painis de l'espace dont trois sont en ligne droite, on peut toujours faire passer deux cônes du second degré.

Par conséquent , par sept points de l'espace on peut toujours faire passer deux cônes du second degré ayant une génératrice droite commune.

Ainsi , réquation du troisième degré provenant ée Téquation du quatrième degré (représentant une conique plane du quatrième degré ) divisible en deux facteurs, Tun du troisième et l'autre du premier degré , représente toutes les coniques planes du troisième degré.

Ainsi^ la projection, sur un plan, de la courbe-intersection de deux cônes du second degré ayant une génératrice droite commune peut représenter toutes les coniques planes du troisième degré.

Pour les coniques planes du troisième degré ^ nous ferons la même remarque que pour les coniques planes du quatrième degré.

Ainsi, les deux cônes ayant une génératrice commune peuvent être tels que le sommet de Tun d'eux se transporte à l'infini^ auquel cas on aurait à considérer la projection , sur un plan , de la courbe-intersection d'un cône et d'un cylindre du second degré ayant une génératrice commune.

On ne pourra supposer que les deux cônes se transforment en deux cylindres ayant une génératrice commune , car on n'obtiendrait que des droites pour Fintersection.

Ainsi , pour avoir la nomenclature complète des coniques planes du troisii^n^ degré , il faudra considérer la projection sur un plan de l'intersection :

l"* De deux cônes du second degré ayant une génératrice commune;

2*" D'un cône et d'un cylindre du second degréayant une génératrice commune, et dans ce dernier cas combiner, avec un cône du second degré, le cylindre ayant pour section droite : V une ellipse ou un cercle , 2^ une parabole , 3^ une hyperbole.

§ ni.

Le problème suivant : Con$truc(im du point en tet^uel la courbe de contact dum surface quelconque et d'une surface dévehppabifi a pqu^ tangen(e fa gén^rairice de la surface développable passant par ce point , pQMt facilement être jrôsolu au moyen des surfaces diamétrales de la surface courbe et de la ^urfioe . développablç données, St ce problème sera une nouvelle application de ce qui a été exposé au commencement 4u § I" de ce troisième chapitre.

Hachette est le premier qui se soit occupé de ce problème , et qui en ait donné

la solution : il remarqua que ce point particulier ne pouvait exister qu'autant que la surface courbe avait , en ce point, des rayons de courbure dirigés en sens inverse , et dès lors il démontra que Thyperboloîde à une nappe et de révolution, osculateur en ce point et à la surface courbe, devait avoir une de ses deux gêné ratrices droites qui se croisaient en ce point, ou V passant par le sommet du cône langent à la surface courbe, ou 2*" parallèle aux génératrices du cylindre tangent à la surface courbe, ou 3* tangente à Tarète de rebroussement de la surface développable tangente à la surface courbe. '

Et ensuite, au moyen d'une courbe d'erreur, il parvint à construire le point cherché, dahs le cas où la surface courbe étant une surface de révolution , était enveloppée : l"* par un cône , ou 2** par un cylindre.

Depuis, j'ai repris le problème, et j'y ai ajouté quelques considérations nouvelles qui ont été publiées dans le Bulletin de la Sodété pMlomatique (^) , mais dans la note que j'ai donnée à la Société philomatique , j'ai employé les surfaces osculatrices du second degré ainsi que l'avait fait Hagaette.

Aujourd'hui , je vais donner une construction nouvelle de ce point remarquable; cette construction est moins élégante , sans aucun doute , sous le point de vue de géométrie théoriqucy que celle due à Hachette ; mais elle a un grand avantage, celui de pouvoir s'appliquer à toute surface courbe, et quelle que soit là surface enveloppe et tangente à la surface courbe donnée; car, il faut bien le reconnaître, la solution graphique du problème n'est possible qu'autant que l'on connaît les deux rayon6 de courbure maximum et minimum, pour un point quelconque de la surface courbe proposée lorsqu'on veut employer le mode de solution proposé par Hachette. Or, il n'est pas facile de déterminer la longueur de ces rayons de courbure pour toutes les surfaces, et pour n'en citer qu'un exemple, pour une surface définie par une suite de sections parallèles. Si cette méthode s'applique avec avantage aux surfaces de révolution ( et remarquons que Hachette ne Ta appliqué graphiquement qu'à ce genre de surface) , c'est que l'on connaît immédiatement, pour un point quelconque d'une telle surface, les rayons de courbure maximum et minimum.

La solution donnée par Hachette n'est donc pas générale sous le point de vue graphique j quoique complète sous le point de vue géométrique ou théorique.

Et il me sera permis de rappeler ici , car c'est vraiment ici le lieu , que trèssouvent les solutions géométriques les plus élégantes devaient être modifiées pour les rendre graphi^fues; que souvent aussi elle» devaient être abandonnées pour y

(*) Fofez le Bolletm de la Société philomatique. Séance du 8 décembre 1832.

substituer des solutions moins élégantes sous le point de vue théorique » mais se prêtant avec facilité aux constructions graphique».

I. Omsiruciion du point p,de la courbe de contact C, d'un cylindre P et d'une surface quelconque 1 , pour lequel la tangente à la courbe de contact C n'est auire qui une génératrice du cylindre enveloppe P.

D'après ce qui a été dit ( § I*') , si Ton coupe le cylindre P par un plan Q perpendiculaire à ses génératrices droites^ le point p cherché se projettera orthogonalement sur le plan Q en un point p\ en lequel la section droite B du cylindre P par le plan Q offrira un point de rebroussement.

On peut toujours considérer la courbe C comme étant Tintersection de deux surfaces, 2 qui est connu et 2' que Ton peut imaginer; dès lors, le problème proposé n'est autre qu'un de ceux résolus dans le § I*^

Si donc nous construisons la surface diamétrale i de la surface donnée 1 par rapport aux cordes de cette surface parallèles aux génératrices droites du cylindre enveloppe P, la surface. 3 coupera la surface 2 suivant une courbe y, laquelle coupera la courbe C au point p cherché.

H. Construction du point p y de la courbe de contact C, d'un cône P et d'une surface quelconque 1 , pour lequel la tangente à la courbe de contact G n'est auire qu'une gêné" ratrice droite du cône enveloppe P.

Désignons par 6 , G, ^ G., G, , les diverses génératrices du cône , et par p,

P' ' Ps9 P»9 les points en lesquels ces génératrices rencontrent re^ectivement

la courbe G de contact.

Nous pourrons toujours projeter orthogonalement la courbe C en C' sur un plan arbitraire R.

Nous pourrons toujours obtenir les projections G', G/, G/ G,' sur le plan R

des génératrices G , G. , G,, G,.... nous pourrons toujours construire une quelconque des surfaces cylindriques diamétrales du cylindre K projetant la courbe C en la courbe C

Désignons par d la courbe diamétrale de C^ par rapport aux cordes parallèles à G'; par a' celle obtenue par rapport aux cordes parallèles à G/, et ainsi de suite.

Les cylindres ayant pour section droite respective les courbes 3, i', 3"

ne seront autres que ceux qui partagent en deux parties égales les cordes du cylindre K parallèles ou à la génératrice G, ou à la génératrice G, , ou à la génératrice G. et qui coupent le cône P suivant des courbes D, D', D"...., lesquelles courbes couperont les génératrices G, G,, G. respectivement en des

poinls qy q,9 q^f 9j.... et tous ces points formeront une courbe p qui coupera la courbe C au point p demandé.

lit. GoMtruction du point p, de la courbe de amtaci C, d'une twrface dé^loppable P ei d'tme surface quelconque 1, pour lequel la tangente à la courbe de caniact C n'est autre qu'une génératrice droite de la surface enveloppe et développable P.

Il est évident que la construction sera identiquement la même que celle donnée au n"" II ci-dessus.

§ IV

Utilité et emploi des courbes d'erreur.

Problètne i. Lorsque Ton a construit les projections horizontale et verticale de la courbe-intersection de deux surfaces, il est souvent, et presque toujours, nécessaire de donner les limites de chacune des courbes-projections, afin que la courbe de l'espace soit le plus rigoureusement représentée que faire se peut.

Il n'est donc pas sans intérêt, sous le point de vue graphique, de connaître une méthode générale et pratique qui puisse nous permettre, dans tous les cas , de construire à Tune des courbes de projection la tangente parallèle à une droite donnée; ou, en d'autres termes, de construire à la courbe-projection une tangente faisant avec la ligne de terre un angle donné.

Désignons par C la courbe- intersection des deux surfaces 2 et 2'; par C* sa projection horizontale, et par C sa projection verticale.

Désignons par B une droite de direction arbitraire et tracée sur le plan horizontal.

On demande de construire à la courbe C^ une tangente parallèle â B.

Pour résoudre ce problème, rappelons-nous que si Ton donne un point x de la courbe G, la tangente en ce point x s'obtient par l'intersection de deux plans tangents au point x , l'un T construit pour la surface 1 , l'autre T' construit pour la sur&ee 2".

Dès lors considérant une suite de points a^, a:'\ x"", de la courbe C\ nous

pourrons construire en chacun de ces points les tangentes G^, G"'^, Q'"" pour

obtenir les pieds sur le plan horizontal , ou ,' en d'autres termes , les traces horizontales des tangentes G, G', B",.... on déterminera les traces horizontales des couples de plans T et T' tangenu en «, T, et T/ tangents en x , etc.; les points a , a , a" en lesquels se coupent deux à deux ces diverses traces horizontales , seront les traces horizontales des tangentes 0, G", G"',.... , etc.

Gela posé :

Menons par le pointa une droite B, parallèle i B; abaissons du point x^ une perpendiculaire sur B. et la coupant au point b.

Faisons l|i même construction pour chacun des points a\ a". . « . nous obtiendrons une suite de points 6, b'j b^\.... qui détermineront une courbe d laquelle coupera la courbe G^ en des points pour chacun desquels la tangente sera parallèle à B.

Au lieu d'abaisser du pointât une perpendiculaire sur B,, on aurait pu mener par a/" une perpendiculaire sur 9\ laquelle aurait coupée B, en un point d et tous les points obtenus* de la même manière, et ainsi dj d\ (t\.... auraient déterminé une courbe y qui aurait coupé la courbe G* en des points pour chacun desquels la tangente aurait été parallèle à B.

On aurait encore pu, du point a comme centre ei avec un rayon égal à xf'a, décrire un cercle, lequel aurait coupé la droite B. en un point ft, et tous les points

homologues k^ k'j k'\ auraient déterminé une courbe fx» laquelle aurait

coupé la courbe C^ en des points pour ohacun desquels la tangente aurait été parallèle à B.

Il est évident que les trois courbes d'erreur d, y, /i , doivent toutes se couper en des mêmes points situés sur G*.

De sorte que les trois constructions peuvent réciproquement se servir de vérification.

Gelte construction graphique n'est pas très -longue, car Ton pteut, au moyen de réquerre et de la règle , fixer d'une manière grossière la position du point qui, situé sur G\ donnerait une tangente parallèle à B, et prendre avant et après ce point un certain nombre de points x , x\ x"j x\.... de la courbe G*, et exécuter pour chacun d'eux les constructions précédentes ; Tune quelconque des trois courbes d'erreur 3, y, fx, déterminera d'une manière, sinon rigoureuse sous le point de vue géométrique o\} théorique j du moins d'une manière très^suflBsamment approchée pour la pratique , et par conséquent rigoureuse sous le point de vue graphique y le point de la courbe G* pour lequel la tangente sera parallèle à la droite B donnée de direction sur le plan horizontal de projection.

La construction que nous venons de donner est générale , mais elle peut être modifiée suivant les cas particuliers.

Prenons pour exemple deux surfaces de révolution dont les axes se coupent, et proposons-nous de trouver la tangente à la projection verticale de la courbeintersection de ces deux surfaces, cette tangente étant assujettie à être perpendiculaire à la ligne de terre.

(Nous n'avons pas besoin d'exécuter l'épure, tous ceux qui ont suivi un cours de géométrie descriptive connaissent cette épure. )

Et d*abord, faisons remarquer que lorsque l'on a une surface de révoluiioa, la normale en un point de cette surface se détermine facilement sans que Ton soit obligé de construire le plan tangent en ce point ; pour toutes les autres surfaces , la construction de la tangente exige la connaissance des traces du plan langent.

Aussi , ne peut-*oa employer » pour construire la tangente en un point de l'intersection de deux surfaces, la méthode dite : du plan des deux normales qu'autant que les deux surfaces sont l'une et l'autre de révolution.

Dans le cas proposé, la projection yerticale de la tangente en un point x de la courbe G intersection des deux surfaces de révolution 2 et 2' sera donc , ainsi qu'on le sait, perpendiculaire à la projection verticale D"" d'une verticale D du plan des deux normales N pour 2 et N^ pour 2\ les deux normales N et N' se croisant au point x.

Gela posé :

Il est évident que puisque la tangente à la courbe G^ doit être perpendiculaire à la ligne de terre, il faut que la droite D^ soit aussi perpendiculaire à la ligne de terre.

Dès lors , nous prendrons plusieurs points sur la courbe Gravant et après le point qui , déterminé grossièrement au moyen de la règle et de l'équerre^ serait celui pour lequel la tangente parait (à rœil) devoir être perpendiculaire à la ligne de terre.

Désignons ces points par x, x'y x\ x"^ • . • . ; par chacun d'eux nous menions des cordes perpendiculaires à la projection verticale iC de l'axe A de la surface 2 (lequel axe A est supposé vertical).

Ges cordes couperont la courbe méridienne M de la sut iace 2 en des points m, m\ m\ m"j.... ; en ces points nous mènerons des normales à la courbe M,

lesquelles couperont Taxe A en 4es points o, o\ q\ o"\ ; par les pomtso, o\

o'\ o'" nous mènerons une suite L , L", V\ L"\ ... de droites parallèles à la

ligne de terre*

Par les mêmes points Xf x\ x'\ x"\.... nous mènerons une suite de cordes perpendiculaires à la projection verticale A'^ de l'axe A' de la surface 2^ lesquelles couperont la courbe méridienne M' de cette surface en des points n, n\ n\ n"\.... En ces divers points, nous construirons les normales de la oourbe M', lesquelles couperont Taxe A' en des points q, q\ q\ q"\....] nous joindrons par des droites les poipts et g, o et q\ o" et q'\... etc.

Puis , du point o comme centre et avec oq pour rayon , nous décrirops un arc de cercle qui coupera la droite L en un peint b. Faisant la même construction pour chacun des points o\ o", a'", etc. , les divers points ♦ , b\ l/\ déter-

mineiroiit une courbe i laquelle coupera la projection verticale k!' de l'axe k' en un point a^

Menant par a' une parallèle à la ligne de terre , elle coupera la projection verticale de l'axe A en un point a.

Menant par le point a une normale à M, on aura le point y^ en lequel cette normale coupe la courbe M ; menant par le point €^ une normale à M' , on aura le point y\ en lequel cette normale coupe la courbe M\

Enfin, menant par y une perpendiculaire sur k'' et par y une perpendiculaire sur k'^t ces deux droites se couperont en un point % situé sur C% et pour ce point la tangente à C sera perpendiculaire à la ligne de terre.

Problème 2. Imaginons trois surfaces 2, 2', if' se coupant deux à deux, et désignons par C la courbe-intersection de 2 et 2" et par C la courbe-intersection de 2' et 2".

On propose de déterminer le plan tangent aux courbes G et G' qui sera perpendiculaire au plan horizontal.

Il est évident que la question n'est autre que celle-ci : construire k Cet C"" une tangente commune, laquelle sera la trace horizontale du plan demandé.

Pour résoudre le problème énoncé en les derniers termes ci-dessus , il faudra , au moyen de Téquerre et de la règle , fixer d'une manière grossière la tangente commune demandée.

On aura donc un point x sur G et un point y sur C pour points de contact demandés , mais très-grossièrement déterminés l'un et l'autre.

Pour obtenir une position de chacun de ces points plus approximative^ on fera la construction suivante :

On prendra sur la courbe G\ avant et après le point a^, un certain nombre de points x\ x'\ a:'"*, ar\ etc.

Pour chacun des points x\ x'\ x"\.... de la courbe G, on construira rigou* reusement les tangentes G', 9'", ^'"j etc., et l'on obtiendra dès lors les tangentes fl'*, e"*, 0"'*, etc. à la courbe C*.

On construira ensuite, par les méthodes exposées ci-dessus lorsque nous avons résolu \^ problème \t les tangentes i'\ i''\ i("^y.... à G'* qui seront respectivement parallèles aux tangentes S'*, 0"*, 0'"*....

On obtiendra donc les points y *, y"*, y"^,.... en lesquels les droites l'*, i"*, l'"*. .. sont tangentes à la courbe G^.

On pourra dès lorsabaisser, des points y'^, y"^j y"^j etc., des droites respectivement perpendiculaires aux droites 0"^, 9''\ 6'"\ . . . lesquelles seront coupées par ces perpendiculaires ou normales en des points z', z"', z"\ etc. Tous ces points détermineront une courbe d'erreur d, laquelle coupera la courbe G'* au point/.

Si des points «'*, a:'^, a;"'*,.--- on avait abaissé des perpendiculaires sur les droites ^*, ^'*, i"'*..,. ces perpendiculaires auraient coupé respectivement les droites sur lesquelles elles étaient jiormales en des points p\ j/'j f>'\.. lesquels auraient donné une courbe d'erreur y qui aurait coupé la courbe G^ au point od'.

Les points yf^eia^ ainsi déterminés seront ceux pour lesquels la droite qui les unit sera une tangente commune aux deux courbes C^ et C'^.

Problème 3. Proposons-nous de construire sur une suriace donnée 1 :

V Les courbes (fégak teinte réelle;

2'^ Les courbes d'égal^ teinte apparente.

Première question. Lorsqu'une surface 2 est éclairée : V par un point lumineux /, ou 2"* par un feisceau de rayons parallèles et lumineux L, on désigne par courbe d'égale teinte réelle la courbe tracée sur la surface 2 et telle que pour chacifn de ses points a; le plan tancent T à la surface 2 fait un angle a constant : l"" aveC la droite qui unit chacun des points x et le point / , ou 2"" avec la droite qui passant par chacun des points x est parallèle à la direction L du faisceau lumineux.

Si l'on désigne par I l'intensité d'un rayon lumineux , on sait que (I . sin a) exprimera l'intensité de la lumière sur la facette de la surface 2 faisant un angle oc avec le rayon lumineux qui vient frapper obliquement cette facette.

Il faudra donc, pour construire une courbe d'égale teinte réelle, chercher sur la surface 2 tous les points x pour lesquels le plan tangent à la surface 2 fait avec le rayon lumineux un même angle a.

Pour cela , imaginons sur la courbe 2 une suite de courbes d, d^, d^",.... ; pour chacun des points de la courbe i concevons les normales à la surface 2 ; ces diverses normales formeront une surface réglée qui sera en général une surface gauche et que je désigne par A; nous aurons donc une suite de surfaces réglées correspondant aux courbes d , d', S>'

Ainsi, A pour 3, A' pour d^, ùl" pour d^'.... etc.

Si maintenant je considère la courbe à: V comme la base d'un cône C ayant le point / pour sommet^ ou 2"" comme la base d'un cylindre B ayant ses génératrices parallèles à la droite L , il faudra chercher laquelle des génératrices droites du cône C ou du cylindre B fait avec Tune des génératrices droites de la surface A un angle 6 complément de l'angle a donné. Il faudra .donc prendre sur la courbe S une suite de points «, x\ x'\ x",..:, construire les génératrices G, G^ G'V... du cône C ou du cylindre B passant par ces points; construire les normales N, N', N",.... de la surface 2 et. passant par ces points (ces normales N, N', N",.-. seront les génératrices de la surface A).;

Gela posé:

l"" Dans le cas d'un point lumineux / ou du cône G, on mènera dans le plan

G, N) et par le point / une droite H faisant avec N l'angle 6 ; les droites N et H se couperont en un point a.

Dans le plan {G\ N") et par le point /, on mènera une droite H'faisantafecM' fe même angle 6 ; les droites N' et H' se couperont en un point a\ et ainsi de suite.

Les divers points a, o',.... détermineront une courbe X , laquelle coupera la courbe 9 en un point y pour lequel Tinte nsité de la lumière sera représentée par (I . sin a).

On fera de même pour les courbes d", ^'^ etc. , et Ton obtiendra ainsi une suite de ^ints y sur d; y' sur J";.... qui pourront être unis par .une courbey; cette courbe y sera sur la surface 2 une courbe d'égale teinte réelle pour laquelle chacun de ses points sera frappé par un rayon lumineux émané du point / sous Tangle a.

Faisant varier l'angle a et par suite l'angle 6, on constrifira les diverses courbes d'égales teintes réelles y, y, y'....

2"* Dans le cas d'un faisceau lumineux L ou du cylindre B.

On mènera les divers plans (G, N)^ (G', N'), (G", N"), . . , . ; à partir du point x , on portera sur G une longueur B, et on aura un point % ; à partir du point x', on portera sur G' la mèiûe longueur P^ et on aura un point %\ et ainsi de suite.

Les divers points z, z\ %\ . . . détermineront une courbe d. tracée sur le cylindre B et équidistante de la courbe d.

( d. ne sera donc autre que la courbe 9 transportée parallèlement à elle-même sur le cylindre B à une distance P. )

Par les points Xj x\ x",.... on mènera des droites V, \\ y'\.... situées respectivement dans les plans (G, N), (G", N')^ {G"j N'%.... et faisant respectivement un angle 6 (complément de l'angle donné a) avec les normales N, N", N"....

On portera sur ces droites V, y\ V...., et à partir respectivement des points X, x\ x',....^ la longueur constante P; on obtiendra ainsi une suite de points v^ v\ v\ .... qui détermineront une courbe R .

Les deux courbes R et 3. se couperont en un point r par lequel passera la génératrice du .cylindre B venant frapper Ja surface 2 sous l'angle donné a et en un point y situé sur la courbe d.

On fera la même construction et en employant le même angle S pour les courbes 3fj ^\ i'\....\ on aura dès lors une suite de points y, y\ y" y*** qui détermineront une courbe 7, laquelle sera sur la surface 2 une courbe d'égale teinte réelle, dont tousles points seront frappés sous le même angle a par le faisceau lumineux L.

En faisant varier l'angle « et par suite l'angle 6, on obtiendra d'autres courbes d'égale teinte réelle y, y", 7'", . . . .

Deuxième quesiian. L'œil peut être situé à l'infini sur une droite A donnée de direetion ou en un point o de l'espace. *

V Si par les divers points de la courbe d'égale teinte réelle y on mène des parallèles à A, on formera un cylindre B, ;

2"" Si par les divers points de la courbe d'égale teinte réelle 7, on mène des droites passant par le point Oj on formera un cône C, ayant le point pour sommet*

Tentes les 'génératrices droites du cylindre B. et du cône C. ne feront pas avec la surface 1 le même angle.

Si l'on considère les diverses courbes d'égale teinte réelle y\ 7", y"\ . . . • , on aura une suite de cylindres B/,B/', B/",..- ou une suite de cônes C/, C/', C/",

Gela posé :

Si l'on considère deux droites X et Y se croisant en un point m d'une surface 2, et faisant avec le plan T tangent en m à cette surface 2 y la première un angle a et la seconde un angle a,.

Si Ton mène par le point m deux plans , l'un P perpendiculaire à X et Fautre Q perpendiculaire à Y ; et si l'on considère sur le plan P une surface élémentaire E, sa projection oblique sur le plan T (cette projection étant faite par des droites parallèles à X), sera ^ale à (E . sin a :=£'); si l'on projette la surface E' sur le plan Q (cette projection étant orthogonale, et par conséquent faite par des droites parallèles à Y), on obtiendra une surface E'' qui sera égale à (E\ sin a,) , ou égale à (E. sin a sin a,).

Lorsqu'il s'agit de rayon lumineux , l'intensité I peut être représentée par un carré dont le côté est égal à l'unité linéaire; dès lors, l'intensité du rayon lumineux peut être prise pour unité, et (1 . sin a sin «.) exprimera l'intensité de la lumière observée, sur la facette de la surfiice 2 située en m , par un observateur dont l'œil serait placé en un point arbitraire de la droite Y ; mais les lignes qui représentent les sinus devront être prises dans un;cercle ayant pour rayon l'unité linéaire choisie pour représenter le côté du carré L

Dès lors, puisque tous les points-facettes'^ de la courbe y ont une teinte égale et exprimée par : I sin a ; que tous les points-facettes de la courbe y ont une teinte égale et exprimée par : 1 sin a , et ainsi de suite ; il faudra chercher sur ces courbesy, /, /'»•••• les points pour lesquels on aura :

I sin a sin Oh =:r I sin a sin a/ = V

sma Sina« =^1

etc.

D'où Ton tirera :

r 1 sin a = — . -: — ' 1 sin s

sin oi s=: -^ . -. — .

1 sin a

Sin «/'—-=• . -7—7,

I sin a"

etc.

On obtiendra donc les angles «„ «/, a/',.... sous lesquels Tune des facettes de y ou de y', ou de y",,--- doit être frappée par une drqite Y, passant par un point o fixe ou parallèle à une droite. A, pour que toutes ces facettes, quoique réellement inégalement teintées , apparaissent à l'œil situé en o ou à l'infini sur la droite A comme étant également teintées.

Il sera facile, au moyen d'une construction géométrique siiQple, de trouver les angles a^ , «/, a/',...- ; et en effet :

On construira un cercle J d'un rayon arbitraire p , et l'on regardera ce rayon comme étant Tunité linéaire.

On prendra sur ce cercle un arc mesurant l'angle a; on construira l'angle a ; on

prendra une ligne plus petite que p, et qui soit égale à : ? . p (p et ç étant des nombres entiers ; et comme Test toujours plus petit que I, ç devra être toujours pris plus grand que p ; en un mot ^ sera toujours une fraction , alors l'intensité I de lumière sera représentée par p' et l'intensité V sera représentée par: f^ . p»l\ La droite qui est égale à ( sin a) et la droite qui est égale à : (-. p] étant placées à

angle droit, on construira un cercle J'qui, passant par leurs extrémités , soit tel que son centre se trouve situé aur la ligne qui est égale en longueur à : sin a, droite qui sera prolongée si la èonstruction l'exige.

^Ce cercle coupera la ligne qui est égale à : sin a (et sur son prolongement) en un point , et l'on aura alors une ligne qui sera égale à : sin a. ; ou , plus simplement, on construira une ligne qui soit troisième proportionnelle entre les

lignes (sin a ) et r^ p j et cette troisième proportionnelle sera la ligne (sin a, ).

Portant le double de cette ligne ( sin «. ) comme corde sur le cercle J , on aura en la moitié de l'arc soutendu, celui qui mesure l'angle «. cherché. On fera de même pour obtenir les angles «/, a/'.... Gela fait :

On concevra ou le cône C., dans le cas d'un point lumineux, ou le cylindre B.,

dans le cas d'un rayùn de lumière , ayant pour directrice la courbe d'égale teinte réelle 7;^on construira la surface Z formée par les normales menées à la surface l par les divers points de y. * ^

Et Ton cherchera parmi toutes les génératrice» du cône C. ou du cylindre B., celle qui fait avec l'une des génératrices droites de la surface normale Z un angle S. complémentaire de l'angle a, .

On obtiendra ainsi un point y, situé sur y.

On fera pour la courbe / la même chose.

Ainsi : l"" on construira la surface Z' formée par les normales à 2 et lesquelles passent respecti veulent par les divers points de la courbe /, et V on cherchera parmi les génératrices du cône G/ ou du cylindre B/ qui ont pour directrice la courbe y\ celle qui fait avec Tune des génératrices droites de la surface Z' un angle 6/ complémentaire de l'angle a/; et Ton obtiendra tin point y! situé sur y\ et ainsi de suite.

Les divers points y., y!^ y/'v* formeront une courbe y, qui sera -une conrbe

d'égale teinte apparente, et dont l'intensité sera représentée par : V=i ^ p'.

Pour avoir une autre courbe y/ d'égale teinte apparente , on supposera que :

Isina sîna,c=:î-^p'5=I/.

On construira j comme on Ta fait précédemment, les angles ûç, , olI^ol", et

ensuite on construira les points y,, y/, !//V--* ^^^ détermineront la courbe y,.

On obtiendra de même les courbes y, correspondant à : ^, p' et y^ correspondant

à : ^ p% et ainsi de suite.

La solution que l'on vient de donner est générale ; elle peut s'exécuter dans tous les cas ; elle est longue , il est vrai , mais enfin elle ne sera jamais en défaut.

Examinons si cette construction peut se simplifier, soit en vertu du. mode de génération de la surface 2, soit en vertu de certaines propriétés géométriques dont cette surface 1 jouira comme surface particulière.

Nous allons prendre plusieurs exemples , et démontrer queles simplifications ne peuvent exister que pour la construction de la courbe y, et non pour la construction de la courbe y^.

Premier exemple. Supposons que la surface 2 est une sphère.

Nous pourrons considérer la sphère 2 comme une surface de révolution ayant pour axe de rotation son diamètre F perpendiculaire au plan horizontal.

Nous pourrons prendre pour les courbes i, y, d^',...» lea divers cercles perpendiculaires à l'axe F.

Dès lors f toutes les normales , à la surface sphérique 1 j menées par les divers points d'un parallèle 3, formeront un cône de révolution ayant la droite F pour axe et le centre S de la sphère 1 pour sommet.

Si Ton suppose un point lumineux /, le cône (/, à) sera un cône oblique du second degré; il faudra chercher le point de d pour lequel la génératrice du cône ( /, 3) fait avec la génératrice du cône (S, 3) un angle donné a.

La méthode la plus courte sera d'employer une ccfurbe d'erreur^ ainsi que nous l'avons indiqué dans la solution générale.

Mais si l'on suppose un faisceau lumineux L , il faudra . chercher le point de i pour lequel la génératrice du cylindre (L , 3) fera avec la génératrice du cône (S^ 3) un angle donnée.

Dans ce cas , la méthode de la tourbe d'erreur peut être remplacée avec avantage par la construction suivante ;

On mènera par le centre S de la sphère 1 une droite F' parallèle au foisceau lumineux L ; on regardera F' comme l'axe d'un cône de révolution E dont le demi-angle au sommet S est égal i l'angle donné a; et l'on cherchera la section conique e, intersection de ce cône E par le plan du parallèle 3; 3 et e se couperont en des points qui appartiendront à la courbe y d'égale teinte réelle et dont la teinte en chacun de ses points sera exprimée par : I sin u.

On pourrait encore couper les cônes de révolution E et (S , 3) par la sphère 2 ; ie cône E serait coupé suivaùt suivant un cercle fx et le cône (S, 3) suivant le cercle 3; les deux cercles fi et 3 se couperont en deux points qui appartiendront à la courbe y.

Les courbes d'égale teinte réelle 7, y\ y"',.... étant déterminées sur la sphère 2 soit dans le cas d'un point lumineux l, soit dans le cas d'un faisceau lumineux L, cherchons les courbes d'égale teinte apparenteTy., y', y/^.... soit dans le cas ou l'œil du spectateur est situé en un point 0, soit lorsqu'il est placé à l'infini sur une droite donnée A.

Les normales à la sphère 2 menées par les divers points de la courbe y formeront un cône ayant son sommet au point S centre de la sphère.

Il faudra donc chercher sur y le pqint pour lequel la génératrice du cône (S , y) fait avec la génératrice du cône(o, y) un angle a, satisfaisant à la condition:

sma sma,= ~p\

Ce point s'obtiendra plus promptement par l'emploi d'une amrbe d'erreur que par toutes autres constructions. .

Ou bien il faudra chercher sur y le point pour lequel la génératrice du

cône ( S, y ) foit avec le cylindre ( A , y ) un angle «. satisfeisani à la condition :

sui « sin «,= — p .

Dans ce cas, on pourra employer ou une courbe d'erreur ou la construction suivante : par le point S on mènera une droite A' parallèle à A ; on regardera ia droite A^ comme Taxe d'un cône de révolution E'dont k demi angle au sommet est égal à Tangle a, et dont le sommet est en S ; et l'on cherchera les 'génératrices d'intersection des deux cônes (S, y) et E^, ces deux cônes ayant même sommet S.

Ces génératrices couperont y en des points qui appartiendront à la courbe d'égale teinte apparente y,. .

Or, pour chercher l'intersection des deux cônes (&, y) et E', il est évident.qu'il suffît de chercher l'intersecticîn du cône E' et de la courbe y; par conséquent, il faut chercher la projection verticale de la courbe l intersection du cône £' et du cylindre «projetant horizontalement la courbe y. E( comme Ton connaît les projections y'^ et y" de la courbe y ( car je suppose que le lecteur exécute les constructions graphiques à mesure qu'elles sont indiquées dans l'espace ) , on voit que Ton aura à construire les projections l^ et |^ de la courbe l , intersection du cône E' et du cylindre vertical ayant y* pour section droite et en même temps pour trace sur le plan horizontal.

( ^ ne sera évidemment autre que y*. )

Ayant construit Xy cette courbe coupera y"" en des points qui seront les projections verticales de points appartenant à la courbe y,.

A(ais bien considéré, n'est-il pas évident que la construction de la courbe d'erreng^ sera moins longue que la construction de la courbe 4^.

Deuxième exemple. Prenons pour second exemple une surface 2 de révolution , dont l'axe est perpendiculaire au plan horizontal.

Il n'y aura d'autre différence , dans le cas où Ton a une surface de révolution au lieu d'une sphère, que ceci, savoir : que la surface formée par les normales menées par les divers points de la courbe y , ne sera plus un cône, mais une surface gauche.

L'emploi des courbes d'erreur sera donc dans ce cas préférable à toute autre construction pour déterminer les points de la courbe y..

Troisième exempte. Prenons pour troisième exemple une surface .coiti^u^.

Nous pourrons prendre les diverses génératrices droites de la surface conique pour les courbes d, i', i'.,.

Des lors , la surface formée par les normales, menées par 1^ divers points de la génératrice d, sera un plan.

Il est bien évident que si la surface est éclairée par un point lumineux /, les diverses droites partant du point / pour aller s'appuyer sur la génératrice d , formeront un plan ; et ces diverses droites feront chacune un angle différent avec le plan tangent mené au cône le long de la génératrice 9.

Par conséquent , la courbe d*égale teinte réelle y sera une courbe dans le cas d'un point lumineux. ^

Mais si le cône est écjairé par un faisceau lumineux L^ alors toutes les droites parallèles à L feront un même angle avec le plan tangent mené le long de la génératrice d; par conséquent^ la courbe d'égale teinte réelle y sera une génératrice droite du cône donnée dans le cas d'un faisceau lumineux.

Par les^èmes raisons : lorsque l'œil du spectateur sera placé en un point o de

l'espace, les courbes d'égale teinte apparente y,, y/, y." seront des courbes,

que le cône sort éclairé par un point lumineux ou par un fai&ceau lumineux.

Par les ifièmes raisons : lorsque l'œil du spectateur sera placé i Tinfini sur

une droite A, lés courbes d'égale teinte apparente y,, y/, seront des courbes

dans le cas d'un point lumineux , et des génératrices droites du cône dans le cas d'un faisceau lumineux.

Les mêmes résultats existeront pour une surface cylindrique et pour une surface dévebppable générale.

D'ailleurs, lorsque y et y, seront des courbes , leur construction sera plus prompte par l'emploi des courbes d erreur que par toute autre construction, au moins pour la courbe y,.

Et quelle que soit la* surface 2, la construction des courbes d'égale teinte

apparente y,, y/, y/' sera toujours plus prompte par l'emploi des wurben

d'erreur y parce que la surface formée par les normales menées à cette surface 1

par les divers points des lignes y ou y ou y" (courbes d'égale teinte réelle),

sera toujours une surface gauche; lorsque ces lignes y, y\ y"... seront des courbes ; excepté dajis le cas où la surface 2 serait une sphère , auquel cas , la surface des normales sera un cône ayant son sommet au centre de la sphère.

Problème 4. ÊUml donnée une surface conique du deuxième degré par les projections s* et s^ de son sommet s , et par sa trace ou base B sur le plan horizontal , construire l'axe A de cette surface.

On sait qu'une surface conique du second ordre a toujours un axe A , appelant axe la droite qui, passant par le sommet, jouit de la propriété suivante, savoir : t

Que si par cette droite A on fait passer une série de plans P, P', P" ,

chacun de ces plans coupe le cône suivant deux génératrices , dont l'angle est divisé en deux parties égales par cette même droite A.

On sait aussi que Tangle des deux génératrices que Ton doit considérer dans ce cas est celui qui est formé par les parties des génératrices formant une même nappe de la surface conique.

Et Ton sait que si Ton considérait les parties des génératrices qui se trouvent appartenir à des nappes différentes, on aurait un plan qui, passant par le sommet, serait perpendiculaire' à l'axe A^ et serait un plan diamétral principal divisant en deux parties égales toutes les cordes parallèles à l'axe A.

Nous devons donc supposer que la courbe B est une ellipse ou une parabole , pour qiiela construction de Taxe A puisse s'exécuter.

Pour déterminer l'axe A, nous ferons la construction suivante :

Par le sommet S , nous mènerons une droite D arbitraire, mais telle qu'elle perce le plan horizontal en un point d , extérieur à la section conique B.

Par la droite D, nous mènerons une suite de plans R, R^, R^'....., chacun d'eux coupera la surface conique suivant deux génératrices droites ; nous diviserons l'angle des deux génératrices en deux parties égales par une droite qui percera le plan horizontal en un point x.

On obtiendra ainsi une sufte de points x qui détermineront une courbe X , laquelle coupera la courbe B aux points de contact des tangentes à cette même courbe B^ menées par le point d.

Par le sommet S , ^n mènera une seconde droite D, qui percera le plan horizontal en un point d, , extérieur à B.

Par D„ on fera passer une suite de plans Q , Q', Q" , et chacun d'eux coupera le cône suivant deux génératrices, la droite qui divisera leur angle en deux parties égales , percera le plan horizontal en un pointj^.

Tous les points y détermineront une courbe Y, qui coupera la courbe B en les points de contact des tangentes menées par le point d^ à cette courbé B.

Les deux courbes X et Y se couperont évidemment en un point o situé dans l'intérieur de la courbe B, et ces deux courbes X et Y se couperont toujours en un point , et en seul point intérieur à la courbe B.

Ce point o sera la trace horizontale d^ Taxe A cherché.

Les courbes X et Y peuvent servir à démontrer l'existence, de l'axe A dans les surfaces coniques du deuxième degré ; et par suite , l'existence de l'axe A étant démontrée, on peut reconnaître qu'un cône du second ordre peut toiqoursètre coupé par deux plans de direction opposée , suivant des cercles , ou , en d'autres termes, on peut démontrer l'exUience dei secikm$ ârcttlaireê dans le cône du deuxième degré.

Et en effet :

La coDstructioD des courbes d'erreur X et Y indique, d'une manière certaine, que fes arcs de ces courbes, compris dans l'intérieur de la' courbe B, se coupent toujours en un point , et en un seul point o.

Si Ton mène les deux droites od et od, , elles couperont la courbe B, la première en deux points, p et 9, et la seconde en deux points , p, et 9,.

La droite (oS) divisera en deux parties égales l'angle des droites (Sp) et {Sq)\ la même droite (oS) divisera aussi en deux parties égales l'angle des droites (Sp.) et (S9,), et cela est évident, en vertu du mode de construction des courbes X et Y.

Si l'on mène un plan Z perpendiculaire à la droite (oS), ce p)an coupera celte droite (oS) en un point o\ et les quatre génératrices (Sp) , (S9), (Sp,) , (Sf ,) , du cône, ea quatre points p,,f,, p/, 9/, lesquels forineront un parallélogramme dont les diagonales se croisent au point q.

Le plan Z coupera le cône (S, B) suivant une section conique B', qui passera par ces quatre point)»; cette section conique ne pourra évidemment être autre qu'une ellipse, parce que le plan Z coupe une seule nappe de la surface conique , et le centre de cette courbe B' ne sera autre que le point o\ puisque les points p., 9o p/9 9/9 ^^^ '^ sommets d'un parallélogramme inscrit.

Si donc Ton prend sur la courbe B^ un point /, et que par ce point r et le centre o on fasse passer une droite K'^ cette droite coupera la courbe B' en un second point r/, et la corde rV/ sera divisée en deux parties égales par le point 0'^

La droite (oo'S) divisera donc en deux parties égales Tangle des génératrices

(SrO et (Sr/).

Par conséquent , la droite (oS) n'est autre qu'un axe A par rapport à la surface conique proposée.

Ainsi se trouve démontrée l'existence de l'axe A pour les surfaces coniques du second degré.

Maintenant si l'on conçoit le grand axe A de l'ellipse B', tout plan passant par 'cel axe coupera le cône suivant une ellipse ayant pour axe cette droite R , Tautre axe R' étant dans un plan passant par le sommet S et par le petit axe de B'. Si donc du centre V^ avec un rayon , égale à la moitié de l'axe R , on coupe la génératrice passant* par rextrémilé dn petit axe de B', on obtiendra deux points , lesqueb, avec J'axe R, détermineront deux plans coupant le cône suivant deux cercles.

Par ce qm préoëde, on voit cpie les courbes d'erreur |)euveDt uon-seuleaieiiC être employées comme moyen de construction , mais encore, dans certains cas, comme mode de démonstration.

CHAPJTRE IV.

PROBLÈMES d'ombres DU GENI\^ DES ÉCLIPSES.

Problème i . Construire les ombres portées successivement par la lune sur la terre pendant les éclipses de soleil.

Soient données trois sphères {fig. 62) : S. du rayon R (soleil), T du rayon r (terre) , L du rayon p (lune) ; en unissant deux à deux les centres S , T et L de ces corps , on forme un triangle SML, dans lequel je suppose que l'on connaisse les deux côtés ST = D, et LT=A, et l'angle LTS=ia.

On pourra 9 dès lors, calculer, par les formules de la trigonométrie plane ^ le troisième côté SL=:c( et les deux angles LST = 6 et SLT = y.

Cela posé :

Je suppose que Ton enveloppe les deux sphères S et h par deux cônes ayant pour axecommun la droite SL et leurs sommets situés, l'un extérieur en Y, l'autre intérieur en V, et que Ton cherche la courbe-^interseclion du cône V, et ensuite du cône Y avec la sphère T (i).

Ces deux courbes se projetteront sur le plan du triangle STL suivant des arcs de sections coniques.

Si les trois corps S, T et L étaient à des distances assez petites les uns des autres, et si leurs rayons n'étaient pas très-différents de grandeur. entre eux, de manière que l'on pût tracer l'épure sur une feuille de papier, on emploierait avec avantage les méthodes graphiques de la géométrie descriptive.

Mais , dans le problème qui nous occupe , si les centres des trois corps sont trop éloignés les uns des autres pour que l'on puisse construire l'épure à une échelle assez grande pour permettre d'obtenir des résultats graphiques d'une approximation su£Bsante, et si, d'ailleurs, la différence qui existe entre les rayons

(1) Dërignant cliaeim des deux ctoes par la lettre de son sommer, ainsi que nous désignons «kacune des trois sphères par la lettre de son centre.

des trois corps est trës-considéraUe , les constructions graphiques seront impossibles.

Dès lors , on est conduit forcément à chercher ( lorsque ces cas se présenteront ) les équations des cônes V et Y y et d'en conclure les équations des 'sections coniques projections de leurs courbes* d'intersection avec la sphère T. Et ensuite , au moyen des équations de ces courbes , on pourra les tracer par points sur Ri sphère T.

Par cette méthode mixte , on est conduit à exécuter toutes les opérations graphiques sur une seule sphère; et dès lors , si toutefois les résultats de ces constructions n'ofTrent pas encore une approximation suffisante sous le point de vue astronomique j au moins les constructions graphiques devenant possibles, on peut les indiquer comme application (sinon utile, au moins de quelque intérêt) des méthodes graphiques de la géométrie descriptive.

Les deux triangles semblables SRV et LpY rectangles en R et p donnent :

Les deux triangles semblables SR'V et Lp'V rectangles en R' et p, donnent :

Calculons maintenant la tangente de l'angle que la droite YR fait avec la droite SL , on aura :

Ungt=:^ VR=|j^V/(P-(R-p)'

D'où

tangf =

donc

(., o..., = t<^ ,., «»=iî=tl"

On trouvera de même pour l'angle <f que la droite \'R' fait avec la droite SL :

Dou

Joignons le point V avec le point T, et supposons que la droite ST soit prise pour axe des x et le point T pour origine des coordonnées.

-Tl

iCS:

Dans le triangle SVT on eonnatt les deux côtés ST et S V et l'angle compris 6 , on pourra donc calculer l'angle VTS que je désigne par e ; et par suite obtenir les \aleurs des coordonnées rectangulaires du point V, lesquels seront :

/==TV.sine et x"==:TV.cos9

Et comme