ABC
y'(y'— y'T+îa^yly'— y'OCa/— ar")-fa:'(x'-a;'')'
+ Sy»-' { iaf—af')' cos* <p— (y'- y")* sin' ^ } - a^y" (y- —y") (a/ - x")\
+2a:x"{(y'-y7cos>-(x'-rTsin>}-ya/'(y'-y"){a^-ar"}) =0 (6) + y*" {(y— y")*sin'<p — (a/— a:")'co«>j
+ X'" {(a/-a/')'«n'<p-(y'— y")'oo8>}
-f-(y'V-r'o«r«)(y'— /){«'— jt")
Cette équation sera toujours celle d'une paraboie , puisque la condition B'— 4AG=0 se trouve satisfaite quelles que soient les valeurs des coordonnées yyXyy ,x .
On substituera dans Téquation (6) à la place de x, y\ a!\ y\ cos.^ ç, sin.'ç, leurs valeurs données par les équations (a, 6, c, rf, e,/), et l'on pourra construire par points la parabole représentée par cette équation finale :
Supposons maintenant {fig 63.) que le centre de la sphère L se meuve sur un cercle C ayant son centre en T, et dont le plan fait, avec un certain plan P fixe et passant par la droite ST, un angle connu A.
Sui^fions encore que le plan du cercle C coupe le plan fixe P suivant la
droite MN', et que Too connaièae Taagle fi que les droites NN' et ST font entre
elles.
Supposons enfin que la sphère L soit arrivée en la position L, telle que la droite LT fasse^avec NT un angle e.
On pourra, au moyen des formules connues de la trigonométrie spbèrique, calculer Fangle a (que b droite LT Eût avec la droite TS ) en fonction de l'angle e.
Il sera donc facile d'avoir l'angleg (fig. 62) en fonction de l'angle t, et d'avoir aussi en fonction de e la distance variable SL ou celle qui, à chaque instant, existera entre les centres des deux corps S et L, pendant que le centre du corps T parcourt le cercle G .
On pourra aussi , au moyen des formules connues de la trigonométrie sphérique, calculer l'angle E que le plan LTS (que je désignerai par Z) fait avec le plan fixe P, et obtenir cet angle aussi en fonction de e.
Ainsi :
1*" Au moyen de la formule de trigonométrie sphérique :
eoS(x=:cos ecoSfi + sinesinjijLCOsA (7)
on calculera l'angle a*
2^ Au moyen de la formule de trigonométrie sphérique :
. „ sÎDA.sint sinE = : (8)
on calculera l'angle £.
3* Au moyen des formules de la trigonométrie plane qui servent à résoudre le cas où l'on connaît deux côtés et l'angle compris > on calculera la distance d entre les centres des deux corps S et L, et les angles 6, 9 et 9'.
Dés lors pour les valeurs diverses de l'angle e, savoir : e , s", e\ etc., on obtiendra les quantités correspondantes, savoir :
(«, E, d, 6, 9 et /) , {a, E', (ty r, 9/ et 9/), {a\ E'\ d\ 6'', 9. et 9/), etc. (9) .
On substituera ces valeurs dans les équations (a, b, c, (/, a, y), et on aura les valeurs correspondantes :
cos'ç, sin>, f,af\ jf, x*, — cos^., sin'y., y,\ x,\ y/, x/,- cos>, , sin^., y.", x:\ yj, x/, - etc,
queronsubstitueradan8réqualion(6)^tronobtiendra8urle8plansZ, Z\ Z", etc., les paraboles^ projections des courbes d'intersection des cônes extérieurs V, V„ V„ etc., avecla sphère T.
En substituant les groupes de valeurs (9) dans les équations (a', b\ c', d', e,/) on obtiendra les valeurs correspondanles (cos' 9', sin' 9', 1/", x\ J/', Jc ) > elc. , qui , substituées dans Téquation (6) donneront sur les mêmes pians 9 Z , Z", Z'^ etc. , les projections des courbes d'intersection des cônes intérieurs \\ V,^, V/, etc., avec la même sphère T.
Supposons maintenant, fig. 64, que le centre de la sphère T se meut sur un cercle Q situé sur le plan P, et ayant son centre en S, et que le corps T emporte avec lui le cercle Cet le corps L, de telle manière que pendant le mouvement, le plan du cercle G reste parallèle à lui-même.
Supposons aussi que le corps T décrit un angle Ç autour du centre fixe S, pendant le temps employé par le corps L à décrire un angle e autour de centre mobile T (la relation qui doit exister entre les angles l et e, étant d'ailleurs supposée connue ).
Au lieu de supposer que le corps T parcourt le cercle Q, on pourra supposer que le corps T reste fixe et que le corps S décrive en sens inverse un cercle Q', dont le centre serait celui du corps T; de sorte que le corps T étant, d'après la première hypothèse, transporté en T^ après avoir décrit un angle ^, on pourra supposer qu'il soit resté en T, et que le corps S se trouve transporté en S' ayant décrit ce même angle l.
Dans cet éiat de choses, on voit que Ton aura à calculer comme dans le cas de layi^. 63, Tangle a et l'angle E, et qu'ensuite, au moyen de ces angles et de Tangle ^, il faudra calculer l'angle a^ c'est-à-dire l'angle que la droite LT fait avec S'T. Ce que Ton fera très-facilement au moyen des formules qui donnent Tangle plan lorsque que Ton connaît , daris une pyramide triangulaire , deux angles plans et l'angle dièdre compris.
De sorte que pour chaque valeur que l'on donnera à Tangle e, on aura la valeur correspondante de l puisque l'on sait que ^=/(e), on aura aussi l'angle a ainsi qu'on l'a dit dessus, l'on pourra dès lors calculer toutes les autres quantités d, 6, 9 et 6' correspondant à chaque valeur de « et l'on pourra effectuer les substitutions précédemment indiquées et obtenir enfin l'équation de la parabole qui correspond à chaque valeur attribuée à «.
Construisons maintenant sur la sphère T les diverses courbes qui représentent les ombres portées successivement par le corps L en supposant que le corps L est opaque et que le corps S soit lumineux.
Ayant tracé {fig. 65) un cercle C avec le rayon r, on mènera parle centre T une suite de droites a'b\cl'b'\ etc., faisant avec tt^ les angles calculés (, (', ^', etc., et correspondant aux valeurs e, ty t\ etc.
On regardera chacune des lignes ab , a'b\ a"b'\ etc., comme un axe des x par
report auquel on devra construire les paraboles X, \\ X\ elc*, le point T étant Forigine des coordonnées pour les divers axes des x.
On tracera les papatx>les X , X', X^', etc.
Toutes ces paraboles sont supposées rabattues sur un même plan , chacun de leurs plans ayant tourné respectivement autour des droites aby a'b'y etc.
On se rappelle d'ailleurs que le plan de la courbe X fait , avec le plan fixe P sur lequel celte courbe est rabattue, un angle calculé E; que pour le plan de la courbe X' Tangle est E', etc.
Dès lors (ayant mené une droite oj^ perpendiculaire à ab et une droite a% faisant avec ay un angle E) si du point a comme centre, on décrit un cercle avec le rayon r, on aura une épure dont ay sera la ligne de terre; az et ab étant les traces du plan Z, qui contient la parabole X rabattue sur le plan boriaontaL
Il faudra donc passer du rabattement de la courbe Xà ses projections.
Pour cela la droite A perpendiculaire à a6 et le cercle B , seront les projections d'une section circulaire de la sphère T, et cette section contiendra deux points de la courbe cherchée et tous les deux rabattus en un seul et même point m.
On projettera le point m en it, on ramènera le point n en g, on tracera la droite pgq perpendiculaire à la droite az] les points peiq seront les projections verticales des points rabattus en mj et le point P «sera la projection horizontale d'un des points.
Dès lors, les courbes telles que X., X/, X/', etc., seront les projections horizontales des courbes, intersections des cônes ea:l^rteur9 ou intérieurs avec la sphère T, ou les projections horizontales des ombres portées sur la terre T et successivement par la lune L, supposée avoir décrit dans son orbite les angles successifs t, t\ t\ etc.
Jusqu'à présent nous n'avons pas tenu compte du mouvement diurne de la terre autour de son axe. Pour y avoir égard, il faudra connaître l'angle que l'axe delà terre fait avec le plan fixe P ou le plan de l'écliptique et i angle que la projection de cet axe sur ce plan P fait avec la droite NIN' ou la ligne des nœuds de la lune.
On pourra dès lors mener par le point T (/i^. 65) un plan perpendiculaire à Taxe de la terre, et projeter sur ce plan les courbes X,^ X/, X/', etc., et les courbes X,, X.'^ X/', etc. ( qui s'obtiendront de la même manière que les courbes X,| X/, X/'). Gela fait, il faudra déterminer l'heure à laquelle la lune passe au nœud ascendant N' et le inéridien terrestre correspondant à ce nœud N', au moment du passage delà lune.
Supposez Tanglee égal zéro, à cet instant, etl'on obtiendra la courbe X projetée en
X., puis en X., et l'on connaîtra la position du méridien terrestre, passant par le nœud N', par rapport à cette courbe X,.
Supposant ensuite q.ue e est égal à + 4%- ou à + 2% ou à- + 3% ou à + 4% ou à + 5% etc. , ou égal à — 4% ou à — 2% ou à — 3% etc. ; on aura les positions de la lune après ou avant le nœud N, c'est-à-dire au dessus ou au dessous du plan P de Técliptique.
On obtiendra les diverses courbes, teHes que X„ projetée en X/, puis en X,'.
Mais, comme pendant que la lune a parcouru dans son orbite l'angle e, la terre a tourné sur son axe d'un angle h (et l'on connaît la relation existant en k et e) ; la courbe X, n'est pas placée, par rapport au méridien terrestre correspondant au point N', comme elle doit l'être , il fout que celte courbe tourne autour du centre de la projection, en décrivant un angle précisément égal à A, de gauche à droite si e est positif, de droite à gauche si eest négatif, et arrive eu la position X/.
Il sera donc facile d'avoir sur cette dernière projection, exécutée sur le plan perpendiculaire à l'axe de la terre, les projections des ombres portées par la lune, en tenant compte des trois mouvements l"* de la lune dans son orbite, 2"* de la terre dans son orbite, et 3"" de la terre autour de son axe, et de placer les divers lieux terrestres sur cette projection, puisque l'on connaît la position occupée par l'un des méridiens, par rapport à f une des ombres portées.
Si l'on trace des courbes tangentes, l'une en dessus et l'autre en dessous, aux diverses courbes X3, X,', X{\ etc., on déterminera la zone terrestre pour laquelle l'éclipsé de soleil aura lieu, etc.
Problème 2. Déterminer C heure des phases de l'éclipsé de soleil pour un lieu donné sur la terre.
Supposons le soleil en S {Jig. 66 ) et la terre en T ; imaginons que le cercle G^ soit l'orbite de la lune , le cercle G étant l'orbite de la terre. Menons par le centre de la terre les trois axes : i° A, axe de la terre; 2*" L, axe de l'orbite de la lune; S"" E, perpendiculaire au plan de l'orbite de la terre.
La lune se meut dans son orbite dans le sens de la flèche yx ; la terre se meut dans son orbite dans le sens de la flèche 19 ; et de plus, la terre tourne autour de son axe A dans le sens de la flèche nv , c'est-à-dire dans le sens yx du mouvement que la lune prend dans son orbite.
Supposons que la terre reste immobile en sa position T , il faudra dès brs supposer que la lune est douée de trois mouvements, savoir :
4*" De son molivement orbitaire autour de l'axe L, de sorte que la supposant à l'origine du mouvement en la position 9t, elle arrive en n' après avofr décrit un angle 9 dans son orbite.
%*" Du fliouvement de là terre autour de l'axe A , mais en sens inverse ; de sorte qu'arrivée en n% elle viendra en a y ayant décrit autour de l'axe A Tangle apn
( vitesse angulaire de la terre autour de son axe A , cet angle apn correspondant à l'angle 9 ).
S"" Du mouvement de la terre dans son orbite, mais aussi en sens inverse, de sorte qu'arrivée en a elle viendra en /, ayant décrit autour de l'axe Ë l'angle agi
( vitesse angulaire de la terre dans son orbite , cet angle agi correspondant à l'angle f ).
Tous les points tels que / détermineront une courbe X| qui sera la courbe parcourue par le centre delà lune, la terre étant supposée immobile. (Tous les points tels que a détermineront une courbe }! , qui différera très-peu de la courbe X lorsque l'on construira graphiquement ces deux courbes, car l'échelle, quelle que grande qu'pn la prenne, sera toujours trop petite , vu les dimensions du système solaire , pour que les courbes X et X' soient séparées l'une de l'autre d'une manière très-sensible sur une épure.)
Maintenant concevons (fig. 67) un point m sur la terre ; si l'on regarde ce point comme le sommet d'un cône S^tangent au soleil, et qu'ensuite on supposedeux cônes V et V^ qui soient parallèles à ce cône S et tangents , le premier a une sphère d'un rayon égal à la somme des rayons du soleil et de la lune , et le second a une sphère d'un rayon égal à la différence des rayons du soleil et de la lune ( ces deux sphères étant d'ailleurs concentriques au soleil ), et que l'on détermine les points de rencontre de la courbe X avec l'un et l'autre de ces deux cônes; désignant par t et ^ les points en lesquels le cône V est percé par la Courbe X et par q et (f ceux en lesquels le cône y' est percé par la même courbe , il est évident que :
i"* Les points t et i' seront ceux en lesquels le centre de la lune sera placé, au moment où l'on verra du point m situé sur la terre, la lune entrer dans le cône de lumière formé par les rayons solaires rasant la terre, ou sortir de ce cône de lumière ;
2^ Les points q ei q' en lesquels le centre de la lune sera placé seront , l'un celui pour lequel on verra (du point m)le bord extérieur de la lune toucher le contour du soleil^ la lune étant entrée complètement dans le cône de lumière, et l'autre celui pour lequel le même phénomène aura lieu, la lune étant sur le point de sortir du cône de lumière.
Il est encore évident que si, joignant le point m et le centre du soleil par une droite D, il arrive que cette droite s'appuie sur la courbe X en un point p; ce point sera le centre de la lune lorsque l'éclipsé centrale aura lieu. Si la droite D ne s'appuie pas sur la courbe X , l'éclipsé centrale ne pourra avoir lieu pour le
poiDf m. De sorte que si Ton regarde le centre du soleil comme le sommet d*un cône ayant pour directrice la courbe X, ce côue^ coupera la terre suivant une courbe |, qui déterminera les divers points de la terre, pour lesquelles le phénomène de l'éclipsé centrale aura lieu.
Il est encore évident :
l*" Que si Ton prend sur la courbe 3l un point x^ et qu'on le regarde comme te sommet d'un cône tangent au soleil, ce cône coupera la terre suivant une courbe qui passera par les divers lieux terrestres quf verront au même instant C éclipse centrale.
2" Que si le point x est regardé comme le sommet d'un cône tangent à Tune des deux i^pbères concentriques au soleil et désignées précédemment , ce cône coupera la terre suivant une courbe pour les divers points de laquelle le même phénomène aura lieu au même instaat, savoir : la lune rasant le bord du soleil , cette planète étant intérieure ou extérieure par rapport au disque solaire.
3"" Que si Ton fait rouler un plan : 1° sur la courbe \ et sur le soleil , 2'' et 3* sur la courbe X et sur Tune des deux sphères dont le rayon est égal à celui du soleil, augmenté pour la première sphère et diminué pour la seconde sphère du rayon de la lune, on déterminera trois surfaces développables , qui couperont la terre suivant trois courbes, dont la première passera par les lieux terrestres qui verront, les uns après les autres, le centre de la lune passer sur le contour solaire , dont les deux autres passeront par les divers lieux qui verront aussi , les uns après les autres , la lune toucher le bord intérieur ou extérieur du soleil ; et tous les lieux terrestres autres que ceux situés sur ces courbes ne verront pas, le jour de Téclipse, les phases particulières dont nous venons de parler.
4"* Si l'on suppose un anneau ou surface canale engendrée par la lune dont le centre parcoure la courbe X, et que l'on suppose un plan roulant en même temps sur le soleil et sur l'anneau et intérieurement à ces deux surfaces, on aura une surface développable qui coupera la terre suivant deux courbes , qui renfermeront la zone terrestre pour laquelle l'éclipsé pourra avoir lieu. Placé sur les points de ces deux courbes extrêmes ou limites, on verra la lune s'approcher du soleil, et raser seulement son contour.
En supposant {fig. 67) q^ue l'on connaisse Theure à laquelle la lune passe au nœud ascendant N' et le méridien terrestre correspondant à ce nœud au moment du passage de la lune, on voit de suite que lorsque la lune sera en un point i de la courbe X , il faudra par le point t faire passer un cercle perpendiculaire à l'axe E, lequel viendra couper en iMa courbe X', lieu des points a\ puis du point t\ décrire un cercle perpendiculaire à Taxe  , lequel viendra couper l'orbite lunaire Ç! en 1^, et l'arc cV donnera le temps écoulé depuis le passage au nœud N jusqu'au
moinenl de la phase du phénomène arrivé lorsque le eentre de la lune était en t sur la courbe X.
Car le nombre de degrés compris dans Tare t'i'' sera à 360% comme le temps écoulé jusqu'à la phase , est à 24 heures.
Ayant le temps écoulé jusqu'au moment de la phase^ on l'ajoutera ou on le retranchera de l'heure trouvée pour le nœud N^ (suivant que la lune supposée en isera au-dessus ou au-dessous du nœud ^'), et Ton aura l'heure de la phase.
Si l'on pouvait exécuter l'épure à une échelle assez grande pour que les deux courbes X et ï! fussent très-distinctes, la géométrie descriptive conduirait à une solution complète du problème et avec une exactitude très-suffisante , puisque iS"* de l'arc tel que ^tf' valent une heure de temps.
Les constructions graphiques ne pouvant être admises , vu l'échelle à laquelle on est obligé forcément de réduire l'épure, dès lors on est obligé de recourir au calcul comme pour le problème précédent.
Comme les méthodes géométriques employées enastronomie sont bien préférables à celle que je vais exposer et qu'elles sont véritablement les seules applicables aux calculs des éclipses, pour simplifier le problème puisque je ne me propose de le considérer que comme un exercice^ je supposerai que la- lune ne prend autour de la terre que le mouvement qui lui appartient dans son orbite, et je ne considérerai que le mouvement de la terre autour de son axe, négligeant le mouvement de la terre autour du soleil ; car, les calculs se compliquent beaucoup lorsque Ton veut tenir compte du troisième mouvement. D'ailleurs|e n'ai d'autre but, je le répète, en écrivant ce chapitre, que de présenter quelques* applications simultanées de la géométrie descriptive et de C analyse appliquée à la géométrie à trois dimensions.
Nous prendrons pour plan horizontal, ou des xy^ le plan de l'équateur de la terre et pour plan vertical , ou des yz , le plan perpendiculaire à la droite des nœuds de la lune et passant par le centre de la terre.
L'orbite de la lune se projettera donc sur le plan vertical, suivant une droite 9 V(/i9.68) faisant avec la ligne de terre ou l'axe des j/ (ou le plan de l'équateur) , un angle B, et sur le plan horizontal, suivant une ellipse dont les axes seront a et : a . cos B (désignant par a la distance de la lune à la terre au Jour de l'éclipsé , et suppo9antque la lune décrit, pendant l'éclipsé, un cercle autour de la terre).
Pour le jour de l'éclipsé, on connaîtra la distance D du soleil à la terre, et Tangle que la- ligne des nœuds fait avec la droite D ; on pourra donc avoir les équations 2/ =pa^ et z^rq^rde ladroiteDet,par suite, les cosinus des angles a, 6, y que cette droite D fait avec les plans coordonnés, et aussi les coordonnés x\ y\ z du centre du soleil en fonction dep, q et de l'angle B.
Prenant un point m sur la terre, il sera facile d'avoir les coordonnées rectangu-
laires X, Y, Z, en fonction de sa latitude, de sa longitude et du rayon r de la terre; on aura donc les équations :
de la droite H, qui unit le point m elle centre du soleil. Toute droite passant par le point m et tangente au soleil, dont le rayon est R,
fera, avec la droite H , un angle dont le cosinus aura pour valeur —V/t)'' — R* ,
D' étant égal à \/(a:'— X)'+ (y— Y)"-H (* — Z)\
L'équation du cône, ayant son sommet au point m et tangent au soleil, sera donc :
ly V/(y'-Y)"+ (a:'-X)-+ (V~Z) V (»-Y)"+ (ar~T)*+ \z- Zy ^^^
et remarquant que X'. + Y' 4- Z' c= r% et que x'^ -H y'* 4- «'" = D% on aura :
\^W^^^ yy'+^^+^^-Y(y+y)-X(a/+^)-z(VH-i^)+r'
^ V/D'+ r'— (y'lf+ a?^ + jr'Z)\/y'+ar'+ z"— (yY+ arX + zZ) + r*
Si L'on suppose deux sphères concentriques au soleil, Tune du rayon (R + p), l'autre du rayon (R — p) [p étant le rayon de la Tune], et deux cônes tangents à ces sphères et ayant pour axe commun la droite M, les génératrices de ces deux cônes étant d'ailleurs parallèles entre elles et à celles du cône dont le sommet est au point m, il sera facile d'avoir les coordonnées rectangulaires des sommets de ces deux cônes. En eflTet, désignant ces sommets par m et m" et leurs coordonnées respectives par X"', Y^', Z"y on remarque que les droites mm et mm'' sont égales en longueur et que l'on a :
Jn
Il faudra porter cf sur là droite M, à droite et à gauche du point m, pour ûxer la position des points m' et m" sommets des deux nouveaux cônes. Ces points étant construits , si par la droite M on fait passer trois plans respectivement perpendiculaires aux trois plans coordonnés, celui, par exemple, qui sera perpendiculaire au plan xy coupera (fig. 69) ce plan suivant la droite LT, et l'on aura une figure dans laquelle la comparaison des triangles semblables conduira de suite aux valeurs de X' et X'' en fonction de : D, B, p, (f , X et J:^
On obtiendra de la même manière les valeurs de Y', Y'', et Z', Z" et en les met-
tant à la place de X, Y , Z , dans l'équation (0) ou (1) , on aura les équations des cônes qui , par leur intersection avec la courbe X, donneront la position du centre de la lune, au moment d'une phase aperçue du point terrestre m.
Cherchons maintenant les équations de ia courbe X'.
On sait que dans une ellipse on a :
| = ^«>sV+^'«n-f
désignant par d un diamètre An faisant avec l'axe a un angle (f (fig, 68). L'angle 9' sera la projection de l'angle 9 décrit par la lune dans son orbite. On aura donc :
tangcf .cosB=tangcf' (3)
Si du point A comme centre et avec An ou d pour rayon on décrit un cercle et que l'on prenne l'arc np égH à iicp (en supposant que la terre décrive autour de son^ axe un angle qui soit à Tangle décrit par la lune dans son orbite et dans le même temps dans le rapport n: i).
On aura :
P9=8in(ii<p— <p')rf=y (4)
kq = cos . («cp — 9') cf=^ (5)
Il faudra éliminer d, f et 9' entre les quatre équations (2^3, ^,5) et l'on aura une relation entre a: et y qui sera l'équation de la projection sur le plan de l'é*^ quateur de la courbe X' parcourue par le centre de la lune.
Si l'on remarque que prz=in'b, on aura :
z= n^ sin B =a sin 9. sin B
et éliminant d, 9 et 9' entre les quatre équations ( 2 , 3 , 4 , 6 ) , on aura une rela tion entre yel z qui sera l'équation de la projection de la courbe X' sur le plan vertical.
Si l'on suppose que l'orbite circulaire de la lune tourne autour de l'axe terrestre A ou de l'axe des Z, on aura une surface de révolution sur laquelle la courbe X' sera située. L'équation dé cette surface sera :
ou ou
tf co«* B — «-(i — cos" B)* =s cos* B (af + y)
€t cos* B — «■ sin* B =s cos* B (af + tf)
(a*— af— tf) cos* B — »" sin* B =
(Les équations de Torbite lunaire étant : ar = /^ ^ . y et : - + a'ooê'B ^ ^ ' '
On n'aura donc qu'à éliminer % entre l'équation du cône (0) ou (1) (après j
avoir substitué X', Y', Z' ou X", Y", Z" à la place de^X, Y, Z ) et l'équation (7) de la surface de révolution , et l'on aura Téquation de la projection sur le plan de l'équateur de la courbe ç intersection de la surface sur laquelle la courbe l est située avec le cône qui tiélermine une phase relativement au point terrestre m.
( En comparant les deux équations (0) et (7), on voit que l'élimination peut s'effectuer sur-le-champ. )
Les deux équations des projections , sur le plan de Téquateur , des deux courbes Ç et >/ donneront les coordonnées x et y des points de rencontre des deux courbes.
Mais comme l'élimination de l'angle 9 est très-longue, on pourra construire graphiquement (fig. 68) les divers points p appartenant à la projection sur le plan de l'équateur de la courbe X , et au moyen de l'équation de la projection horizontale de la courbe Ç, construire par points cette dernière courbe, laquelle coupera la courbe lieu des points p (en un certain point p), et dès lors du point A comme centre et avec Ap pour rayon décrivant un cercle qui viendra couper l'ellipse projection de l'orbite lunaire en un point n , le nombre de degrés compris dans l'arc np (en comptant iS"" pour une heure de temps) donnera Theure de la phase.
Cette construction graphique peut s'exécuter, puisque les courbes Xet i; sont situées sur la même surface et que l'on pourra toujours prendre une échelle assez grande pour que l'approximation soit à peu près suffisante.
Toutefois nous devons faire remarquer de nouveau que toutes les constructions que Ton pourra indiquer pour la solution du problème qui nous occupe ne seront jamais assez approximatives [asironomiqvement parlant) pour être employées à prédire les éclipses de soleil et l'heure précise de leurs phases.
Ces constructions ne seront jamais que des recherches géométriques plus curieuses qu'utiles.
L'élimination complète de 9, d et 9' est, comme nous l'avons dit plus haut, assez longue entre les quatre équations (2, 3, 4, 5) puisque n=s29 environ (la lune mettant environ 29 jours à parcourir son orbite et la terre mettant un jour à accomplir sa révolution autour de son axe).
Mais on peut facilement arriver à éliminer d et 9', car en effet :
Les équations (4 et 5) deviennent en développant les sinus et cosinus :
^ =r (cos fKp.sin <p' — oos^'.sinnf)
— = (cos fKp, 008<p'-f-sin <p'.siniif )
Remplaçant ^ par sa valeur donnée par Féquation (2), on aura :
cos ny^ sin ff — cos ff . sin nf
(lco6V+-r^.sinvY \a * acosB ^ J
cos tlf «cos f -j-sin^', sin ftf
Et comme
* tang
cos=s — . et sm= ^
V/l+tang* V/l+tang'
en vertu de Féquation (3) , on aura :
, r ^ * . . / tang'y.cos 'B
^•^-l-htangVcos'B "' "'^ ^ "" l+tapg'y.cos-B
On aura donc
C06 ny . tang y .cosE — sin wy
\a« a'cos'B ^ ^ /
cosny-|-sinny . tang'y .cosB '
Remplaçant : cos . 119 et sin.919 par leur valeur en : tang . itcp^ on aura -.
tang y. cos B — tangny
i(l+taiig'nyr(l+tang>y)^
< "{"tang wy. tang y* cos B '
•Î.(14-tai»g'nfr(l+tang'ç)'
Les équations (9) peuvent servir à résoudre le problème suivant :
Êtani donnée l'heure d'une pha$e, déterminer les Geux terrestres qui^ à cette heure donnée, verront la phase indiquée. Il suffira de mettre dans les équations (8) et (6) à la place de 9 le nombre de
(0|fery> \ savoir ^ , j on aura dès lors les
trois coordonnées a:., y., is,, du point de la courbe X' qui devra être regardé comme le sommet d'un cône tangent à Tune ou à l'autre des sphères concentriques au soleil, et ayant pour rayon Rd=p.
L'intersection de ce cône (dont l'équation sera facile à obtenir, puisqu'il suffira de mettre dans l'équation (0) à la place de X, Y, Z, les valeurs des trois coordonnée x^,y^jZtj données par les équations (9 et 8) et à la place de D' sa valeur
]/{x— X, y+ (y —y, )■+(» — 2. y, et à la place de R, R — pou R+p) avec la
sphère dont l'équation est lof+tf+z'^sir' passera par tous les points terrestres qui verront au même instant la phase annoifcée.
En supposant que le soleil et la lune restent fixes et que la terre prenne les deux mouvements, savoir : l"" le mouvement de la terre dans son orbite; 2** le
mouvement de la lune dans son orbite, et choisissant pour plan des xyle plan de l'orbite lunaire, on pourra appliquer les équations précédentes à la solution du problème suivant :
Trouver les équations des projections sur l'orbite lunaire des ombres portées successivement par la lune sur ta terre pendant une éclipse de soleil.
En effet : une courbe analogue à X' sera dans ce cas la courbe parcourue par le centre de la terre en vertu des deux mouvements dont on la suppose douée (ayant soin de donner à n la valeur convenable).
On pourra donc calculer les coordonnées a;,, y,, s, du centre de la terre pour un angle 9 donné (cette vitesse angulaire 9 étant comptée à partir de la ligne des nœuds et sur l'orbite terrestre) , et par suite construire par points les courbes intersection du cône (dont l'équation s'obtiendra facilement) enveloppant le soleil et la lune supposée fixe à son nœud ascendant (ce nœud ascendant étant d'ailleurs l'origine des coordonnées ) avec la sphère terrestre dont l'équation sera :
(x-x,y+ {y—y,y+ {z-zy=r-
pour reprojeter sur le plan de l'équateur terrestre oes diverses courbes et supposer comme dans le premier problème, que chacune de ces courbes tourne autour du centre de projection d'un angle A correspondant à l'angle 9. Mais cette méthode serait évidemment plus longue que celle que nous avons
indiquée du commencement de ce chapitre, puisque les équations des projections des ombres portées sur le plan de l'orbite lunaire, seraient du 4* degré, tandis que par notre presiière méthode nous étions conduits à construire des courbes qui n'étaient que du second degré.
