CHAPITRE V

DES ÉPICYCLOmES ANNULAIRES.

Dans ce chapitre , nous allons examiner des épicycloides nouvelles «t qui n'ont point encore été étudiées. Ce sont des courbes à double courbure engendrées par un point d'un cercle roulant angvJairemeni sur un autre cercle.

L'examen de ces courbes nous conduira à rechercher la solution de diverses questions relatives à l'hyperboloîde à une nappe et de divers problèmes sur les sections coniques.

Nous aurons aussi l'occasion de transformer diverses surfaces en d'autres surfaces , et de montrer combien sont utiles , en géométrie descriptive , les divers modes de transformation que l'on est conduit à employer ; car c'est la méthode des transformations qui peut seule permettre de résoudre certains problèmes en géométrie descriptive^ ou , en d^autres termes, lorsqu'on emploie la Umgue graphique.

' Des épicyclcades à double courbure Ates épicycldides annulaires.

Concevons un cercle C dont Taxe A soit vertical, et un cercle C" ayant un point m commun avec le cercle C et désignons par \! l'axe de ce cercle G^

Désignons par P le plan du cercle C et par P' le plan du cercle C^ Prenons le plan P pour plan horizontal de projection et le plan passant par l'axe A et le point m pour plan vertical de projection.

Désignons par H*' la trace horizontale du plan P', par a l'angle que ce plan fait avec le plan horizontal, par 6 l'angle que la trace H*" fait avec la tangente 6 au

cercle C pour le point m, et par 6" l'angle que la trace H'' fait avec la tangente 9' au cercle C en ce même point m.

Design <ns. en outre par R le rayon du cercle G, et par R' le rayas du cercle C.

11 est évident que si Ton se donne : l"" le rayon R ; 2Me rayon R'^d"" Fangle a ; 4* les angles 6 et 6' ; et 5* le point m , la position des cercles C et C se trouve fixée d'une manière invariable dans l'espace.

Concevons maintenant qu'au point m se trouve un anneau fixé dans l'espace d'une manière invariable et que deux fils, l'un F enroulé sur le cercle G et l'autre F' enroulé sur le cercle G' se trouvent passés dans cet anneau.

En tirant les deux fils F et F", l'on imprimera un mouvement de rotation , soit au cercle G autour de son axe A, soit au cercle G' autour de son axe A.'. Et il est évident que les deux cercles G et G' (qui se croisent au point m, puisqu'ils ont en ce point m des tangentes différentes, des tangentes non superposées) rouleront l'un sur l'autre et rouleront anguUAremeni.

Gela posé :

Supposons que le cercle G reste fixe et que le cercle G' roule angulairement sur le cercle G de manière i ce que les angles a et 6 restent constants pendant le mouvement, un point x du cercle G' décrira dans l'espace une courbe d dont nous allons étudier les propriétés.

Il est évident que cette courbe 9 sera tracée sur la surface 2 engendrée par le mouvement de rotation du cercle G' autour de Taxe A. Ainsi 2 sera une surface de révolution, et* de plus une surface annulaire engendrée par le cercle G^

La courbe méridienne de cette surface sera une courbe ovale, dont il sera toujours facile de trouver l'équation au moyen de Yanalyse de Descartes, ou d'avoir le tracé au moyen des méthodes de la géométrie descriptive.

Nous donnerons à la courbe i le nom d'épicyclcUde annulaire , puisqu'elle est engendrée par le mouvement d'un cercle roulant sur un cercle et qu'elle se trouve tracée sur une surface annulaire.

Lorsque les deux cercles G et G' ont même tangente au point m , alors la surface annulaire est une surface sphérique passant par les deux cercles G et G', et dans ce cas la courbe d est une épicycloîde sphérique , courbe qui a été examinée avec soin et pour la première fois par Hachette , dans son Traité des machines, au chapitre des engrenages.

Par ce qui précède, on voit de suite que les épiqfclcïdes sphériques ne sont qu'un cas particulier des épicyckndes annulaires que nous nous proposons d'étudier. Les premières courbes s'obtiennent en faisant rouler directement l'un' sur l'autre deux cercles, les secondes courbes s'obtiennent en faisant rouler angulairement l'un sur l'autre deux cercles.

Le plan P' coupera Taxe A en un point $^ Menons par Taxe A un plan Q perpendiculaire au plan P', les deux plans P' et Q se couperont suivant une droite G passajit par le point s , et cette droite G percera le plan P en un point g.

Si Ton fait rouler angulairement le cercle C sur le cercle G y la droite G engendrera un cône de révolution B qui aura le point s pour sommet et la droite A pour axe , et le plan P' sera tangent à ce cône , en les diverses positions qu'il prendra dans l'espace.

Ce cône B aura pour trace sur le plan P un cercle D engendrée par le point g^

En sorte que les deux cercles G et D auront même centre o situé sur l'axe A^ ce centre o étant l'intersection de l'axe A et du plan P.

Cela posé : il peut arriver trois cas généraux :

1** Le centre o' du cercle C peut être au delà du plan P par rapport au point s. L'épicycloîde à double courbure sera dite dans ce cas : épicycUnde annulaire extérieure ; ^

2"" Le centre o' du cercle C! peut être en deçà du plan P par rapport au point s et situé dès lors entre le point s et le plan P. L'épicycloîde à double courbure sera dite dans ce cas : épicycUnde annulaire intérieure ;

3"" Le centre o' du cercle C! peut être au delà du point s par rapport au plan P. L'épicycloîde à double courbure sera encore dite : épicycUnde annulaire extérieure;

Dans ces trois cas , le centre o' du cercle C ne sera .pas situé sur la génératrice G.

Comme cas parUculier, on peut supposer que le centre o' du cercle C se trouve situé sur la droite G ; dés lors on aura quatre csls particuliers :

l"" Le centre o' sera au delà du point m par rapport au point s ;

2"" Le centre o' sera entre les points m et « ;

3*" Le centre o' ne sera autre que le point s y

i" Le centre o' sera au delà du point s par rapport au point m.

Enfin y lorsqu'on supposera que le cercle D n'est autre que le oercje C , on pourra supposer que les trois points s y m et o sont ou ne sont pas en ligne droite.

Lorsque ce» trois points seront en ligne droite, on retombera surjes épicylaides âpkériques.

Quelle que soit la (k>sition du cercle G^ par rapport au cercle G» la conslruction de la projection horizontale (et dès lors sur le plan P ) de la courbe i- sera toujours la même, et elle ne sera autre que celle employée dans le cas tout particulier où YépkycUjade à double courbure est une épicycUAde iphérùflie; et l'on peut en effet s'assurer qu'il en est ainsi qu'on vient de le dire en exécutant Vépure comme il suit : .

(Construction de la projection horisantale de tépicydoUde annulaire.

Prenons pour plan horizontal de projection le pian P, et pour plan vertical de projection le plan Q {fig. 70).

Les traces du plan P' seront V et H'', H'' sera perpendiculaire è la ligne de terre.

Le cercle C passera par le point m du cercle C.

Faisant tourner le plan P' autour de H'' comme axe pour le rabattre sur le plan horizontal , le cercle C prendra la position rabattue C/, son centre étant en o/.

Si Ton suppose que le point x du cercle C est Torigine de l'épicycloîde , on devra prendre sur C/, Tare mx,\ égal à Tare mx et en reieyant le cercle G/ pour le ramener en la position primitive C^ le point x,' viendra en x' dont les projections seront « * et x'*.

\\ sera donc facile de construire la courbe d^, projection de l'épicycloîde annulaire i^ car il suffira de prendre une nouvelle ligne de terre VT et d'opérer par rapport à elle, ainsi qu'on sait le faire lorsqu'il s'agit d'une épicyclaide sphérique^

Omêtruction de la tangente en un point de l'épicycUAde annulaire.

La courbe i {fig. 70)^ engendrée par un point x' du cercle C roulant angulairement sur le cercle C^ est située sur une surface annulaire et de révolution 2, engendrée par le cercle C', tournant autour de Taxe A.

Si donc. Ton veut construire la tangente i au point â;' de d, on sait que cette tangente sera dans le plan tangent T mené au point x de la surface 2.

Le plan langent en un point x' d'une surface de révolution , est déterminé par la tangente au parallèle passant le point x\ et par la tangente à la courbe génératrice passant par ce même point x'.

Le plan T, sera donc déterminé par la tangente 6' au point x' du cercle €% et par la tangente menée au parallèle y et passant par le point x\

Q' se rabattra sur le plan horizontal en 0/, tangente en x/ au cercle C/, qui est le rabattement du cercle C; et 0/ percera le plan horizontal en un point qs qui sera l'intersection de 9/ et de H^^; le cercle y se projettera horizontalement, suivant un cercle /, décrit du point o ou M" centre du cercle C ^ comme centre et avec un rayon égal à oa^; 0^ sera donc perpendiculaire à ox"" et 9 sera horizontal; donc, H* passera par le point q et sera parallde à 9^ ou perpendiculaire à ox^^'y V* passera par la trace verticale p de la tangente horizontale 9, ; ainsi , le plan T est connu , et sa position dans l'espace est fixée , puisque l'on a ses traces horizontale H* et verticale y\

Consiruisoiis maintenant la tangente i au point x de la courbe d.

Le cercle G en roulant angulairement sur le cercle G , peut être oon^déré comme étant animé de deux mouvements^

Ainsi, on peut supposer que le cercle G' ayant d'abord le point x en commun avec le c^cle G, a tourné autour de l'axe A d'un angle |x> puis, qu'aririvé en la position où il a en commun le point m avec le cercle G, il a tourné autour de son axe A' d'un angle /, de telle sorte que l'angle fx se trouve mesuré dans le cercle G par l'arc a;m, et que l'angle yH se trouve mesuré dans le cercle G' par Tare xm, ces deux arcs xm et ;dm étant égaux en longueur absolue.

Le cercle G' tourne donc autour de l'axe A, dans le sens indiqué par la flèche y, puis, il tourne autour de son axe A', dans le sens indiqué par la flèche y,.

En vertu de ces deux mouvements du cercle G', on voit que l'on peut construire la tangente au pointa;' de l'épicycloide d, par la métbode de Roberval.

Il faudra donc : i^ porter sur la tangente au parallèle y, et à partir du point x'y un arc rectifié kk\ mesurant dans le cercle y l'angle ix, et porter cet arc kk' dans le sens de la flèche y à partir du point x\

2'' porter sur la tangente B' au cercle G', et à partir du point x et dans le sens de la flèche y^j un arc rectifié nu/, mesurant dans le cercle G' l'angle ii] et la diagonale du parallélogramme construit sur ces portions des droites 9 et 0' sera la tangente demandée.

Gette construction s'eflectuera facilement ; car, on rabattra sur le plan horizontal le plan T, et après avoir « construit la droite /. diagonale du parallélogramme construit sur G et 0/, on la ramènera en la position qu'elle doit avoir en t dans l'espace.

Gette construction de la tangente t en un point x de l'épicycloide d, est générale; elle s'exécutera toujours avec facilité, quelle que soit la position du cercle G' par rapport au cercle G.

Au reste , c'est. par la méthode de Roberval, que pour la première fois la tangente a été construite à l'épicyclcnde sphérique; ce n'est qu'après, qu'HACHETTE a vu que Ton pouvait coDStruire la tangente à l'épicycloide sphérique^ par la considération de deux sphères, l'une fixe et invariable, et l'autre mobile et de rayon variable.

Il est utile de considérer de plus près les deux modes de roulement dired et angulaire de deux courbes roulant l'une sur l'autre , et d'établir les diflërences qui existent sous le point de vue géométrique entre ces deux modes. Lorsque l'on a deux cercles C et G' qui ne sont paa sixués dans un même plan et qui se coupent en un point m ^ et qui dès lors sont placés l'un par rapport* à l'autre, dans l'espace, de telle manière que le plan Q détertniné par le*point m et les

centres o et o des cercles donnés G et C'^ n'est pas perpendiculaire à la droite intersection des plans des deux cercles proposés, lorsqu'on a, dis-je, deux tels cercles , si le cercle C restant fixe , le cercle C roule sur le cercle C, ainsi qu'on Fa dit ci-dessus, on voit que si Ton considère un point n du cercle G infiniment voisin du point m et un point n\ situé sur le cercle C^ et infiniment voisin du même point m, lorsque le cercle G' se déplacera pendant le roulement, le point n' viendra se superposer sur le point n ; le cercle G" aura pris alors dans l'espace une position G/, et le point m sera venu se placer sur G/, en un point m infiniment voisin du point n et ce point tn sera un des points de l'épicycloïde à double courbure d engendrée par le point m du cercle G', roulant angulairement sur le cercle G , ce point m étant l'origine ou point de rebrousse-* ment de la courbe i sur le cercle G.

On peut faire arriver le cercle G", en la position C/ de. deux manières.

La première manière consiste à supposer : i"" que le cercle G' s'est mû parallèlement à lui-même, son centre parcourant une droite J parallèle à la droite que parcourt le point n pour venir se superposer avec le point n, de sorte que le cercle G aura pris une position G,; et 2*" à supposer que le cercle G. tourne autour d'un axe Y ( mené par le point n et perpendiculairement au plan P du cercle G) d'un angle'tel que l'angle que la tangente / au point n du cercle G fait avec la trace D, du plan du cercle G, sur le plan P de ce cercle G, devienne le même que l'angle que la tangente i' fait avec la droite D/ trace du plan du cercle G/ sur le même plan P. Et l'on sait que désignant par t la tangejite au point m du cercle G et par D' la trace du plan du cercle G' sur le plan P, les angles (£,D') et t',D/) sont égaux.

Ainsi on a deux mouvements à imprimer au cercle mobile G', d'abord un

mouvement de translation parallèle à la droite infiniment petite nn' et ensifite un

mouvement de rotation autour de l'axe Y.

La seconde manière consiste à supposer : l"" que le cercle G' tourne autour de Taxe A du cône G d'un angle (i et arrive dès lors en une position C" en laquelle il coupe le cercle G en un point y, l'arc fini my mesurant dans le cercle G l'angle II] et 2* que l'axe A' du cercle G' ayant tourné d'un angle fx autour de l'axe A, et étant arrivé en une position A" en laquelle il se trouve être l'axe du cercle G", ce cercle G" tourne autour de son axe A" d'un angle f/ mesuré dans le cecde C" par un arc égal en longueur absolue à Tare rectifié my du cercle G. Le cercle G" ayant ainsi tourné sur lui-même aura enfin pris la position G/ indiquée ci-dessus. Il est évident qu'un point y' situé sur le cercle G' et tel que les arcsmy' du cercle G et my du cercle G seront égaux en longueur absolue, sera venu se superposer

sur le point y. Après les deux mouvements de rotation, le point m du cercle G' aura pris sur le cercle G/, la position m'' telle que les deux cercles G et G/ ayant alors non plus le point m, mais le point y commun^ les arcs ym' du cercle G/ et ym du cercle G seront égaux en longueur absolue ; et le point \m\ ainsi déterminé de position dans l'espace au moyen des deux mouvements de rotation imprimés successivement au cercle mobile G'; sera un point de répicycloîde à double courbure d engendrée par le point m du cercle mobile G' roulant sur le cercle fixe G.

Lorsque Ton emploie h seconde manière pour déterminer le point m'deTépicycloîde d, on ne s'inquiète pas de la manière d'être entre eux des cercles fixe G et mobile C\ Le point m se trouve exactement déterminé, soit que les cercles G et G' se croisent au point m, soit qu'ils se trouvent tangents l'un à l'antre en ce point m.

Gette manière de décomposer le mouvement du point qui engendre la courbe i s'applique indistinctement au cas du roulement cftr^ci et au cas du roulement angulaire du cercle mobile G' sur le cercle fixe G.

La première manière de décomposer le mouvement du point qui engendre la courbe d peut enfin s'appliquer aux deux cas du roulement direct et angulaire; mais il faut remarquer que dans le cas du roulement direct ^ le mouvement de translation est nul et qu'il n'existe plus que le mouvement de rotation (^) , et en eflet :

Lorsque les deux cercles G et G' ont un seul point commun m, en vertu de ce qu'ils se croisefit en ce point m, les deux points n et n' infiniment voisins de m et situés l'un sur le cercle G et l'autre sur le cercle G' sont séparés l'un de Tautre, et le mouvement de translation a pour but de superppser ces deux points n et n.

Mais lorsque les deux cercles G et G' ont un contact au point m , ils ont alors un élément rectiligne commun, dès lors les éléments rectilignes mn du cercle G et mn^du cercle G' se confondent, le mouvement de translation n'est donc plus nécessaire, puisque les points n et n se trouvent superposés en vertu des conditions du problème.

Maintenant appliquons la méthode de Roberval , à la construction de la tangente à la courbe i en un de ses points, et voyons à quoi l'on est conduit lorsque l'on considère le point m' de la courbe d comme étant construit par l'un ou l'autre mode exposé ci-dessus.

(*) On voit dés lors pourquoi U normale en

en un point d'une épicycloïdc ^phérique pssse par le point de conUct du cercle 6xe et du cercle mobHe , et pourquoi pour l'épicycloïde antmlaire ifig- 70) la

t nus fMMAr Tuki-kk rwiStii «n nAmmnn an deux cercles fixe C

nomiale au point x de cette eoarbe àe peut pas passer par-fe point m commun au deux et mokile C

Premier cas. Le mouvement du point générateur del'épycicUj^ étant décomposé en deux mouvements l'un de translation €t Vautre de roiation.

RappeloDS-notts que la méthode de Roberval consiste à remplacer les espaces infiDimeat petits par des espaces finis.

Le point in doit être considéré comme se mouvant d'abord en parcourant,

suivant une droite 8 parallèle à nn\ un espace infiniment petit et égal à nn\ et ensuite en parcourant, suivant une droite 9' tangente au cercle U qu'il décrit autour de Taxe Y, un espace infiniment petit et égal à l'arc élémentaire du cercle U , mesurant dans ce cercle un angle égal à Tangle'que les droites D' et D/ font

entre elles.

On ne peut pas construire graphiquement, au moyen des infiniment petits; l'analyse seule peut employer les infiniment petits y car elle sait les écrire; la géométrie descriptive ne peut employer que des longueurs finies dans ses constructions graphiques , puisqu'il lui est impossible d'écrire des infiniment petits.

Il faut donc , en géométrie descriptive y remplacer les infiniment petits par des longueurs finies , mais telles que leur rapport soit précisément le même que celui qui existe entre les infiniment petits qu'elles doivent remplacer.

Ainsi , au lieu de considérer l'élément rectiligne nn^ on devra prendre sur le cercle C un point y y et sur le cercle C un point y' tels que Ton aura : l'arc my

égal à l'arc my"; et la droite finie yy devra remplacer la droite iafiniment petite»»'. Pour que ce remplacement puisse avoir lieu y il faudra que les arcs ma (infiniment petit) et my ( fini) du cercle G soient entre eux comme les droites nn { infiniment petite) et yy ( finie )^ et de plus il faudra que la droite yy' soit parallèle à la droite nn\

Or : il est évident que le rapport existant entre les arcs ne sera jamais égal au rapport existant entre les droites , quelles que soient les positions que l'oo donne aux cercles C et GM'un par rapport à l'autre , en établissant pour condition qu'ils se coupent au point m; et de plus, les droites yy' et nn ne seront parallèles entre elles qu'autant que les deux cercles G et G' satisferont aux deux conditions suivantes : 1** être placés sur une sphère, et 2** avoir des rayons égaux.

La Aiéthodede Roberval ne peut donc être appliquée dans le premier cas.

Deuxième cas. Le mouvement du point générateur de Vépicyclaide étant décomposé en deux mouvements de rotation-

Si l'on se rappelle la construction de la tangente au point x de l'épicycloïde à (fig. 70) , on voit de suite que les arcs finis qui mesurent, l'un dans le cercle y l'angle u, et l'autre dans le cercle G' l'angle i/, sont dans le même rapport que

les arcséléflaentaires éf eidG qui mesureraient req[)6c(mnieBt dans les cercles y et G^ des angles infiniment pelUs de rotation.

La métbode de Roberval peut donc être employée airec certitude dans le deuxième cas.

D'après ce qui précède , on doit voir que la métbode de Roberyal est en eflSet la méthode générale pour construire la tangente en un point' d'une épicycloîde soit plane, soit à double courbure , quelle que soit la position que puissent affecter entre eux dans un plan ou dans l'espace , et le cercle fixe et le cercle mobUe.

Gomment se fait-il que dans les divers traités publiés sur la géométrie descriptive, lorsque Ton s'occupe de l'épicycloïde sphériquey on ne donne que la construction de la tangente, qui est fondée sur ce quer l'élément de la courbe cpicycloîdale se trouve située sur une sphère qui a pojar rayon la normale en ce point de la courbe, construction qui est due à Hachette?

Sans aucun doute, si l'on ne se proposait que d'examiner les propriétés de l'épicycloïde sphérique et par suite sa tangente, la méthode de Roberval devrait être exposée comme éiant générale , comme s'appliquant aux épicycl&ides à double courbure de toutes espèces , et aussi aax courbes dites épicurvUignes pkmeê ou à double courbure, et qui peuvent être engendrées par une courbe quelconque, et mobile plane ou à double courbure roulant directement ou angulairement sur une courbe quelconque eifixe qui peut être elle-même ou plane ou à double courbure.

Mais la construction de la tangente à répicycloîde sphérique donnée par HiPCflETTE conduit sur-le-champ à l'engrenage conique à flanc j et c'est précisément cette construction toute spéciale delà tangente à l'épicycldde sphérique, qui fit voir à Hachette la construction géométrique de l'engrenage conique que l'on avait essayé et sans succès avant lui.

Et en effet :

Le plan tangent à la sphère mobile qui correspond à un point x de l'épicycloïde a pour plan tangent en ce point x un plan T perpendiculaire au plan P du cercle mobile G'. Un point du cercle mobile G' décrit donc , si Fon fait rouler ce cercle G' intérieurement à un cercle G, d'un rayon double et situé dans le plan P, une épicycloïde plane et intérieure qui n'est autre qu'un diamètre de ce cercle G,^ qui n'est autre, en d'autres termes, que la trace du plan T sur le plan P, etc. (^); et c'est précisément parce que l'épicycloïde sphérique avait été étudiée par Hachette, en vue do l'engrenage conique à flanc ^ qu'il a donné dans son Traité

(*) Foyez le chapitre sur les engrenages , dans le TraiU des machinée poMié par Hachbttb , ei le Traité de géométrie deêcriptive publié par le même auteur.

de géaméirie descriptive la coostrucUon de la tangente en regardant cette tangente comme étant l'intersection des deux plans tangents, Tun à la sphète. fixe et l'autre à une sphère mo^t/e , et qu'il a été conduit à donner une construction toute spéciale pour un cas tout particulier, et à oublier de donner une construction générale et applicable à tous les cas.

Et il faut bien le remarquer, la construction de la tangente à l'épicycloide sphérique par la méthode de Roberval ne pouvait pas conduire à l'engrenage conique à flanc, tandis que la construction particulière trouvée par Hachette y conduisait tout naturellement.

De remploi de Vépicuclaide annulaire^ dans les engrenages aptes à transmettre te mouvement

de rotation entre deux axes non situés dans un même plan.

Énonçons d'abord deux théorèmes connus et qui nous seront utiles.

Théorème i. Étant données deux droites A et A"^ situées dans un plan, et se coupant en un point Sj et faisant entre elles un angle arbitraire a^ )si l'on conçoit deux plans P et P' rectangularres entre eux y et passant, savoir : le plan P par la droite A et le plan P' par la droite A', des deux plans se couperont suivant une droite G , qui appartiendra à un cône oblique ayant le point s pour sommet, et dont Iles plans des sections circulaires seront respectivement perpendiculaires aux droites A et A^

Théorème 2. Étant données deux droites A et A^ non situées dans un même plan et ayant qne plus courte distance égale à D, si l'qn conçoit deux plans P et P' rectangulaires entre eux, et passant, savoir ileplanP parla droite A, et leplanj>'par la droite A', ces deux plans se couperont suivant une droite G qui appartiendra à un hyperboloîde à une nappe non de révolution et dont les plans des sections circulaires seront respectivement perpendiculaires aux droites A et k^.

Je vais démontrer ces deux théorèmes, quoiqu'ils soient connus , parce que le mode de démonstration que j'emploie est nouveau et qu'il est surtout tout à fait dans l'esprit de la géométrie descriptive.

Démonstration du théorème 1. Par les deux droites données A et B se coupant au point s on fait passer un plan et on le prend pour plan horizontal de projection.

On prend la ligne de terre LT perpendiculaire à Tune des droites , et ainsi à la droite A , par exemple.

Cela fait (/gf. 71):

Par la droite A, on fait passer un plaa P, dont les traces seront H' ou A el W

Pour faire passer parla droite B un plan Q perpendiculaire au plan P, il faudra , d'un point de B abaisser une perpendiculaire sur le plan P. On prend le point b en lequel B coupe LT, et si de ce point b on abaisse une normale N aru plan P, N'^ ne sera autre que LT et N^ qui ne sera autre que N , puisque la normale est dans le plan vertical, sera* dirigée perpendiculairement à V. En sorte que Basera h droite B et V^ sera la normale N*

Ainsi , y* et V* se coupent à angle droit en x, point qui sera la trace verticale de la droite I, intersection des deux plans P el Q. 1 passe par le point «; donc le lieu des droites I est i^n cône ayant s pour sommet.

Le point X est sur un cercle G décrit sur ab comme diamètre ; donc le cône est oblique et a pour section circulaire le cercle C ; donc , etc.

Démonsiration dn théorème 2. Démontrons d'abord comme point de départ le théorème suivant,:

Si l'on a un cercle C (fig. 73) et un parallélogramme rectangle afijbjb^ ^ dont deux côtés parall^es aA» ^A» &ûnt tangents à ce cercle.

Si l'on joint un point a; du cercle G, avec les points aeib contact de ce cercle

avec les côtés du parallélograme , l'angle axb sera droit, puisque ab sera un diamètre du cercle G. •

Gela fait :

Si l'on mène par les points a, et 6., extrémités d'uncjdeâdiagonales.du rectangle, des droites a,a;., b^x^ respectivement parallèles aux droites ax et bx, elles se couperont en un point x/y et si de même , on mène par les points a, et b^, extrémités- de la seconde diagonale du rectangle, des droites ajv^j bjc^ respectivement parallèles aux droites ax et bx^ elles se couperont en un point x .

Je dis que les trois points x„ x^ a^, seront en ligne droife , et que cette droHe sera tangente en a? au cercle G^

En effet :

Il est évident que les points x^ et x\^ sont sur un cercle D, concentrique au cercle G , et ayant son rayon égal à la moitié de la diagonale o^. ou de la diagonale ap^.

Supposons que les trois points a:,, x^ x,, ne soient pas en ligne droite , nous pourrons toujours, unir les points x etx^, et si nous démontrons que le triangle oxx^ est rectangle en Xf comme ûous pourrons démontrer de la même manière que le triangle aa::^, est aussi rectangle en x, on aora démontré que les trois points Xty X, x,f sont en ligne droite et que cette droite est tangente en x au cercle G , puisque celte droite sera p#rpendtcalaiTe au rayon ox.

Or, pour démontrer ^ue le triangle oxx^esi rectangle en x, il suffit de démoa-

trer que les deux triangles oaa^ et axx, sont égaux.

Or, ces deux triangles ont deux isôtés égaux, savoir : ox^=oaj ox^=oa,.

Il suffit donc .de démontrer que les angles ox^x et oafl sont égaux.

Mais la chose est évidente, par la figure; car les deux cercles C et D ayant même centre o,et les cordes 6a; et 6^, étant parallèles, si la droite M, est tangente en b au cercle G, la droite xx^ sera aussi tangente en a: à ce même cercle C.

i. Par conséquent, les deux triangles exx, et obb^ sont égaux, et comme les deux triangles oafl et objb sont égaux , la proposition se trouve évidemment démontrée.

Passons maintenant à la démonstration du ihéorènie 2.

Soient données dans l'espace (Jg. 72) deux droites A, et B, ayant pour plus courte distance Ta droite pq.

Par le milieu s de pq, je mène deux droites A parallèles à A, et B parallèle à B,.

Je mène ensuite par le point p, la droite B. parallèle aux droites B et B. , et par le point ç, la droite A, parallèle aux droites A et A,.

Gela fait : Je coupe tout le système par un plan X^ perpendiculaire aux droites A, A, et A^, ce plan coupe respectivement les six droites construites A,, A, A., B, , B , B,, en les points a,, a, a^y 6,, A, b^.

Les quatre points a,, b,, a,, 6,, sont les sommets d'Un rectangle; le$4K>ims a et b , sont les milieux des côtés afl^ et bjb^ de ce rectangle.

Sur ab comme diamètre je décris un cercle C.

On a donc sur le plan X , les données de la^i^. 7d.

Or, si par les droites A et B qui se coupent au point s , on feit passer des couples de plans Pet Q , P' et Q", etc., rectangulaires entre eux, on sait, par le premier thégrème, que les droites t intersection de ehaque couple de plans, tels que ceux-là, forment un cône oblique dont les plans des sections circulaires sont perpendiculaires^ ou à la droite A ou à la droite B.

On voit donc que si Ton trace les droites ax et bx sur le plan X, on aura sur ce plan X les traces de deux plans rectangulaires entre eux et qui se couperont suivant la droite sx 6u I.

Les droites a^, et b^v, parallèles aux droites ax^bx pourront Mre considérées comme les traces de plans P. et Q, passant respectivement par las droitds I^, et B, , et il est évident que les plans P et P., et Q. sont parallèles» doue P, et Q. sont rectangulaires entre eux ; et la droite G intersection des pians P, et Q, sera dés lors parallèle à I. *

De même , les plans P, et Q, qui praseront reifiectâvetteiit par les dMÎtas

A, 9 a^, etB% bx^y seront rectangulaires entre eux comme étant parallèles aux pians P et Q, et leur intersection H sera parallèle à I.

Et comme les points ^r,, Xj x^ sont en ligne droite et que cette droite est tangente en x au cercle G , il s'ensuit que le plan qui contiendra les trois parallèles H, I, G sera tangent au c6në {s y G) tout le long de la génératrice I.

Toutes les droites G formeront une surface gauche ly et toutes les droites H formeront une surface gauche 2'.

Démontrons que ces deux sur&ces ne sont qu'une seule et même surface.

Les droites G perceront le plan X en des points o^ , et les droites H perceront le plan X en des points x, , lesquels seront les uns et les autres situés sur un même cercle D {fig, 73); par conséquent , les deux surfaces 1 et 2' seront coupées par le plan X suivant le même cercle D.

Mais on peut faire varier de position le plan X en le laissant parallèle à lui-même ; et en la projection X', il coupera le cône {s. G) suivant un cercle G' qui conduira à un même cercle D' pour l'une et l'autre surface 2 et 2^ Ges deux surfaces se confondent donc en une seule et même surfhce qui est doublement réglée.

Dès lors y par un point m de la surface 2 passera toujours deux génératrices droites^ l'une du système G et l'autre du système H , et le plan tangent en m sera déterminé par ces deux génératrices droites de systèmes différents.se croisant en ce point m.

Remarquons que les deux génératrices G et b {fig. 71) parallèles à la droite I se coupent à l'infini ; donc le plan passant par G et H sera tangent à la surface 2 en un point situé à l'infini ; ce plan , qui passe par deux génératrices parallèles et de systèmes différents , est donc un plan asymptote de la surface 2 ; il passe par la droite Ket par le point »; il a sa trace sur le plan X tangent au cercle G ; donc tout plan asymptote de la surface 2 est tangent au cdne («, G) ; par conséquent le cône {s , G) peut^tre dit : câm a$f/mfrtaie de la surface 2.

Ge qui précède suffît pour faire reconnaître la surface 2 comme étant un hyperbohnde à une nappe , mais en démontrant le théorème suivant : Tout plan coupe la $U9fqce 2 mhxmt une ieeîkm conique , nous achèverons de faire reconnaître l'identité.

Théorèhe. Tcmi pUm coupe la surface 2 suivant une sedion conique.

On soit {fig. TA) que si Ton a une section coniqye E et qu'on construise une courbe E' qui soit semblable et semblablement placée et concentrique à la courbe £, cette seconde courbe E' est une section conique.

Si l'on a une section conique E et une courbe E' telle qu'en menant à E une tangente , le point de contaei m soit le milieu de la corde pV interceptée sur la

tangente par la courbe E', je dis que la courbe E' n'est autre qu'une section coni^

que semblable , semblablement placée et concentrique à la section conique E. f Et en effet :

' Unissons le centre o de la section conique E avec le point q' en lequel la tan-

r gente en m à la courbe E coupe la courbe E' ; le rayon vecteur oq' coupera E en 9.

Menons par q une droite pq parallèle à la tangente m/, elle coupera E en p.

Joignons et p, on aura un rayon vecteur qui viendra couper la tangente nuf en p\ Gela fait : on a par construction mqs=imp'] donc le point p' sera sur la courbe E', ( puisque par hypothèse on doit avoir nufc=imp\

l Menons par le point p une tangente p'g à la section conique E , on aura par

hypothèse gp'=:gr\ etc. On a donc :

oqicpior : etc. ::oq' :op' : or' : etc.

La courbe E' est donc semblable, semblablement placée et concentrique à la section conique E, la courbe E' est donc une section conique.

Cela dit:

Coupons le cône (», C) et la surface gauche et doublement réglée 2 {fig. 75) , 7 par un plan quelconque Y. Ce plan coupera le cône suivant une section conique

E, et la surface 1 suivant une courbe E/. Ce plan coupera la droite I en m et la droite G en q' et la droite H en p' ; et la droite p'mq' sera tangente en m à E. , et on aura évidemment mp'^=amq\ puisque la droite x,pcx^ est tangente au cercle C en X et que l'on a : xx=sxx,.

Les courbes E. et E/ (fig. 75) seront donc entre elles comme les courbes E ^ et E''{fig. 74); donc E/est une^ection conique. Vn plan coupe donc toujours la

surface 2 suivant une section conique, et Ton peut obtenir, comme sqr iecône ,« les trois sections coniques eUipge , parabole , hyperbole.

Les théorèmes 1 et 2 étant démontrés, nous allons faire voir comment le cône asymptote de Thyperboloide , setransformanten cet byperboloîde , un certain plan tangent au cône se transforme en un paraboloide (ou pUm gauche) tangent à Thyperboloide.

Prenons pour plan horizontal le plan X de là fig. 72 , et prenons pour plan vertical de projection un pian parallèle aux droites A et B. Alors nous aurons fig* 76 :

Les droites A, A, , A. verticales et projetées sur le plan horizontal en les points A*, A*. , A\ ; le point A* étant au milieu de la droite A *A\ , laquelle sera^la projection de la plus courte distance pq (fig. 72 ) existant entre les droites A, et B, , A, et B..

Les trois droites B, B. ,'B. se projetteront horizontalement suivant trois droites

parallèles entre elles B'^, B/, B\, et verticalement ces droites se projetteront suivant une seule et même droite B'^B^B^; les trois droites A, A , A, se projetteront aussi verticalement en une seule et même droite A'^A'',A\ perpendiculaire à la ligne de terre.

Le cône oblique aura pour sommet le point s intersection des droites A et B et pour base le cercle C.

L'hyperboloide à une nappe aura pour trace sur le plan horizontal le cercle D.

Si Ton coupe ces deux surfaces (cône et hyperboloide) par un plan horizontal X^ on aura pour section dans le cône un cercle G' dont la projection G'^ sera tangente au cercle G au point A\ et pour section dans l'hyperboloide un cercle D' dont la projection D'^ passera par les points A\ et A\.

D'après ce qui a été dit ci-dessus, si Ton mène par le point A^ une droite quelconque 1^, on aura la projection horizontale d'une génératrice I du cône oblique ^ et si par le point A,^ on mène une droite G* parallèle à I\ on aura la projection horizontale d'une génératrice G de l'hyperboloide; et comme l'on sait que les droites I et G sont parallèles entre elles dans l'espace , il faudra que les projections verticales V et G^ soient parallèles.

Si nous désignons par R le rayon du cercle G , par R' celui du cercle C\ par p celui du cercle D. et par p celui du cercle *D', nous remarquerons (fig. 76) que

les arcs bxei b'^x'^ sous-tendent l'angle. 6 A^a;, et que cet angle a son sommet sur l'une et l'autre circonférence G et G' (puisque son sommet est au point A^^ en4equel les deux cercles G et G' sont tangents l'un à Pautre) , on aura donc :

arc bx : arc A'V* :: R : R'

Il en est de même, pour les arcs bjf et 6/V* 4^' sous-tendent un même angle

b^k^y^ l'un dans le cercle D et l'autre dans le cercle D', puisque cet angle a son sommet en un point commun aux deux circonférences D et D"; on aura donc aussi :

arc bjd : arc 6/Y* : : p : p ou : : 6,A,* : 6/*A,*

Et Ton doit remarquer que les cercles G et D , G' et D' sont concentriques et que les droites 6ji,*, bJ^Al" sont les diagonales des rectangles inscrits dans les cercles D et D'.

Si nous concevons une suite de droites horizontales s' appuyant sur les droites A et I elles formeront un plan Z ; et si nous considérons une suite de droites horizontales s'appuyant sur les droites A, et G, elles formeront un paraboloïde hyperbolique ou plan gauche Z,. Et Ton doit remarquer que le plan X coupera le

plan Z sumni une droite paastnt par le point x et coupera le paraboloidie Z^ suivant une droite passant par le point v[.

On voit donc que lorsque Ton transforme le càue en lufperboUiiide en trans* portant A en A, et B en B,, on transforme la droite I en la droite G et le plan Z en lasur&ceZ,.

Maintenant supposons que nous avons pris sur la plus courte distance eiistant entre kesdroites A, et B, ou A. et B. un point n tel que Ton a :

ii*A * : A,*A.* ::v:v

Menons par ce point n une droite A'^ parallèle au plan vertical de projection , et qui soit telle que A"'"" passe par le point s" en lequel se coupent les droites B'' et A^ et fasse avec B"" un angle a , tel que désignant par 6 l'angle que les droites B^ et A^ font entre elles, on aura:

sina : sing :: V : v'

Alors on sait que les trois droites A'', B, et A, seront placées dans Tespace de telle manière que si de chaque point 6. de la droite B, ou abaisse des perpendiculaires sur A. et sur A'^, on aura, en désignant ces deux perpendiculaires, la première par 2p et la seconde par 2r :

2r : 2p : : v : t;' ou

Cela dit :

Par le point », sommet du cône , menons une droite A' parallèle à A'', la droite B sera telle par rapport à A' et à A que si de chacun de ses points b on abaisse des perpendiculaires sur A et sur A^ on aura , en désignant ces deux perpendilaires , la première par 2B et la seconde par 2p :

2p:2K::v:v ou

Gela posé :

Si nous considéronsles droites A et A' comme les axes d'un engrenage conique, si par le point ér du cercle G nous menons un plan perpendiculaire à Taxe A', et si nous traçons dans ce plan un cercle G, avec le rayon p et ayant son centre sur l'axe A", si nous supposons que le cercle G roule sur le cercle G., le pointa

engeadrera une épîcyoloîde sphéricfoe ^) et si nous faîAons la même chose pour chaque point de la droite B, on aura une suhe d'épicydoides sphériques ^'^ ^"y qui formeront un cône épicycloïdal ayant le point s pour sommet, et ce cône épicycloidal en tournant autour de Taxe A' conduira uniformément le plan Z en le faisant tourner autour de Faxe A, ainsi que pour la première fois, Hachette l'a démontré dans son TraUé des machines.

Gela dit , si de chaque point b^ de la droite B. on mène des plans perpendiculaires à l'axe A'', et que dans chacun d'eux on trace un cercle D, avec le rayon r, et ayant son centre sur J'axe A'", et si l'on suppose que le cercle D roule angulairement sur le cercle D,, le point b^ engendrera une épicydoîde annulaire 3, et chaque point de B, nous donnera ivie ^picycloide annulaire; ou aura donc une suite* d'épicycioîdes d, d^, i^y qui formeront une surface gauche A.

Et en effet, la surface obtenue sera réglée fCSiV si l'on suppose que le point x est un point de l'épicycloïde sphérique f^ , tous les points x' de la droite I seront les points homologues des épicycloides sphériques ^% puisque les cercles C , G',

auront roulé de la même quantité angulaire bX^'x.

Et de même , si l'on suppose que le point 9 est un point de l'épicycloïde annulaire d , tous les points y' de la droite G seront les points homologues des épicycloides annulaires d', puisque les cercles D , D", auront roulé de la même quantité

angulaire A.A/y.

Maintenant, lorsque deux surfaces. 9 et f' sont en contact par une ligne /, si Ton transforme 9 et (f en deux autres surfaces cp. et cp/, quel que soit le mode de transformation, on sait que 9. et 9/ seront en contact par une ligne /. transformée de/.

Ainsi : V le cône épicycloïdal et le plan Z étant tangent suivant la droite I; ^2" le plan Z se transformant en le paraboloïde Z. ; S"" la droite I se transformant en la droite G; 4"* le cône épicycloïdal se transformant en la surface gauche A; 6" la surface gauche épicycloidale A et le plan gauche Z. ayant en commun la droite G ; on en conclut que ces deux surfaces gauches épUycUndales et paraboUHdes sont tangentes Fuite à l'autre suivant la droite G.

Par conséquent , la sur&ce gauche et épicycloidale A en tournant uniformément autour de l'axe A'" conduira aussi uniformément le plan gauche Z. en le faisant tourner autour de l'axe A..

Remarquons : que lorsque Ton veut construire un engrenage conique sur les axes A et A', on' considère : 1* le cercle G roulant directement sur le cercle C. fixé à l'axe A'^ et son point b engendrant une éfHcycloîde sphérique, et que l'on doit considérer, 2"" le même cercle G comme roulant sur un cercle G, ayant le

point A^ pour centre et bA!" pour rayon et fixé dès lors à l'axa A ; et comme le cercle G a pour diamètre le rayon du cercle G,, la courbe donnée par le point b n'est autre que le rayon ftA*.

Par les mêmes raisons, lorsque l'on construira un engrenage hyperboUndique sur les deux axes A, et A'', il faudra considérer d'abord le cercle D comme roulant d'abord sur le cercle D', fixé à l'axe A^', son point b^ engendrant une épicycloide annulaire ; et considérer ensuite le même cercle D comme roulant sur un cercle D. ayant le point A,* pour centre et pour rayon 6.A,* ; et la courbe donnée par le point b^ ne sera autre que le rayon 6,A,^.

Ge sont toutes les droites horizontales telles que 6.A.^ données par les divers cercles horizontaux D 9 D',.... qui formeront le paraboloide ou plan gauche conduit par la surface réglée et épicycloidale. Mais il faut démontrer que le plan gauche engendré par une droite se mouvant horizontalement sur A, et B, n'est autre que le plan gauche engendrée par une droite se mouvant horizontalement sur A, et G.

Et en effet : 6/*A,^ est la projection d'une horizontale située dans le plan X' et s'appuyant sur B. et A.; fr.A,'^ est la projection d'une horizontale située sur le plan horizontal X et s'appuyant sur B. et A,.

Ges deux horizontales comprennent entre elles un angle qui est égal à l'angle

De mème^ y'^X^^esi la projection d'une horizontale située dans le plan X' et s'appuyant sur G et A,; i/A.^ est la projection d'une horizontale située dans le plan horizontal X et s'appuyant sur G et A,.

Ges deux horizontales comprennent entre elles un angle qui est égal à Tangle

Si 6.'*A,* arrivant en y'*A.\ 6,A,* arrive en même temps en i/A^ il sera démontré que les deux parabololdes sont identiques > en d'autres termes, qu'ils sont l'un et l'autre deux positions particulières de la même surface que l'on suppose avoir tourné autour de l'axe A,.

Or,pourquecequivientd'êtreditaitlieUjilsuffitquelesangles6/^.Â.'^.t/^et6,.A,.y

soient égaux ; et c'est cequi a lieu en efiTet, car : 4" l'angle A/*Ay estégalà Tangle

6/''. A.'^.y^y puisque ces deux angles ont leurs sommets sur la même circonférence

D'* et qu'ils sont sous-tendus par le même arc fr.'Y*> ^^ 2" l'angle ^.A,*.;/ est aussi

égal à l'angle é^'*.A/.i/'* par les mêmes raisons.

Tout ce qui précède nous démontre qu'il est possible de transmettre le mouvement de rotation entre deux axes A. et A'' non situés dans un même plan , par

des surfaces analogues à celles employées pour transmettre le mouvement de rotation entre deux axes A' et A qui se coupent. Et en vertu des proportions (1) et (2) établies ci-dessus , on voit que les axes dans les deux systèmes d'engrenages que nous venons de construire , systèmes qui sont la transformation l'un de

l'autre, auraient des vitesses qui seraient dans un rapport constant et égal à -, (*).

Ce qui précède nous conduit sans peine à voir comment on peut transformer un engrenage q/lindrique en un engrenage hyperbolmdique] et en effet :

Concevons deux axes parallèles A et A' perpendiculaires à un plan P et perçant ce plan , le premier en un point o et le second en un point o^

Concevons la droite oo dans le plan P, et sur cette droite un point m tel que

l'on aura : — =-.; v étant la vitesse de rotation de l'axe A et v celle de l'axe A'.

Traçons dans le plan P deux cercles» l'un C ayant son centre au point o et pour rayon om , et l'autre C" ayant son centre au point o' et pour rayon om ; traçons dans ce même plan P et sur o'm comme diamètre un cercle D.

Le cercle D roulant extérieurement au cercle C , le point m engendrera une épicycloîde plane d et le même cercle D roulant intérieurement sur le cercle C", le même point m engendrera le diamètre mo' que je désigne par d.

Et si l'on imagine un cylindre A ayant la courbe d pour section droite et un plan Z passant par la droite d et l'axe A', le cylindre A conduira uniformément le plan Z ; on aura ainsi construit un engrenage ofUndrique à dent épicycloîdale et k flanc.

Pour transformer cet engrenage cylindrique en un engrenage kyperbolcUdique qui soit son analogue parmi les engrenages que l'on peut construire et aptes à transmettre uniformément le mouvement de rotation entre deux axes non situés dans un même plan, il suffit d'employer et de réaliser les considérations géométriques suivantes :

Concevons par le point m une droite K perpendiculaire au plan P; et trois cylindres 2 9 2' et Q ayant pour sections droites respectives Jes^^erclesG, Cet D.

Ces trois cylindres de révolution seront tangents l'un à l'autre suivant la droite K .

Faisons tourner l'axe A' autour de la droite oo' pour le placer en A/.

C) Dans TouTrage que j'ai publié en 1842 , et qai a pour titre Théorie géométrique des engrenages destinés à transmettre le mouvement de rotation entre deux axes situés ou non dans un même plan , je n'ai point donné la tranafonnation, dont je Tiena de parler, d'nn engrenage conique ou cylindrique en un engrenage hyperbolotdique.

Faisons tourner Taxe A autour delà droite oo pour le placer en A..

Les deux droites A/ et A, ayant pour plus courte distance la droite oo\ et de plus ces deux droites étant telles qu'en faisant mouvoir sur Tune et l'autre et parallèlement au plan P une droite G , cette droite G s'appuie en toutes ses positions sur la droite K et engendre un paraboUnde ou plan gauche Z..

Si, par les droites A/ et K , on fait passer deux plans rectangulaires entre eux , ils se couperont suivant une droite I qui appartiendra à un hyperboloide à une nappe R. , dont les plans des sectioDs circulaires seront respectivement perpendiculaires aux droites K et A/, ainsi qu'on l'a vu ci-dessus.

Cela dit :

ImaginonsuD hyperboloide à unenappe et de révolution R engendré par la droite K tournant autour de Taxe A,, si par un point x de la droite K on même un plan P perpendiculaire à Taxe A, , ce plan coupera l'hyperboloîde R suivant un cercle C,, et si par ce même point x on mène un plan parallèle au plan P, ce plan coupera Fhyperboloide R, suivant un cercle D. ; et ce cercle D, roulant angukdrement sur le cercle C. son point x engendrera une épiùycUnde annulaire y.

Si, pour les divers points a;', x", etc. , de la droite K!*, nous exécutons des

constructions semblables à la précédente, nous obtiendrons une suite (f épicycUidés annulaires y, y y y\^... etc., qui formeront une surface réglée ei épicydcMale A^ qui se mettra en contact avec le paraboloide Z. par une de ses génératrices droites.

Il est évident que nous venons de construire un engrenage hyperbolcidique j en partant de l'engrenage cyliadrique, qui est identiquement le même que celui que nous avions construit précédemment en partant de l'engrenage conique.

Ainsi , il est démontré que l'on peut transmettre le mouvement de rotation uniforme entre deux axes non situés dans un même plan , au moyen de dents terminées, pour l'une des roues par une surface épicyclmdale et réglée y et pour l'autre roue par une surface paraboloide hyperbolique.

Et comme pour toute surface gauche ou réglée il suflfit de connaître trois directrices courbes , il nous suflBra , pour construire la surface épicycloîdale gauche , de déterminer trois épicycUAdes annulairesy^ y\ y\ et de faire mouvoir une droite sur ces trois courbes directrices.

D'après ce qui précède , il sera facile d'exécuter l'^iire d'un engrenage bsgpsrboloîque à flanc gauche, nouvel engrenage dont j'ai oublié de parler dans mon Traité sur les engrenages , lorsque j'ai donné plusieurs de ceux^au moyen desquels on pouvait transmettre, et utilement dans la pratique, le mouvement de rotation entre deux axe s non situés dans un même plan.

§ JH.

De l*empl(ri (Tun cercle roulani angûlairemenl sur un autre cercle ,

dans la construction des chemins de fer.