PREMIER SYSTÈME

Concevons deux cercles horizontaux et concentriques C et C, (fiy, 77), et

une droite sm^ ne passant pas par le centre o des deux cercles. On peut se proposer la question suivante :

Étant donné un cône de révolution A dont te demi-'Ongle au sommet est égal à a , placer ce cône de manière» à ce quHl touche le plan des deux cercles C et C,, par une générairice droite dirigée suwani la ligne sm,, et de manière à ce que les deux cercles mq ei tnq, de ce cône A j qui touchent anguUdrement les cercles G et C, en les points m et m,, aient leurs rayons proportionnel» à ceux de ces mêmes cercles Cet G,.

Solution. On mènera la droite mp perpendiculaire à sm^ et égale au rayon p du cercle G ; on mènera la droite m,p. perpendiculaire à «m, et égale au rayon p. du cercle G,; on unira les points p et p, par une droite qui coupera la droite donnée de position «m, , en un point Sj qui sera la position que le sommet du cône A devra occuper sur la droite sm,.

Et en effet, les triangles smq et smp, smjq, et «m,p, seront semblables et l'on aura :

tnq : m,ç. '• : p : p, .

Dès lors, en supposant que le cercle mq roule angulairement sur le cercle C, Tangle que le plan du cercle mq du cône A fait avec la tangente en m au cercle C restant constant, dès lors, dis-ge, le cercle m,q, du cône A roulera aussi angulairement sur le cercle G,, l'angle que son plan feit avec la tangente en m, au cercle C, restant aussi constant.

Si donc, on suppose que l'axe commun des deux cercles C et G, est fixe , le plan des deux cercles C et G. pouvant librement tourner autour de cet axe ; si l'on suppose aussi que l'axe du cône A est fixe, le cône A pouvant tourner librement autour deson axe ; en imprimant au cône A un mouvement de rotation autour de son axe , ce cône fera tourner les deux cercles ; et les couples de cercles C et mç, G. et m/f, rouleront angulairement l'un sur l'antre.

Mais si le plan des cercles G et G, est fixe, et que dès lors le cône A doive

non-seulement tourner autour de son axe, mais encore autour de celui des cercles C et C,, le sommet s de ce cône A devant parcourir, dès lors, un cercle B concentrique aux cercles C et G/, un pareil mouvement circulaire du 4:ône A ne pourra avoir lieu qu'au moyen d'ua mécanisme qui forcera le sommet s à parcourir le cercle B, et qui forcera en même temps la droite sm, à couper, sous un angle constant , le cercle C ou le cercle C^. Le mécanisme le plus simple que Ton puisse employer est évidemment le

Plaçons i|n second cône A' (Jig. 77 ) identique au cône A de l'autre côté de la droite oa, , menée par le centre o et parallèlement à la droite «m„ et de manière à ce que les sommets s et s' des deux cônes A et A', soient sur une perpendiculaire à la droite m, et à égale distance de cette droite.

En supposant que les axes k et A' des cônes A et A' sont reliés Tun à l'autre d'une manière invariable, si Ton pousse le système de ces deux cônes sur le plan des deux cercles C et C. , les cercles tnq et mq rouleront angulairement sur le cercle C et aussi les cercles m,47;et m,'q' rouleront angulairement sur le cercle Q, et ce mouvement de rotation s'opérera géométriquement, sans que les ax^ A et A' changent de distance entre eux , en d'autres termes , le rectangle mm'm}n\ formé par les quatre points en lesquels les cercles G et C. sont touchés angulairement par les cercles mq, m'q, m,q„ m,'q! des cônes A et A\ ne changera pas de forme pendant le mouvement de rotation du double système conique, sur le plan des cercles C et C, .

Nous venons de dire que le mouvement de rotation s'opérait géométriquement, et cela, quelle que fût la distance mm' entre les axes parallèles A et A' des cônes A et A', mais si l'on considérait le problème sous le point de vue mécanique , alors , cette distance mm' des axes A et A' ne serait plus arbitraire.

Examinons le problème sous le point vue mécanique.

Le système conique sera animé d'une vitesse V; comme il tourne circulairement, la force centrifuge se trouve développée à chaque instant du mouvement. Désignons cette force par F et par r le rayon du cercle parcouru par le centre de gravité du système conique^ et supposons que le centre de gravité se projette sur le plan des cercles C et G, au milieu du rectangle mm'^ m,m'] désignons par 2d la distance mm entre les axes A et A", et par /la distance entre les points m et m,, m' et m/.

Le cercle mq en roulant angulairement sur le cercle C développera un frottement de rotdement angulaire, désignons cette résistance par/, et par/ celle donnée par le cercle mjq, roulant angulairement sur le cercle G,.

Les frottements développés en m' par le cercle m'q roulant sur le cercle G,

eieû m/ par le cercle m'q' roulant sur le cercle C„ auront respectivement les mêmes valeurs que ceux développés en m et m..

Ces frottements seront dirigés suivant les tangentes en m et m' au cercle C et suivant les tangentes en m, et m/ au cercle G..

Les tangentes en met m' se couperont en un point y (fig. 78), sur la droite oa, et les tangentes en m. et m/ se couperont en un point y, située sur la même droite oa,.

Et comme les frottements en m et m' sont égaux , leurs résultantes K sera perpendiculaire à oa., de même la résultante K, des frottements en m. et m/ sera perpendiculaire à oa,.

Gela posé :

Galculons les forces F, K et K,.

Désignons par 6 l'angle que le rayon am (fig. 78) fait avec la droite oû„ et par S. l'angle que le rayon om, fait avec cette même droite. On aura :

K=2./.cos6 et

K.=2./.cos6..

Et comme : cos6=: — et que : oî;= k om'-f-mt', on aura :

Calculons la distance au centre o des points y et y, points d'application des résistances K et K, , nous aurons :

om"

Calculons la distance au centre o du centre b du rectangle mmjrnm'. Ce

— Ui — point * étant la projection du oeotre de gravité du systène, on a«ra:

o6=(»+«6«iO+V/VHK) (3)

Calculons yy, ; on aura

Cherchons maintenant la résultante Z des forces parallèles K et K, et son point z d'application, nous aurons :

Z = K+K.= I\/ v+ïr+ L.\/4^j^:^ (4)

Et par suite

oz=oy+yz=/^\/V+(f+ei ^ ^^ : (5)

On aura aussi : F= — ;= , le poids du système étant représenté par P, la vitesse

par V, et 6b étant le rayon du cercle décrit par le centre de gravité, rayon que nous représenterons par h.

Cela posé :

En vertu de la force centrifuge le système conique est chassé sur le plan des cercles C et C, , et dans la direction du rayon de ces cercles , et il se développe en chacun des quatre points m^m\m,^m\ un frottement de glissement qui annulera la force centrifuge lorsque l'on aura :

n étant le coefficient du frottement de glissement (coefficient dont la valeur dépend de la nature des matériaux), et g étant égal à 9^,%Q% (9 est ce que l'on est convenu d'appeler la gravité).

On pourra donc calculer 06, ou le rayon h du cercle que doit parcourir le

centre ée gravité , pour que sous la Vitesse donné V on puisse laisser de «ôié ia force centrifuge (en d'antres termes, ne pas y avoir égard), puisqu'elle sera, à chaque instant du moovœient circulaire , détruite par le frottement de gHssement qu'dle tend à faire naître paraUélement i la droite ob.

On connaîtra donc p ea fonction de ob^ de / et de cf, au moyen de l'équation (3) et Pi aussi en fonction de 06, de < et de rf, au moyen de l'équation ( 8 bis).

Maintenant, pour que le système puisse tourner en cercle , il faut que la résistance Z ne passe pas par le centre de gravité du système, car alors^les c6nes chemineraient en ligne droite. H faut donc que oz ne soit pas égal à ob; de plus pour que le système tourne autour du point o, il faut que Ton ait 02<âS; et encore, il faut que pendant que le système tournera autour du centre o d'un angle-/, la force Z fasse tourner de ce même angle y le système autour de son centre de gravité 6. On devra donc avoir, en désignant par T la force de traction appliquée au centre de gravité b et agissant perpendiculairement à ob ,

ob. Tî=fe^Z

Or ob est connu par l'équation (6) , T est donné à priori , Z est donné par l'équation (4) , et bz sera connu au moyen ides équations (3) et (5).

L'équation (7) nous donnera dès lors une relation entre :/)/, p, p. » ^ et d, d'où l'on tirera d.

Mais il faut connaître/ et/, et nous ignorons encore la valeur des coefficients des frottements de roulement angulaire , pour pouvoir appliquer cette théorie à la pratique des chemins de fer (^).

Toutefois ce qui précède démontre que tel doit être le système pour que le frottement soit le minimum qu'il puisse être, c'est-à-dire un frottement de roulement angulaire.

SEUXIÈIfE SrSTÊME.

Imaginons deux cercles horizontaux et concentriques G et G. {fig. 79) , ces deux cercles étant dans un même plan P.

(♦) Des expériences tendant à donner le coefficient du roulement angulaire seraient trèsiUiles , car ces sortes de frottement se présentent plus souvent qu^on ne le croit dans la pratique des arts industriele.

Trrmamm

Concevons deux cônes égaux et de révoluUon B et B. ayant même axe A , et ayant une même base circulaire ; le cône B ayant son sommet au point ti (ii*, u") , et le cône B. ayant son sommet au point u. iu^, u:y, plaçons ces deux cônes sur les cercles C et C. de manière que le cône B louche, le cercle C en un point m (m\ nC) et que le cône B, touche le cercle C. en un point m, (m.*, m/) , la droite mm, ne passant pas, d'ailleurs , par le centre o des deux cercles C et C,.

Gela posé , résolvons la question suivante :

S(mquel angle doU-on incliner l'axe A pour que les cerdeê par tesqueU les canes B et B. {se mouvant simuUanémenî sur les cercles C et C.) aient des rayons proportionnels à

ceux de cesmémes cercles C et C, ?

Faisons passer par Taxe A, supposé d'abord horizontal, un plan vertical Q, ce plan coupera le cône B suivant une génératrice vk et le cône B, suivant une génératrice v,k, ces deux droites comprendront entre elles un certain angle «.

En faisant mouvoir Taxe A du double cône dans le plan , le point k décrira un segment capable de l'angle a, puisqu'il faut que les arêtes vk et x,k passent toujours par les points m" et m,\ Décrivons le cercle D dont le centre sera en o, ce cercle D étant celui que le point k décrit.

Abaissons du point k une perpendiculaire sur l'axe horizontal A, on aura le point /; et en inclinant l'axe A, le point / décrira un cercle D, ayant le point o pour centre et ol pour rayon ; et en toutes ses positions l'axe A sera tangent au cercle D, .

Cela posé :

Menons4)ar les points m et m, et dans le plan P des cercles C et C, des perpendiculaires à la droite mm, , et prenons ces perpendiculaires respectivement égaies aux rayons p et p, des cercles C et C, , nous construirons le point s de la même manière que précédemment dans le premier système.

Si par ce point s nous menons une droite A' tangente au cercle D, , nous aurons la position demandée de l'axe A.

Et en effet :

Si des points m' et m,^ nous abaissons des perpendiculaires sur A\ nous aurons les triangles s^'m'z, J'tvl'p et s^'m.^z, , tf^m^^pi qui seront semblables.

En cette position , le double cône roulera angulairement sur les cercles C et C, , k le cercle du rayon mz roulant sur le cercle C et le cercle du rayon m,z roulant

I sur le cercle C,.

I Nous pourrons ensuite concevoir un second double cône; et ces deux doubles

cônes symétriquement placés par rapport à un plan vertical passant par le centre o (les axes des deux systèmes coniques étant parallèles à ce plan) rouleront librement et angulairement sur les deux cercles C et C».

Et les calculs que nous avons faits pour le premier système se reproduiront pour

le deuxième système, car il est évident que les deux doubles cônes peuvent être considérés comme deux cônes simples; car le double premier cône peut être évidemment considéré comme uû cône simple ayant son sommet en « , et pour base le cetcXe du rayon mz où le cerde du rayon m^.

Toutefois , il faut remarquer que l'on ne pourra plus calculer, le rayon ob du cercle décrit par le centre de grarvité sous la vitesse V par la formule (6). On devra le calculer par une nouvelle formule que nous allons établir ainsi qu'il suit :

Le système du double cône pourra être remplacé par une sphère 2, ayant pour grand cercle le cercle D sur lequel se meut le point fc; et l'on pourra toujours supposer {fig, 80) que le centre de gravité est projeté en b milieu du rectangle formé par les quatre points d'appui, m, m'y m., m/ du système, sur les cercle C et Q.

Dès lors, la force centrifuge agissant sur le centre de gravité e tendra à faire tourner la sphère 2 autour de son centre o\ et cette sphère frottera sur les points m et m.. En chacun de ces points, il se développera un frottement de glissement sous la pression N dirigée suivant le rayon de la sphère 2 passant le point considéré.

Cette pression N sera &cile à calculer en fonction de l'angle d compris «ntre les deux rayons oW et om/, car le poids P agira verticalement et sa direction passera par le centre de gravité e et par suite par le centre o de la sphère 1 en vertu de l'hypothèse faite, savoir : que le centre de gravité se projette au milieu du rectangle mm'mjn'.

Il faudra donc, en désignant par F la force centrifuge, par r la distance oe, par R le rayon de la sphère 2, parn le coefficient de frottement, poser l'équation :