IP

rr' sera parallèle aux droites pq' et pq, et de plus les points r et r' seront respectivement les milieux des droites pp' et q(/. Ce même pian X ne pourra pas être parallèle à la droite G,^ puisqfu'il est assujetti à être parallèle à la diagonale bb',, il coupera dès lors la droite G. en un point m qui ne pourra avoir que deux positions.

Ge point m pourra : *• être situé entre les deux droiftes rp et çr* (fig. 83 ) , ou 2^ èlre situé en dehors de ces droites {fig. 84): dans le premier cas on pourra construire une ellipse E ayant rr' pour diamètre et passant par le point m ; dans le deuxième cas on pourra construire une hyperbole (H , H') ayant rr' pour dis^mètre et Tune de ses branches H' passant par le point m.

Il est évident que l'on pourra toujours diriger le plan sécant X de manière à ce que le point m soit situé comme {fig. 83) entre les deux droites rp et rq.

Gela posé :

Remarquons que le système circulaire r^résenté {fig. 73) peut lacilemeiit être transformé en un système elliptique ; car il suffit de &ire passer, par chaque droite un plan vertical et par chaque cercle G et D un cylindre de révolution ; et de couper tout le système, ainsi obtenu dans l'espace, par un plan quelconque; les cylindres seront coupés suivant des ellipses semblables , semblablenent placées et concentriques, et les plais parallèles entre eux suivant des droites parallèles entre elles.

Si donc ( fig. 85 ) ayant le parallélogramme P4p V ^^ l'ellipse E qui a rr' pour diamètre , on mène les droites rx et r'x se coupant en un point x de l'ellipse E ; puis si l'on mène par le point p la droite px, parallèle à r« et par le point q' la droite q'x^ parallèle à rx , les droites p'x^ et q'xt se couperont en un point Xi qui appartiendra à une ellipse E( passant* par les quatre sommeto du parallélogramme et qui sera semblable et semblablement placée et concentrique par rapport à l'ellipse E.

Cela dit :

Nous pourrons considérer (fig. 82 ) un €6ne ayant son sommet au point o et ayant pour base l'ellipse E^ etfaire passer par la droite A, un plan P et par la droite B. un plan Q, ces.plans étant tels qu'ils se coupent suivant une génératrice I du cône (o, E).

Nous ferons ensuite passer par la droite A' un plan P, parallèle à P et par la droite B' un plan Q, parallèle à Q ; les deux plans P, et Q. se couperont suivant une droite G parallèle à I.

Nous pourrons de même faire passer par la droite A un plan Q. parallèle à Q et par la droite B un plan P, parallèle à P; les deux plans P. et Q, se couperont suivant une droite H parallèle à I.

£i comme ( fig. 85) les trois points a;.^ x, x, sont en ligne droite , et que cette droite est tangente eux k Tellipse E , il s'ensuit que les trois droites parall^es I, G , H seront dans un même plan T passant par le point o sommet du cône (o, E) et tangent à ce cône suivant la génératrice I.

Nous pourrions reproduire ici, et identiquement, ce que nous avons dit lorsque le cône avait pour directrice un cercle ; il est donc bien démontré, sans avoir besoin de recourir à l'analyse , et en ne se servant que des méthodes de la géaméirie descriptive , que la surface engendrée par une droite se mouvant sur trois droites données est :

1" Une surface doublement réglée ;

2*" Qu'elle a un cône asymptote ;

S*" Qu'un plan la coupe suivant une section conique;

l"" Que tout plan coupe cette surfece réglée et son cône asymptote suivant deux sections coniques semblables , semblablement placées et concentriques; etc., etc.

La surface que l'on obtient est donc un kyperbokide à une nappe.

On peut généraliser la construction que nous venons de donner, et de la manière suivante (*).

Concevons un cône 2 ayant un point s pour sommet et pour base une section conique E (ellipse, parabole ou hyperbole).

Prenons deux génératrices droites quelconques G et G' sur ce cône 2; construisons les deux pians T et T' tangents à ce cône 2, Tun suivant G, l'autre suivant G'. •

Ces deux plans T et T^ se couperont suivant une droite D passant pkr le sommet s.

Prenons sur la droite D djeux points p et p^ équidistants du point 9, l'un à droite et l'autre à gauche de ce point s.

Menons par le point p une droite A parallèle à G, et par le point p' une droite A' paralélle à G'.

Cela fait , faisons passer par G un plan P et par G' un plan P", ces deux plans se coupant suivant une droite I génératrice droite du cône 2^

Faisons passer par la droite A un plan Q parallèle à P et par la droite A' un plan Q' parallèle à P"; ces deux plans Q et Q' se couperont suivant une droite K parallèle à I, et toutes les droites K formeront un hyperàçlàide à une nappe ayant le cône 2 pour cône asymptote.

C) Foyex les notes sur les sorfaees gauches que jVi publiées dans le Bulletin de la Société philomatique, séances des l«r décembre 1832 et 2 mars , 22 juin , 10 août 18S3.

On peut, d'après ce qui précède , énoncer te théorème suivant :

Étant données une section conique t (ellipse , parabole ou hyperbole) et deux tangentes 9 et 6, à cette courbe , ces tangentes se coupant en un point 9 et touchant la courbe e, savoir : 6 en un point x et 6, en un point x^ ; si sur 6 on prend deux points y et y, équidistants du point x et que l'on mène par chacun d'eux une parallèle à la corde ocx^ , savoir : D par le point y et D. par le point y.; la droite D coupera 6. en un point z et la droite D. coupera 9. en un point %,.

Si par un point arbitraire m de la section conique s on mène les droites mx et mx^ j et que par le point y on mène une droite Y parallèle à mx et par le point y, une droite Y, parallèle à mx^, ces droites Y et Y. se couperont en un point n qui appartiendra à une section conique e, qui sera semblable, semblablement placée et concentrique à la courbe donnée e; et la courbe e, passera par les quatre points y y y^yzetz,.

Pour démontrer géométriquement ^ au moyen des méthodes de la géométrie descriptive f que la surface engendrée par une droite s'appuyant sur trois droites non parallèles à un même plan, est un hyperboloîde à une nappe, nous avons considéré le paralléiipipède construit sur les trois droites données , et nous nous sommes appuyé sur ce que le centre de ce paralléiipipède était l'intersection des trois plans diagonaux de ce solide ; ces plans diagonaux étant déterminés respectivement par les droites parallèles A et A', B et B', G et G". Mais, sans employer le paralléiipipède, on peut démontrer directement que si l'on a trois droites A, B et G et que Ton construise trois nouvelles droites , savoir :

A' parallèle à A et s'appuyant sur B et C, B' parallèle à B et s'appuyant sur A et G , G" parallèle à G et s'appuyant sur A et B.

Les plans P déterminé par A et A",

Q B et B',

R C et G',

se couperont en un point o qui sera équidistant : l"" des droites A et A'; 2'' des droites B et B"; et 3"* des droites G et G'.

Nous pourrons toujours prendre les plans de projection de manière à ce que {fig. 86) la droite A soit perpendiculaire au plan horizontal et que la droite B soit parallèle au plan vertical.

La droite A' parallèle à A et s appuyant sur B et C aura donc pour projection horizontale le point A'* en lequel se coupent B* et C*.

La droite B' parallèle à B s'appuyant sur A et G aura donc sa projection B'* parallèle à B* et passant par le point A'^.

La droite C parallèle à C et s' appuyant sur A et B aura doue sa projection horizontale G^ passant par le point A^ et parallèle à C\

Dès lors, sur le plan horizontal les droites parallèles fi^ et fi'\ G^ et C^ détermineront un parallélogramme A*; A''^, 2^, %^ ; et les poinU J" et %^ seront les projections horizontales dea points z et % en lesquels se coupent les droites B et C, B' et C.

Le plan P passant par les droites A et A' sera, vertical , et il sara coupé par le plan Q passant par les droites B et B' suivant une droite I qui se projettera suivant la droite H' qui unit les points A^ et A'^.

Cç même plan P sera coupé par le plan R passant par les droites C et C suivant une droite K qui se projettera suivant la même droite H'.

Et les plans Q et R se couperont suivant une droite L passant par les points z et z et se projetant dès lors en la droite L* qui unit les points J" et z"".

Or, les droites L^ I et K se couperont en un même point qui aura pour projection horizontale le point d'intersection des projections horizontales L^, l'^ et K*, c'est-à-dire le point 0* centre du parallélogramme A*, A'*, **, z'*.

Le point sera (jonc également distants des droites A et A', B et B', C et G'.

Problème 2. Couper un cône de révolution suxvani umelUpse dont les axes soient dans un rapport donné.

Soit donné un cône de révolution A {fig. 87 ) ayant son axe A vertical et pour base le cercle B et le sommet de ce cône étant au point s \ on peut regarder ce cône comme le. cône asymptote d'une infinité d'hyperboloides de révolution et à une nappe ayant tous pour axe l'axe A et pour centre le point s.

Pour construire un de ces hyperboloîdes, il suflSt de mener par le sommet s une droite I horizontale, ou, en d'autres termes, perpendiculaire à Taxe A; démener par cet axe un plan méridien M coupant le cône A suivant deux génératrices G et G, ; de prendre sur la droite 1 un point m arbitraire, et de mener par ce point m deux droites K et K. respectivement parallèles aux droites G et G, et qui en tournant autour de l'axe A engendreront un hyperboloîde de révolution , toutes les positions de K étant les génératrices du premier système , toutes les positions de K, étant les génératrices du deuxième système de cet hyperboloîde.

Concevons cet hyperboloîde construit.

Il est facile de couper un hyperboloîde à une nappe et de révolution par un plan suivant une ellipse dont les axes sont dans un rapport donné; et en effet :

Si par le centre s de l'hyperboloîde on mène un plan coupant cette surface suivant une ellipse, le petit axe de cette ellipse sera toujours égal au rayon du cercle de gorge, quelle que soit la direction du plan sécant.

n suffira donc d'inclioér le plan sécant par rapport à Taxe A ou par rapport au plan du cercle de gorge , de manière à ce que le grand axe de la section dliptique soit au rayon du«ercle de gorge dans le rapport voulu. Et il sera facile , le rapport entre les axes étant ()onné, de construire' la longuenr de ce grand axe; et en effet :

Ayant deux droites perpendiculaires entre elles (fig. 81)ob et oa dont le rap* poft est celui des axes de la section à chercher , on portera sur le petit côté ce une droite op égale au rayon m# du cercle de gorge , et en menant pq parallèle à 6a on aura en oq la longueur du grand axe de l'ellipse suivant lequd le plan passant par le centre s de Thyperboloide doit couper cette surface.

It suffira donc de décrire du centrer et avec un rayon égal à oq une sphère, laquelle coupera l'hyperboloide suivant deux cerdes ou pamUéles i et if égaux entre eux et équidistants du cercle de gorge.

Et tout plan tangent au cône A. ayant le cercle ou parailéle i pour base ^ le point 8 pour sommet coupera Thyperboloide suivant une ellipse dont les axes

seront entre eux dans le rapport donné et égal à ~ ; et tout plan parallèle à l'un

de ces plans coupera le cône donné A suivant une ellipse dont les axes seront dans le même rapport (*).

Toutes les constructions graphiques sont exécutées sur la fig. 87, et, au moyen de la notation adoptée, il sera facile de lire sur V épure les diverses constructions graphiques à exécuter successivement à mesure qu'on lira les raisonnements géométriques précédents.

Le problème que nous venons de résoudre peut être présenté sous un autre énoncé, savoir:

Faire passer par une section conique E donnée par son tracé un cône de révolution dont l'angle au sommet soit égal à a.

La solution du problème ainsi énoncé est facile au moyen de la focaie H de la section conique donné E. «

Et en effet :

Ayant construit la courbe focale H de fa section conique E , et se rappelant que la courbe H est une ellipse o\k une hyperbole, si la courbe donnée E est une hyperbole

{*) Depuis enriron quinze ans , je donne dans mes cours la solntion de ce problème afin de montrer que certains problèmes relati£i an cône se résolyent plus facilement en remplaçant le cône par l'hyperboloide , tont comme certains problèmes sur l'hyperboloide se résolrent plus facilement en remplaçant lliyperboloide par son e6ne uywapMe , ainsi qa^aa Ta vu précédemment lorsqu'il s'est agi de démontrer que lliyperboloïde à une nappe était coupé par un plan suîTant une section conique.

ou une eUipêCy on deyra décrire sur le grand axe de l'ellipse E ou sur Taxe transverse de l'hyperbole E un segment capable de Tangle donné a; ce segment coupera Thyperbole focale Hou l'ellipse focale H en deux points qui seront les sommets de deux cônes de révolution satisfaisant à 1^ question.

Toutefois, on doit remarquer que lorsque la section conique donatée E est une elUpse , la focale H étant une hyperbole , le problème est toujours possible , quelle que soit la grandeur de l'angle a. *

Mais lorsque la section conique E est une hyperbole , la focale H étant une ellipse, l'angle donné a ne doit pas être plus grand que l'angle compris entre les deux droites menées de l'extrémité de Taxe vertical de la focale H aux deux sommets de l'hyperbole E; ou, en d'autres termes, ne doit pas être plus grand que l'angle des deux asymptotes de cette courbe E.

Si la section conique donnée E est une parabole , la focale H est une parabole , et l'angle a peut être dans ce cas entièrement arbitraire, comme dans le cas où la section conique E était une ellipse (^).

Problème 3. Par une seciUm conique donnée par son tracé ^ faire passer un hyperboloide à une nappe et de révolution.

Étant donnée une section conique e (ellipse, parabole ou hyperbole), on sait que Ton peut faire passer par cette courbe une infînité de cônes de révolution, et que pour cela faire il suffit de construire la focale H de la courbe e ; et l'on sait que chacun des points de celte focale pourra être considéré comme le sommet d'un cône, qui ayant e pour base, sera de révolution.

Concevons donc la courbe e donnée et la focale H construite ; prenons sur H un point «, nous aurons le cône de révolution A ayant s pour sommet et e pour base.

Unissons le centre o de la courbe e au point «, nous aurons une droite D.

Tout plan parallèle au plan de la courbe e coupera le cône A suivant une section conique z semblable à la courbe e et ayant son centre o' situé sur la droite D.

Nous pouvons considérer le cône A comme le cône asymptote d'une infinité d'byperboloîdes à une nappe et de révolution ayant leur centre en s et pour axe Taxe du cône A , et l'on sait que cet axe sera une droite A tangente en s à la focale H.

Menons un plan T tangent au cône A suivant une droite G , et traçons dans le

(*) Voyez mon Cours dé géométrie ieseriptivey lithographie pour les élèves de TÉcole centrale des arts et mannfactnres.

plan T une droite K parallèle à G. La droite K, en tournant autour de l'axe A , engendrera une surface de révolution qui ne sera autre qu'un hyperboloïde à une nappe ayant le cône A pour cône asymptote.

La droite K percera le plan de la courbe e en un point x qui sera hors de cette courbe; faisons glisser la droite K et la droite G le long de la droite D et parallèlement à elle-même , cette droite K prendra dans l'espace diverses positions K', K^\... lesquelles seront parallèles entre elles , et perceront le plan de la courbe €

respectivement aux points x\ x\ et tous ces points seront sur une droite B,

qui ne sera autre que l'intersection du plan de la courbe e et d'un plan P passant par la droite K et mené parallèlement à la droite D; ce plan P sera parallèle au plan qui contient G et D, donc la droite B sera parallèle à la droite og. Cette droite B coupera la courbe s en deux points ou lui sera tangente en un point ou ne la rencontrera pas.

Si par l'un des points de rencontre de la droite B et de la courbe e, on mène une droite K, parallèle à K, et que l'on fasse tourner cette droite K. autour de Taxe A , elle engendrera un hyperboloïde de révolution qui sera coupé par le plan de la courbe e suivant cette courbe e elle-même; et cela doit être puisque des plans parallèles coupent une surface du second degré suivant des courbes semblables.

On voit donc que l'on pourra faire passer par la courbe s une infinité d'hyperboloîdes à une nappe et de révolution^ ayant la droite D pour droite diamétrale commune, car Ton peut prendre pour point x un point tellement placé sur H^, trace du plan T, que la droite B parallèle à la droite og coupe en deux points ou touche en un point la courbe e.

Lorsque la droite B coupera la courbe e en deux points , c'est que l'on pourra construire deux hyperboloides ayant des cercles de gorge égaux, mais séparés, ou, en d'autres termes, situés respectivement dans deux plans parallèles, ces deux surfaces se pénétrant d'ailleurs suivant la courbe e.

Lorsque la droite B touchera la courbe e » c'est que les deux hyperboloides se réduiront à un seul.

Et lorsque la droite B ne rencontrera pas la courbe e» c'est que pour le cône considéré et qui a son sommet au point «, on ne peut pas construire un hyperboloïde ayant pour rayon de son cercle de gorge la plus courte distance existant entre les droites G et K; la droite K sera trop éloignée de la droite G; il faudra dès lors rapprocher le point x du point 9, ou, en d'autres termes, prendre la droite K plus près de la droite G, pour que l'hyperboloïde puisse exister.

lÉJil* » "■ ---m. > **fc*^-

Sur V épure {fig. 88), toutes les constructions sont exécutées, et au moyen de la noiaîim adoptée il est facile de les lire.

Les divers hyperboloîdes de révolution qui passent par la section conique donnée e {fig. 88) et qui ont pour cône asymptote un cône parallèle au cône A , lequel a son sommet au point 9 et pour axe la tangente A en ce point s à la focale H , jouissent d'une propriété remarquable et que je vais faire connaître.

Concevons d'abord (fig. 89) un cône A de révolution dont Taxe A est vertical et ayant son sommet au point 9 et ayant pour base le cercle B et dont le demi-angle au sommet soit représenté par a ; en faisant glisser ce cône A parallèlement à lui-même ( son sommet se mouvant sur l'axe A ) en transportant le sommet s en ê\ os étant égal à os', on aura un nouveau cône A' qui aura pour base sur le plan horizontal le même cercle B.

Ces deux cônes A et A' peuvent être considérées comme deux hyperboloîdes dont le rayon du cercle de gorge serait nul.

Par le cercle B nous pourrons faire passer un fayperboloîde 2. ayant le cercle B pour cercle de gOrge et dont la courbe méridienne sera une hyperbole dont les asymptotes comprendront entre elles un angle égal à 2a ; dès lors le cône A ayant glissé parallèlement à lui-même (son sommet s' étant transporté en o, centre du cercle B)en la position A. , et en cette nouvelle position A., ce cône sera asymptote à rhyperboloîdel,.

Si l'on conçoit une suite d' hyperboloîdes de révolution ayant Taxe A pour axe commun et ayant chacun pour cône asymptote un cône dont le demi-angle au sommet soit égal à a et passant tous par le cercle B, je dis que le lieu de tous leurs cercles de gorge sera un ellipsoïde de révolution dont Téquateur sera le cercle B et dont les sommets seront les points s eis.

Et en effet :

Désignant par R le rayon du cercle B base du cône A , et par h la hauteur du sommet s du cône au-dessus du plan de la base B ; on aura :

~ = tang a ,

Si nous prenons Taxe A pour axe des y et la trace H" du plan méridien M parallèle au plan vertical de projection ( fig. 89) pour axe des x, l'origine des coordonnées étant alors au centre o du cercle B, l'équation d'une hyperbole 2, tracée dans le plan méridien M ( cette courbe 2. ayant son centre Sn sur l'axe A , son axe imaginaire dirigé suivant l'axe A et ses asymptotes faisant entre elles an angle égal à 2a) sera :

Ill*l

p' p^ tang* a

6 représentant la distance du centre %,. de cette hyperbole 2, au centre s du cerde B , et p représentant Taxe réel de cette même courbe 2..

p et 6 seront donc les coordonnées du point m» sommet de Thyperboie 2,, et si Ton établit que cette hyperbole 2, passe par le point m, du cercle B , ou en d'autres termes que l'hyperboloïde de révolution ( engendré par cette courbe \ tournant autour de l'axe A) passe par le cercle B, il faudra dans l'équation (1) faire a:= R et t/:=:0; dès lors :

OU

p' tang' a Rotang" a = 6'+p'tang

sera l'équation du lieu des divers somm^^ m», des diverses hyperboles 2,. Cette équation (2) est celle d'une ellipse ayant le point o pour centre et pour axes : R et (R. tanga).

Par conséquent, le lieu des cercles de gorge des divers hyperboloîdes qui passent par le cercle B, qui ont tous pour axe l'axe A et dont les cônes asymptotes sont tous égaux entre eux et ont le demi-angle au sommet égal à a, est un ellipsaide de révolution ayant le cercle B pour équateur et pour sommets les points s et /.

Cela établi, résolvons le problème général , et supposons qu'au lieu d'un cercle B on a une section conique e.

1^ Supposons d'abord que la section conique e est une ellipse.

Concevons le cône A (^î^. 90) de révolution ayant pour base l'ellipse e et ayant pour sommet le point s de la focale ( hyperbole) H.

L'axe A du cône A sera , comme on sait , la tangente en « à l'hyperbole H.

Si Ton mène un plan tangent T au cône A la trace horizontale de ce plan ( prenant pour plan horizontal de projection le plan de la courbe e et pour plan vertical de projection le plan de la focale H ) sera tangente à la courbe s , et si dans ce plan T on mène une droite K parallèle à la génératrice G de contact du plan T et du cône A , en faisant tourner cette droite K autour de l'axe A , on aura un hyperboloide à une nappe et de révolution ayant le cône A pour cône asymptote. •

On peut donc , pour engendrer cet hyperboloide , prendre un plan tangent arbitraire, et dès lors supposer que l'on opère par rapport à la génératrice G du cône A passant par le sommet ^ (extrémité du grand axe) de rellîpse donnée e.

Dès lors, la plus courte distance entre les droites G et K sera égale à Fordonnée de Tellipse e parallèle au petit axe de cette ellipse, et pour le point en lequel K^ coupera cetfe ellipse e; et si, par la droite D qui unit le sommet s du cône A et le centre o de Tellipse e, on mène un plan Q perpendiculaire au plan vertical de projection , il nous suffira de connaître dans ce plan Q le lieu l des points en lesquels les cercles de gorge des divers hyperboloides qui sont assujetties à passer par l'ellipse e, sont coupés par ce plan Q pour connaître la surface lieu de ces divers cercles de gorge.

Or, prenant la droite D pour axe des abscisses p, et le petit axe de l'ellipse e pour axe des ordonnées y, on voit que les abscisses p seront aux abscisses x de Tellipse e (comptées sur le grand axe og) dans un rapport constant^ on peut donc écrire : p=im . x.

Et dès lors, il suffira de remplacer dans l'équation

de Tellipse e, x par — ; et Ton aura :

m'a' ' b' pour le lieu Ç.

Il est donc évident que le lieu des divers cercles de gorge sera un ellipsoïde non de révolution ayant la droite D pour ligne dianiétrale conjuguée des cercles de gorge dont les plans seront perpendiculaires à l'axe A.

2"* Supposons que la courbe e est une hyperboley

La focale de cette hyperbole sera une ellipse H {fig. 9i ).

En faisant les mêmes raisonnements que précédemment et des calculs analogues , on trouvera que la courbe l est une hyperbole ayant pour axe réel la droite ss comptée sur D, « et s' étant les sommets des deux cônes qui passent par l'hyperbole e.

Dès lors , le lieu des cercles de gorge sera un hyperbol&ide à deux nappes non de révolution.

S"* Supposons que la courbe e est une parabole.

La focale de cette parabole sera une parabole H {fig. 92).

La droite D sera parallèle à Taxe infini de la parabole e, et l'on trouvera que la courbe l est une parabole identique à la parabole £ et ayant la droite D pour axe infini.

Le lieu des cercles de gorge sera donc un paraboUnde elliptique.

Si Ton cherche la courbe $, située dans le plan de la focale qui se trouve être le lieu des points en lesquels les divers cercles de gorge sont coupés par le plan de cette focale , on verra que :

1** Dans le cas où la courbe e est une ellipse ; ^, sera une ellipse ayant son centre en Of et ayant pour diamètres conjugués, d'abord ss' dirigé sur la droite D et ensuite une droite qui passant par le point osera dirigée perpendiculairement à Taxe A et sera égale au petit axe de Tellipse c ;

2'' Dans le cas où la courbe e est une hyperbole ; ^. sera une hyperbole ayant son centre en o , et pour diamètres conjugués , d'abord ss' dirigée sur la droite D (et Ion aura le diamètre réel de la courbe ^,) et ensuite une droite qui passant par le point o sera dirigée perpendiculairement à l'axe A et sera égale à l'axe imaginaire de l'hyperbole e (et l'on aura le diamètre imaginaire de la courbé ^,) ;

3* Dans le cas où la courbe e est une parabole ; Ç. sera une parabole ayant la droite D pour diamètre infini et ayant pour tangente au point s une droite perpendiculaire à l'axe A.

En sorte que dans les trois cas le plan tangent au point ^ à la surface ellipsoïde ou hyperboldide à deux nappes ou parabolcïde elliptique {lieu des cercles de gorge des divers hyperboloîdes à une nappe passant par la même section conique e) sera perpendiculaire à l'axe A .

Problème 4. Élani donnés un hyperboldide à une nappe et un point, mener par ce point un plan qui coupe la surface suivant une parabole dont l'axe infini passe par ce même point.

Concevons l'axe A d'un hyperboloïde 2 , cet axe A étant perpendiculaire au plan horizontal P; désignons par o le centre et par A le cône asymptote de la surface 2; enfin désignons par s le point donné. Tout plan passant par le point s coupera les surfaces 2 et A suivant deux sections coniques semblables et semblablement placées et concentriques.

Si donc le plan sécant Q coupe le cône A suivant une parabole e, ce même plan Q coupera la surface 2 suivant une parabole qui sera identique à e; les deux sections (paraboles) auront même paramètre p et même droite D pour axe infini. Le problème proposé est donc ramené au problème suivant :

Étant donnés un point s et un cône A » couper ce cône par un plmi Q passant par le point s , et dirigé dans l'espace de telle manière que la section sdt une parabole e Amt l'axe infini D passe par le point s.

Pour qu'un plan coupe un cône suivant une parabole, il faut qu'il soit parallèle à Tune des génératrices droites de ce cône.

Si donc Ton onit le sommet o du c6ne A au poînl s par une droite B , et si i'ou liait glisser le otoe A parallèlemeiit i hii*mème , son sommet o parcourant la droite B, lorsque ce sommet o sera en 9 , le cône A aura pris la position A, , et tout plan Q tangent à A, coupera le cône A suivant une parabole c ; et la génératrice droite G contact du plan Q et du cône A, sera le diamètre infini de la courbe de section e.

H faut donc chercher quel est , parmi tous les plans tangents Q, celui qui donne une droite G telle qu'elle soit, non un diamètre infini, mais l'axe infini de la section e.

Si l'on prolonge la droite G jusqu'à sa rencontre avec le cône A , on aura un point X pour lequel la tangente à la courbe c, section du cône* A par le plan Q, sera la droite i intersection du plan Q et du plan T tangent en x au cône A.

Pour que la droite G soit Taxe infini de la parabole e, il faut que la droite 1 soit perpendiculaire à la droite G.

Il faudra donc chercher, parmi les couples de droites G et ^, celui pour lequel ces deux droites se coupent sous l'angle droit.

Première solution. Supposons Taxe A du cône A vertical et le plan de base horizontal, on aura pour la base du cône A une ellipse X.

Si l'on mène la droite D qui unit le point donné s et le sommet du cône A, cette droite D viendra percer le plan horizontal en un point d ; et $i par la droite D l'on mène un plan Y, ce plan coupera le cône A suivanl deux génératrices droites K et K.<p]i viendront percer la courbe X, la première au point ft et la deuxième au point &,, et les trois points A:, k, et d seront en ligne droite. En sorte que si par les deux points k et k, on mène des tangentes et S, à l'ellipse X , ces droites se couperont en un point r qui sera le pôle de l'ellipse X par rapport ii h polaire kdk,. Et par rapport au pôle d on aura une droite R, Heu des points r, qui sera la polaire de la courbe X.

Les deux plans (0, 9) et (0, 6.) seront tangents au cône A suivant les droites K et K, , et ces plans tangents se couperont suivant une droite or qui sera parallèle à la droite r, lorsque G sera parallèle à K et que dès lors K, passera par le point X.

Il faut donc déterminer la position du point r sur la droite R pour lequel la droite or sera perpendiculaire à la droite K : c'est ce que l'on peut faire de la manière suivante :

Dîms le pian (0, 8) tangent au cône A suivant la droite K , et par le sommet de ce cône menons une droite I perpendiculaire à K; cette droite I viendra couper la droite 9 trace du plan tangent (o, 9) sur le plan de la base X en un point r.

Tous les points v formeront une courbe d, et le point v en lequel la droite R

coupera i sera celui qui donnera une solution du problème ; car il suCfira de mener par ce point v une tangente 6' à la base X et le plan mené par le point s parallèlement au plan tangent (o, B') coupera le cône A suivant une parabole dont l'axe inGni passera par le point s.

Autant il y aura de point v' de rencontre de la droite R et de là courbe d, autant il y aura de solutions du problème.

H n'est pas sans intérêt de connaître la nature géométrique de la courbe d; nous allons donc chercher son équation.

Il est évident qu'au lieu de mener par le sommet o du cône A unie droite I qui , située dans le plan tangent (o, 6), sera perpendiculaire à la génératrice de contact K, on peut mener par ce point o un plan Z perpendiculaire à la droite K, et la trace horizontale H' de ce plan Z coupera la trace horizontale 6 du plan tangent en un point qui ne sera autre que le point v trouvé ci-dessus comme rencontre des droites I et 0.

Les équations de rdlipse X seront, en prenant Taxe A du cône A pour axe des z et le plan de la courbe X pour plan des xeiy^

Les équations d'une génératrice droite K du cône A seront :

en désignant par c la distance du sommet o au plan des {x,y).

L'équation du plan Z passant par le sommet o, et perpendiculaire à la droite K, sera :

[z — c)C'-xaf — yy'=0

La trace horizontale H' aura pour équations:

zasO et apa?'+yjf'-Hc*=rO

L'équation de la tangente e au point de Tellipse X dont les coordonnées sont X et tj est :

On a de plus Féquation de condition :

puisque le point dont les coordonnées sont x' et y' est sur la courbe X.

En éliminant x et y entre les équations (1), (2) et (3), on aura une équation en a; et y qui sera celle du lieu cherché et ainsi de la courbe d lieu des points v. L'élimination étant eflecluée, on arrive à l'équation

(N»— PV)y'+MV=0 (4)

en posant :

Discutons Téquation (4) (qui est celle de la courbe d) afin de reconnaître la

Tormede cette courbe; et pour faciliter cette discussion, écrivons Téquation (4)

sous la forme :

Mx y^±-y=== (5)

y sera imaginaire pour toutes les valeurs positives et négatives de x pour

lesquelles on aura : P;r> N.

N Lorsque P'a:^=:N', on a x=i± p et j^ est infini. Si Ton met Téquation (5) sous

la forme :

On voit que x augmentant , y va en diminuant jusqu'à ce que enfin, pour x=oc, on ay = dz-5-.

De plus, il est évident que la courbe représentée par l'équation (5) est symétrique par rapport à l'axe des x, tant du côté des x positifs que des^c négatifs , et aussi par rapport à l'axe des y, tant du côté des y positifs que des y négatifs.

L'équation (6) peut s'écrire sous la forme :

Ny+MV=PVy' (7)

Et alors on voit que la courbe a deux asymptotes parallèles à Taxe des y doul

les équations sont y==iz^ , et deux asymptotes parallèles à Taxe des x dont les

équations sont x = àz-.

La forme de la courbe 3 donnée par Téquation (4) sera donc celle représentée par la fig. 93. Toutefois, il peut arriver que les asymptotes des quatre branches dont la courbe i est formée coupent Tellipse X.

Examinons donc ce qui peut arriver à ce sujet.

Les deux asymptotes parallèles à Taxe des x ont pour équations :

Supposons que le grand axe de Tellipse X est dirigé suivant Taxe des x, on aura : a>6.

L'équation (8) donnera , en remplaçant M et P par leurs valeurs en a et 6 et c.

Si Ton a p^>6, Tasymptote ne coupera pasTellipse X;

Si Ton a p < 6 , Tasymptote coupera l'ellipse X ;

Si Ton a p = 6 , Tasymptote sera tangente à rellipsc.

Or, en posant 1 inégalité ^,y = ^

On voit que comme Ton a établi que a est plus grand que 6, on aura toujours

Donc les deux asymptotes parallèles à Taxe des x ne rencontreront jamais Tellipse X.

Mais il n'en sera pas de même pour les deux asymptotes parallèles à Taxe des y ; car si Ton pose: y

ou

On voit que t/a'—b' est précisément l'excentricilé e de l'ellipse X, et que p^/t'+c' est égal à la génératrice L comprise entre le sommet du cAne A ci

Étani donné un cône A, ayant son sommet en un point s et pour base ou directrice une section conique S, trouver j parmi toutes les génératrices droites de ce cône ài , ceUe$ qui coupent sous l'angle droit la courbe S.

Pour résoudre ce problème, il suffira d'abaisser du sommet s une perpendiculaire N sur le plan de la courbe 6; la droite N percera le plan de 6 en un point n , et l'on mènera par ce point n des normales à la courbe S. Chacun des points en lesquels ces normales perceront la courbe S sera précisément le point x sommet de la parabole demandée et dont Taxe infini passera par le point s.

Or, par un point n situé sur le plan d'une section conique 6^ on peut toujours mener deux normales à cette courbe S (et on n'en peut mener que deux) que le IM)int n soit situé en dedans ou en dehors de la courbe €.

Le problème proposé a donc toujours deux solutions, lorsque le point s ne sera pas situé sur le cône A.

Lorsque le point s sera sur le cône A, alors le cône A, ne coupera plus le cône A, mais lui sera tangent tout le long de la génératrice droite D passant par le point s.

On construira le plan T tangent au cône Asuivant la droite D, et il faudra chercher parmi tous les plans Q tangents au cône A.» celui qui coupera le plan T suivant une droite t perpaidiculaire à la génératrice de contact G du plan Q et du cône A, .

Dans ce cas particulier, il faudra employer la première solution et considérer le cône ayant son sommet au point o sommet du cône A et pour base la courbe à quatre branches d.

La construction devra s'exécuter de la manière suivante :

On prolongera la droite D , et elle viendra couper la base elliptique X du cône A en un point d; en ce point d on mènera la tangente y à l'ellipse X, et cette droite y coupera la courbe d en deux points; mais si la droite y est parallèle aux asymptotes parallèles soit au petit axe, soit au grand axe deTellipse X, ou si, en d'autres termes, la droite y est tangente à la courbe X en l'une des extrémités de son grand axe ou de son petit axe, alors le plan Qest facile à construire, car sa trace horizontale sera perpendiculaire à l'un des axes de i'ellipse X. Dans ce cas, il n'y aurait, à rigoureusement parler, qu'une seule solution ou trois solutions : une seule solution si les asymptotes de la courbe d parallèle au petit axe de Tellipse X ne coupent pas ou touchent cette courbe X, et trois solutions si ces asymptotes coupent la courbe X ; mais la génératrice D peut cependant ôirc* considérée dans ce cas comme une seconde solution , ou comme une quatrième solution.

Mais si cela n'a pas lieu, et dès lors hormis le cas particulier précédent, on mènera de chacun des deux points en lesquels la courbe S est coupée par la

droile 7 des tangentes et 0. à i'eliipse X , et le plan Q aura deux positions : dans l'une il sera parallèle au plan (0, 9) tangent au cône A, dans Tautre il sera parallèle au plan (0 , 6.) aussi tangent au cône A.

Ainsi, quelle que soit la position du point «, on peut dire que le problème aura toujours au moins deux solutions.

Problème 5. Étant données une surface de révolution 1 par son axe A et sa courbe méridienne ty et ayant construit la courbe de contact 6 d'un cône ^ et delà sutface 2; supposant que la courbe 6 est projetée sur le plan fnéridien passant par te sommet s du cône A , en une courbe g"", on demande de construire la tangente en un point quelconque de ë\

V On sait que la courbe de contact d'un cône tangent à une surface du second degré est une courbe plane ;

S*" On sait que lorsque le sommet du cône tangent est situé sur un plan diamétrai principal de la surface du second degré, le plan de la courbe de contact est perpendiculaire à ce plan diamétral ;

3' Pour construire la courbe de contact d'un cône et d'une surface de révolution y on détermine successivement les points de cette courbe situés sur la suite des parallèles de la surface de révolution , en remplaçant pour chaque parallèle C la surface de révolution données par une surface de révolution B. plus simple, et telle que les deux surfaces B. et 1 soient tangentes Tune à Taulre suivant le cercle ou parallèle C,

Et alors les deux surfaces 1 et B. doivent être considérées comme ayant rigoureusement en commun non-seulement le parallèle G, mais encore un second parallèle C infiniment voisin du premier parallèle C ; car deux surfaces en contact suivant une ligne ont réellement en commun non pas seulement cette ligne, mais bien une zone superficielle et élémentaire.

On peut donc dire que pour construire un point de la courbe de contact 6, on considère et on doit considérer deux cercles ou parallèles successifs et infiniment voisins C et C^

Ainsi, pour construire le point de la courbe 6 situé sur un paraUèle C, on emploie une surface auxiliaire simple et de révolution B, ayant un contact du premier ordre avec la surface générale 2 et tout le long du cercle C.

5*" Pour construire la tangente en un point m de la courbe de contact 6, il faudra donc construire deux points m et m' successifs de 6, puisque la tangente en m n'est autre que l'élément rectiligne mm' de cette courbe 6 et supposé prolongé indéfiniment.

On devra donc considérer trois parallèles successifs ou infiniment voisins

C y G'; C!\ et par suite on devra remplacer la surface •générale 1 pour le parallèle G , par une surface auxiliaire simple et de révolution B, ayant un contact du second ordre avec la surface Z et tout le long du parallèle G ;

&* Si Ton voulait construire pour le point m de la courbe de contact 6, le plan osculateur de cette courbe 6, il faudrait considérer quatre parallèles successifs ou infiniment voisins G, G', G'^G'^', et par suite une surface (plus simple que la surface 2) de révolution B, ayant un contact du troisième ordre avec la surface générale 2 et tout le long de G.

Gela posé :

1** Pour construire le point m de la courbe de contact S situé sur un parallèle G, on construit un cône de révolution B. tangent à la surface 2 suivant le parallèle G y parce que l'on peut facilement construire le plan T tangent au cône B. , ce plan T étant assujetti à passer par le sommet du cône A;

2** Pour construire la tangente au point m de la courbe g , il faudrait construire un ellipsoïde de révolution ou un hyperboloide à une nappe et de révolution B,, ayant un contact du second ordre avec la surface 2 tout le long du parallèle G.

Or, là construction de cette surface du second degré B, ne peut être effectuée que de la manière suivante :

Désignant par e la courbe méridienne de la surface 2 et par A l'axe de révolution de cette surface 2, il faudra, au point x en lequel le parallèle G coupe la méridienne e, construire une section conique H ayant l'un de ses axes dirigé suivant l'axe A, et ayant en x un contact du second ordre avec la méridienne e.

Dès lors, la section conique H en tournant autour de l'axe A engendrera une surface du second degré et de révolution 2, ayant un contact du second ordre avec la surface 2 tout le long du parallèle G.

Et dès lors , construisant la courbe de contact de la surface 2. et d'un cône A. ayant pour sommet le sommet du cône A , on obtiendra une courbe plane 6. dont le plan viendra couper le plan tangent en m à la surface 2 suivant la tangente en m soit à la courbe 6, soit à la courbe 6.; car il est évident que les deux courbes 6 et 6. seront tangentes l'une à l'autre au point m.

Mais en ce point m, les deux courbes 6 et 6. n'ont qu'un contact du premier ordre, quoique les surfaces 2 et 2, aient un contact du second ordre. Gela a lieu parce que les deux cônes A et A, n'ont qu'un contact du premier ordre tout le long de la génératrice droite qui leur est commune et qui passe par le point m.

La solution du problème dépend donc de la possibilité ou de l'impossibilité de construire la section conique H satisfaisant aux conditions imposées.

Or, la courbe H peut toujours être construite, quelle que soit la courbe méridienne e.

£i en effel : cinq oondkians détermineot une section conique.

Or, dire que la courbe H a en a: un ocmtact du second ordre ayec la court>e méridienne c , c'est supposer que la courbe H passe par trois points successifs ou infiniment voisins x y x\ x" de la courbe méridienne e.

Or, pour que la courbe H ait son centre sur l'axe A, et Tun de ses axes dirigé suivant cet axe A, il faut admettre que cette courbe H passe par les trois nouveaux points y, y\ \f' intersection des trois parallèles successifs C , C, C" par te plan de la courbe méridienne e.

Or, Ton sait que si Ton se donne six points x et y, x et i/', x et y" tels que les cordes xy^ xy\ x'y' soient parallèles et coupées en parties égales par une droite A qui leur est perpendiculaire, on peut toujours faire passer par les six points une section conique, laquelle évidemment satisfera aux conditions imposées précédemment, si toutefois les points x, x\ x' sont trois points successifs ou infiniment voisins.

Gela dit :

Remarquons que pour le point x la courbe méridienne peut tourner sa concavité ou sa convexité du côté de Taxe A. Si la courbe e tourne sa concavité, la courbe H sera une ellipse et la surface 2. un ellipsoïde de révolution. Si la courbe e tourne sa convexité, la courbe H sera une hyperbole ayant son axe imaginaire dirigé suivant Taxe A , et dès lors la surface 2, sera un hyperboloïde à une nappe et de révolution.

Appliquons ce qui précède à la solution du problème énoncé.

Soit e la courbe méridienne tracée dans un plan parallèle au plan verti-* cal {jig, 94); soit « le sommet du cône A tangent à la surface Z engendrée par la courbe e tournant autour de Taxe A.

La projection S* de la courbe g contact du cône A et de la surface 1 étant construite, on demande de construire la tangente C au point m'' de g"".

Par le point nC on mènera une droite C perpendiculaire à A^ qui viendra couper e"" en un point x^. On construira en x^ TeHipse ou Thyperbole H"" aiyattt en x" un contact du second ordre avec e^ et dont le centre sera sur A"", l'un des axes de cette courbe H^ étant dirigé suivant k\

Par le point *' on mènera deux tangentes (f et 9/ à fe courbe 11% et en unissant leS' deux points de contact n^ et «/ on aura une droite qui passera par le peint nC et sera tangeni» en ce point à la courbe g\

On sait que la courbe g'' vient couper la courbe e' en deux points y^ et y/ en lesquels cette courbe €* s'arrête brusquement en tant que Ton considère g'' comme la projection de la courbe g de l'espace; mais l'on sait que si l'on consi-

dére r oonime une oMrbe géométrique plane» elle se prolange au delà de ces points \f et y/.

On demande de construire la tangente au point if de T; on sait que la construction de cette tangente dépend du plan oscuiateur U au point t/ de 6; car si Ton connaît le plan U comme il sera perpendiculaire au plan méridieïi e, sa trace sur le plan vertical de projection donnera la tangente au point tf de T.

Or, jusqu'à présent on n'a pas résolu le problème relatif à la constrctioïi du plan oscuiateur en ce point if lorsque 6 est une courbe de contact de deux surfaces. On n'a encore résolu le^probléme de la bonstruction du plan oscuiateur que lorsque la courbe 6 est l'intersection de deux surfaces ayant un plan diamétral Y principal et commun et que la courbe 6 est projetée sur ce plan Y (*).

En vertu de ce qui a été dit précédemment , la construction du plan oscuiateur U n'offrira aucune difficulté lorsque la courbe 6 est une courbe de contact.

Et en effet :

Pour construire uà point m de la courbe 6, il faut considérer deux cercles successifs C et G'; pour construire la tangente en m, il faut considérer trois cercles successifs G» G' et G''; pour construire le plan oscuiateur en m, ou, en d'autres termes , pour construire deux tangentes successives en m , il faut considérer quatre cercles successifs G, G', G" et C".

Mais pour le point y^ la tangente i est perpendiculaire au plan méridien e, et c'est la tangente il successive de t que l'on cherche. Or, comme t est perpendiculaire au plan méridien , on voit que les quatre cercles successifs que l'on devrait considérer se réduisent à trois, et que par conséquent' il suffira de construire une surface 2, dont la courbe méridienne H aura seulement un contact du second ordre au point y avec la courbe e, et non un contact du troisième ordre. En sorte que la construction de la tangente au point y^ de r sera identiquement la même que celle de la tangente en un point courant nC de g^.

On peut généraliser tout ce qui précède , et de la manière suivante :

On sait que par trois sections coniques G , G^, G^' semblables et semblablement placées et dont les centres sont sur une droite D et dont les plans sont parallèles , on peut toujours faire passer une surface du second degré, et qu'on n'en peut faire passer qu'une.

Gela posé :

Goncevons une surface 2 engendrée par une section conique G dont lé plan se meuve parallèlement à lui-même, le centre de la courbe G se mouvant sur une

(*) Et ainsi dans Véyure où Ton détermine les projections de l'intersection de denx nrfaces ée mtolution dont les axes se coupent.

droite D, cette courbe C changeant d'ailleurs de grandeur, tout en restant semblable à elle-mdme; si Ton mène par la droite D un plan P, ce plan coupera les diverses courbes G, G , G., G,,.... (qui sont dans l'espace les diverses positions de la courbe génératrice G) en des points p 9 p., p,, P,i"" qui formeront une courbe e que Ton pourra regarder comme la directrice de la génératrice mobile et variable de paramétres C.

Goncevons dans l'espace un point s sommet d'un cône A tangent à la surface! suivant une courbe S.

On pourra toujours construire en un point md» la courbe 6 la tangente à cette courbe , au moyen des considérations suivantes :

Si l'on conçoit en m les trois courbes génératrices successives ou infiniment voisines G, G', C", on pourra toujours, par ces trois courbes, faire passer une surface du second degré 2. qui aura dés lors un contact du second ordre avec la surface 2 et tout le long de la courbe G.

Et si l'on construit la courbe de contact 6, de 1, et d'un cône A. ayant le point s pour sommet, les deux courbes g et 6. auront un contact du premier ordre en m.

Or, la courbe g, est plane; donc le plan de g. coupera le plan T tangent en m à la surface 1 suivant la tangente en m à la courbe g.

Il sera toujours facile de construire la surface du second degré 2. , car il suffira de construire , au point p en lequel la directrice e de la surface 2 est coupée par le parallèle G passant par le point m, la section conique H ayant un contact du second ordre avec e , et ayant son centre situé sur la droite D et de plus cette droite D et la droite K qui unit le centre de la courbe génératrice G et le point p étant un système conjugué; ainsi Ksera la corde et D le diamètre ^ conjugués l'un à l'autre.

De la constrtictùm de la tangente à la projection ^ de la courbe S intersection de deux surfaces

de révolution dont les axes se rencontrent .

G'est ici le lieu de faire quelques observations sur la^ construction de la tangente 6" en un point ih' de la projection verticale de la courbe S'y intersection de deux surfaces de révolution 2 et 2, , dont les axes A. et A, se coupent, le plan vertical de projection étant le plan des axes de ces deux surfaces.

On sait que pour construire cette tangente B", on emploie le plan des normales N et N. menées au point m, la première à la surface 2 et la seconde à la surface 2i et que la trace du plan (N, N.) sur le plan (A, A.) n'est autre que la droite qui unit le point n en lequel l'axe A est coupé par la normale N , avec le point n, en lequel Taxe A, est coupé par la normale N,; et la tangente 9'' cherchée est perpendiculaire à la droite (n, »,).

Les divers auteurs ont appliqué cette méthode à tous les points de la courbe d% et aussi au point x en lequel la courbe 3 perce le plan des axes (A, A.), ce point a; étant dès lors celui en lequel se coupent les courbes méridiennes des surfaces 2 et 2, (ces courbes méridiennes étant situées dans le plan des axes qui est un plan méridien commun aux deux surfaces de révolution), et ils n'ont point , à ce que je crois, expliqué d'une manière suffisamment nette pourquoi cette méthode était exacte, lorsqu'on l'appliquait à un point tout particulier, tel qu'est le point x.

A la première vue, on serait porté à croire, au contraire, que pour ce point x la méthode n'est point rigoureuse.

Et en effet :

Concevons deux parallèles successifs et infiniment voisins C et C! de la surface 2, le cercle C coupera la courbe 3 en un point p, et le cercle C coupera cette même courl>e en un point p' et les deux points p et p' seront deux points successifs et infiniment voisins de la courbe d et l'élément rectiligne .pp' étant prolongé donnera la tangente au point p de la courbe d.

Toutes les normales menées à la surface 2 par les divers points du parallèle C couperont l'axe A, et en un même point 9; toutes les normales menées à la surface 2 par les divers points du parallèle C! couperont Taxe A, et en un même point q\

Et ces points q et q' seront distincts entre eux; Us seront deux points succesifs et infiniment voisins de l'axe A.

Or, pour construire la tangente en un point p de la courbe d, on n'a besoin de mener une normale à la surface 2 que par le point p; par conséquent la trace sur le plan des axes de tout plan passant par la droite N , passera par le point q, point qui est rigoureusement déterminé.

Mais si l'on voulait construire la tangente au point p de la courbe d , ce point p' étant le successif et infiniment voisin du point p, et si dès lors on voulait construire la tangente 9^ de la courbe d successive et infiniment voisine de la tangente 9 au point p,^on devrait mener par le point p une normale N^ à la surface 2 9 laquelle couperait l'axe A au points/' qui serait le successif et infiniment voisin du point q sur la droite A , et la trace sur le plan des axes de tout plan passant par la normale N' passerait par le point q.

Et ce que nous venons de dire pour deux points quelconques successifs et infiniment voisins, p et p'de la courbe 3, peut se dire pour le pointx situé sur le plan des axes et son successifs qui est hors de ce plan, et comme la tangente au point X est perpendiculaire au plan des axes, on est obligé de construire sa tangente sucessive 9' qui n'est autre que la tangente au point successif x delà courbe 3.

Et y alors la trace du p^an des normales ne passera pas par le point q en lequel la

normale N au point x de la courbe d coupe l'axe Â, mais par le point (^^ en lequel la normale N' au point x' de d coupe cet axe A.

On serait donc tenté de regarder la construction de la tangente au pointer comme approximative , puisque Ton fait passer la trace du plan des normales parle point qj et non par le point 9' infiniment voisin de 9, comme ce qui précède semble nous y obliger.

Cependant pour ce point x tout particulier de la courbe d, la construction de la tangente est rigoureuse , parce que pour ce point x il arrive que les deux points q et q se confondent en un seul point, ou en d'autres termes, c'est que pour le point X de la courbe d les normales N au point x et N' au point infiniment voisin X (ces normales étant menées à la surface 2) se coupent, tandis que pour tous les autres points de la courbe d, les deux normales successives à la surface 2 ne^e coupent pas. En d'autres termes, encore, c'est que la $urfecegauctie0 formée par les diverses normales à la surface 1 et qui ont pour directrice la courbe 9, se trouve avoir une courbure développable tout le long de la normale menée par le point X , et ainsi tout le long de la normale située dans te plan des axes des deux surfaces de révolution considérées.

Et en effet :

La courbe d est symétrique par rapport au plan des axes , l'axe  est une droite de striction pour la surface gauche , cette surface est donc symétrique par rapport au plan des axes.

Si je construis au point x de la courbe d le cercle osculateur y, son plan sera perpendiculaire au plan des axes et son centre sera sur le plan des axes; on pourra donc construire un cône osculateur à la surface 0, tout le long de la normale au point Xy et ce cône sera symétrique par rapport au plan des axes, et son sommet sera au point en lequel h normale menée au point x coupe Paxe A. On a donc , en vertu de ce que la courbe 3 est symétriqiie par rapport au plan des axes, en ce cercle y un cercle osculateur ayant , non pas seulement un contact du second ordre avec la courbe 3, mais un contact du troisième ordre, par conséquent la surface gauche a quatre génératrices droites successives et inflmment voisines, qui viennent se couper en un même point de l'axe A.

El c'est parce que la surface est développable tout le long de sa génératrice droite située dans le plan des axes, que la construction de la tangente au point x de la courbe 3, par la méthode du plan des normales , est rigoureusement exacte.

Nouvelles propriétés des parabolaides hyperboliques.

Lorsque l'on a deux droites dans l'espace A et \,\ et que Ton divise en parties

égales ces deux droites par des points 1 , 2,3, i , 5 , également espacés sur

A et par des points i\ 2\ â^, 4', 5\ aus&i également espacés^ sur A' (les divisions

de A étant égales ou non à celles de A') on sait que si Ton unit les pointe 1, 1' et

2, 2' et 3, 3', etc., par des droites G,, G,, G,, ou forme un paraboloide

hyperbolique 2.

Si Ton unissait les points 1 , 2' et 2 , 3' et 3 , 4', etc. par des droites G/, G'„

G,', on formerait nn nouveau paraboloide hyperbolique 2'; si de même on

unissait les points 1 , 3' et 2, 4' et 3 , 5' etc., par des droites G/', G/', G/' etc., on formerait encore un nouveau paraboloide hyperbolique 2f\

Car Ton peut, en faisant mouvoir une droite D sur deux droites A et A' ( non situées dans un même plan ) parallèlement à un plan P, engendrer une infinité de paraboloîdes hyperboliques en faisant varier la position de ce plan P. Tous ces paraboloïdes se couperont suivant les deux droites A et A' et auront tous un plan directeur commun qui sera le plan Q parallèleaux droites directrices A et A'; et chaque position du plan P sera celle du second plan directeur d'un des paraboloïdes.

Gela posé :

Concevons trois droites parallèles entre elles D , A , B (fig. 95) , et tracéesr dans un même plan. Prenons sur D un points; divisons la droite B en parties égales par les points a\ b\ c', cT,

Unissons le point «avec chacun de ces points de division , a, b\ c'yd!, les

divergentes du point j» couperont la droite A en des points a , b, c, d, qui

seront tels, qu'ils diviseront aussi en parties égales la droite A. Ainsi, aymt sur B, aA'=5AV = c'd'=;etc, on aura sur A, a6=6c=crf=etc.

Unissons Maintenant le point a' de B avec le point 6 de A , par une droite coti* pant D en s\

Si on mène par les pointe b\c\ cf, de B des droites allant converger en s\

ces droites couperont la droite A en des points qui ne seront autres que les points c, d, etc. déjà placés sur cette droite A. Et en effet: les trois droites «V, sb\ sV, coupent A en les pointe À , c., d.,

Les deux triangles s^bc^ et sc^b' sont semblables.

Les deux triangles «ofr et sa'b' sont semblables.

Les triangles ont leurs sommets s et «'situés sur une droite D parallèle à leurs bases situées pour les uns sur A, pour les autres sur B, mais A et B sont parallèles.

On a donc évidemment ab=bc dont le point c, n'est autre que le point c. Donc etc.

On sait aussi , que si Ton a (fig. 96) deux droites parallèles A, et B, et qu'on les divise en parties égales par des parallèles équidistantes K, K,, K., K,, K^^ en unissant : i*" les points a et b'y b et c\ c et d'y etc. ; on aura une suite de droites parallèles entre elles K/, K/, K,', etc.; en unissant S"" les pointsa et c\ b et d", det e", on aura encore une suite de droites parallèles entre elles K/', K/', K/\ etc.

Concevons trois plans rectangulaires entre eux P, Q et R se coupant suivant trois droites X, Y , Z^ la droite X étant l'intersection des plans P et Q, la droite Y étant l'intersection des plans P et R et la droite Z étant l'intersection des plans QetR.

Prenons le plan P pour plan horizontal de projection ; P et R seront deux plans verticaux de projection.

X sera la ligne de terre pour les plans P etQ.

Y Sera la ligne de terre pour les plans P et R.

Dès lors et employant nos notations, si Ton a dans Tespacedeux droites parallèles aux plans Q et désignées par A et A", leurs projections A'^ et A'* sur le plan P seront parallèles à Z ; et leurs projections A"" et A'^'sur le plan Q se couperont en un point o.

Prenons les positions de A et A' telles que: si du point o on mène dans le plan Q une droite Z. parallèle à Z , les points en lesquels le plan P sera coupé par les droites Z, , A et A' se trouvent en ligne droite.

D'après ce que l'on sait, si l'on fait mouvoir une droite G sur A et A' parallèlement au plan P, si cette droite G en ses diverses positions divise Ta droite A' en parties égales, elledivisera aussi la droite A en parties égales, et l'on aura un paraboloide hyperbolique 2 dont le sommet sera au point o situé sur le plan Q et dont l'axe infini l passera par le sommet o et sera parallèle à la droite X intersection des deux plans directeurs P et Q. L'axe infini l du paraboloide 2 sera donc situé dans le plan Q.

Et les diverses génératrices G du paraboloide 1 se projetteront sur le plan R suivant des parallèles à la droite Y, et diviseront les droites A"^' et A'^' en parties égales ainsi que cela est indiqué sur h fig. 96, pour les droites K, K,, K., etc. qui divisent les droites A, et B, respectivement en parties égales.

Et ces mêmes génératrices G se projetteront sur le plan P suivant des droites (qui divergeant du point s en lequel ladroite Z. coupe la droite X) diviseronten par-

tieségalesles droites A^et A'\ ainsi que cela a lieu fig. 95 pour les droites parallèles A et B et les droites qui divergent du point s.

Si l'on mène par la droite X un plan P', faisant avec le plan Q un angle a et avec le plan P un angle g complémentaire de a » et si Ton mène à ce plan P' une suite de plans parallèles et équidistants entre eux P/, P/, P,', ces divers plans couperont les droites A et A^ en des points qui seront équidislants entre eux , ou en d'autres termes, qui diviseront ces droites A et A' en parties égales.

Dès lors les droites G/, G/, G,' qui passeront par les points.de divisions et seront parallèles au plan P' se projetteront sur le plan R suivant des parallèles équidistantes et faisant un angle 6 avec la droite Y (ainsi que cela a lieu pour les droites K/, K/, K/, etc. fig. 96) et diviseront A"" et A'"" en parties égales.

Et ces mêmes droites G/, G/, G/, se projetteront sur le plan P suivant des droites qui diviseront en parties égales les droites A^ et A'^ et concourront en un point 8^ ; comme en la fig. 95 , et le point s' ainsi que le point $ devront en vertu de ce qui a été dit ci-dessus être situés sur une droite parallèle à A'^ et A''^ et dès lors ce point «'sera situé sur la droite X.

Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant :

Si Ton a un paraboloide hyperbolique 2, et que par son axe infini \ on mène deux plans Q, et P. respectivement parallèles aux génératrices du premier et du deuxième système. Si l'on prend deux génératrices du premier système A et A' parallèles au plan Q. , on pourra par ces deux droites A et A' faire passer une

infinité de parabololdes hyperboliques 2', 2", 2"', qui auront respecliveinenl

pour second plan directeur l'un des plans P/, P,", P/", lesquels passeront

tous par Taxe Ç, ces divers paraboloides ayant le plan Q. pour plan directeur commun.

Les sommets de ces divers paraboloides et leurs axes infinis ^^ l'\ ^'"'seront tous situés dans le plan Q. et ces axes seront parallèles entre eux et à l'axe i du paraboloide 2.

Maintenant je dis que les sommets o^ o, d\ o'\....^ des divers paraboloides 2 , 2', t'y t'\ seront sur une droite située dans le plan Q,.

En effet :

On sait que lorsque Ton a un paraboloide hyperbolique 2 ayant deux plans directeurs P et Q se coupant suivant une droite X et sous un angle arbitraire a, si Ton mène un plan R perpendiculaire à P et Q et coupant P suivant une droite Y et coupant Q suivant une droite Z, les deux génératrices de systèmes différents q ui se croisent au sommet o du paraboloide sont respectivement parallèles aux droites Z et Y, et dès lors sont dans le plan qui, mené par le sommet o^ serait per-

pendicuUire à la droite X y ou, en d'autres termes^ perpendiculaire à Taxe infini Ç du paraboloide, ou , en d'auires termes , encore parallèle au plan R.

Par conséquent le plan Q. étant un plan directeur commun et tous les sommets o, o\ o\ o"', des divers paraboioides 2, ïy 2", 2'" étant dans ce plan, toutes les g^ératriccs du premier système (parallèles à Q. ) qui passent respect! t^ment par ces divers sommets o, o\ o",..,. seront dans le plan Q. et seront parallèles à Z, et toutes les génératrices du deuxième système (parallèles respectivement à P., P/, P/') et qui passent respectivement par les sommets a, o'j o", o"' seront parallèles att plan R.

Toutes ces génératrices formeront donc un paraboloide A ayant les plans Q, et R pour plans directeurs et les droites A et A' pour dirpctrices.

Or, toutes les génératrices du système parallèle an plan R pour le parabo4oîde A coupent le plan Q, en des points qui sont sur une génératrice de A appartenant au système de génératrices droites parallèles au plan Q. , donc tous les

sommets o, o\ o'\ des divers paraboioides S, l\2^'y sont sur une droite

située dans le plan Q,. Et il sera toujours facile de construire cette droite, par la considération du paraboloïde A.