PLANES ET SPHÉRIQUES9 RALLONGÊES ET RACCOURCIES

Des développantes planes raUongées et raccourcies.

Étant donné sur un plan un cercle C du rayon R, on sait que si Ton enroule un fil sur ce cercle et qu'on le déroule ensuite, un des points de ce fil décrit sur le plan du cercle une courbe d qui a reçu le nom de développante plane et circulaire , et Ton sait que les tangentes au cercle G sont normales à la courbe d.

Nous donnerons à la courbe 3 le nom de développante pUme et parfaite du cercle C , pour la distinguer des développantes rallongées ou raccourcies, qui seront dites imparfaites.

Si Ton prend sur le cercle C (fig. i ) une suite de points m, m', m" équi-

distants entre eux, et si Pon mène en chacun de ces points les tangentes au

cercle C^ savoir : i, {', t" ces tangentes couperont la courbe d (développante

parfaite du cercle G) en les points n, n\ n"

Si sur t on porte à partir du point n une longueur égale à / , on placera sur t un point x,; si sur r^ à partir du point n' on porte une longueur égale à 21 j on placera sur 1' un point x\'y en x)pérant de même pour tf\ et portant dès lors 3/ de

n" tnx'\j on aura une suite de points x.^af,, x" (les longueurs/, 2/, 3/

ayant été portées dans le même sens) qui détermineront une courba qui sera dite développante imparfaite du cercle G.

La développante imparfaite sera une développante rallongée 6' si les points x,, x\ ,

x\ sonl placés au delà de la courbe d par rapport au cercle C , et elle sera une

dévebppànie raccourcie è'^ si au contraire les points x^^ x\j x'\ sont placés ainsi

que les points Xy x^ x!' entre le cercle G et la courbe d.

Cela posé :

Le premier problème dont la solution doit être proposée est celui-ci:

Une développante imparfaite ê raccourcie ou S' rallohgée étant donnée par la construction géométrique précédente de ses divers points, construire la tangente en un point a; de 6 ou x^ de 6".

Nous allons résoudre le problème de la construction de la tangente en un point delà développante circulaire rallongée ou raccourcie, en nous servant de diverses propriétés des surfaces hélicdides gauche ou développable , et en même temps nous montrerons comment la spirale d'Ârchimède et les développantes parfaites et imparfaites du cercle se trouvent liées les unes aux autres sous le point de vue de la génération géométrique.

Plus loin nous montrerons que la spirale d'Archimède est accompagnée de deux spirales du même genre auxquelles on doit donner le nom de spirales imparfaites d'Archimède, l'une étant ra/bn^é^ et l'autre raccourcie.

Concevons un cylindre B (vertical et de révolution), ayant pour axe une droite A et pour section droite un cercle C du rayon R.

Traçons sur le cylindre B une hélice Ë coupant les génératrices de ce cylindre B sous Tangle constant a.

Concevons, par un point y de la courbe E, trois droites : l'une 8 tangente à r hélice E et faisant dés lors avec la génératrice G du cylindre B ( laquelle droite passe par le point y) un angle a, l'autre D faisant avec 6 un angle y plus grand que et] et enCn, une troisième droite D' faisant avec G un angle / plus petit

que a.

Concevons que les trois droites 6 , D , D", sont situées d'un même côté par rap port à la génératrice G et toutes trois dans le plan T tangent au cylindre B suivante, et que dès lors les angles «, y, y sont aigus.

Cela posé :

Si l'on fait mouvoir les trois droites 6 , D , D', sur l'hélice E de maniéré à faire toujours le même angle avec l'axe A^ et à être en chacune de leurs positions D parallèle à l'une des génératrices d'un cône S de révolution ayant A pour axe et ayant son demi-angle au sommet égal à y; 9 parallèle à l'une des génératrices d'un cône 2 de révolution ayant A pour axe et son demi-angle au sommet égal à a; D' parallèle à la génératrice d'un cône S' de révolution ayant A pour axe et son demi-angle au sommet égal à /; ces trois droites engendreront trois surfaces hélic(nd€sD,y6,, D'..

mim

Car ii suffit de concevoir une hélice cylindrique H' tracée sur Thélicoide D\ et passant par le point x. Getle hélice H' aura même pas que l'hélice E et son rayon *fi sera égal à la distance du point x à Taxe A.

^ On connaîtra donc Tinclinaison de cette hélice H' sur Taxe A et par suite sa

r tangente }! au point x.

Gela posé :

Si l'on considère un paraboloîde hyperbolique T ayant pour directrices droites, les tangentes, 6 à Thélice E au point y et X' à l'hélice H' au point x, et lK)ur plan directeur le plan A tangent au cône S' et mené à ce cône suivant 'a génératrice df parallèle à la droite D' génératrice de la surface hélicdide D'., laquelle génératrice passe par les points a; et j^; ce paraboloîde I' sera tangent à la surface D', tout le long de D% par conséquent son plan tangent en x sera tangent à D'. et ne sera autre que 0.

Il suffira donc pour déterminer le plan , de faire passer un plan par les droites D^ et X^; et ce plan coupera le plan P, suivant la tangente au point x à la développante imparfaite 6^

Le problème proposé est donc complètement résolu {*).

Remarque. Au sujet de la construction du plan tangent à l'hélicoide D'., je ferai la remarque suivante.

La surface hélicoîde a été donnée, comme engendrée par une droite se mouvant dans l'espace :

1^ En s'appuyant sur une courbe ;

2^ En restant tangente à la surface qui contient cette courbe;

3^ En restant parallèle aux diverses génératrices d'un cône.

En vertu de ces trois conditions le mouvement de la droite est complètement déterminé, et la surface engendrée est complètement définie.

11 faudrait pouvoir, en vertu de ce mode de génération, construire le plan tangent en un point de la surface.

Jusqu'à présent la géométrie descriptive n'a pu , en ne s'appuyant que sur c mode de génération , résoudre ce problème.

On est toujours obligé de chercher sur la surface une seconde courbe passant par le point donné et à laquelle on sache construire une tangente.

(j ' (*) Dans l'ouvrage que j'ai publié sur les engrenages et qui a pour titre : Théorie géométriqtM des

engrenages destinés à transmettre le mouivement de rotation entre deux axes situés ou non dans un

, même plan , imprimé en 1842 par Bachelier , j'ai donné la construction de la tangente en un point de

la développante hyperboloîdique du cercle , en admettant que l'on savait construire la tangente à une développante plane , rallongée ou raccourcie du cercle.

Constttiction de la tangente â la spirale iArchimide parfaite ou imparfait».

Le problème que Ton doit se proposert out d'abord est celui-ci : Construire la taogente en un point d'une spirale d' Archimède par/ht7e ou imparfaite.

Pour résoudre ce problème , il suffira de construire l'hélicoide gauche qui a pour trace la courbe donnée et ensuite le plan tangent à cette surface pour le point donné sur la courbe.

Or, l"* étant donnée une spirale d'Ârchimède parfaite d, on connaît , je suppose, Torigine o de cette courbe, on peut doncpar ce point o élever un axe A perpendiculaire au plan P de la courbe d. Cela fait, on fera mouvoir une droite 9 sur Taxe A et la courbe i de manière à ce qu'elle coupe constamment cet axe A sous un angle constant, mais arbitraire a; on aura dès lors la surface gauche 0..

Cela posé :

Par le point x de la courbe i Ton fera passer sur la surface 6, une hélice cylindrique H , dont on connaîtra le pas puisque Tangle a est donné , et le rayon puisqu'il est égal à la distance du point x à l'axe A , et par suite on connaîtra la tangente X au point x de H. Le plan tangent 9 au point x de la surface 6, passera donc par X et » et ce plan 9 coupera le plan P suivant la tangente demandée.

Or, 2** étant donnée une spirale d'Archimède imparfaite ê ^ on pourra toujours concevoir la surface hélicoide D, engendrée par une droite D , se mouvant sur 6 et sur l'axe A, et de manière que cette droite D coupe, sous un angle constant et arbitraire y, l'axe A.

On pourra toujours tracer sur la surface D, une hélice cylindrique H' dont on connaîtra le pas puisque l'angle y est donné, et le rayon puisqu'il est égal à la distance du point Xtk l'axe A ; par suite on connaîtra la tangente X' à Thélice H' pour le point x,.

Le plan tangent 9. au point x^ de la surface D. passera donc par X' et D, et ce plan coupera le plan P suivant la tangente demandée.

On voit donc par ce qui précède que les deux courbes, spirale d'Archimède parfaite et développante parfaite d'un cercle, tout comme leurs dérivées, spirale d'Archimède imparfaite et développante circulaire imparfaite, proviennent de l'intersection d'un plan perpendiculaire à l'axe A et de surfaces bélicoïdes gauches ou développables, et que la tangente en un des points de ces courbes se cbnstruit de la même manière et par le même procédé graphique, au moyen d'un plan tangent à une surface hélicoïdale.