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l*hélice E"", et au contraire une surface héiicoide développable y si cette droite D est tangente à Thélice E".
Or, si Ton se rappelle que la droite D* a été tracée arbitrairement sur le plan P , ce qu'on vient de dire aura lieu pour toute autre droite D^ ayant D^^ pour projection ; par conséquent on doit conclure : que Ton peut engendrer une infinité de surfaces héiicoïdes gauches au moyen d'une droite s'appuyant sur deux hélices données, ayant même pa^et même axe.
Démontrons maintenant que parmi ces héiicoïdes gauches il peut en exister un qui soit développable.
Si la surface héiicoide était développable , la droite D serait tangente à Thélice £'' et au point p, et dés lors les tangentes i en m à l'hélice E et t' en m à l'héiice E' seraient avec la génératrice D dans un même plan T, tangent à la surface développable tout le long de la génératrice D.
Les deux tangentes t eX i! étant supposées dans un même plan T se couperont dès lors en un point b dont la projection b^ serait à l'intersection des projections t^ et ^^* des deux tangentes.
Or, si par ce point b on fait passer un plan horizontal Q, il coupera :
1® L'hélicoîde développable qui a l'hélice E'' pour arête de rebroussement suivant une développante K" du cercle E"*.
2o L'hélicoîde développable qui a l'hélice E pour arête de rebroussement suivant une développante K du cercle E^.
3^ L'hélicoîde développable qui a l'hélice E' pour arête de rebroussement suivant une développante K' du cercle E'*.
Et il est évident que les deux développantes K et K' se couperont au point b.
Si donc on décrit sur le plan P :
1^ La développante K, qui a pour origine le pointa de l'hélice Ë, point situé sur le plan P;
2® La développante K', qui a pour origine le point d de l'hélice E% point silué sur le plan P; ces deux courbes K et K' se couperont en un point 6, duquel on mènera les deux tangentes i'^ et t^ aux cercles E^* et E^.
La droite D^^ passant par les points m'^ et m*, qui sont les points de contact des cercles et des tangentes, sera la projection de la génératrice droite D de la surface hélicoîde développable demandée, et l'on pourra, par ce qui a été dit plus haut, construire l'hélice E'\ arête de rebroussement de cette surface développable.
D'après ce que nous venons de dij'e , on voit que :
10 Toute surface hélicoîde gauche, engendrée par une droite s'appuyant sur es hélices données E et E' et sur un cylindre directeur h'" plus petit que le
-^ ^ -fc*- '♦
cylindre B" qui contieot l'hélice E", sera coupée par un plan PborizoDiat, ou, en d'autres lermes, perpendiculaire à l'axe A, suivant une déveioppaote raccourcie du cercle qui sert de base au cylindre directeur B'".
2* Et toute surface hélicoîde gauche , engendrée par une droite s'appuyani sur les hélices données E et E' et sur un cylindre directeur B" plus grand que le cylindre B" qui contient l'hélice E", sera coupée par le même plan P, suivant une développante ralhngée du cercle qui sert de base au cylindre directeur B".
3° Et que la surface hélicoîde , engendrée par une droite s'appuyant sur les hélices données E et E' et ayant pour cylindre directeur le cylindre B", sera la seule qui soit développable et coupée dès lors par le même plan P, suivant une développante parfaite du cercle qui sert de base au cylindre directeur B".
Démontrons maintenant qu'il n'existe jamais, lorsqu'elle existe, qu'une seule surface hélicoîde développable, passant par les deux hélices E et E', ces hélices ayant mémepoë h et même axe A , et étant d'ailleurs dirigées dans le même sens ; et montrons en même temps qu'il peut arriver, suivant les positions respectives des deux hélices E et E' , que la surface hélicoîde développable n'existe pas.
Les deux cercles concentriques E* et £'* (fig. 5) représentant les projections horizontales des deux hélices E et E', lesquelles ont même pas et rampent du même côté l'une et l'autre sur leur cylindre respectif (le sens de la rotation étant indiqué par la flèche z) , construisons la développante complète (i, ^) du cercle E*, l'origine ou point de rebroussement de cette développante étant en a; celte courbe coupera le cercle E'* en deux points b et b'.
Or, il est é^dent que si l'hélice E' a son origine sur le plan horizontal P placée en d de telle manière que ce point soit situé entre les points 6 et 6', les deux branches <f et <f de la développante du cercle E'*, dont l'origine ou point de rebroussement sera en d, ne rencontreront pas , soit la branche d, soit la branche ^ de la développante du cercle E*.
Pour que cela ait lieu , il faut que l'origine de l'hélice E sur le plan horizontal P, soit en b oub' , ou bien en un point k plaoé au delà de b ou en un point k' situé en deçà de b'.
Alors la branche f, de la développante de E^ (l'origine de l'hélice E' étant en k sur le plan P) coupera la branche d en un point p; ou ta branche <f', de la développante de £'* (l'origine de l'h^ice Ë' étant en k' sur le plan P) coupera la branche ^ en un point p'.
On voit donc très-clairement, que tant que l'origine de l'hélice E' sera située en un point de l'arc bb' , il sera impossible de placer les deux hélices E et E sur one surface développable; mais que pour toutes les auties positions de l'origine
de l'hélice L', on trouvera une surface dé veloppable , et une seule, passant par les deux hélices E et E".
Remarquons que lorsque l'origine de Thélice E' sera en 6 ou 6', rbélice E sera Tarête de rebroussement de la surface développable cherchée, et que si l'origine de Thélice E' est située en i ou fc' , Tarôte de rebroussement de la surface développable cherchée sera une hélice qui se projettera sur le plan P, sui/vant un cercle d'un rayon plus petit que celui du cercle E*.
Et dès lors, si l'origine de l'hélice E' étant placée comme en d, la surface développable cherchée pouvait exister, son arête de rebroussement serait une hélice dont la projection sur le plan P serait un cercle d'un rayon plus grand que celui du cercle E*, en sorte que l'hélice E ne pourrait évidemment être située sur celte surface développable en même temps que l'hélice E'.
Remarque. La solutipn du problème précédent peut trouver son application dans la coupe des pierres, lorsqu'il s'agit de douelles rampantes.
Ainsi, dans le cas d'une vis St.-Gilles, où la douelle est une surface annulaire rampante, et où les arêtes de douelle sont des hélices cylindriques de même pas et tracées sur des cylindres concentriques de rayons différents, on peut préférer employer pour surface de joint une surface développable à une surface gauche.
H faut donc, dès lors, savoir faire passer par deux hélices cylindriques de même pas et dirigées dans le même sens , une surface hélicoide développable , et reconnaître si le problème est possible avec les données.
Et comme en coupe des pierres, il vaut mieux employer des surfaces de joints développables que des surfaces gauches, parce que la taille des pierres est plus précise et qu'il est important pour la solidité des voûtes que ]es joints soient taillés avec soin , on voit que le problème précédent n'est pas sans intérêt pour la pratique.
Des développantes rallongées et raccourcies â double courbure.
Nous avons vu ci-dessus , qu'outre la développante parfaite d'un cercle , il existait une infinité de développantes bnparfaites de ce même cercle , ces développantes rallongées ou raccourcies étant planes , étant tracées sur le plan du cercle.
Mais si l'on considère la développante du cercle comme étant la développante d'une hélice cylindrique, alors on peut arriver à des développantes imparfaites de l'hélice cylindrique, courbes qui pourront être rallongées ou raccourcies et qui seront à double courbure.
Et en effet :
On sait qu'une courbe plane d a une infinité de développées qui sont des hélices, tracées sur le cylindre ayant pour section droite la développée plane de
cette courbe i. Si donc dous considérons la courbe 3 développante parfaite d'un
cercle C, toutes les développées de S seront des hélices E, E', E", tracées
sur le cylindre B ayant le cercle C pour section droite.
Considérons une de ces hélices et ainsi l'hélice E par eiemple.
Lespoinlsni, ,m', , m". de l'hélice E (^^^r. i), équidislants entre eux sur cette
hélice, se projetteront orthogonalement en m, m , m" sur le cercle C,
projection orthogonale de l'hélice E, et ces points m, tn , m", seront aussi
équidistants entre eux.
Les génératrices G, G', G" de l'hélicoîde développable 2 ayant la courbe E
pour arête de rebroussement se projetteront suivant les tangentes au cercle C ,
savoir : en ml, m'i', m"r" et si l'on conçoitpar la développante imparfaite et
raccourcie et plane € un cylindre vertical , il coupera la surface 1 suivant une courbe y à laquelle nous donnerons le nom de développante imparfaite et raccourcie de l'hélice E.
De même, si l'on conçoit par ta développante imparfaite et rallongée e t plane 6' un cylindre vertical , il coupera la surface £ suî^'ant une courbe y à laquelle nous donnerons le nom de développante imparfaite et rallongée de Thélice E.
Et il est évident que les courbes y et y' seront des courbes à double courbure.
Gela posé :
Il est évident que si l'on désigne par y, y, y" les points de la courbe y
qui se projettent en x , x, x ... sur la courbe 6, on aura (jSj. 1):
xm ym, x'm' ^m',
et ainsi de suite.
En sorte que la construction de la courbe y ou y' sera la même sur la surface 1 quecelle employée sur le plan horizontal P, pour obtenir les courbes € et S'.
C'est ici le lieu d'entrer dans quelques nouveaux détails touchant la génération de ces courbes 6 et 6', y et y.
Concevons deux cylindres B etB'de révolution tangents l'uo à l'autre^suivant unegénératriceL, et ayant pour section droite, le premier un cercle C du rayon R, et le second un cercle G' du rayon R'.
Enrouions sur le cercle C un fil/ et sur le cercle G' un fil /'.
Supposons que ces deux fils sont fixés , le premier au cercle C par une de ses extrémités, et le deuxième au cercle C et aussi par une des ses extrémités, et de manière à ce que lesdeux bouts libres se confondent et soient dirigés dans le plan des deux cercles suivant la tangente commune à ces deux cercles.
Supposons que les cercles C et C' restent fixes, et que le cylindre B tourne
autour de son axe, le fii / s'enroulera ou se déroulera de dessus le cercle C, et un de ses points décrira sur le plan P une développante parfaite du cercle C, en supposant que ce plan P tourne autour de Taxe du cylindre B, et en sens inverse et avec la même vitesse de rotation imprimée au cylindre B.
Supposons maintenant que les deux fils sont noués et que le nœud soit le point du (i\f, qui décrive sur le plan P la courbe demandée.
Si les deux cylindres B et B' tournent en sens inverse (en les supposant extérieurs Tun à l'autre ) et que leurs vitesses soient dans un rapport inverse des rayons R et Wy les deux fils/et/' s'enrouleront ou se dérouleront en restant juxtaposés, et le nœud décrira la développante parfaite du cercle G, si Ton suppose que le plan P tourne en sens inverse du cylindre B et autour de son axe avec la vitesse imprimée au cylindre B.
Mais si , tout restant dans les mêmes conditions, on imprime au cylindre B une vitesse plus petite ou plus grande, soit dans le même sens, soit en sens inverse, alors le nœud sera forcé de décrire une courbe différente. En définitive, tout peut se réduire à ceci :
Supposer que le cylindre B tourne d'un angle a et dans un temps t , de droite à gauche, puis, que dans le même temps /, il tourne d'un angle a, de gauche à droite; un point m du fil /décrira les développantes diverses du cercle C.
Le point m décrira une développante parfaite si «,=0, une développante imparfaite si a, est > 0. La développante imparfaite sera rallongée si l'angle a, est décrit en sens inverse de l'angle a ; la développante imparfaite sera raccourcie si l'angle «. est décrit dans le même sens que l'angle ». Dès lors on voit que Ton devra avoir a^=iTna,*
D'où l'on déduit ^^^^' = constante == K et ^^^' e= constante = K, (*).
Ce qui vient d'être dit nous servira lorsque nous examinerons les développantes sphériques.
D'après ce qui a été dit plus haut, il est facile de reconnaître que si l'on coupe l'hélicoïde développable par une suite de plans parallèles entre eux et perpendiculaires à Taxe du cylindre sur lequel rampe rhélice arête de rebroussement de la surface , toutes les sections seront des développantes parfaites et circulaires , et que si Ton coupe les hélicoides gauches par des plans perpendiculaires à l'axe de
(*) Ou plus simplement : supposons que le cercle G tourne autour de son centre o avec une vitesse uniforme v , et que son plan P tourne en sens inverse autour du même point o et avec une vitesse uniforme v'i un point m du fil f enroulé sur le cercle C décrira sur le plan P une développante parfaite si l'on a t = t', rallongée si Ton a t < tj' ;et raccourcie si Ton a tj> t' ; le point m se mouvant sur la ligne f qui a une direction invariable et qui est tangente au cercle C.
— lace cylindre les sections seront des développantes imparfaites, et qui seront rai* longées ou raccourcies suivant l'angle sous lequel les génératrices de rbéiieôïde coupercftit les génératrices de ce cylindre.
Ainsi , Ton peut dire :
i^ Si Ton se donne deux plans parallèles P et P% et sur Fun P la dévelop* pante parfaite i d*un cercle C, et que Ton fasse mouvoir une droite d'une longueur constante D de telle manière qu'elle soit toujours , pendant son mouve^ ment, tangente au cylindre B qui a pour section droite le cercle C, l'une de ses extrémités décrivant sur le plan P la courbe d, l'autre extrémité décrira sur le plan P' une développante parfaite d. identique à d; et la courbe, lieu des contacts de la droite D et du cylindre' B, sera une hélice E à laquelle cette droite D sera constamment tangente.
2^ Si l'on se donne deux plans P et P' parallèles , et sur l'un P la développante imparfaite, raccourcie 6 on rallongée 6' d'un cercle C, et que l'on fasse mouvoir une droite d'une longueur cx>nstante D , de telle manière qu'elle soit ton-» jours, pendant son mouvement, tangente au cylindre B qui a pour section droite le cercle C, l'une de ses extrémités décrivant sur le plan P la courbe 6 ou la courbe 6', l'autre extrémité décrira sur le plan P' une développante imparfaite , raccourcie 6, ou rallongée S^, , identiques , la première à 6 et la seconde à 6"; et la courbe, lieu des contacts de la droite D et du cylindre B , sera une hélice E , que la droite mobile coupera sous un angle constant.
3^ Si sur un hélicoîde développable2, on trace une développante parfaite $ de l'hélice E, arête de rebroussement de la surface 2, et si l'on porte sur les diverses génératrices droites de cette surface 1 une longueur constante à partir des divers points de la courbe d , on tracera .sur la surface 1 une développante parfaite d. identique à d.
4® Si sur cette même surface développable 1 on trace une développante imparfaite à double courbure, raccourcie y ou rallongée y , et que l'on porte sur les diverses génératrices droites de la surface 1 une longueur constante à partir des divers points de la courbe y ou de la courbe y , on tracera sur celte surface développable 2 une développante imparfaite à double courbure, raccourcie y, identique à la courbe y, ou rallongée y, identique à la courbe y.
Tout ce qui précède peut être généralisé, car il est évident que tout ce que nous venons de décrire aurait lieu , quelle que fût la section droite du cylindre B ; mais alors les sections 3 et 3^,, y et y. , y' et y, , 6 et 6. , 6' et 6'. ne seraient plus des courbes identiques , parce que le cercle est la seule courbe plane , et l'hélice cylindrique circulaire est la seule courbe à double courbure , pour
*MJ
lesquelles les développantes soot toutes identiques , quelle que soit la position de Torigine de la développante sur sa développée.
Remarque. Dans Tengrenage de force , destinée trai^sineltre le mouvement de rotation entre deux axes non situés dans le même plan, on retrouve les développantes imparfaites à double courbure, celles qui sont raccourcies. (Voir le modèle fonctionnant de ceX engrenage , que j*ai fait exécuter pour les collée* tions de l'École polytechnique et du Conservatoire des Arts et Métiers. ) (*)
On sait que dans cet engrenage :
i^ La dent d'une des roues est terminée par une surface cylindrique Bayant pour section droites une développante parfaite d'un cercle; et que la dent de l'autre roue est terminée par une surface hélicoîde développable Z.
2^ Ces deux surfaces B et 2 se mettent successivement en contact par leurs génératrices droites.
{^endant le mouvement de rotation, la section droite du ey4indre B laisse pour trace sur la surface hélicoîde 2, une développante raeoaurcie à double courbure.
Des spirales imparfaites d'Archimède.
Tout ce que nous avons dit plus haut sur les développantes parfaites et imparfaites du cercle, s'applique, mot à mot, aux spirales d'Archimède parfaites et imparfaites.
Ainsi nous pouvons énoncer ce qui suit :
1«> Outre la spirale parfaite d'Archimède, il y a deux espèces de spirales imparfaites , l'une rallongée et l'autre raccourcie et toutes deux planes ; elles se construisent de la même manière que les développantes imparfaites du cercle.
2* Si l'on fait mouvoir une droite D sur une spirale parfaite d'Archimède i et sur un axe A perpendiculaire au plan P de la courbe d (la droite D coupant l'axe A sous un angle constant) on engendre une surface hélicoîde gauche 2; et la spirale à double courbure rallongée ou raccourcie tracée sur la surface 2 , aura pour projection , sur le plan P , une spirale plane d'Archimède rallongée ou raccourcie.
3*^ Si l'on a deux plans P et P' perpendiculaires â Taxe A , et que l'on fasse
(*) On peut lire à ce sujet le chapitre II de la Théorie géométrique des engrenages destinés à transmettre le mouvement de rotation entre deux axes situés ou non situés dans un même plan, que j^aî publiée en 184?.
cette courbure est tracée sur une surface hélicoide gauche ayant Taxe A pour directrice, et que cette courbe y a pour projection une spirale plane et imparfaite d'Archimède 6, et que l'on sait construire la tangente en un point de celte courbe 6, ainsi qu'on Ta dit au commencement de ce chapitre, nous construirons à la surface hélicoîde le plan tangent T pour le point considéré sur la courbe y ; puis menant un plan vertical Q par la tangente à la courbe 6 , Tintersection des deux plans T et Q sera la tangente demandée (*).
Passons maintenant aux développantes sphériques rallongées et raccourcies, et établissons les analogies géaméiriques qui existent entre ces courbes et celles que nous venons d'étudier.
Des développantes sphériques rallongées et raccourcies.
Dans le mémoire sur les épicycloides sphériques que j'ai publié dans le 23' cahier du Journal de l'École polytechnique , j'ai donné la génération de la développante sphérique, en considérant cette courbe comme une épicycloîde particulière; et en vertu de ce mode de génération j'ai démontré que l'enveloppe des plans normaux de cette courbe était îine surface conique de révolution ayant son sommet au ceptre de la sphère sur laqpelle la courbe était tracée et pour base le cercle fixe sur lequel roulait un grand cercle de la sphère, un point de ce grand cerle engendrant la développante sphérique.
Mais il est facile de reconnaître que la développante sphérique peut être engendrée d'une autre manière.
Et en effet :
On se /appelle que, Monge a démontré que toute courbe à double courbure C avait une infinité de développées qui étaient toutes des hélices tracées sur la surface développable enveloppe de l'espace parcouru par le plan normal à cette courbe C.
(*) On doit comprendre que lorsque notu considérons trois spirales d^Archimède^ Pane intermédiaire dile parfaite et les deux antres dites imparfaites y ces trois spirales ne doivent être considérées, deux d*entre elles comme imparfaites par rapport à la troisième occupant la position intermédiaire , que par analogie géométrique ; car ces trois courbes , considérées séparément , sont trois spirales ayant la même équation , savoir : pe=a(^, dans laquelle te coefficient a prend une valeur particulière pour chacune des trois courbes spirales.
Dès lors, on voit que si, par un point de la développante spliérique C, on mène une doite K quelconque , mais tangente au cône D enveloppe des plans normaux de la courbe C, et qu'on plie librement cette tangente K sur ce cône D , on formera une hélice conique E qui sera la développée de la courbe C.
Ainsi , si Ton considère la surface développable 1 formée par toutes les tangentes K à une hélice conique E ( le cône sur lequel cette hélice E est tracée étant
de révolution) , toute courbe G tracée sur cette surface 1 et coupant ses gêné- ,
ratrices K sous l'angle droit sera une développante sphérique. |l
Tracé mécanique de la développante sphérique sur la surface concave d'une sphère.
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■ri
Vj
Ce qui précède nous permet de tracer sur la surface concave d'une sphère une développante sphérique, par un mouvement continu et d'une manière très- :^1
simple et très-commode pour la pratique.
Et en effet:
Imaginons une demi*sphère creuse S et un cône solide de révolution B, ayant son apothème égal en longueur au rayon de la sphère , et pour base un cercle d'un rayon arbitraire.
Plaçons le cône B dans la demi-sphère creuse S^ de manière que son cerclebase s'applique exactement sur la surface concave de la sphère ; dès lors lecentre de la sphère et le sommet du cône* coïncideront.
Cela iait, plions sur le cône B une bande de parchemin , cette bande s'enroulera sur le cône sans déchirure ni duplkatare, et chacun de ses bords tracera sur le cône une hélice conique; et si Ton s'arrange de manière à ce que l'extrémité dû parchemin vienne aboutir précisément en un point du cercle-base du cône; en dépliant le parchemin et le tendant , cette extrémité décrira sur la sphère creuse une développante sphérique.
D'après ce qui a été dit ci* dessus, on peut facilement déduire ce qui suit :
V Si l'on a un cône de révolution B et si on le coupe par une suite de plans
perpendiculaires à son axe, on obtiendra une suite de cercles V, V% V'
dont les rayons seront entre eux comme les distances du sommet du cône aux centres de ces cercles , ou, en. d'autres termes, comme les parties de l'apothème comprises entre le sommet du cône et les différents plans sécants.
Désignant donc le sommet du cône par a , et par A, b\ A" les points en \]^
lesquels l'apothème G du cône B se trouve respectivement coupé par les plans
des cercles V, Y, V" et désignant par R , R', R" les rayons de ces cercles ,
on aura :
ab'^ al/'^W^ ^*^
Cela posé :
Concevons le. plan T tangent au cône B suivant l'apothème ou génératrice G , et traçons dans ce plan T une suite de cercles ayant le sommet a pour caitre
commun et pour rayon les droites aé, ab', ah" et désignons ces cercles par
On voit de suite que les cercles V et Q sont en contact par le point b\ que les cercles V et Q' sont en contact par le point b[^ et ainsi de suite.
Maintenant, si Ton suppose que tous les cercles Q, QS Q'^ roulent ensemble et
en même temps sur les cercles V, V, V" les points A, b\ b" décriront
chacun une développante sphérique.
Et ainsi, le point b décrira la développante y qui sera située sur la sphère S ayant ab pour rayon et le point a pour centre.
Le point if décrira la développante y' qui sera située sur la sphère S' ayant ob' pour rayon et le point a pour centre, et ainsi de suite.
Et comme, en même temps que le cercle Q roule sur le cercle V, les autres
cercles Q', Q'' roulent sur les cercles \', Y' en décrivant autour do Taxe
du cône B le même angle en vertu des équations (i), on voit que toutes les développantes y, f\ y" seront placées sur un cône épicyeloîdal ayant le point a
pour sommet.
On peut donc énoncer ce qui suit :
\. Lorsque l'on a une suite de développantes sphériquesy, y', y'', ayant
une même surface conique B pour enveloppe de leurs plans normaux , et coupant cette surface conique B en des points 6, b'j b'\ situés sur une même génératrice G de ce cône B , toutes ces courbes y , y' 9 y% sont situées sur un même
cône U, qui a pour sommet le sommet dû cône B.
Analogie géoméirique. Si l'on suppose que le cône B devienne un cylindre de révolution B, , alors les courbes à double courbure y, y', y" deviennent des développantes planes y,, y',, y'',. Et comme, dans ce cas, on a : 06 =a6'=a6"= rinfini , etqueR=R'=R'^=con«tonte, dés lors, les développantes planes y,, y',, y\ sont des courbes identiques et situées dans des plans parallèles et elles percent le cylindre B, en des points 6,, é',, b'\ qui sont situés sur une même génératrice G. de ce cylindre B.; et le cône épicycloidal U devient un cylindre U. sur lequel se trouvent situées toutes les développantes planes et circulaires y,, y',, y",.
Oo peut encore déduire ce qui suit :
2* Étant dooné un cône de révolution B , ayant tracé sur ce cûne une hélice £ , et ayant construit la surface développable X formée par les diverses tangentes K, de l'hélice E; si l'on (»upe la surface 1 par une suite de sphères concentriques S, S', S", ayant pour centre commun le sommet a du cône fi , les courbes de sections obtenues y i 7' > y" » seront des développantes sphériques ; et l'hélice E sera coupée par la courbe y en un point d , par la
courbe /en un point et et ainsi de suite; ces points d, tt, étant les points
de rebroussement ou les origines des courbes 717', y"-
On peut donc énoncer ce qui suit :
II. Si l'on a une suite de développantes sphériques 7, 7', y", ayant une même surface conique de révolution S pour enveloppe de leurs plans normaux ; si ces courbes coupent le cône B en des points d, tf,tt', situés sur une hélice E tracée sur ce cône 6j toutes les courbes 7. yS 7" seront situées sur une surface développable 2, ayant l'hélice E pour arête de rebroussement.
Analogie géométrique. Et si l'on suppose que le cône B devienne un cylindre de révolution B,, alors les courbes à double courbure 7, 7', 7" deviennent des développantes planes ^ circulaires; et les points d, d*, d", sont situés sur une hélice £, tracée sur le cylindre B, ; et la surface 2 devient un hélicoide développable 1, , ayant l'hélice E, pour arête de rebroussement. Dans ce cas, les sphères S , S', S", deviennent des plans parallèles entre eux et perpendiculaires à l'axe du cylindre B, (*).
Examinons maintenant les développantes sphériques raltongées et raccourcies.
Concevons le cône de révolution B, enveloppe des plans normaux d'une développante sphérique; la base de ce cône étant le cercle C, son sommet étant au point a , son axe étant la droite oa qui unit le sommet a et le centre du cercle-base C (fig, 6).
Imaginons le plan T , tangent au cône B suivant une de «es génératrices ab ; et dans ce plan T, traçons le cercle L tangent en b au cercle C , ayant son centre au sommet a , et ayant dés lors pour rayon la droite <é.
Cela fait :
Concevons que le point m du cercle C est l'origine de la développante
C) C«rim plan est rigonreiuemait une iphére deraj'on inBiii; car une nutedetphèreaconcdutriqucs te Iruuformentennneiaite de plans pwallèlefl, loiiqn'on mppose qne leor GMitrs«MnnnDMt tr«iuporté à rinfini ; et comme le* ■phèr«s conceutriqnes coupaient «on» l'angle droit l'aie du cAae B , il hut qne k* plaoe panJWie» CŒipent anni loni l'angle droit l'axe do cylindre B , , ai CanOlogie géomitrifUê existe ; et c'ert ce qni a lien ea effet.
spliérique 3, dès lors si, sur le cercle L , on prend un point x tel que Ton ait :
Arc rectifié ^m= arc rectifié bx^
Le point x appartiendra à la développante sphérique d.
Supposons maintenant trois positions du plan T, et par suite trois positions du cercle L (en supposant que le cercle L a roulé sur le cercle C, pour passer successivement en chacune de ces trois positions).
Nous aurons- le plan
T langent au cône B suivant'o^
ab'
Nous aurons dans le plan
T le cercle
L tangent au cercle G au point L' —
Supposons que lès arcs bb\ b'b" du cercle C sont égaux entre eux ; dès lors les plans T et T% T' et T'' feront entre eux des angles dièdres égaux ; dès lors aussi les génératrices a6 et a6% a6' et cb" comprendront entre elles des angles égaux.
Gela posé :
Si sur le cercle M on prend : arc rectifié 6V = arc rectifié b'm ;
Si sur le cercle L" on prend : arc rectifié b"x = arc rectifié b"m , on placera sur le cercle \1 un point a! ^ et sur le cercle M' un point a!\ tels que ces points appartiendront à la développante sphérique d. . .
Arc \ix
Si maintenant je prends, sur le cercle L, un point y tel que Tenait : . = une constante K ;
sur le cercle L", un point y' tel que l'on ait :
arc 6 V
,= Kj
arc t'y
arc V^aP et sur le cercle L", un point y" tel que Ton ait : — -^, = K;
tous les points y^ v[ ^ y' formeront une courbe 9 tracée sur la sphère S , qui a son centre au point a et 06 pour rayon ; et cette courbe 9 qui aura son origine ou son point de rebroussement situé en m sur le cercle C, sera une développante sphérique imparfaite.
Si K est > 1, les points y, y , y" seront placés respectivement entre les points xeibj X el b\ x" et b" , et la courbe <p sera dite développante sphérique raccourcie.
Si K est < 1 , les points y , y 9 y" seront placés au delà des points x, x ^x\ par rapport aift points b^ b\ b'\ et la courbe f sera dite développante sphérique rallongée.
Si K c= 1, alors les points ^ et y, x' et y% x" et y" se confondent, et les
•deux courbes 9 et d ne forment plus qu'une seule et même courbe (lui esl la dévelappanie 9phéri^ue parfiAte.
On voit de suite Tanalogie qui existe entre la construction des développantes sphériques imparfaites et colle des développantes planes imparfaites, les droites xm^ xm'(fig, 1) sont remplacées par les arcs yb , y'b' (fig. 6),
Maintenant, si par le point x et dans le plan tangent T on mène une droite ari)itraire xp et coupant la génératrice ab au point p, et si l'on plie librement cette droite sur le cône B , on aura l'hélice conique E qui passera par le point m du cercle G, et qui coupera les génératrices ab^ au point p\ ab" au point p^'; et les droites px, p'x , p"x" seront des tangentes à l'hélice E , aux points
Si l'on unit le sommet a aux points 9, y\ y\ les droites ay^ ay , ay" couperont respectivement les droites px, p'x , p'V aux points %, «', 2'' qui formeront une courbe 7 tracée sur la sur&ce hélicoîde développable 2 ayant l'hélice E pour arête de rebroussement , et cette courbe 7 aura son origine ou son point de rebroussement situé en m sur le cercle G.
Nous donnerons à cette courbe 7 le nom dedéveloppantehélicO'Sphériqtte imparfaite.
Il y aura des développantes hélico-sphériques rallongées ou raccourcies , suivant que la courbe 7 sera l'intersection delà sur&ce hélicoîde 2 par un cône ayant pour directrice une développante sphérique raUongée ou raccourcie , et pour som: met le point a (sommet du cône B).
On voit de suite P analogie géométrique qui existe entre la construction des développantes hélico-sphériques imparfaites et celle des développantes imparfaites à double courbure : les premières se projettent coniquement et orthogonalement sur la sphère S , suivant des développantes sphériques imparfaites , tout comme les secondes se projettent cylindriquement et orthogonalement sur le plan de section droite du cylindre B, , Suivant des développantes p/an^^ imparfaites.
Cela étant établi :
Décrivons dans les plans tangents T, T' , T" des cercles L., L', , L'\ du point a comme centre , et avec az, axf, az" pour rayons.
Le cercle
