TROISIÈME CAS
Si l'on suppose que ni=^i et que a est arbitraire ; alors la surface H devient un paraboloîde hyperbolique dont l'équation est, comme on sait :
^+îr=(6,')«+ ^^J^ .(8)
et l'équation de condition sera dans ce cas :
Or, ces équations ( 8) et (9 ) ne peuvent encore être satisfaites que par l'hypothèse a:' s=0 et «=0, et y'== 5.
Ce qui nous apprend que la plus courte distance existant entre les droites M et N est encore la seule normale à la surface H qui s'appuie à la fois sur les deux droites M et N.
QUATRIÈIIB CAS.
Si l'on suppose que it= 1 et que a est infini ; alors hi surface H est un paraboloîde hyperbolique dont Téquation est :
af*=b*^V^+sf' (10)
et réquation de condition devient :
f^^tlf^^O (11)
Or ces équations ( 10) et ( 11 ) ne peuvent être satisfaites que par f hypothèse a;'=Oet*'=0, ety'=:^.
Ce qui nous apprend que la plus courte distance existant entre les deux droites M et N est encore la seide normale à la sttrfece H qui s'appuie à la fois sur les droites M et N.
Résolvons maintenant le problème dans toute sa généralité , et ainsi :
PreDOQs une surface H dont l'équalion est :
et deux axes l'un M étant l'axe des * et l'autre N ayant pour équations : y=6 et
L'équation de condition
qui exprime que les normales à la surface H s'appuient sur l'axe des « , est préciment l'équation aux différences partielles d'une surface de révolution E ayant l'axe des z pour axe de rotation.
De même l'équation :
est l'équatioD aux différences partielles d'une surface de révolution E' ayant précisément Taxe N pour axe de rotation.
Les deux surfaces E et E' sont les enveloppes de la surface H , lorsque Ton suppose que cette surface H tourne d'abord autour de Taxe M ou a)ce des «» ^i ensuite autour de l'axe N.
Or, pour que les trois surfaces H , E et E' soient en conUct , il faut que les trois équations ( 12 ) , (13 ) et ( 14 ) aient lieu en même temps.
Or, évidemment , l'équation de condition à laquelle on arrivera en éliminant les variables Xy y , s , entre ces trois équations ne pourra être satipfiûte qii6 dans des cas très-particuliers.
Donnons quelques exemples :
1" Supposons que la surface H est un cylindre dont les génératrices droites sont parallèles à la droite M ou axe des z.
Son équation sera :
y = çp(a?) (15)
On aura :
^ = et ^=0 dx dji
L'équation (13) se trouve dès lors satis&ite et l'équation (14) se réduit à : y— 6=0.
Toutes les normales à la surface H seront parallèles au plan des xy.
Si l'on désigne par x', }j\ z' les coordonnées d'un point m situé sur la surface H , les équations de la normale passant par ce point , seront :
doif
z=^si et y— y'=— (-r— j:')
Cette normale devra s'appuyer sur la droite N et sur la droite M ou axe des z. Les sept équations
^=0, y = 0, y=by a;=ax et y— y'= ttiâC^""^) ^^ *=*' ^ y'=?(«')
devront donc avoir lieu en même temps.
Et il est évident que la coexistence de ces sept équations, si elle a lieu, ne pourra exister que pour un certain nombre de points m.
Comme exemple de ce qui vient d'être dit, nous pouvons prendre le cas particulier suivant :
2** Supposons que le cylindre H, a pour équation.
y=px*-hç« + « (i6)
Les sept équations de condition seront :
(10 (2') (3') (4') (5') m (ar-V) W
a?=0, îf=o, y=6, x^ax, *=*', y— y^=: w^.^ 'y'='P^'+g^+* En combinant les équations (S'), (4") , (5") , (6') on aura Téquation de condition :
équation qui exprime que la normale s'appuie sur la droite N.
En combinant les équations (1^, (2% (5"), (6') on aura l'équation de condition :
équation qui exprime que la normale s'appuie sur la droite M. Ces deux équations de condition devront coexister avec l'équation
qui exprime que le point m est sur la surface H, et ces équations (Al) , (18), (19), remplaceront les sept premières équations ci-dessus.
On a donctrois équations pour déterminer les trois coordonnées x', y% % du point m. Le problème ne pourra donc avoir qu'un nombre limité de solutions.
Nous pouvons prendre comme exemple le cas particulier suivant:
S"* Supposons que la surface H est une surface de révolution ayant la droite M ou axe des % pour axe de rotation*
Alors les deux surfaces H et E se confondent.
tir A.r
Dès lors les équations : z^=z<f {xj y) de la surface U et: x j — ' y aZ^^ ^^ '^
surface E sont identiques.
Le système des trois équations (12), (13) et (14) se réduit donc aux seules équations ( 12) et ( 14) de la surface H et de la surface E".
Par conséquent, dans ce cas particulier la courbe l, lieu des points de la surface H pour lesquels ses normales s'appuient à la fois sur les deux droites M et N , existera toujours.
4"" Supposons que la surface H est un cylindre de révolution, ayant la droite M ou axe des z pour axe de rotation , l'équation ( 15 ) sera :
et l'équation (16) sera :
La courbe l aura donc pour équation, les équations (20) et (21), 'l'équation (21)
se réduit à :
bx — y«c=o
qui est l'équation d'un paraboloîde ayantl'origine des coordonnées pour sommet. Et l'on aura pour l'équation de la projection de la courbe l
sur le plan des a:y x^ + y^:=R^
sur le plan des yz 6"(R'— y')c=3a'yv
sur le plan des xz 6'ar* = tfV(R* — x').
Ainsi l'on peut conclure de ce qui précède :
1* Qu'étant donnés deux axes M et N et une surface H , arbitraire, il n'y aura , en général j qu'un certain nombre de normales isolées, menées à cette surface H , qui s'appuieront à la fois sur les deux axes M et N.
2* Qu'étant donnés deux axes M et N et une surface H de révolution et ayant pour axe de rotation l'un des axes M ou N , il y aura toujours une surface gauche
normale à celte surface H et dont les génératrices droites s'appuieront à la fois sur les axes M etN.
On doit faire remarquer que le dernier résultat est évident ; car la surface gauche normale s'obtiendra facilement en prenant sur la droite N une suite de
points p j p\ p"y et en faisant passer par chacun de ces points et la droite M un
plan P, ^, V'y chacun de ces pteins coupera la surface H saifant une courbe
méridienne C, G', Ç!\ et il faudra dans chaque plan P mener du point f u»e
normale à la courbe G (^).
On sait que dans les engrenages cylindriques et coniques, on est conduit à considérer deux cylindres de révolution tangents l'un à l'autre et suivant une droite ; et deux cônes aussi de révolution et tangents l'un à Fautre suivant une droite ; cette droite de contact étant dans l'un et l'autre cas telle que les distances de chacun de ses points aux deux axes de l'engrenage , lesquels sont les axes des surfaces de révolution considérées, sont dans un rapport constant et représenté par n.
On sait que cesdeux cylindreset ces deux cônes prennent le nom, les premîersde cylindres primitifs de l'engrenage à axes parallèles , et les seconds de cônes primitift de l'engrenage à axes qui se coupent.
M. Ferry t dans son Essai sur les Machines ^ publié à Metz en 1806 , pensa que lorsque les axes de l'engrenage ne sont pas situés dans un même plan, il devait aussi exister des surfaces primitives, il ahercha donc la nature de la surface H, lieu des points de l'espace dont les dislances à deux tels axes sont dans un rapport constant.
Et il démontra le premier que ce /ieti est un hyperboloïde à une nappe et non de révolution.
(*) On Toit donc que si Ton fait mouvoir une surface II : 1** autour de Taxe H , elle engendrera une surface de révolution z et les surfaces H et z seront en oontAOt par une courbe > ; ^ 2* autour d^un autre axe N, elle engendrera une seconde surface de révolution 2' et les surfaces H et 2' seront en contact par une courbe >'.
Les courbes y et y' n'auront, en général y qu'un certain nombre de points communs; elles pMvront ne point se couper ; elles pourront se confondre ; mais, dans ce dernier cas , la sorfaoe H sera de révolution , et aura pour axe de rotation Tune des deux droites M ou N.
L'auteur de V Essai sur les machines ^ publié à Metz en 1906 pour Vusage des élèves de l'École d'application , a donc été induit en erreur lorsqu'il a dk que les trois surfaces fl , 2 et 2' étaient toujonrs en contact par une seule et même courbe.
Mais il commit une erreur en peuflant que les surfaces 2 et 2', engendrées, comme enveloppes, par le mouvement de rotation de la surface H tournant respectivement autour des axes donnés , étaient tangentes Tune à l'autre et suivant une courbe l située sur la surface H. De sorte, que le problème des surfaces primitives dans le cas des axes non situés dans un même plan , restait encore à résoudre.
Là, s'étaient bornés les essais tentés sur la construction des engrenages aptes à transmettre le mouvement de rotation uniforme entre deux axes non situés dans un même plan , lorsque je commençais mes recherches en 1817.
Ajantdémontré ainsi que jerai iait dans le § IV précédent, que lesdeux surfaces de révolution Ket K' enveloppes d'une surface Q arbitraire et tournant respectivement autour de deux axes ne sont pas, en général y en contact par une courbe y située sur la surface Q et que cela n'a lieu qu'autant que la surface Q est de révolution autour de l'un des axes donnés , Je cherchai si Ton ne pouvait pas traoer sur la surface H {lieu des points de l'espace dont les distances aux deux axes non situés dans un même plan sont dans le rapport constant n ) une ligne l , telle qu'en la disant tourner respectivement autour des axes donnés, elles engendrât deux surfaces de révolution A et A' tangentes Tune à l'autre suivant cette courbe ^, et coupant dés lors l'une et Tautre la surface H suivant cette même courbe Ç.
La solution de cette question est le sujet de ce § V.
Concevons deux axes M et N non situés dans un même plan. Prenons Taxe M pour axe des z , ses équations seront :
aî=o, y=0
les équations de Taxe N seront :
La plus courte distance existant entre M et N étant égale à 6, et a étant la tangente trigonométrique de l'angle a que font entre eux las axes 11 et N.
Nous savons que la surface H, lieu des points de l'espace dont les distances aux axes M et N sont dans le rapport n , a pour équation :
V « -pi / . , .
Concevons une surface de révolution A ayant pour axe de rotation Taxe M ou axe des z.
Le cercle générateur i de la surface A aura pour équation :
et
a;'+y'=ff (3)
S est une fonction de a, dont il s'agit de déterminer la forme.
Or, iî est évidëtit :
1* Que les deux variables a et 6 sont les coordonnées de la courbe méridienne C appartenant à la surface A et cette courbe étant considérée dans son plan.
2* Que la normale menée à la courbe C et au pointa et S rencontre Taxe des z au centre *o de celle des sphères S dont la surface A est Tenveloppe et que les surfaces S et A se touchent suivant le cercle générateur 3.
3* Que le plan F mené par le centre o et le second axe N , coupe le cercle d en un point m qui sera le point de contact d'une sphère S, , ayant son centre en o. sur N, avec la sphère S ; la sphère S, étant l'enveloppée d'une surface A, de révolution autour de l'axe N ; les deux surfaces A et A. devant être en contact par une ligne ç, lieu des divers points m et cette courbe ^ devant être telle ^ que tous les points soient distants des axes M et N dans un rapport constant et égal à n.
L'équation de la normale à A pour le point dont les coordonnées sont or et 6 sera :
Pour y=sO, on a z=a. + 6 ^ ; nous poserons pour abréger:
On aura donc pour les coordonnée» du centre de la sphère S : ' 1^
y=0 et rsTTi
L équation du plan P sera :
Les quatre équations ( i) , ( 2) , ( 3 ) et ( 4 ) , doivent avoir lieu en même temps pour tous les poiatede la ligne de contact Ç et ainsi quel que soit «.
Si donc on élimine x^y^z entre ces quatre équations, il restera une équation
de finale en a, 6 et ^^ qui servira à déterminer la forme de la fonction 6.
Cette équation finale sera Téquation différentielle de la courbe méridienne de la surface de la révolution A.
L'équation (4) prend la forme :
Par là, et en vertu de l'équation (3), l'équation (4) déviendra :
d'où
d'où enfin:
L'équation (4) , eu égard à l'équation (2) , donne :
d'oîi
Mettant cette valeur de af dans l'équation (3) , on aura r
Développant le carré , on a :
d'où
'' n'{(a*+i)6'+aV}
6'e'(a'H-l)-n*6'{V(a*+l)+aV}
V — 2frt/= " (v
Retranchant l'une de l'antre les équations (t) et (i') , on aara
e"-o'(.-^)* 6'(a*+l)S*-.»'fc'{(a'-f-l)l'-H«V} .
n*{6"(a'+l)+oV}
Mettant cette valeur de (^ — y) dans l'équation (/), on aura l'équation finale qui sera :
n' {*•(«•+ l)+ay} ~ Q Ayant posé :
(fc)
P=2a't'r(a— 7)n'{è'(a'+l)+aV}+a6'(6*4-«y)n'{6'(o*+l)+«V} —
Q=:[2a*M«— 7)«M*V+t)+«V}+»'{*'+oV)»»M*VH-t) + aV}]'
le dénominateur Q peut s'écrire ainsi :
2bn'{b'(a'+i)+ay\\4i'y{u—y)+b'+ay}
Le second facteur se réduit à :
Ainsi le dénominateur Q sera :
aV+ft'
Q=26f.'{6'(a'+i) + «V} {a"«7-f 6'} Le numérateur P peut s'écrire ainsi :
h'n' { fc'(a'+1)+o'7* } [2a*7(«-7)+2(V+o'/)— e'-a'(«-7)'-(y-HiV)]+(**+«V)*'«'(«"+<y
et réduisant , on a :
P = 6V { 6'(o'4- 1 ) + o'7' } { 6' — e*— o*«* I + 6'6'(«'+ 1) (6*+ aV)
Mettant dans l'équation (4) les valeurs simplifiées de P etQ , chassant les dénominateurs et remarquant que dans le premier membre le facteur
— 96i — multipliera haut atlias, et doit être supprimé, on arriverai Téquatiou. finale :
4nV(a'+l)[y(a'4.i)+aV} {a'ya + b*} = (5)
Cette équation (5) est du premier ordre , mais du quatrième degré, et ne peut être intégrée que dans quelques cas particuliers, en iaisant certaines hypothèses et en donnant dès lors à 6 , à a et i n certaines valeurs particulières.
Ainsi , on peut intégrer dans les cas particuliers ci-après :
1* n arbitraire , et a = -.
Les axes M et N sont alors rectangulaires entre eux et non situés dans un même plan ;
2* n arbitraire et ac=;0.
Les axes M et N sont alors parallèles ;
3* n arbitraire et ft=ïO.
Les axes M et N se coupent ;
4* fi= 1 et a arbitraire.
Les axes M et N font entre eux un angle aigu et ne sont pas situés dans un même plan ;
5* 11=4 et a==^.
Les axes M et M sont rectangulaires entre eux et ne sont pas situés dans un même plan ;
6* 11 = 4 et a = 0.
Les axes M et N sont parallèles;
7* n = 4 et b=0.
Les axes M et N se coupent.
On peut donc intégrer l'équation (5) dans sept cas particuliers; et dans le huitième cas , qui est le cas général et pour lequel n, a et 6 sont arbitraires, cette équation (5) ne peut être intégrée.
Premier cas. n arbitraire et ^=â-
Divisons tous les termes de Téquation (5) par a', et annulons les termes qui conserveront a en dénominateur; on aura:
nb,ct
\/F— nV
et Ton se rappelle que Ton a posé 7=» H- 6 j-.
Pour intégrer l'équaiion (6) , cherchons à séparer les variables^ posons donc
DiiTérentiant cette expression , on a :
L'équation (6) deviendra donc :
2n6.« iv
Posons :
(1 +n') « =5 »' Diffiérentiant cette expression, on a :
2(l + n*)<iib=d»'
L'équation (7) deviendra donc :
Posons :
L'équation (8) dev iendra :
Élevant l'équation (iO) au carré , on aura :
DiiTérentiant l'équation (iO), il vient :
L équation (12) devient, en vertu de l'équation (9) :
. nb.iv'
iv= -r== («)
dv'
Dans cette équation différentielle (13) , les variables q ei v sont séparées, et son intégrale est :
G étant la constante arbitraire.
Remplaçant dans Téquation (14) q par sa valeur en v et v, on aura :
(n-+irr . (n*+l)V/ï?^^ = W !±:£ (15)
nh
Déterminons la constante arbitraire.
L'équation (15) peut s'écrire ainsi:
Pour que Ton ait C=^0, il faut que le coeflBcient du logarithme soit nul; on a donc :
Remplaçant dans Téquation (17) v et v' par leurs valeurs en a et 6 , on a :
(n'+i)V/€'— nv = nb ou enfin
L'équation (18) sera celle de la courbe méridienne de la surface de révolution A.
Cette courbe méridienne est une hyperbole dont Taxe imaginaire est dirigé para llèlement à Taxe des % ; la surface  sera donc un hyperboloide à une nappe et de révolution.
Remplaçons dans l'équation ( 18 ) a et ê par leurs valeurs en ^ ^ y et z tirées des équations (2 ) et (3) on aura :
Cette équation ( 19 ) sera celle de la surface hyperboloide A.
Faisons x=iO et 2=0 dans Téquation ( 19) on aura :
nb * n'+l
si dans réquation ( 1 ) on faita;=o et z=Oon aura :
ffi6
Ainsi la surface A ne coupe pas la plus courte distance b existant entre les axes M et N aux mêmes points que la surface H.
La valeur de y fournie par l'équation (i9) est plus grande qne celte fournie par réquation (1).
Et en effet : dans tous les calculs précédents nous supposons n<i ; on a donc : n* H- 1<ii + 1.
Le plan des xy coupera la surface A suivant un cercle d, dont l'équation sera :
«•6* Ce même plan coupera la surface H suivant une ellipse E dont l'équation est :
L'ellipse E a son centre sur l'axe des y et situé du côté des y négatifs. Les deux courbes d, et E se couperont en deux points dont les coordonnées seront :
Ces points d'intersection existeront toujours puisque les valeurs de x seront toujours réelles en vertu de la condition n<4.
On peut intégrer l'équation finale (5) dans les six autres cas particuliers , ainsi que nous Tavons dit ; mais je préfère donner la solution du problème pour ces six cas, en me servant de la géométrie descriptive , d'ailleurs c'est par les méthodes que nous fournit cette science , que je suis parvenu pour la première fois aux divers résultats (*).
(*) Ce fut en 1818 , lorsque j'étais attaché comme lieutenant d'artiUerie à l'École d'application de Metz , que je parrins à résoudre le problème dans les six cas particuliers y par des considérations géométriques ; je commttitctnii} mes résnltals k M. PBi»r, mou atoî et moa ancien ptofisâsenr k cette
Deuxième cas. n arbitraire et a=:0.
Dans ce cas les axes Met N sont parallèles et Ton sait que le lieu H, des points de l'espace dont les distances à ces axes sont dans un rapport constant n est un cylindre dont les génératrice^ sont parallèles aux axes M et N, et le plan Z de ces axes coupe ce cylindre suivant deux droites Tune J et Tautre J', toutes deux parallèles à M et à N.
Dès lors, il est évident que si Ton fait mouvoir une droite G perpendiculaire à J ou à J' et s' appuyant sur l*axe M, cette droite 6 ne sortira pas du (rfan Z et s'appuiera dès lors aussi sur l'axe N.
La surface A sera donc un cylindre de révolution B ou B' engendré par le mouvement de rotation de J ou de J' autour de Taxe M ; la surface A, sera donc un cylindre de révolution B. ou B/ engendré par le mouvement de rotation de J ou de J' autour de l'axe N.
Et il est évident que les deux cylindres engendrés par J comme les deux cylindres engendrés par J'y seront les deux premiers extérieurs l'un à l'autre et tangents suivant la droite 3, et seront les deux seconds intérieurs l'un à l'autre et tangents suivant la droite J". Dans ce cas , (es cylindres A, A, et le cylindre H sont tangents les uns aux autres suivant la droite J ou J' laquelle représente la ligne Ç.
Le problème a donc dans ce cas deux solutions.
Troisième cas. n arbitraire et 6;=; 0.
Les axes M et N se coupent en un point o, et dans ce cas on sait que la surface H est un cône du second degré ayant pour sommet le point o, le plan Z des axes M et N coupe le cône suivant deux droites, Tune J divisant l'angle a des axes en deux angles tels que leurs sinus sont dans le rapport n et l'autre J' divisant l'angle supplémentaire de a en deux angles dont les sinus sont aussi dans le rapport n.
Dés lors, il est évident que si l'on fait mouvoir une droite 6 perpendiculairement à J ou à J' et s'appuyant sur l'axe M, cette droite G ne sortira pas du plan Z et s'appuiera dés lors aussi sur l'axe N.
En sorte que les surfaces de révolution A et A« seront deux cônes B et B, engendrés par la droite J tournant respectivement autour des axes M et N , ou deux cônes B' et B/ engendrées par la droite ï tournant respectivement autour des mêmes axes.
École, en lui disant qne je n'avais pu résoudre le cas général par la géométrie, et que le cas particnlier, dans lequel n est arbitraire et a infini , échappait encore à toutes mes recherches.
H. Pbbst chercha la solution par Vanaly$e , et me remit ifoelqnes jours après Téquation finale (S) et rintégrale (18).
Les deux cônes B et B, seront extérieurs Tun à l'autre , si les deux cônes B' et B/sont intérieurs Fun à Tautre, el réciproquement.
El dans ce cas la surface conique H , et les deux surfaces de révolutioa A et A, seront en contact par la même droite I ou J'.
Le problème a deux solutions.
Quatrième cas* ttcsl et a arbitraire.
Puisque fi;= 1, la surface H est le lieu des points de l'espace également distants des deux axes donnés M et N comprenant entre eux un angle a et n^étantpoint situés dans un même plan.
Nous avons démontré, dans le § I de ce chapitre, et en ne nous servant que des méthodes graphiques de la géoméirie descripiive , que la surface H est un paraboloide hyperbolique dont le sommet est au point o milieu de la plus courie distance D existant entre les droites M et N, eldontTaxe infmi est dirigé suivant cette plus courte distance D.
Nous avons aussi démontré , que si l'on mène par le point o deux droites G et K situées dans un plan Y parallèle à la fois aux droites M et N , faisant avec M et N des angles égaux , ces deux, droites G et K qui seront rectangulaires entre elles, appartiendront au paraboloide H.
Or, il est évident, par les propriétés connues du paraboloide hyperbolique rec^ langulaire ( ainsi désigné parce que ses deux plans directeurs comprennent entre eux un angle droit ) que si l'on fait mouvoir une droite L sur G et M , de manière à ce qu'elle coupe G sous l'angle droit , celte droite s'appuiera en même temps sur la droite N et engendrera un paraboloide hyperbolique rectangulaire. En sorte, que si l'on fait mouvoir 6 autour de l'axe M , on aura un hyperboloide à une nappe el de révolution B et que si l'on fait mouvoir G autour de l'axe N , on aura un second hyperboloide à une nappe et de révolution B,; et ces deux surfaces B et B, seront tangentes Tune à l'autre suivant la droite G, mais couperont fa surfoce H Suivant cette droite 6 ( laquelle représente dans ce cas la ligne i) (*),
Si Ton fait tourner respectivement la droite K autour des axes Met N, on aur» deux nouveaux hyperboluides à une nappe et de révolution B'et B/, tangents l'un à l'autre suivant la droite K et coupant la surface H suivant cette droite K.
Si les deux hyperboloides B et B. sont extérieurs l'un à l'autre, les deux hyperboloides B' et B/ sont intérieurs l'un à l'autre, et rédproqueinenL
(*) Ce fat ce qui se paase , dans ce cas, entre les sniiaces H ,.B et B, qui me fit soupçonner que Panteur de VFiHÛ tur le$ machines ayait été induit en erreur, et ce qui m'engagea à résoudre la question qui fait le sujet du % IV de ce chapitre.
— 3K7 — Le problème a donc deux solutions.
Cinquième cas. n=l et ^ = 5-
Les axes M et N ne sont pas situés dans un même plan et comprennent entre eux un angle droit.
Le/teuH des points de l'espace, dont les distances à ces deux axes sont égales entre elles, est encore un parabobïde Ityperbolique.
Dans ce cas les droites 6 et K qui font des angles égaux avec les axes M et N, et qui par suite sont rectangulaires entre eux (comme il a été dit ci-dessus, quatrième cas), feront chacune une angle égal à un demi-droit avec chacune des droites M et N, puisque ces droites M et N font entre elles un angle droit.
Dès lors, les deux byperboloides engendrées par le mouvement de rotation de G et de K autour de M, se confondront en un seul kyperboldide A , et de même les deux hyperboloïdes engendrés par le mouvement de rotation de 6 et de K autour de N se confondront en un seul hyperboUnde A. ; et ces deux hyperboloïdes à une nappe et de révolution A et A, seront tangents Tun à l'autre par tous les points des droites G et K; et de plus ces deux hyperboloïdes seront extérieurs Tunà l'autre.
Le problème n'a donc dans ce cas qu'une seule solution.
Sixième cas. 11= 1 et a = 0.
Les axes M et N sont parallèles.
Le lieu H des poîhts de Tespace également distants des axes M et N ne sera autre qu'un plan P perpendiculaire au plan Z des axes M' et N et parallèle à ces axes.
Les plans P et Z se coupent suivant une droite I qui, en tournant respectivement autour des axes Met N , engendrera deux cylindres de révolution B et B. qui seront tangents Tun à l'autre suivant cette droite I.
Les deux cylindres B et B, seront extérieurs l'un à l'autre
Le problème n'aura donc dans .ce cas qu'une seule solution.
Septième cas. fi=l et b;=:0.
Les axes M et N se coupent en un point 0.
Le lieu II des points de l'espace également distants des axes M et N, sera formé par deux plans Pet Q perpendiculaires au plan Z des axes donnés et qui diviseront langle a des axes et son supplément en deux parties égales. Les deux plans P et Q seront perpendiculaires entre eux ; le plan P coupera lé plan Z suivant une droite J, et le plan Q coupera le même plan Z suivant une droite J'; les deux droites J et Jaseront rectangulaires entre elles.
En faisant tourner J autour de M et de N on engendrera deux cônes B et B, de révolution, extérieurs Tun à l'autre et tangents Funà Tautre suivant la droite J.
En faisant tourner ï autour de M et N on engendrera deux autres cônes B' et B/de révolution, encore extérieurs Tun à l'autre et tangents l'un à l'autre suivant la droite J' ; le problème a donc deux solutions.
Il suflSt de jeter les yeux sur la fig. 422 pour s'assurer que les cônes B et B. , B' et B/ sont en effet extérieurs Fun à l'autre et que le problème a deux solutions.
Si les deux droites M et N étaient perpendiculaires entre elles et si dès lors on
avait en même temps, n = l, a=-et6=0,
Les cônes B et B, se réduiraient à un seul cône ayant pour angle au sommet un angle droit.
De même les cônes B, et B/ se réduiraient à un seul cône ayant pour angle au sommet un angle droit.
Et dans ce cas le problème n'aura qu'une seule eolution.
Dans ce qui précède nous avons déterminé pour tous les cas , excepté pour le
premier cas (celui où Ton a n arbitraire et a=: - ] , la nature géométrique des
deux surfaces A et A, et de la ligne l par laquelle ces surfaces se mettaient en contact.
Il nous reste donc à compléter la solution du problème dans le premier cas.
On se rappelle que l'intégrale (i8) de l'équation finale (5) nous a donné Téquatien d'une hyperbole qui, en tournant autour de l'axe M ou axe des 2, engendrait la surface A, laquelle était dans ce cas un byperholoide à une nappe et de révolution.
Cherchons maintenant la nature géométrique de la surface A. et de la ligne l par laquelle les deux surfaces A et A, se mettent en contact.
Et d'abord cherchons la courbe de contact l.
Nous savons que cette ligne l doit se trouver sur la surface H qui a pour équation , l'équation (i) , dans laquelle on «ura supposé ^ = r ; elle doit aussi se trouver sur la surface A qui a pour équation, l'équation (iS).
La droite ( sera donc l'intersection des deux surfaces H et A.
Beprenons donc les équations de H et A.
(H) ar'+y«-nV=n'(6«vy .et {^) a:'+y«-nV= -|^, En retranchant ces deux équations l'une de l'autre ; on a :
El l'axe réel A' de cette courbe ^, sera égal à :
Le produit des axes imaginaires sera égal au produit des axes réels des deuK courbes Ç, et f , , car on a :
AB' = A'B = ^^^rp^ l/(n*+3n-+4)(l-n'j
Et Ton a donc
Ce que Ton pouvait prévoir , car une surface du second degré est toujours coupée par deux plans parallèles suivant des courbes dont les axes sont proportionnels entre eux.
Deux surfaces du second degré ne peuvent se toucher que suivant une seule courbe du second degré ; la surface A. ne pourra donc être engendrée que par l'une des hyperboles Ç, ou ^. Cherchons laquelle de ces courbes engendre la surface A. , et pour cela faisons tourner la courbe \^ autour de l'axe Tf, elle engendrera une surface de révolution A. qui aura pour équation
Faisons tourner la courbe ^ autour du même axe N, elle engendrera une surface de révolution A,' qui aura pour équation :
Maintenant il faudrait chercher laquelle des deux surfaces A. ou A/ est tangente \ la surface A.
Mais on peut s*en dispenser en songeant que, ayant trouvé Téquation (18) qui était celle de la courbe méridienne de la surface A de révolution autour de Taxe M ou axe des % , il suffira de remplacer dans cette équation (i8) y par (6 — y) t x par
z et - par n, pour avoir l'équation de la courbe méridienne de la surface A. de
révolution autour de Taxe N dont les équations sont y ^=6 et z=:0 .
Or, l'équation (18) étant: S' --nV=p'^, (qui évidemment peut s'écrire sous
la forme ti' — itV;=: , . , ) si Ton fait les transformations indiquées, on aura:
Or si Ton coupe la surface A. dont Téquation est (A.) par le plan des xy, on trouve précisément la même courbe méridienne.
Ainsi le problème n'a qu une seule solution , donnée par les deux hyperboloidesàune nappe et de révolution ayant pour équations, les équations (A) et (A.) et ces surfaces se mettront en contact suivant l'hyperbole Ç, , dont l'axe imaginaire est parallèle à Taxe des % et dont le plan Y, est parallèle aux deux axes M et N.
Et il est aussi évident que les trois surfaces H , A et A. ne sont point tangentes entre elles suivant la courbe ^ de contact de A et A. puisque A et par suite A, coupe H suivant cette courbe £,.
D'une équation différentielle plus simple que l'équation (18) donnée par M. Persy .
Lorsque M. Persy chercha la solution du problème, trouver sur la surface H lieu des points de C espace dont les distances à deux axes M et N sont dans un rapport constant représenté par n, une courbe Ç, telle qu'elle engendre par son mouvement de rotation autour de l'axe M et ensuite autour de F axe N deux surfaces de révolution A et A, qui soient en contact suivant tous les points de cette ligne l : il parvint à l'équation différentielle de la courbe méridienne de la surface A, ainsi qu'on l'a vu ci -dessus, équation différentielle qui est du premier ordre et du quatrième degré.
Depuis, je me suis demandé si, par des considérations géométriques autres que celles employées par M. Persy pour mettre le problème en équation , on ne pourrait pas arriver à une équation finale plus simple.
Voici la marche que j'ai suivie.
Prenons sur la surface H un point m ; par ce point on peut toujours faire passer une droite G s'appuyant à la fois sur les deux axes M et N.
Menons un plan T tangent à la surface H et en ce point m.
Menons par le point m un plan Q perpendiculaire à la droite G ; les deux plans T et Q se couperont suivant une droite L qui passera par le point m, et sera perpendiculaire à G.
Supposons que la courbe i tracée sur la surface H existe , elle passera par le point met aura en ce point m pour tangente la droite L.
La courbe l se projettera sur le plan des xy suivant une courbe 4^, et la droite
L se projettera sur le même plan xy sumnt une droite h\ et le point m se projettera aussi sur le plan xy en un point m^.
Il est évident que la courbe ^et la droite L* seront tangentes Tune à l'autre au point m^.
Dès lors , si je puis avoir l'équation y=: ouc + 6 de la droite L*, il suffira de poser
dx
pour avoir l'équation différentielle de la courbe ^*, et la courbe l sera Tintersection du cylindre ayant pour section droite la courbe i^ et de la surface H. Effectuons les calculs en suivant la marche que nous venons d'indiquer.
Les équations de l'axe M sont ;
«=0 et 5f =
Les équations de l'axe N sont :
dr=iu et y^b L'équation du lieu H est :
(a: — az)**
Désignons ptu* x, y\ ii les coordonnées du point m. Les équations de la droite G , seront :
L'équation du plan Q sera :
^. I y' / >. . oa^cft— y') , .,
L'équation du plan T sera :
L'équation de L* sera :
L'équation différentielle de (^ sera donc :
dx a{n*— a'— 1) y'jr+nVy'o? — n^bayz — 6(8nV+ n*— a'— 1 )a?y + n't*(a*+l) a:
dans laquelle il faudra remplacer 2 par la valeur tirée de Féquation de la surface H y cette valeur est :
= -[*± %/{a^+i)\x^+U'-n\b-yr\]
Et Ton arrive ainsi à une équation différentielle plus simple, il est vrai, mais que l'on ne sait pas encore intégrer.
Par ce qui précède , on doit reconnaître que l'idée de baser la Théorie géométrique des engrenages sur les mrfacen primitives j désignant ainsi deux surfaces de révolution A et A, > ayant respectivement pour axe de rotation les droites M et N et étant tangentes Tune à l'autre suivant une ligne l , telle que les distances de chacun de ses points aux axes M et N sont dans un rapport constant et inverse de celui des vitesses des axes M et N; on doit reconnaître , dis-je , que cette idée ne peut être admise, car on doit se rappeler que dans le cas où les axes M et N sont rectangulaires, les surfaces A et A, sont deux hyperboloîdes à une nappe et de révolution et extérieurs l'un à l'autre , en sorte que l'on serait conduit à penser, puisque le problème de géométrie n'a qu'une seule solution dans ce cas, qu'il n'est pas possible d'exécuter un engrenage intérieur , l'engrenage extérieur étant le seul auquel on est conduit par la solution du problème relatif aux mrfiwes primitives *,
Je crois avoir donné, dans l'ouvrage que j'ai publié en 1842 sous le titre : Théorie géométrique ée$ engrenages destinés àtransnMtretefnowementderoiationeniredeuxaxes sUués ou non silués dans un même plan , les véritables considérations géométriques du problème important des engrenages, en neconsidérant point les surfaces primitives^ mais bien et seulement deux cercles primitifs , quelle que soit la position des axes l'un par rapport à l'autre.
J'ai aussi, dans ce même ouvrage, fait voir que le problème des surfaces primitives ne pouvait être de quelque intérêt que sous le point de vue géométrique, car il était complètement inutile pour la théorie des engrenages.
