DES COURBES

L Un point m décrivant dans l'espace une courbe i en venu d'une certaine loi de mouvement K passe successivement en des positions distinctes m\ m"fm"\.... nous dirons , le point m s'étant déplacé en vertu de la loi K pour prendre la position m' sur la courbe S, les points m et m' sont infiniment voisins si nous ne pouvons supposer qu'un troisième point n puisse être placé entre les points m et m', de telle manière que ce troisième point n soit plus près du point m, et en vertu de la loi K, que ne l'est le point m\

Si donc par des raisonnements exacts , nous trouvions que les points m et m\ que nous avions supposés tout d'abord infiniment voisins, sont tels, cependant, qu'un point n intermédiaire se trouve en effet , et en vertu de la loi K , plus près de m que m' n'est du point m (d'après l'hypothèse primordiale), nous dirons que ce sont les points m et n qui sont infiniment voisins et non les points m et m'; ou, en d'autres termes, nous dirons que le point n est réellement le point successif de m sur la courbe^ en vertu de la loi K, et non le point m' comme on l'avait présupposé.

Et si, par des raisonnements géométriques fondés sur la loi K, nous trouvons

une suite de points m, m", m'\ m'", situés sur la courbe l et tels que m' soit

infiniment voisin de m, que m" soit infiniment voisin de m\ que m'" soit infiniment voisin de m'" et ainsi de suite , nous dirons que lespoiats m, m\ m'\ m"\.... sont des points successifs et infiniment voisins de la courbe \.

La petite droite mm' qui unit deux points successifs et infiniment voisins m et m' sera dite infiniment petit rectiligne ou élément rectiligne de la courbe i et le polygone (inniWW, . . .)ayant pour sommets les points successifs et infiniment voisins m , m', m", m"\ ... de la courbe l et pour c6tés les éléments rectilignes successifs, mm% m'm'\

m'm" i de cette même courbe ( , sera dit polygone infinitésimal j et l'on pourra

toujours remplacer la courbe l par son polygone infinitésimal.

On peut supposer qu une même courbe ( soit décrite dans Fespace par un point mobile en vertu de diverses (ot^ K, K', K''....; pour chaque lai l'on aura un polygone infinitésimal différent.

Lors donc que Ton aura à résoudre un problème et que Ton sera conduit i considérer des infiniment petits rectilignes, il faudra pendant tout le cours de la démonstration ne s'appuyer que sur la même loi.

II. Lorsque l'on a une courbe ^, quel que soit le mode qui l'ait produite, on peut toujours supposer que cette courbe l soit parcourue par un point mobile et d'un mouvement uniforme. Dès lors, le mobile parcourt des arcs égaux de la courbe l et en temps égaux.

Le polygone infinitésimal , dans ce cas , aura tous sescâtés égaux.

Toutes les propriétés générales relatives aux courbes, pourront donc être établies en partant du polygone infinitésimal à côtés égaux, puisque ces propriétés seront indépendantes du mode (quel qu'il soit) qui a produit la courbe.

III. Une courbe l peut être le résultat de constructions graphiques , chaque point de cette courbe étant déterminé par la même construction K,.

La même courbe l peut être déterminée par diverses constructions K^, K/, K/', lorsque l'on aura donc un problème à résoudre et que l'on sera conduit i employer les infiniment petits rectilignes ou en d'autres termes le polygone infinitésimal , il faudra pendant tout le cours de la démonstration ne s'appuyer que sur la même construction.

De la sécante et de la tangente à une courbe.

lY. Étant donnée une courbe { à simple ou double courbure , prenons un point m sur cette courbe.

Parce pointm (Jig. 423) menons des droites S, S', qui couperont lacourbe^

respectivement aux points p, p',.... ces droites S, S', seront dites sécantes de

la courbe S, parce que les arcs mp, mp\ sont finis.

L'on conçoit que l'on peut faire mouvoir le point p sur la couii>e l pour le

rapprocher du point m, et qu'après avoir pris les positions p\ p^^ enfin il

prendra la position m' qui sera telle que le point ni sera le point successif et infiniment voisin de m , en sorte que mm' sera l'élément rectiligne de la courbe l , et sera , dès lors , le côté du poly goneinfinitésimal à côtés égaux qui peut remplacer la courbe ^

Cet élément rectiligne mni étant prolongé donnera une droite indéfinie T qui sera une sécante toute particulière de la courbe (, car pour cette sécante les deux points d'intersection ne sont plus à distance finie (mesunble) Tun de l'autre, mais à une distance infiniment petite.

Cette sécante a pris le nom de tangente.

La tangente à une oourbe est donc une droite qui a rigoureusement et géomé triquement parlant deui points communs avec la courbe.

L'élément rectiligne nun' est dit point de contact , et c'est pour abréger que l'on dit construire la tangente en un point d'une courbe , car il faut bien le remarquer, le point d'une courbe étant le sommet du polygone inûnitésimal, on a toujours deux éléments rectilignes qui se coupent en ce point , et par conséquent par un point d'une courbe passent rigoureusement deux tangentes successives.

Aussi peut-on considérer une courbe comme étant l'enveloppe de ses tangentes.

De la définition que nous venons de donner pour la tangente , résulte comme conséquence rigoureuse que l'on ne peut pas faire passer entre la tangente ( définie ainsi que nous l'avons fait ) et la courbe, une seconde droite qui approche plus prés de la courbe que la tangente n'en approche en effet :

Nous ne pouvons pas rapprocher le point p plus près du point m que nous ne l'avons fait en le plaçant en m', puisque nous supposons que ce point m est le point successif et infiniment voisin du point m ; si donc nous voulons mener par le point m une droite qui , comme 9écante k la courbe , soit successive et infiniment voisine de la droite T , il faudra qu'elle passe par le point p" supposé être le point successif et infiniment voisin du point m^ De sorte que la corde mp'* sera la plus petite corde que l'on puisse inscrire dans la courbe l en faisant passer cette corde par le point m; cette corde sera le grand côté d'un triangle isocèle dont les autres côtés, égaux entre eux, seront les éléments rectilignes successifs mm' et n^' de la courbe l.

Or, entre la sécante donnée par la corde mp" prolongée et la courbe l , on pourra faire passer la droite T qui est donnée par l'élément rectiligne nm^ prolongé, et évidemment on ne pourra faire passer que la droite T; doue , etc.

Du plan nortnal et du plan tangent à une courbe.

V. Quelque petit que soit l'élément rectiligne mm d'une courbe, nous pouvons toujours concevoir le milieu de cet élément. Le plan N mené perpendiculairement à cet élément sera dit plan normal , et comme les points m et m' sont successifs et infiniment voisins , que ce plan N soit mené perpendiculairement à l'élément rectiligne en l'une de ses extrémités m ou m\ ou au milieu de cet élément, la différence est insensible.

Cependant, pour la rigueur géométrique, nous sommes forcé d'établir une loi , qui dérive d'ailleurs tout naturellement de ce que nous avons supposé que

toute courbe pouvait èlre considérée comme parcourue par un point- mobile. Dès lors y lorsque Ton se donne un point m sur une courbe ( et que l'on propose de construire la tangente en ce point à cette courbe, il faut indiquer dans quel sens on doit marcher sur la courbe. Si Ton marche dans le sens indiqué par la

flèche y , la tangente sera le prolongement de Félémenl rectiligne mm', si Ton marche dans le sens de la flèche y y la tangente sera le prolongement de Télément

rectiligne f?t,r7i.

Le sens de direction étant donné , le plan normal sera le plan mené perpen* diculairement à Télément rectiligne, par le premier point de cet élément.

Nous donnerons le nom de plan tangent à tout plan passant par la tangente.

On n'a donc qu'un plan normal en un point d'une courbe, et une infinité de plans tangents en un point d'une courbe.

Du plan osculaleur à une courbe.

\I. Par une droite, on peut mener une infinité de plans. Par la tangenteT en un point m d'une courbe ^, on peut mener une infinité de plans tangents 9 9 @',

0"", à cette courbe. Par trois points, on ne peut faire passer qu'un seul

plan. Par conséquent, par trois points successifs m , m', ni'f d'une courbe, ou,

en d'autre termes, par deux éléments rectilignes successifs mm', mW d'une courbe , on ne peut faire passer qu'un plan qui prendra le nom de plan osculaieur.

Nous dirons donc qu'une courbe l n'a qu'un seul plan osculateur en chacun de ses points.

Cela posé:

Concevons une courbe l (fig. 124) et ses points successifs et infiniment voisins tn j m j m y tn , m^ , m , • • . .

Chaque élément rectiligne prolongé mm', m'tn\ tnW\ donnera une tangente à la courbe Ç.

On aura donc les tangentes successives et infiniment voisines T, T', T\ V, T^. Les deux tangentes successives T et T' se coupent en un point m de la courbe (. Les deux tangentes successives T' et T'" se coupent en un point m' de la courbe l , et ainsi de suite.

Le point m'' est le successif et infiniment voisin de m'. La première tangente T coupe la seconde tangente T', mais ne coupe pas la troisième tangente T''(car nous supposons la courbe l à double courbure).

Le premier plan osculateur O passe par T et T',

Le second plan osculateur 0, passe par T' et T\

Le troisième plan osculateur 0, passe par T" et T'\ et ainsi de suite.

Entre les plans et 0. , on ne peut pas placer un troisième plan qui approche plus près du plan que n'en approche le plan 0. , puisque Ton ne peut pas placer entre les deux tangentes T et T' une troisième droite qui approche plus près de T que n'en approche T", car Ton ne peut pas placer entre les points m et m\ m' et m'' un troisième point qui , situé sur la courbe g, approche plus près de m que n'en approche m\ et approche plus près de m' que n'en approche m'\ puisque par hypothèse primordiale nous avons supposé que les points m, m, m", .... étaient les points successifs et infiniment voisins de la courbe l.

Les plans osculateurs 0, 0,, 0,, 0,, sont donc les plans osculateurs successifs et infiniment voisins de la courbe |.

Gela posé :

Menons une suite de plans normaux :

N au point m à la tangente T,

N, au point rn à la tangente T',

N. au point m' à la tangente T'',

N, au point m'^k la tangente T", et ainsi de suite.

Les plans N et N. se couperont suivant une droite G , Les plans N, et N. se couperont suivant une droite G', Les plans N. et N, se couperont suivant une droite G'', et ainsi de suite.

Or, comme les tangentes T, T', T", sont successives et infiniment voisines,

les plans N, N,, N,,...,. seront successifs et infiniment voisins, et par suite les droites G, G^, G^\ seront successives et infiniment voisines.

Or, G coupe G' en un point o. G' coupe G'' en un point o\ et ainsi de suite.

Les points 0, o',.... seront donc des points successifs et infiniment voisins, et construits dans l'espace en vertu d'un certain mode; ces points seront donc les points successifs et infiniment voisins d'une courbe d ayant pour tangentes successives les droites G , G', G", ....

Du raytm de courbure d'une courbe.

VII. Par trois points situés à distance finie les uns des autres et aussi par trois

points infiniment près les uns des autres, on peut faire passer un cercle {fig* i25 ).

C'est le rayon du cercle G qui passe par les trois points m^m', m' successifs et

infiniment voisins de la courbe l que Ton appelle rayon de courbure de la courbe l pour le point m.

Le cercle G est situé dans le plan osculaleur @.

Le rayon du cercle G' situé dans le plan osculateur @. (ce cercle G" passant par les trois points successifs et infiniment voisins m\ m\ m" ) sera le rayon de courbure de la courbe ^ pour le point m.

Le cercle G aura pour centre le point q en lequel la droite G perce le plan ; le cercle G' aura pour centre le point q' en lequel la droite G' perce le plan 0, » et ainsi de suite*

Les rayons de courbure^ m , qW, étant prolongés donneront des droites L,

L', V\ qui seront respectivement normales à la courbe l aux points m, m\

m\:..et qui seront situées respectivement dans les plans osculateurs 6, 0., @,»-« ces droites seront donc successives et infiniment voisines.

Les divers points (^9 q'^ q\ formeront une courbe x qui sera coupée par les

droites L, L\ V\ puisqu'une de ces droites h\ par exemple, ne passera pas

par les deux points successifs q et q' de la courbe Xy attendu que les deux pians Q et 0, se coupent suivant la droite T^

On donne plus particulièrement le nom de normale au rayon de courbure prolongé.

Mais toute droite tracée dans le plan normal et passant par le point en lequel la courbe est coupée par ce plan peut prendre le nom de normale.

Ainsi , on dit qu*une courbe a en chacun de ses points une seule tangente, et un seul plan normal , une infinité de pians tangents et une infinité de normales j un seul plan osculateur et un seul rayon de courbure.

D'après ce qui précède , on voit :

l"" Que les rayons de courbure successifs et infiniment voisins d'une courbe ne sont point situés deux à deux et succesivement dans un même plan, ou comme on le dit : ne iecoupeuipas.

T Que les tangentes successives et infiniment voisines d'une courbe 9ont situées deux à deux et successivement dans un même plan (qui est le plan osculateur) ou

comme on le dit : se coupent. *

Nous verrons plusloin queces deux manières d'être d'une suite de droites situées dans Tespace, et Ton ne peut évidemment concevoir queces deux manières d'être, donnent naissance à deux grandes familles de surfaces régléei : les surfaces gauches et les surfaces développables.

Le oerde G a en commnn nvec la courbe (, les trois points successifs m^m', m"; on donne à l'arc circulaire qui part du point m pour aboutir au point m" y le nom d'arc élémentaire de la ooarbe ( ou d'élément curvilifM de la courbe l.

On peut donc considérer la courbe l comme n'étant plus composée d'éléments rectilignesy mais d'éléments curvilignes circulaires, et dès lors on peut prendre pour la courbe l , non plus un polygone infinitésimal à c6tés rectilignes, mais un polygone infinitésimal à côtés curvilignes circulaires , ces côtés curvilignes n'étant point placés les uns à la suite des autres , bout à bout, mais celui qui suit ayant avec celui qui le précède un élément rectiligne commun.

C'est ainsi que la courbe l peut être considérée comme Tenveloppe de ses divers

cercles osculateurs G , G', C'\ tout comme précédemment nous avions regardé

cette courbe l comme l'enveloppe de ses tangentes T, T', T\ T'\

En géométrie descriptive nous ne considérons dans les courbes que deux espèces d'éléments, les éléments rectilignes et les éléments curvilignes. La considération de ces infiniment petits suffit pour nous permettre de résoudre tous les problèmes dont on doit s'occuper dans les diverses appUcatians de la géométrie descriptive.

Car toutes les constructions y ont pour point de départ ou des déplacements successifs en ligne droite , ces déplacements changeant successivement de directian, ou des déplacements successifs en ligne circulaire, Taxe deroùUion changeant successivement de position «