DES SURFACES

vin. une courbure 9 décrivant dans Pespace une surface 1 en vertu d'unecertaine

loi K de mouvement, passe successivement en diverses positions ç', <p", 9'",

nous dirons , la courbe cp s'étant déplacée en vertu de la loi K pour prendre la position (f sur la surface 2, les courbes cp et cp' sont infiniment voisines, si nous ne pouvons supposer qu'une troisième courbe X puisse être placée entre les courbes <p et 9', de telle manière que cette troisième courbe X soit plus près de la courbe 9 que ne Test la courbe 9'.

Si donc , par des raisonnements exacts , nous trouvions que les courbes 9 et 9' que nous avions supposées tout d'abord infiniment voisines, sont telles cependant, qu'une courbe intermédiaire se trouve être en eflet, en vertu de la loi K, plus près de 9 que 9' n'est de co , nous dirons que ce sont les courbes 9 et X qui sont infiniment voisines et non les courbes 9 et 9'.

En d'autres termes, nous dirons que la courbe X est réellement la courbe successive de 9 sur la surface 2 en vertu de la loi K, et non la courbe 9' comme on l'avait présupposé.

Et si, par des raisonnements géométriques fondés sur la loi K , nous trouvons une suite de courbes 9, 9', 9",.-- telles que 9' est infiniment voisine de 9 , que 9'' est infiniment voisine de 9' et ainsi de suite , nous dirons que les courbes 9 , 9',

ç", sont des courbes génératrices delà surface 1 et sont successives et infiniment voisines sur cette surface 2.

La petite surface comprise sur la surface 1 entre deux courbes successives ^ et (sf sera dite zone élémentaire de la surface 2.

Et comme Ton peut concevoir qu'une même surface 2 est engendrée de diverses manières par des courbes mobiles , si Ton suppose que cette surface 2 est engendrée d'abord par une courbe 9 soumise à une loi K , et ensuite par une autre courbe ir soumise à une autre loi D, on aura d'abord une suite de zones élémentaires comprises respectivement entre les courbes génératrices successives du premier mode 9 et ç , 9 et 9", 9" et 9"', etc., et ensuite une suite d'autres xones élémentaires comprises respectivement entre les autres génératrices successives du second modoir et tt', « et tt", w" et w ", etc. ; la zone (9 , 9') interceptera sur la zone (n , n ) une facette élémentaire de la surface , qui prendra le nom d'élément superficiel de la surface 2.

Mais l'on pourra toujours supposer que la surface 2 est engendrée par une suite de courbes 9,9', ou n, w, ou e» e', ou X, X', etc., successives et infiniment voisines , et telles que les courbes 9 , tt , e , X ,.. .. se croisent au point m et sont soumises : les premières 9 à une loi K , les secondes tt à une loi D , les

troisièmes e à une loiB, etc. Les courbes 9', ir!, t\ qui seront respectivement

les courbes successives et infiniment voisines des courbes 91 7r,e , s'entrecouperont deux à deux et formeront un polygone dontcliaque côté sera infiniment petit et dont deux sommets quelconques seront distants l'un de l'autre d'une quantité infiniment petite ; c^est l'espace renfermé par ce polygone qui doit surtout prendre le nom de facette élémentaire.

La courbe génératrice d'une surface peut, quelle que soit la loi de son mouvement, ou i"" rester constante, non-seulement de forme, mais encore de grandeur, ou S"" varier de forme à chaque déplacement, la variation de forme étant aussi assujettie à une loi particulière.

Nous devons donc distinguer les surfaces à génératrice constante , des surfaces à génératrice variable. Toutefois, une surface ayant été, par un certain mode, engendrée par une courbe constante,, on pourra toujours , par un autre mode, l'engendrer au moyen d'une courbe variable; tandis que pour une surface engendrée par une courbe variable , il ne pourra pas toujours exister un certain mode de génération par une courbe constante.

Du plan tangent à une surface.

IX. Élant donnée une surface 2, quel que soit le mode de génération qui Tait produite, nous pourrons toujours tracer sur cette surface une courbe 9 > et mener en un point m de cette courbe la tangente T à cette courbe.

La tangente T contiendra donc deux points successifs m et m' de 9.

Par la droite T, nous pourrons faire passer une infinité de plans P, P", P'",

P"', coupant respectivement la surface 2 suivant des courbes n, /, n", tt'",... .

nous pouvons dès lors supposer que la surface 1 est engendrée par la courbe tt, variant de forme et passant successivement par les positions 7^^ it'y i:'\ etc. , nous pouvons supposer que ces courbes 1:, i:, it", sont des courbes successives et infiniment voisines; et comme chacun de leurs plans passe par la droite Ty chacune de ces courbes passera par les points successifs et infiniment voisins

m et m'; et dés lors nous pouvons affirmer que les courbes tt, tt", ?r^, ont avec

la courbe 9 une tangente commune qui n'est autre que T, ou, en d'autres termes, et pour abréger le discours 9 que les courbes ir , /, 11'% sont tangentes entre elles et à la courbe 9 au point m.

Cela posé :

Nous pouvons toujours tracer sur la surface 2 une suite de courbes arbitraires li^ii 1^9 In Ia> se croisant toutes au point m.

La courbe l coupera les courbes ir, iz, vi\ respectivement aux points a, a\

a\ la courbe $, les coupera aux points «„ a/, a/',.-- la courbe $, les coupera

aux points a,, a/, a/,.... et ainsi de suite.

Or, si nous supposons que le [^an P passe par des positions successives et

infiniment voisines P', P'', Vt"\ quelle que soit la loi qui régit le mouvement

de ce plan P , les courbes n^n'y «', w '', seront, en vertu de cette loi, quelle qu'elle soit, des courbes successives et infiniment voisines , par conséquent les points a,

«M «t>«*> û'j ^ly^li «/> ^"j ^!'>^1\ O*-*- ^^' seront des points successifs et infiniment .voisins sur les courbes respectives g, ^, ^, ^,

Dès lors si le point a de ^ est le successif et infiniment voisin du point m, aussitôt les points a de &, d' de i, a"' de 4, seront les successifs et infiniment voisins du même point m.

Et cela étant, il s'ensuit que les éléments rectilignes ma de (, ma' de (., ma"

de ^, etc. , seront tous situés dans un même plan & passant par ia droite T,

et par suite l'on peut énoncer ce théorème :

Si l'an trace sur une surface 1 une mHe de courbes arbitraires S , ^. 9 ^ 1 • • '• • «^ croisant

en un point m , les tangentes 9 , 0. 9 9,, menées respectivement à ces courbes et au

point m , sont situées dans un même plan 6.

Ce plan O a reçu le nom de plan tangent de la surface ; et dès lors pour résoudre le problème : Construire le plan tangent en un point m d'une surface 'ï, i) suffira : 1** de tracer sur cette surface 2 deux courbes l[ et ç, se croisam au point m ; 2^ de construire au point m la tangente à la courbe l et la tangente 6. i la courbe |, et le plan déterminé par les tangentes 6 et 9, sera le plan demandé.

Maintenant examinons quelle relation de position existe entre le plan tangent 6 et la surface 2 tout autour du point de contact m :

i*" Le plan tangent peut laisser la surface au-dessus ou au-dessous de lui tout autour du point de contact;

2*" La surface peut être en partie en dessus et en partie en dessous de son plan tangent.

Dans le premier cas , le plan tangent n'a en commun avec la surface que le point de contact, ou s'il a d'autres points communs avec la surface ils sont tous situés à distance finie du point de contact.

Dans le deuxième cas, le plan tangent coupe et touche la surface; il la touche au point de contact, et la coupe suivant une courbe dont les branches se croisent au point de contact.

Nous allons démontrer que entre le plan tangent 6 et la surface 2, quelle que soit cette surface, il ne peut exister que Tune ou l'autre de ces deux relations de position.

Menons par le point m contact de la surface 1 et de son plan tangent G une droite 1 perpendiculaire à ce plan.

Cette droite prendra le nom Aenormale à la surface, et comme il n'y a {en général) pour chaque point d'une surface qu'un seul 'plan tangent , il ne pourra y avoir pour chaque point de cette surface qu'une seule normale.

Par la droite I nous pourrons faire passer une suite de plans N, N', N%

N^'^, qui prendront le nom de pians normaux de la surface et qui couperont

cette surface 2 suivant des courbes d, Sf^ if'j S^'\ qui auront respectivement

pour tangentes les droites i, tf, ï\ f\ suivant lesquelles le plan tangent est

respectivement coupé par les divers plans normaux.

La surface 2 pourra être considérée comme étant engendrée par la courbe d tournant'autour de la normale let passant successivement en changeant déforme, en les positions 3', 3", 3"'.

Admettons que la courbe d a la forme représentée (/ip. i36)> et qn^aînsi avant et après le point m de contact avec sa tangente t elle se trouve au-dessoQS de celte tangente t, pouvant d'ailleurs couper cette droite / en on point pou plusieors

points p situés à distance finie par rapport au point de contact m ; nous pourrons faire les liypothéses suivantes :

V Supposer que les diverses courbes J, ^, 3", â"', quoique de formes différentes, les variations de forme étant soumises d'ailleurs à une certaine loi , sont chacune placées au-dessous de leur tangente. Dans ce cas , le plan laissera la surface 2 au-dessous de lut tout autour de son point de contact m, et s'il coupe la surface , ce ne sera que suivant une courbe ou plusieurs courbes /f^tu: des divers points p, et par conséquent le plan ne coupera la surface 2 que suivant une ou plusieurs courbes y dont tous les points seront situés à distance finie du point de contact m.

2* Supposer que pendant que le plan normal N tourne autour de la normale I ,

en prenant les diverses positions N', N", N"', pour enfin venir se superposer

sur la première position N , ayant ainsi accompli autour de I une demi-révolution, ou décrit deux angles droits, la courbe d , en changeant successivement de forme, passe enfin par une position d. faisant un angle a avec la position d, et telle que cette courbe j, ait un rayon de courbure infini , et qu'ainsi les courbes successives d, Sfjif\ voient croître leurs rayons de courbure au point m, pour

arriver à 3, qui aura un rayon de courbure infini; puis enfin qu'ayant dépassé la

position J., on retourne à la position i par des courbes 5/, J/', i"\ dont les

rayons de courbure au point m iront en décroissant.

Toutes ces courbesd,}', 3", 3"', i, A'jJ/'ji"'? iy étant toutes situées

au-dessous de leurs tangentes ou au-dessous du plan tangent 0,Ja surface 2 sera encore située au-dessous de son plan tangent tout autour du point de contact m.

y Supposer que le plan normal N puisse prendre deux positions Tune N. et l'autre N,, telles que les courbes 3. et d. suivant lesquelles ils coupent la surface 2, ont au point m un rayon de courbure infini.

Et désignant par a et 6 les deux angles supplémentaires que le plan N fait avec le plan N^ , supposons que toutes les courbes i situées dans des plans normaux compris dans Tangle a sont situées aurdesâous du plan0, et que toutes les courbes i, situées dans des plans normaux compris dans l'angle S sont situées aurdessus de ce plan {fig. 427 )*

Dés lors, la couii>e génératrice passerait par des positions pour lesquelles le rayon de courbure irait en diminuant depuis la position 3, pour atteindre un maximum et recroître, jusqu'à l'infini, en passant par 3. et pendant cette évolution^ toutes les courbes d seraient aurdessous du plan 0; puis ensuite la courbe génératrice partant de 3, passerait par une position nouvelle en laquelle le rayon de courbure serait un minimum et retournerait en la position d. le rayon de courbure

croissanl jusqu'à Tinfini , et pendant celte seconde évolution qui compléterait la demi-révolution autour de la normale !, toutes les courbes génératrices d seraient au-dessus du plan 0.

Le plan tangent coupera dans ce cas la surface 1 suivant une courbe dont deux branches se croiseront au point de contact m.

En y réfléchissant attentivement, on est bientôt convaincu que les iroh hypothèses géométriques précédentes sont les seules que Ton puisse faire , en admettant que la surface 2 est telle que par le point m il ne passe qu'une seule nofifpe de cette surface.

La manière d'être d'une surface par rapport à son plan tangent parait , à la première vue, devoir nous permettre de diviser les surfaces en deux grandes classes :

i"" Les surfaces pour lesquelles les centres de courbure de toutes les sections normales en un même point m sont tous situés d'un même côté par rapport au plan tangent en ce point m ;

2"" Les surfaces pour lesquelles les centres de courbure de toutes les sections normales en un même point m sont en partie à droite et en partie à gauche du pian tangent en ce point m.

Mais comme une même surface peut nous offrir pour certains points la première manière d'être , et pour certains autres points la seconde manière d'être par rapport à son plan tangent, cetto classiiication des surfaces doit être r^rdée, en définitive , comme illusoire.

De ce qui précède, on peut établir;

i"" Que lorsque deux surfaces 2 et 2, ont un point commun m , et en ce point un même plan tangent 0, ces deux surfaces seront dites tangentes l'une à l'autre au point m;

2'' Que lorsque deux surfaces 2 et 2, ont une ligne l commune, si elles ont même plan tangent en chacun des points de cette ligne (, ces deux surfaces sont dites tangentes l'une à l'autre suivant la courbe (; si les deux surfaces 2 et 2, n'ont pas même plan tangent en chacun des points de la courbe ( y ces surfaces 2 et 2, se couperont suivant la courbe (j si le plan tangent n'est commun aux surfaces 2 et 2, que pour certains points de la ligne l , le contact des deux surfaces n'aura lieu qu'en ces points et en tous les autres points de la ligne l, les deux surfaces se couperont.

Des diven mode* de généraUm des surfaces.