X. Il y a deux modes de génération pour les surfaces
i^ Une surface peut être engendrée par le mouvement d'une ligfie qui prend le nom de génératrice ;
2** Une surface peut être V enveloppe de l'espace parcouru par une autre surface , laquelle prend le nom d'enveloppée.
Lorsqu'on donne une surface, c'est toujours par l'un ou fautre de ces deux modes de génération ; et on dit en géométrie descriptive que l'on a écrit ^rap/itquement la surface , lorsque Ton a tracé les projections des lignes qui servent à définir complètement la surface donnée, et l'on reconnaît que la surface est réellement et complètement écrite lorsque l'on peut, en ne s'appuyant que sur les projections des lignes qui sont dites suffire à déterminer la êurface ^ résoudre le problème suivant :
Étant donnée la projection m" ou n\ construire la projection m" ou n* du point m ou n, ce point devant être rigoureusement situé sur la surface donnée.
Lorsqu'une surface est écrite graphiquement par le premier mode de génération , on peut toujours par la pensée la supposer engendrée par le second mode , et vice ver 8d.
C'est toujours du mode écrit graphiquement qu'on sesert pour construire Vépvre des recherches géométriques à tenter sur la surface.
Mais l'on peut se servir indistinctement de l'un ou de l'autre mode de génération , lorsque l'on emploie le raisonnement géométrique pour arriver à la découverte d'une propriété géométrique de la surface donnée.
Ainsi, les deux modes de génération , quoique très-différents l'un deTautre, coexistent pour une même surface , et quelle que soit cette surface.
Des diverses espèces de surfaces.
XI . La courbe génératrice peut être une ligne droite ; la surface est dite alors surface réglée.
Si l'on suppose qu'une droite G se meut en vertu d'une certaine loi, elle prendra dans Pespace les positions successives et infiniment voisines G, G', G'', G"". 11 peut arriver deux cas :
Ou i"" que G coupe G', que G' coupe G'', que G'' coupe G"\ et ainsi de suite.
La surface est alors dite surface dévelappable.
Ou 2'' que G ne coupe pas G', que G' ne coupe pas G" et ainsi de suite.
La surface est alors dite surface gauche.
Et Ton conçoit qu'il ne peut exister que ces deux manières d'être y les unes par rapport aux autres , entre des génératrices droites successives.
Ainsi les surfaces réglées se divisent en deux classes, les surfaces dévebppables et les surfaces gauches.
Xn. La courbe génératrice, étant une %ra^ quelconque, peut se mouvoir autour d'un axe sans changer de forme et la distance de chacun de ses points à l'axe ne variant pas.
Ce genre de surface prend le nom de surfaces de révolution.
La courbe génératrice prend le nom de courbe méridienne lorsqu'elle est située dans un plan passant par l'axe, et le plan de la courbe méridienne prend le nom de plan méridien.
XIII. La surface peut être engendrée par une courbe constante de forme ( dite courbe génératrice) et se mouvant parallèlement à elle-même, un de ses points parcourant une courbe qui prend le nom de directrice.
XIV.. La surface peut être engendrée par une courbe (dite courbe génératrice) se mouvant parallèlement à elle-même, un des ses points parcourant une courbe directrice, et cette courbe génératrice changeant de forme suivant une loi donnée, laquelle dépend de la loi du mouvement qui est exprimée par la courbe directrice.
XV. Une surface peut être eagendrée par une courbe conslantetle forme, dont un des points parcourt une courbe directrice ; la position de la courbe génératrice par rapport à la courbe d&rectrice , variant à chaque instant suivant une loi donnée laquelle dépend de la loi du mouvement qui est exprimée par la courbe directrice.
XVI. Une surface peut être engendrée par une courbe variant de forme suivant une loi K, et dont un des points parcourt une courbe directrice; la position de la courbe génératrice par rapport à la courbe directrice ^ variant à chaque instant suivant une loi K.; et les deux lois K et K, dépendant, d'ailleurs, de la loi du mouvement, qui est exprimée par la courbe directrice.
a* MODE DB ciilBIlATIOrr.
XVII. Une surface A, variable ou non déforme, se mouvant dans l'espace suivant une certaine loi h, prend dans l'espace les positions successives et infiniment voisines A', A", A'", A*.
Les surfaces A et A' se coupent suivant une courbe i
- A" et A'" 3"
- A'" et A* a"'
et aùisi de suite.
Les courbes d, d^, if\ seront nécessairement des courbes successives et
infiniment voisines, carton ne peut admettre que Ton puisse placer entre d'et i' une courbe d. qui approche plus près de ^ que d" n'en approche , cette courl>e i^ ^fiftlftiftant à la loi qui régit les courbes d, d^, d'^...-, puisque par hypothèse les surfaces A^ A'' et A''' sont successives et infiniment voisines, et qu'on ne peut pas admettre , contrairement à l'hypothèse posée , une surface A, placée entre A'' et A'" et approchant plus près de A'" que à!" n'approche de A''.
Les courbes d, i^^\.... étant successives et infiniment voisines, formeront une surfece 2 dont elles seront les génératrices , et la surface 2 sera dite surface enve^ toppe de l'espace parcouru par la surface A , laquelle prend le nom d'enveloppée.
Les courbes if, et if' sont situées et sur l'enveloppée particulière &f' et sur la surface enveloppe 2.
Les deux surfaces A'' et 2 ont donc en commun la zone élémentaire comprise entre les deux courbes successives et infiniment voisines if et if\
Or, si nous prenons sur i' un point m, et que par ce point nous menions une suite de plan Q, Q', Q", chacun de ces plans coupera :
V La surface 2 suivant les courbes respectives ^9 x'y X '• 2* La surface A'' suivant les courbes respectives £ , $', l'\ 3* La courbe 3" aux points respectifs 9, 9', q".
Or, puisque les courbes d' et if' sont successives et infiniment voisines, les points
9* (l\ 9^\ seront respectivement sur les courbes ;^^ Xf ^ > comme sur les
courbes l, ti t\ 1^ successif et infiniment voisins du point m.
Les courbes x ©^ Ç , /et $', x et $'', seront donc tangentes l'une à Tautre au
point m, elles auront, en un mot, même tangente en ce point.
Le plan tangent en m à la surface 2 ne sera donc autre que le plan tangent en m à la surface A"; les deux surfaces 2 et A"' seront donc tangentes Tune à l'autre au point m.
Ce que nous venons de dire pour le point m de i' se dira de tout autre point de cette courbe if ; ainsi les deux suriâces 2 et à!' sont tangentes Tune à. l'autre tout le long de la courbe d".
Ainsi la surface enve/oppe 2 est tangente à chacune des ent^e/oppée» A ^ A", A",
et respectivement suivant les courbes d, if, if',
Gela posé :
Les courbes d et 3" se couperont en un point a^
— H eX if' a\
— r et r o^^
et ainsi de suite.
Les points a , a\ a",.... seront dans l'espace des points successifs et infiniment
voisins ^ puisque- les courbes d y i^, if\ sont successives et infiniment voisines ,
ils formeront donc une courbe 9*.
Et comme a et a' sont deux points successifs de la eourbe ^', la courbe f aura en commun avec cette courbe un élément recûlignead\ il en sera de même de la
courbe 9 par rapport aux diverses courbes S, d^, y', Ainsi » la courbe 9,
qui prend le nom d'arête de rebrousiemeni de la surface 1 , sera Umgenle à toutes
les courbes d, d^, if\ qui prennent, dans ce mode- de génération de la
surface 1 , le nom de caractérisiiques de cette surface.
Ce qui précède étant compris, nous allons nous en servir pour établie quelques-unes des propriétés géométriques dont jouissent les surfaces en général , et certaines surfaces en particulier.
Des surfaces développables.
XVIII. La forme la plus simple que puisse affecter l'enveloppée A est celle d'un plan.
Et comme deux plans se coupent suivant une droite, on voit de suite que la surface enveloppe de l'espace parcouru par un plan est une surface ré^/ée, puisque ses caractéristiques seront des droites , et de plus comme fes caractéristiques successives se coupent deux à deux , cette surface enveloppe sera dévelappable.
L'enveloppée étant un plan, ce plan contient deux caractéristiques successives de l'enveloppe (qui sont pour les surfaces développables des droites comme on vient de le dire).
Chaque zone élémentaire de la surface enveloppe est plane-, ce qui permel d'étendre la surface développable sur un plan , sans déchirure ni dabticatwre , connue le dit MoNGE.
L'enveloppée étant tangente à l'enveloppe tout le long d'une caractéristique, il s'ensuit que si en un point m d'une génératrice droite G d'une surface développable!, BOUS construisons le plan ©tangent à cette surface 2, ce plan © sera tangent à la surface 2, non-seulement au point m, mais en chacun des autres points de la génératrice G. En sorte que si l'on mène un plan sécant arbitraire X^ ce plan coupera : !• la surface 2 suivant une courbe C ; 2* le plan 9 suivant '^
une droite 9; 3!" la génératrice G en un point g\ et il arrivera que la courbe C ec
la droite seront tangentes Tune à l'autre au point g.
Une surface développable peut être donnée de deux manières différentes :
ou i"" en la supposant engendrée par une ligne droite , ou 2** en la resarj > s*^«âv«iv|j(iv ue i espaut; pua^x/v^». « |>«» «*« jricr»» \f^ nous avons
vu ci-dessus que ces deux modes de génération sont les seuls que l'on puisse
admettre en géométrie descriptive ; et qu'ainsi une surface ne peut être » en
géométrie descriptive, considérée que comme étant une enveloppe, ou que comme
étant engendrée par une ligne ) ; mais il faut pouvoir écrire graphiquemeni la
surface énoncée, il faut donc que la loi du mouvemement de la ligne génératrice,
tout comme la loi du mouvement de la surface enveloppée, soit telle qu'on puisse
l'écrire graphiquement.
C'est pourquoi en géométrie descriptive on se donne une surface développable :
l"" Dans le premier mode de génération, par les projections de son aréie de rebroussemeni ; parce que toutes les génératrices droites ou caractéristiques de la surface développable sont alors connues, puisque ces génératrices ne sont autres que les tangentes à l'arête de rebroussement ;
2"* Dans le second mode de génération, le mouvement du plan enveloppée est déterminé par des directrices; ainsi, ce plan doit rouler sur deux courbes, ou sur deux surfaces ou sur une courbe et une sur&ce.
Alors , les génératrices peuvent être déterminées, puisque chacune d'elles n'est autre que la droite qui unit les points de contact d'une position de l'enveloppée avec les deux directrices.
Dans ce cas, l'arête de rebroussement ne peut être tracée graphiquement que d'une manière approximative , puisque l'on ne peut construire des génératrices successives et infiniment voisines, mais seulement des génératrices situées à distance finie les unes des autres.
Au lieu de se donner deux directrices, on peut ne s'en donner qu'une et remplacer la seconde directrice par une condition géométrique qui puisse être facilement exprimée en langue graphique ; ainsi, par exemple, le plan considéré comme enveloppée peut être assujetti à se mouvoir dans l'espace : l"" en roulant tangentiellement à une courbe, et S"" en faisant avec un plan fixe un angle constant , etc., etc.
Des surfaces des canaux.-
XIX. Après le plan , la surface la plus simple que l'on puisse prendre comme enveloppée , c'est la sphère.
Concevons une sphère S do rayon R, son centre o parcourant une courbe ^ Si ia sphère, pendant son mouvement^ reste constante, et si donc son rayon ne yfkvie pas de grandeur, la surface enveloppe sera ditesui/ace-caiia/. La s phère S en passant dans l'espace en les positions successives et infinîment
cessives et infiniment voisines o , o\ o'\ o'",
Lorsque deux sphères de même rayon ou de rayons inégaux se coupent , rintersection est un cercle dont le plan est perpendiculaire à la droitequi unit les centres de ces deux sphères.
La propriété énoncée subsiste que les centres soient à distance finie l'un' de l'autre, ou à distance infiniment petite.
Par conséquent , deux enveloppées successives S et S' se couperont suivant un cercle G dont le plan sera perpendiculaire à l'élément rectiligne oo' de la courbe directrice \.
Ainsi, toutes les oarocr^î^iûjnie^ d'une surface^canal sont des cerclesdont les plans sont normaux à la courbe Ç parcourue par le centre de Y enveloppée sphérique.
Et comme nous pouvons remplacer la courbe i par un polygone infinitésimal, et que nous pouvons, aucune hypothèse préalable ne s'y opposant, prendre le polygone infinitésimal à côtés égaux , nous voyons que toutes les caractéristiques de la surface-canal seront des cercles égaux, des cercles de même rayon.
Mais nous savons que lorsqu'une sphère , de rayon constant R, se meut dans l'espace, son centre parcourant une ligne droite, la sur&ce enveloppe dans ce cas tout particulier est un cylindre de révolution ayant pour section droite un cercle du rayon R.
La sphère S en passant en S' et son centre o arrivant en o\ sur la courbe (, après
avoir parcouru l'élément rectiligne oo'j décrit donc un élément de cylindre de révolution B, et dès lors ce cylindre B se trouve tangent à la sphère S et à la surfacecanal suivant un cercle G du rayon R.
Ainsi , toutes les caraciérisques de la surface-canal sont des cercles égaux et ayant même rayon que la sphère enveloppée.
Des sur/aces développables considérées cotnrne enveloppées
d'une surface donnée.
XX. Étant donnée une surface 2, traçons sur cette surface une courbe d, faisons mouvoir un plan O tangentiellement à la surface 2, le point de contact parcourant successivement la courbe d; Tenveloppe A du plan O sera une surface développable.
Les surfaces A et 2 seront tangentes Tune à l'autre, et auront en commun une zone élémentahre cottÈpr\9e entre la courbe i et une courbe ^ infiniment voisine de 9.
Gela posé :
^ S et if sont des courbes semblables et semblabletnent placées , la surface A sera une
surface conique.
Et en effet :
L'on sait que toute surface conique jouit de la propriété d'être coupée par des plans parallèles suivant des courbes semblables et semblablement placées, et que réciproquement par deux courbes semblables et semblablement placées, onpeul toujours faire passer une surface conique (*).
Or, cette propriété subsiste évidemment, que les courbes soient à distance finie ou à distance infiniment petite l'une de l'autre; donc, etc.
Ce qui précède nous permet de démontrer d'une manière simple et rigoureuse la propriété dont jouissent les surfaces du second degré; savoir : que la courbe de eonlact d'un cône et d'une surface du second degré est toujours une courbe plane.
Et en effet :
On sait qu'une surface du second degré est toujours coupée par deux plans parallèles suivant des sections coniques semblables et semblablement placées ; donc etc.
Dans les app}΀fl||Qns de la géométrie descriptive et particulièrement dans les
problèmes des omoi^j on est conduit à chercher sur une courbe i tracée sur une surface donnée 2, le point de contact m d'un plan 6 tangent à la surface 2 et passant par un point fixe de Tespace ou parallèle à une droite donnée de position dans l'espace.
Pour déterminer ce point m on est conduit à remplacer la surface 2 par une surface simple A tangente à 2 tout le long de la courbe d.
Cette surface simple A est ordinairement la surface développable engendrée par un plan roulant tangientiellement et sur la surface 2 et sur la courbe d.
Quelle sera la nature de cette surface développable A , lorsque la surface 2 sera engendrée ou l"" par une courbe d se mouvant parallèlement à elle-même, ses paramètres ne changeant pas de valeur, ou 2"* par une courbe d se mouvant parai* lèlement à elle-même , ses paramètres variant de manière à ce que cette courbe S reste toujours semblable à elle-même , ou 3* par un cercle d de rayon , constant ou variable , et se mouvant dans l'espace suivant une loi donnée ?
(*) Foir dans mon Cours de géométrie deecriptive lithographie pour les ëléres de l^Éoote centrale des arts et manufactures, le chapitre où j'expose la théorie de la iimililude directe et inverse.
