XXI. Nous allons résoudre ces diverses questions

V La courbe i restant constante et se mouvant parallèlemeni à eU&'méme.

La loi du mouvement de la courbe i sera donnée par une courbe l (fig. 128 ), qu'un point 6 de d devra parcourir.

Or, la courbe i restant parallèle à elle*même, tous ses points p décriraient des droites parallèles à une droite D si la courbe Ç était une droite parallèle à cette droite D , et dans ce cas la surface 2 ne serait autre qu'un cylindre ^.

Le point b parcourant sur la courbe l Télément rectUigne bb\ pendant que i passe en la position successive et infiniment voisine d" (cet élément rectiligne bb' représentant ici la droite D, en le supposant prolongé)^ la courbe d ne décrit qu'une zone élémeniaire du cylindre (p, laquelle zone sera commune et à la surface 2 et au cylindre <p.

Ainsi /dans ce cas, on doit remplacer la surface 2 par un cylindre ayant i pour directrice et ayant ses génératrices droites parallèles à la tangente 6 menée au point 6 à la courbe (.

2.'' La courbe i se mouvant parallètement à eUe^même en restant semblable à ellemême.

La courbe d étant supposée arrivée en Sf {fig. 120 ) , d et d' étant des courbes successives et infiniment voisines et semblables et semblablement placées, il s'ensuivra qu'en b et 6'( points qui appartenant respectivement aux courbes d et y sont successifs et infiniment voisins sur la courbe directrice i ) les courbes d et d' auront des tangentes parallèles.

Si en un point p arbitrairement pris sur la courbe d , je mène la tangente t à cette courbe, il existera sur ^ un point p pour lequel la tangente i" à d" sera parallèle à t.

La droite pp' prolongée sera la génératrice droite ou caractéristique de la surface développable A engendrée par le plan 6 roulant tangentiellement sur la surface I et la courbe d.

Or, les deux courbes i et ^ sont supposées semblables et semblablement placées, cette surface A sera donc un cdne, et son sommet sera au point s en lequel le plan tangent mené à la surface 1 en un point quelconque p de d coupera la tangente menée en 6 à la directrice Ç.

S"" Un cercle d constant ou variable de rayon se mouvant dans Cespace suivant une loi donnée.

La loi du mouvement pourra être exprimée d'une manière très-générale , ainsi qu'il suit:

Concevons {fig. 130) deux courbes ^ et ^ situées sur une surface réglée fr;

Désignons par G, G', G" y les génératrices droites successives de^r;

G coupera la courbe ^ en o et la courbe |. en 6, G' coupera la courbe ^ en o' et la courbe 'E^ en b\ et ainsi de suite.

oo' sera donc un élément rectiligne de la courbe l y et bb' sera aussi un élément rectiligne de la courbe 4.

Concevons une seconde surface réglée ir. coupant la première surface tt suivant la courbe &.

Désignons par H , H^ H"", les génératrices droites successives et infiniment

voisines de tt. » H coupant G en un point o. H' coupant G^ en un point o\ et ainsi de suite.

Nous pourrons toujours tracer sur la surface ir, une cou rbe ^ telle qu'elle coupe les génératrices H, H", ïV\ en des points d, d\ tels que l'on ait :

od= ob , dd'^=^o'b\

Et comme Ton suppose les deux surfaces tt etTr, comme étani liées l'une à l'autre, ùo étant un élément rectiligne de la courbe \ , dd! sera un élément rectiligne de la courbe ^ tout comme bb' est un élément rectiligne de la courbe ^, ; caroeto' étant par hypothèse des points successifs et infiniment voisins, les droites G et G^ H et H', qui passent respe clivement par ces points et 0' seront des génératrices successives, les premières sur la surface tt, les secondes sur la surface n,.

Cela posé :

Du point comme centre et avec ob ^=od comme rayon, décrivons un cercle C.

Du point 0' comme centre et avec db'^=xl^ comme rayon , décrivons un cercle C.

Et ainsi de suite.

Les cercles ainsi obtenus C, C, C, seront des génératrices successives.

et infiniment voisines de la surface 2.

Le mode de génération de la surface 2 est, comme on le voit, complètement défini et de la manière la plus générale.

Remarquons que les plans de ces cercles C, C\ C'\ sont des plans successifs et infiniment voisins; ils se couperont donc deux à deux suivant des droites qui seront aussi successives et infiniment voisines , et qui secouperont deux à deux en des points successifs de l'arête de rebroussement y de la surface déve-

loppable L enveloppe de l'espace parcouru pç(r les plans des cercles C , C, C",

ces plans devant être considérés comme des enveloppées successives et infiniment voisines.

Remarquons qu'au lieu de nous donner la seconde surface tt. et de tracer la seconde courbe $, pour achever d'exprimer graphiquement la loi du mouvement du cercle mobile et générateur de la surface i , nous pouvions nous donner une

courbe y et assujettir le cercle mobile C à se trouver successivemeol dans chacun des plans osculateurs Y de y ; le centre o du cercle <3 étant le point en lequel le plan Y coupe la courbe $, et son rayon étant égal à la distance existant enire les deux points o et 6 en lesquels le plan Y coupe les courbes £ et ^.

Remarquons encore que lorsque Ton se sera donné la surface 1 par l'un de ces deux modes de génération , on pourra toujours passer à l'autre mode.

Gela posé :

La surface A engendrée par un plan tangent à la fois et à la surbce 2 et au cercle G sera dans tous' les cas une surface déyeloppable ^ dont il ité sera pas possible de construire les génératrices droites , par les méthodes de la géométrie descriptive (au moins avec ce que nous savons quant à présent ), parce que pour qu^une droite sôit déterminée, il faut deux points à distance finie et qu'en vertu du mode de génération de la surface A $ nous ne ne connaissons qu'un point de chaque génératrice droite , c'est le point de contact du plan 6 et de la surfine 2 qui est le même que celui de ce plan et de la courbe C.

Mais si la surface A était conique on cylindrique, nous pourrions toujours la construire; parce que toutes les génératrices droites de A seraient parallèles i une droite dont la position serait construite dans le cas où A serait un cylindre^ ou passeraient toutes par un point fixe qui serait aussi construit facilement si A était un cône.

Gberchons donc en quel cas, ou, en d'autres termes, cherchons quelles modifications il faut faire subir au mode général de génération de la surface 1 pour que la surface A soit un cône ou un cylindre; et d'abord supposons que la surface A soit un cône ou un cylindre de révolution.

Si l'enveloppe A est un cylindre de révolution ou un cône de révolution tangent à la surface 2 suivant le cercle G , alors on pourra concevoir une sphère S tangente à la surface A et par suite & la surface 2 suivant le cercle C.

Gette sphère S aura donc en commun avec la surface 2 , une zone élémentaire comprise entre deux cercles successifs.

La surface 2 pourra donc être considérée comme l'enveloi^ de l'espace parcouru par une sphère S , invariable ou variable de rayon.

Or, deux sphères S et S', envelappée$ successives, se coupent suivant une caractéristique circulaire G dont le plan est perpendiculaire à l'élément rectilignede la courbe X parcourue par le centre de ï enveloppée sphérique et mobile.

Premier cas. La sur/ace A étant un cylindre.

Ge qui précède nous démontre que si le cercle C ne change pas de rayon , la sphère S ne variera pas de rayon , et que dès lors la courbe X ne sera autre que la

courbe ^ ; et qu'il faudra dès lors, dans ce cas particulier, que les plans osculateurs de la courbe y arête de rebroussement de la surface développable L , soient normaux à la courbe ^

Ce qui précède nous manlre que la surface 2 n'est autre qu'une surfacecanal.

Dés lors , on peut dire qu'une surface-canal peut être engendrée de deux manières difTérentes, ou i"" par une sphère mobile , de rayon constant , dont le centre parcourt une courbe Ç, ou 2'' par un-: cercle de rayon constant, dont le plan reste constamment normal à la courbe ( parcourue par le centre de ce cercle générateur.

Si maintenant nous faisons mouvoir un plan G tangent à la surface 2, le point de contact parcourant le cercle C , on aura une surface développable à.

Si le plan © se meut tangentiellement à la sphère S , le point de contact parcourant la caractéristique G , on aura la même surface développable A, puisque l'enveloppe 2 et l'enveloppée S sont tangentes Tune à l'autre suivant la caractéristique G.

Et comme le cercle C est un grand cercle de la sphère S , la surface A sera un cylindre de révolution ayant ce cercle G pour section droite et pour axe la tangente 6 à la courbe Ç parcourue par le centre o du cercle G, cette tangente étant menée à la courbe l pour le point o.

La zone élémentaire qui sera commune aux deux surfaces A et 2 ne sera pas la mèmejque celle qui est commune aux deux surfaces S et 1.

A et S sont en contact par une zone élémentaire apparteoant à un cylindre de révolution , par conséquent cette zone est comprise entre deux cercles parallèles et infiniment voisins G et G,, tandis que 2 et S sont en contact par une zone élémentaire comprise entre deux cercles infiniment voisins G et G' dont les plans se coupent suivant une génératrice droite de la surface h.

Mais il n'y a rien là qui doive étonner, car en y réfléchissant on voit de suite que ces deux zones élémentaires ne sont en aucune manière liées l'une à l'autre géométriquement, car on ne passe pas et on ne peut passer de l'une à l'autre de ces zones élémentaires , en vertu d'une corrélation géométrique, puisque la zone ( G, G^) existe en vertu de la loi du mouvement de la sphère S, qui détermine cette enveloppée S à décrire l'enveloppe 2; et que la zone ( G , G, ) existe en vertu de la loi de mouvement du plan 6 qui détermine cette enveloppée O à décrire l'enveloppe A; et que les deux lois de mouvement sont indépendantes l'une de l'autre.

Deuxièvb cas. La surface A étant tm cône*

Venons maintenant au cas où les cercles C , G', C", suocessîfs et inGnimenf

voisins ont des rayons différents, les plans de ces cercles étant normaux à la courbe l, lieu de leurs centres .

Nous avons déjà dit que deux sphères de rayons différents se coupent suivant un petit cercle et que cela a lieu que les centres de ces q>bères soient à distance finie ou infiniment petite Pun de Taulre, et que, de plus, le plan du*cercle d'intersection est perpendiculaire à la ligne droite qui unit les centres des deux sphères.

Cela posé :

Si la surface A est un cône de révolution tangent à la surface 2 suivant un cercle C , on pourra toujours construire une sphère S , tangente au cône A suivant le cercle G et dont le centre sera sur Taxe A de ce cône 'A, cet axe A passant par le centre o du cercle G et étant perpendiculaire au plan de ce ceDcle<

Et si le plan du cercle G est perpendiculaire à la courbe l , parcourue par son centre o, on voit de suite que Taxe A ne sera autre que la tangente 6 menée à la courbe l au point o.

On voit aussi que dans ce cas la courbe X , lieu des centres des sphères S, est une courbe différente de Ç.

La sphère S étant tangente au cône A suivant le cercle G et le cône A étant aussi supposé tangent à la surface 2 suivant le cercle G , les deux surfaces S et 2 seront tangentes Tune à Tautre suivant le cercle G.

Si l'on suppose maintenant que la sphère S se meut en variant de rayon suivant une loi telle qu'elle engendre (cette sphère S) comme surface enveloppe le cône A, le centre de cette sphère S décrira Taxe du cône A ou la droite 9.

La droites doit donc être tangente à la courbe X parcourue par le centre de la sphère passant en diverses positions S, S^ S'', telles que deux positions successives se coupent suivant un cercledont le plan sera perpendiculaire à la courbe | : or, la sphère en se mouvant ainsi décrira l'enveloppe 2.

On voit donc que lorsque la surface 2 est engendrée par un cercle G dont le rayon varie suivant une certaine loi , cette surface 2 aura un cône A pour surface enveloppe de son plan tangent, ce plan tangent roulant sur le cercle G , lorsque les

plans des cercles successifs G, G", G'', seront normaux à la courbe l , lieu de

leurs centres.

Et que dans ce cas la surface £ pourra être considérée comme engendrée d*une seconde manière, savoir : par une sphère mobile, variable.de rayon et dont le centre parcourra une courbe X ayant successivement pour tangentes les tangmtes de la courbe l.

Lorsqu'en géométrie descriptive on voudra écrire la loi suivant laquelle varie le rayon du cercle générateur G , on se donnera une courbe fi qui devra être parcourue par un point de ce cercle G.

Ainsi, pour écrire graphiquement la surface 2 dans les deux cas, on procédera de la manière suivante :

Premier cas. Le cercle générateur ayant tm rayon constant.

S*étant donné les projections de la courbe l , lieu des diverses positions que doit prendre dans l'espace le centre du cercle générateur, on construira là courbe y , arête de rebroussement de la surface enveloppe L des divers plans normaux de la courbe (, et on tracera dans chacun de ces plans normaux un cercle avec le même rayon R,

Deuxième cas. Le cercle générateur ayant un rayon variable.

S'étant donné les projections de la courbe Ç, lieu des diverses positions du centre du cercle générateur, on construira la courbe y, arête de rebroussement de la surfôtce L enveloppe des divers plans normaux N de la courbe (.

On se donnera une courbe arbitraire /x, on déterminera le pmnt n en lequel cette courbe fiest coupée par chacun des plans normaux N, etdu point o en lequel chaque plan N coupe la courbe g, pris pour centre, on décrira dans chacun de ces plans N , et avec le rayon on , un cercle.

Nous donnerons à la surface 2 dans le premier cas le nom de surface-^anal à sectim, normale constante , et dans le deuxième cas le nom de surface-canal à section normale variable.

Parmi les surfaces des canaux , on doit remarquer celles pour lesquelles la courbe l est une droite.

Dans le cas où la ligne ( est une droite , la surface-canal est évidemment une surface de révolution et comme la courbe fx. est une courbe quelconque , les sections normales sont variables.

Ainsi, toutes les surfaces de révolution peuvent être considérées comme des surfaces des canaux à sections normales variables.

Les parallèles d'une surfaces 2 considérée comme surface de révolution ne seront autres que les caractéristiques de cette surface 1 , lorsqu'on la considérera comme étant une surface-canal.

La courbe méridienne plane ou la courbe génératrice à double courbure considérée comme engendrant la surface 2 dans le- premier mode, celui où l'on considère cette surface 2 comme étant de révolution , ne sera autre que la courbe ^i indiquée dans le deuxième mode, savoir : celui où l'on considère cette même surÊice 2 comme étant une surface-canal.

Si la courbe fA est au^i une droite > on aura la surface-canal la plus simple. Or, la droite |ui peut prendre trois positions par rapport à la droite (.

V Les droites fx et g peuvent être parallèles.

Dans ce cas la surface-canal 2 est un cylindre de révolution.

2," Les droites fiei l peuvent se couper.

Dans ce cas la surface-canal 2 est un cône de révolution.

3^ Les droites fx et ( peuvent ne pas être situées dans le même plan.

Dans ce cas la surface-canal 2 est un hyperboloide à une nappe et de révolution .

Dans le premier cas le cylindre est une surface-canal à sections normales constantes.

Dans les deux autres cas, le cône et Thyperboloide sont des surfaces des canaux à sections normales variables.

XXII. Supposons maintenant que la surface A soit un cône ou un cylindre non de révolution.

Toute sur&ce du deuxième degré, jouit delà propriété d'être touchée suivant une courbe plane, par..un cône qui lui est tangent quelle que soit la position dans Tespace du sommet de. ce cône enveloppe.

Lorsque le cône devient un cylindre, la courbe de contact est une courbe diamétrale de la surface du second degré.

L'ellipsoïde à trois axes inégaux^ le paraboloide elliptique, et les. deux byperboloïdes à une nappe ou à deux nappes et ayant chacun trois axes inéf^ux^ sont les surfaces du second degré qui jouissent de la propriété de pouvoir être coupées par un plan suivant des sections circulaires, ainsi que le cône du second degré et le cylindre elliptique.

On voit donc de suite que la surface 1 devant être engendrée par «m cercle. C, pour que la surface enveloppe A de son plan tangent @ (ce plan roulant sur le cercle C) soit un cône, il faudra que l'on puisse. construire une sar&oe du deuxième degré E tangente à la surface 2 tout le long du cercle C, ce cercle C étant une section circulaire de la surface E. ., . .

Il faudra donc que la surface 2 puisse être l'enveloppe d'une surface- du^second degré E, se mouvant dans t'espace de telle manière que ses-positiops successives

et infiniment voisines E,E' E"', se coupent deux à deux et successivement

suivant des cercles G , C\ G'V^-'* ^t en généralisant ce qui précède, on peut dire que toutes les fois qu'une surface 2 engendréepar une section conique G, sera reconnue pouvoir être engendrée par une surface du second degré E , telle que les caractéristiques de la surface 2 soient planes , Ton pourra toujours avoir pour la surface A une surface conique.

Ou , en d'autres ternies, il feudra pour que la surface A soit un cône que la section conique G génératrice de la suiface2, ne toit autre qu'une caradérisHifue , lorsqu'on considère la surface Z comme surface enveloppe d^tme stirfbee ente- /(Opp^^ £ du second degré;

De l*oscutation des courbes et des surfaces,

XXIII. Lorsque deux courbes ont un élément recliligne commun, nous dirons qu'elles ont entre elles un contact du premier ordre.

Deux courbes qui ont en un point, un contact du premier ordre , ont en ce point même tangente et même plan normal.

Lorsque deux courbes ont deux éléments rectilignes et successifs en commun, nous dirons qu'elles ont entre elles un contact du deuxième ordre.

Deux courbes qui ont en un point un contact du deuxième ordre , ont en ce point même cercle osculateur , même ràyonde courbure , même pfàn osëulateur.

Lorsque deux courbes ont 3 , 4 , 6 , 6 , h éîêiAéntâ rectilignes et succé^îfs communs, nous dirons qu'elles ont entre elles un contact du 3*, 4% 5%6%,..n**^ ordre.

Nous nous servirons de l'expression â'osculatian toutes les fois quedeux courbes auront un contact d*un ordre supérieur au contact du premier ordre.

Les courbes seront dites dans ce cas , osculatrices l'une à l'autre.

Deux surfaces en contact par un point, auront en ce point un contact du premier ordre, si en menant par ce point un plan sécant arbitraire, les deux courit>es intersections des surfaces par ce plan n*ont qu'un contact du premier ordre; et si cela a lieu pour tous les plans sécants:

Les deux surfaces ont même plan tangent et même normale pour le point où elles ont un contact du premier ordre. '

Deux surfaces en contact par un point auront tout autour de ce point un contact du deuxième ordre, si en menant pair ce point un plàti sécant arbiti'aire les deux courbes intersections des surfaces par c6 plan ont un contact du deuxième ordre; et si cela a lieu pour tous les plans sécants.

Il en sera de même pour les contacts du 3*, 4% «**^ ordre tout autour d'un

point de tangence.

Nous dirons que deux surfaces sont osculatrices l'une à l'autre en un point, lorsqu'elles auront en ce tK)înt Un cofatact d'un ordre supérieur au contact du premier ordre. '

Deux surfaces seront en contact tout le long d'une courbe, si menant par un point arbitraire delà courbe, un plan sécant aussi arbitraire, lés deux courbes de section ont un contact du ppemfer ordre'. '

Deux surfaces en contact par une courbe , ont même surface développakle tangente tout le long de cette courbe de contact.

Deuxsurfaces auront un contact du 2*, 3*i . . . n^ ordre tout le long d'une courbe , . lorsque menant par un point arbitraire de cette courbe un plan arbitraire, les deux courbes de section auront entre elles un contact du 2% 3*, n'^*" ordre.

Nous dirons que deux surfaces sont osculatrices l'une à Tautre tout le long d'une courbe , lorsqu'en chacun des points de celte courbe, elles auront un contact d'un ordre supérieur au contact du premier ordre.

Cela posé :

Toutes les fois qu'en géométrie descriptive nous aurons à résoudre des problèmes de contact du premier ordre, nous n'aurons à considérer que des éléments recti^ lignes.

Mais toutes les fois que nous aurons à résoudre des problèmes de contact du deuxième ordre, nous aurons à considérer des éléments curvilignes.

Lorsque nous considérerons un élément rectiligne^ nous pourrons employer dans nos constructions , la droite prolongement de cet élément ou » en d'autres termes , la tangente à la courbe ou à la surface à laquelle l'élément rectiligne considéré appartient.

Lorsque nous considérerons un élément curviligne , nous pourrons employer dans nos constructions , le cercle prolongement de cet élément ou , en d'autres termes, le cercle osculateur à la courbe à laquelle l'élément curviligne considéré appartient.

Deux lignes courbes ou droites, une ligne et une ^i/oce se coupent en un point.

Deux lignes courbes ou droites , une ligne et une surface peuvent être en contact par un point, mais ce point n'a pas la même nature géométrique que le point d'intersection. Le point de contact de deux lignes est un élément rectiligne.

Deux surfaces peuvent être en contact par un point , mais ce point n'a pas la même nature géométrique que le point d'intersection , ni que le point de contact de deux lignes. Le point de contact de deux surfaces est une facette élémentaire de la surface.

De là , la nécessité de considérer trois espèces de points :

Le point d'intersection donné par une sécante qui sera dit : jnnni.

Le point de contact d'une tangente qui sera dit : fmnt-Ugne.

Le point de contact d'un plan tangent qui sera dit : point-plan.

Toutes les fois que nous aurons en géométrie descriptive à considérer un point, nous pourrons employer deux lignes se coupant en ce point.

Toutes les fois que l'on aura à considérer un point-^ligne, nous pourrons employer deux lignes tangentes l'une à l'autre en ce pQ^nt.

Toutes les fois que Von aura à considérer un pomi-^lanj nous pourrons employer deux surfaces tangentes l'une à l'autre en ce point.

Et ainsi lorsque sur une courbe on aura à .considérer un pcini-ligne , pour la solution d'un problème, on pourra remplacer pour ce point particulier la courbe par sa tangente.

Et ainsi lorsque sur une surface on aura à considére% un point-flan pour la solution d'un problème, on pourra remplacer pour ce point particulier la surface par son plan tangent.

Par la même raison lorsqu'il faudra en un point d'une courbe considérer un élément curviligne de cette courbe, on pourra remplacer la courbe par son cercle osculateur en ce point.

Par la même raison encore , lorsqu'il s'agira de considérer la courbe de contact de deux surfaces , on pourra remplacer ces deux surfaces par la surface développable qui leur est tangente à l'nne et à l'autre et tout le long de cette courl)e de contact.

Et l'on est ainsi conduit à concevoir que lorsqu'entre deux courbes ou deux surfaces, il s'agira de contact d'un ordre supérieur, du n^^ ordre par exemple , on devra remplacer ces courbes ou ces surfaces par les courbes ou les surfaces les plus simples que Ton puisse connaître et qui jouissent de la propriété de pouvoir avoir entre elles un contact du même ordre , c'est-à-dire du n*^* ordre.

D'aprèsce qui précède cherchons , quelle est la surface la plus simple qui aura un contact du deuxième ordre avec une surface-canal tout le long d'une caractéristique de cette surface-canal.

Premier cas. Surface à sections normales constantes.

Le cercle C du rayon R se meut dans Tespace , son centre o parcourant une courbe g et son plan étant normal à la courbe ou directrice Ç.

Considérons trois points suceesails et infiniment voisins Oj o\ o" de la courbe (.

Nous aurons trois caractéristiques successives C , C, G'^ de la surface-canal 1.

Par G et G^ passe la sphère S.

Par G' et G'' passe la sphère S'.

Et les deux sphères S et S' sont deux enveloppées successives de la surface enveloppe 2.

La sphère S est tangente à la surface 2 tout le long de la courbe G, c'est-à-dire que si l'on fait mouvoir le plan 0tangentîelleD[ient à la surface 2 le long deG,onaura un cylindre de révolution À qui sera tangent à la fois à la surface 2 et à la sphère S.

La zqne élémentaire de .contact des «nrfreesA et S, A et 2, ne sera par comprise

entre G et C\ tandis que la tone étémentaire de contact des surftiees £6tS est comprise entre G et G^

S touche £ tout le long de la courbe G et coupe S tout le long de \^ courbe G' ; c'est pour cela qu'il n'y a qu'un contact du premier Ordre entre S et 2 tout le long de la zone élémentaire ( G , G^.

Le plan de la caraclétistique G sera perpendiculaire en o au premier élément rectiligne oo\ le plan de G' sera perpendiculaire en o' au second élément rectiligne o'o" et le plan C" sera perpendiculaire en c>' à un troisième élément rectiligne

oV" de la courbe $•

Gela posé :

Goncevons le cercle d osculateur de la courbe (, le cercle d passera par les trois

points o , o', o", et il aura pour éléments rectilignes successife oo' et oV, mais

le troisième élément rectiligne o V de la courbe l n'appartiendra pas à ce cercle i.

Pour le point curviligne ooo'^ de la courbe l^ nous pourrons remplacer cette courbe par son cercle osculateur i.

Et la surface'-canal Q qui aura i pour directrice, et pour caractéristique le cercle G du rayon R, aura en commun avec la surface 2» les cercles G et G", mais sera non-seulement tangente à 1 tout le long de G , mais encore tout le long de G"; elle aura donc un contact du second ordre avec la surface 1 tout le long de la zone élémentaire (G, G').

Ainsi la surface laplus simple qui puisse avoir un contact du second ordre tout le long d'une caractéristique d'une surface-canal à sections normales constantes , est un tore qui est la plus simple sarlace-canal i sections normales constantes que l'on puisse imaginer.

Deoxième cas. Smface-caMl à SêcHùnsnormaiei variables.

Nous pourrons couper la surface 2 par le plan du cercle osculateur S^ et nous aurons une courbe fi,.

Les trois caractéristiques successives G , G', G" dont les centres 0| o', o" ap|>artiennent à la fois à la courbe ^ et à son cercle osculateur d, couperont la courbe /[A, en trois points p, p\ p\ qui seront des points successifs et infiniment voisins de cette courbe |ui, puisqueo, o\ o'\ sont des points successifs et inûniment voisins de la courbe Ç.

Dès lors y les trois points p^ p% p" appartiendront an eerde K woubteur de b courbe^,

La surface osculatrice du deuxième orifa*e tout le: long de la. carasték*islique C à

la surface caiMl 2t wt donc uni» aurface^canal à sections normales variables et du même genre , par conséquent , que la surface proposée 2*

Cette surface simple aura le cercle d pour directrice et le cercle K exprimera graphiquaoaent la loi suiYdOl laqu^l<$ doivent varier les rayons des caractérisa tiq^imdr^ilaimi C. .

ThéorénHi.général relatif auo^ comrbe$ et surfaces ayant une

osculation entre elles.

XXIV. De ce qui précède on peut conclure rigoureusement^ Que si l'on transforme deux courbes ou deux surfaces ayant un coAtact du n^*"*" ordre en deux autres courbes ou deux autres surfaces, la transformation s'opérant par le même mode pour les deux courbes ou les deux surfaces, les courbes ou les surfaces transformées auront comme les courbes ou les surfaces primitives un contact du n^^ ordre.

Remarques sur la théorie précédente^ des infiniment petits

en géométrie descriptive.

XXV. Les divers auteurs qui depuis Monge ont écrit des traités de géométrie descriptive, ont tous donné des démonstrations inexactes lorsqu'ils ont voulu recourir à l'emploi des infiniment petits.

Cela tient à ce qu'ils ont cru pouvoir transporter dans la géométrie descriptive ou la langue graphique, les infiniment petits tels qu'on les conçoit en analyse ou dans la langue algébrique.

Ainsi ik emploient toœ cette expression , en passant à la limite^ expression dont la valeur est parftilement définie en analyse , mais qui n'a aucun sens en géométrie descriptive.

En tmsaMàtaiindie, disent-ils , deux points situés à distance finie se super*posent et une sécante devient une tangente et un plan sécant devient un plan tangent, etc. Touftes choses géométriques qui n'ont point été démontrées et qui ne sont énoncées que par analogie avec ce qui se fait en ma^.

liais lorsqu'on cma/yae , on dît que l'on, passe à la limite, on voU comment on arriw à la limite; il y a des théorèmes à ee sujet qui vous servent de guides et «qui servent à vous redresser $i «vous ne vons conformez pas à leurs prescriptions.

té vais parmi plusieurs inexactitudes en choisir trois , qui serviront à faire apprérier Terreur des géomètre&qui transportent par irréflexion dans la géométrie

descriptiye les idées que l'on peut écrire en analyse ou langue atgébrtque , au sujet des inGniment petits.

i** Démonstration de la propriété dont jouit le plan tangent en ttn point tftme surface , savoir, de contenir les tangentes à toutes les courbes qui tracées sur la surface se croisent en ce point.

On dit : étant donnée une surface 1 on peut la conceyoir engendrée par une courbe C se mouvant suivant une certaine loi.

Concevons deux positions à distance finie, G et G,, de celte courbe génératrice.

Prenons un point m sur G, et par ce point faisons passer deux courbes arbitraires ^et i\ Les courbes l et ^' couperont respectivement la courbe G. aux points y et y.

Les trois points m, y, y formeront un triangle.

Lorsque la courbe G, se mouvra dans Fespace pour reprendre la position C, les points y et y se mouvront respectivement sur les courbes l et l' et enfin à la limite j les points y et y se superposeront sur le point m, et dés lors à la limite, les sécantes my et my' deviendront les tangentes respectives en m des courbes ^ et l\ Et comme enfin la courbe G, en venant prendre la position de la courbe G, les deux points y et y' se rapprochent l'un de l'autre pour se confondre avec le point m, lorsque les deux courbes G. et G se confondent » on peut dire qu'à la Umite la sécante yy devient la tangente en m à la courbe G.

Et dès lors, les trois points m, y, y se confondant avec le point m, on peut dire : à la limite, les trois tangentes en m aux courbes G , ( et ^ sont dans un même plan.

Mais n'est-il pas évident que Ton présuppose ce que Ton voulait démontrer?

N'est-ii pas évident que si Ton considère trois courbes (, ^, l" tracées sur la surface 2 et se croisant au point m situé sur la poskion primitive de la génératrice C , ces trois courbes coupant respectivement la position à distance finie C. de la génératrice G de la surface 2 en les points y , y', y", les sécanies my , my\ my" ne seront pas situées dans un même plan? Et dès lors, qui nous démontre qu'à la limite , ces trois sécantes devenant les tangentes au point m aux trois courbes l , ^, l", ces trois tangentes seront dans un même plan ?

Par le mode de démonstration employé et adopté, on fait un cercle vicieux , car il est évident que Ton présuppose précisément ce que Ton veut démontrer.

Et en effet, ne pouvons-nous pas supposer que pour le point m la surface 2 est

constituée de telle manière que les tangentes aux diverses courbes l, ^y ^^

qui tracées sur cette surface 2 se croisent au point m, ne sont point situées dans un même plan ; et cependant en appliquant à ce cas le mode de démonstration

précédent , on arriverait à démontrer que toutes ces tangentes , sont dans un

même plan.

Mais , dira-t-on , dans le cas particulier que vous concevez le point m est un point singulier de la surface 2, il est à cette surface 2 ce qu'est le sommet par rapport à la surface conique; c'est un point pour lequel la surface a une infmité de plans tangents.

Et qui nous dit que les points d'une surface ne sont pas tous dans le même cas ?

Ce ne peut être le mode de démonstration précédent, car précisément il conduit à considérer le point de contact d'un pian tangent et d'une surface , comme étant un jnmt mathématique (ou un point-^int comme je l'ai défini précédemment), ce qui est précisément la nature géométrique du point d'une surface lorsqu'il est tel que plusieurs plans tangents peuvent être menés par ce point à la surface.

il nous semble que le mode de démonstration que nous avons donné de ce théorème important est à l'abri de toute objection , car il est fondé sur une loi de génération des surfaces, qui permet de reconnaître si le point m considéré sur la surface 1 est un point singulier ou non.

Et en effet , le plan qui passe par la tangente en m à la courbe C , prenant diverses positions dans l'espace, coupera la surface 1 suivant des courbes C, ,

C,, G3, qui seront telles que leurs branches se croiseront au point m, ou

qu'une seule branche passera par le point m , et on ne peut évidemment admettre que ces deux hypothèses, en supposant que par le point m ne passe qu'une nappe de la surface 2.

Dans le premier cas, il y aura évidemment une surface conique formée par les tangentes en m aux diverses courbes C,, C,, C, et dont le sommet sera le point m.

Dans le deuxième cas , cette surface conique ne sera autre qu'un plan auquel on donne le tiom de plan tangent.

2"" Deux générairices successives et infiniment voisines dun hyperbolcide à une nappe et de révolution ne se coupent pas.

Sur le cercle de gorge C d'un hyperboloide de révolution , prenons deux points m et m' à distance finie l'un de l'autre , et en chacun d'eux menons les tangentes 6 en m et 6' en m' au cercle de gorge.

La génératrice G passant par le point m et la génératrice G' passant par le point m' (ces deux génératrices appartenant au même système) se projetteront sur le plan du cercle de gorge et respectivement suivant les droites 9 et 9'.

Les plans passant par G et , G' et «^ aeront perpendicûlaiMs au plan da cercle dégorge C.

Les deux tangentes 6 et 6' se couperont eo un point q et les deux plans (G, 6) et (G\ 9') s^ couperont suivant une droite Q se projetant sur le (dan du cercle C en le points/, puisque cette droite Q est perpendiculaire au plan du cerole C.

La droite Q coupera la génératrice G en un point y et la génératrice G' en un point y\

Si Ton suppose que le point fn' se rapproche du point m , quelque près que l'on suppose le point m' du point m , les deux points y et y* seront toujours , Tun au-dessus et l'autre au-dessous du pian du cercle de gorge G , et les projections 9 et 9^ des droites G et G' ne se confondront point, quelque rapprochés que l'on suppose les points m et m"; et quelque rapprochés que l'on suppose les points m et m\ le point q sera toujours hors du cercle C ; dès tors , les deux droites G et G' ne se rencontreront point, quelque rapprochés que soient les points m et m% donc deux génératrices successives ne se coupent pas. .

Par ce mode de démonstration , on considère deux génériatrices que Ton dit être successives et qui ne le sont point.

Et en effet, si nous concevons que la droite G , en se mouvant dans Fespace pour

décrire l'hyperboloïde , passe en les positions successives G, 6', G", G'", on

prend pour génératrices succ;es$ives G et G", et non G et G'.

Or, dans les surfaces réglées ( soit gauches , soit développables) , h première et la troisième génératrices successives ne se coupent pas; tandis que la première et la deuxième génératrices successives se coupevit pour la surfeoe développable et ne se coupent pas pour la surface gauche.

Ainsi, par le mode de démonstration employé, on ne démontre rien.

La démonstration rigoui'euse est, à ce que je croils, la suivante :

Concevons sur le cercle de gorge G les points succe^sifis et infiniment voisins

m, m\ rn\ m"\ par chacun de ces points passera une génératrice droite de

la surface fayperboloide.

On aura donc les génératrices successives et infinimtent voisines G, G', G", G'", . . :

Lès éléments rectilignes mm y rtirn^ m^m" ^ du cercle C étant prolongés

seront respelivement les projections, sur le plan de ce cercle de gorgâ C, des droites G, G\ G",

Les plans (G, mm) et (G', mW) se couperont suivant une droite Q, laquelle coupera G en un point y et G' en un point qui ne sera autre que m\

El le point y ne se superposera avec le point m' qu'autant que Tangle a que

G ou G' fait avec le plan du cercle G sera nul. Lorsque Tangle a sera droit les droites Q et G' se confondront ; dès lors G et G' seront parallèles , et dès lors la droite Q et aussi la droite G' couperont toutes les deux la droite G à Tinfini.

Ainsi, tant que Tangle a n'est pas nul ou droit, les deux génératrices successives et infiniment voisines G et G' ne se coupent pas et la surface est gauche.

Lorsque l'angle a est nul , la surface n'est autre que le plan du cercle G , c'est-Â-dire une surfece développable.

Lorsque l'angle a est droit, la surface est un cylindre , et ainsi elle est encore une surface développable.

3"* Construire le point culminant de la courbe-intersection d'un plan et d'une surface définie par des sections horizontales.

Étant donnée une surface ou un terrain 2 par les projections sur le plan horizontal d'une suite de sections horizontales équidistantes et un plan P par son échelle de pente , ayant déterminé les points de la courbe G , section de la surface parle plan P, il arrive que la courbe de section G se prolonge entre deux courbes horizontales d et d' de la surface 2; on demande de déterminer le point o de la courbe G compris entre les courbes de mveau d et ^ et pour lequel la tangente 9 est horizontale et se projette suivant une droite perpendiculaire à la projection E de la ligne de plus grande pente du plan P.

Le problème ainsi énoncé , on dit :

Si les deux courbes d et d^ étaient infiniment voisines , on pourrait toujours leur mener une droite qui , perpendiculaire à Tune des courbes 9 et parallèle à E, serait senriblement perpendiculaire à Tautre courbe y.

Nous cherchons donc à mener à d et d^ quoique ces couri>es ftoient situées à distance finie Tune de l'autre, mais en les supposant, toutefois, assez rapprochées , une droite N normale en même temps à l'une et à l'autre de ces courbes d et d' ec, parallèle à E.

N coupera i au point m et d" au point m.

Les tangentes t et tf menées respectivement aux points m et m' pour les courbes det y, seront parallèles entre elles et perpendiculaires à E.

Nous pourrons donc charcher l'intersection du plan P et du plan ((, t"), ses deux plans se couperont suivant une droite 6 qui sera la tangente demandée, laquelle coupera la droite G qui unit les points m et rn en un point o qui sera le point culminant de la courbe G.

Examinons cette démonstration :

l"* Étant données sur un plan deux courbes d et d^ et une droite £, quelque rapprochées qu'on suppose les courbes, on ne pourra pas leur mener une normale

commune parallèle à la droite E quelle que soit la direction de cette droite E.

Et en effet :

Concevons deux cercles D et D'; on ne pourra leur mener une normale commune qu'autant qu'elle passera par les centres o et o\ et cela aura lieu que les centres soient à distance finie ou infiniment petite.

On dit bien sensiblement perpendiculaire à Tune et à Tautre des courbes^ mais en géométrie on ne peut admettre des approximations de ce genre ; toute approximation doit être soumise à une loi géométrique et ne doit violer aucune loi géométrique.

Ainsi , comme exemple y on peut construire une suite de tangentes à une courbe de Tespace et projeter ces tangentes sur un plan y et dire les tangentes de l'espace sont à distance finie les unes des autres et ne se coupent point deux à deux , ce qui aurait lieu si elles étaient successives et infiniment voisines, on ne peut donc rigoureusement construire un polygone fini et enveloppe de la courbe de l'espace ; mais comme les projections des tangentes se coupent deux à deux et donnent un polygone fini, enveloppe de la projection de la courbe, en construisant une courbe tangente à ce polygone , on aura approximativement la projection de là courbe de l'espace.

L'erreur commise dans la démonstration vient de ce que , en considérant deux courbes de niveau , on aurait dû considérer une trajectoire coupant ces courbes et les coupant à angle droit.

Lorsque les deux courbes de niveau sont infiniment voisines, c'est l'élément curviligne de la trajectoire^ ou, en d'autres termes, c'est le cercle oscillateur de cette trajectoire que coupent rectangulairement ces deux courbes de niveau successives et non Vêlement rectiligne de cette trajectoire.

S"" En examinant de plus près la démonstration on voit que l'on à voulu remplacer la zone de surface 1 ou du terrain qui est comprise entre les deux courbes de niveau j et d" par une surface géométrigue gauche.

Mais trois conditions suffisent pour déterminer le mouvement d'une droite. On ne peut donc dire : remplaçons la zone du terrain par une zone de surface réglée telle qu'elle soit engendrée par une droite s'appuyant sur les courbes d et S' et restant pendant son mouvement normale à 3 et normale aussi à J' ; car on se donnerait quatre conditions.

La solution du problème doit être donnée ainsi qu'il suit :

Faisons rouler sur les courbes d et ^ un plan Q, ce plan engendrera une surface

développable i|/ ; c'est la zone de la surface ^j; comprise entre les courbes de

pivcau d et d" que Ton substituera à la zone de la surface 2.

On mènera dès lors deux droites i et i tangentes aux courbes j et d" et parallè^ lement à l'échelle de pente E et tangentes à d et d" aux points m et m'.

Le plan Q passant par i et t' coupera le pian P suivant la droite 9 horizon taie et dont la projection sera perpendiculaire à E, et cette droite coupera la droite mm au point culminant o de la section C.

Revenons sur la différence qui doit nécessairement exister entre les manières de concevoir les infiniment petits en géométrie descriptive et enono^^^, et de les exprimer dans le langage géométrique et dans la langue algébrique.

Lorsque Ton se sert de Vmaly$e de Descartes, on dit que la tangente est la limite des sécantes et Ton arrive à la tangente en un point m d'une courbe G , par la marche suivante; on prend l'équation y — i^' ;=3 m (a: — x') d'une droite B passant par le point m dont les coordonnées sont x et y\ on cherche les coordonnées des points de rencontre de cette droite B avec la courbe G dont l'équation qui est yz=zf{x) se trouve satisfaite parles coordonnées a;' et y'\ ensuite on élimine X entre les deux équations de B et de G et l'on a une ^uation <p {y):=^Q.

Les racines de cette équation (p(y)=0 sont les valeurs des coordonnées y des divers points en lesquels la droite B coupe la courbe G.

L'une de ces racines est évidemment y.

Pour que la droite B devienne une tangente au point m ,- il faut que l'on ait plusieurs racines égales entre elles et à y'.

Alors on dit que les points de sécance pour lesquels les ordonnées sont égales à y' y se sont superposés sur le point m.

G'est dans ce sens que l'on dit passer à la limite; ainsi lorsque l'on passe à ia limite en employant Vanalyse de Descartes^ on suppose rigoureusement que les points se superposent, mais il n'y a aucune considération d'infiniment petits.

Plus tard on introduisit l'idée des infiniment petits dans Y algèbre et Ton obtint C analyse infinitésimale en écrivant les infiniment petits en langue algébrique et en se conformant à l'esprit de l'algorithme algébrique.

Alors on fut conduit à considérer la tangente 9 comme une droite qui passant par un point m d'une courbe G, était telle que si Ton considérait un point m' situé sur la courbe G et voisin du point m, l'ordonnée de la courbe G pour ce point m' coupant la droite 9 en un point n, le point m' pouvait toujours être rapproché du point m (tout en restant sur la courbe G) de manière à ce que la différence m'n fût plus petite que toute quantité donnée, et l'on peut dire alors que la tangente 9 en m à la courbe G n'est que le prolongement de V élément reciiligne de cette courbe G au point m.

Pourquoi ne pas employer les éléments reciilignes auxquels nous sommes conduits par une analyse rendue supérieure par l'introduction des infiniment petits

et employer toujours la superporiHM de$ pomu, à laquelle ou a été conduit par une amli)8e restreinte î En fésumé : dans la langue algébrique de Descanes on dit : l'équation 9 (y) =:0 a deê radnes égal», et Ton exprime en langage géométrique ce résultat en disant : plurieurs points se superpoteni.

Dans la langue algébrique supérieure, on dit : la différence entre deux entonnées peut devenir plus petite que toute qu&niité donnée j et le résultat obtenu s'exprime en langage géométrique, en disant : i7 ejnste un élément rectUifne commun.

Il me semble que la manière dont j'ai défini les points successifs et ininiment voisins et les courbes successives et infiniment voisines, est conforme i l'esprit de la géométrie et exprime noltement la loi de continuité qui existe dans les courbes et les surfaces et que les infiniment petits se trouvent introduits dans la géoméirie descriptive, avec autant de rigueur qu'ils l'ont été dans Vanalffse.

Mais on doit remarquer que l'introduction des infiniment petits dans la géométrie descriptive, tout en perfectionnant cette science,, ne pourra jamais lui donner la puissance qui appartiâift*à Vamlyse infimtésimde.

Vanalyse sera toujours Tinstrument le plus puissant pour la recherche des vérités mathématiques ; toutefois on ne doit pas dédaigner la géométrie deêcrifHve qui rend de grands services aux ingénieurs , el qui est appelée à leur rendre de nouveaux services et très-imporUnts , pour peu qu'ils Fétudient avec soin et qu'ils s'intéressent à ses progrès.

N'oublions pas que Mongi: a dit : La géométrie descriptive est la langue écrite de

l'ingénieur.

JDes divers pamis singuliers qu'une courbe plane peut présemter dans sm eoun {*).

C'est en vertu de la théorie des infiniment petits , telle que nous Tavons appli^ quée à la géométrie descriptive , que, sans avoir besoin de recourir à Vanalyse, nous allons parvenir à reconnaître qu'une courbe plane C peut présenter dans son cours des inflexions particulières , et que nous allons démontrer, rigoureusement , que pour ces points (auxquels on donne* le nom depocfil^ singutiers) la courbe C a nécessairement un rayon de courbure nul ou infini.

Et nous parviendrons même à reconnaître, et d'une msmière certaine, non-seu-

n Cette section du chapitre TU a été communiquée à la Société philomatique dans sa séance du 8 fémer 1S4D.

lement si b développée d de la courbe G , mais encore ei la développée d,. de la développée d a , en son point correspondant au point singulier de la courbe G, un rayon de courbe fini, nul ou infini.

Nous avons précédemment établi , ce qui suit:

i"" Lorsque deux courbes G et G' à simple ou à double courbure ont deux points

successifs m et m communs, ou , en d'autres termes , un élément rectilignè mm commun, elles sont tangentes l'une à Tautre; ces deux courbes G et G' ont

même tangente 9 , cette tangente n'étant autre que l'élément rectilignè mm' prolongé.

Et on dit que les deux courbes ont dans ce cas un contact du premier ordre.

2'' Lorsque deux courbes G et G", à simple ou à double courbure, ont trois points successifs, m , m\ m" communs, ou, en d'autres termes deux éléments rectilignes

successifs mm\ mm" communs, ces deux courbes ont un contact du deuxième ordre, Ou ont un élément curviligne commxxtk ^ on en d'autres termes ont même cercle o^ulaieur ou même rayon de courbure.

3" Lorsque deux courbes G et G' à simple ou à double courbure , ont quatre points successifs m, m", m", m"' en commun , ou, en d'autres termes, trois

éléments rectilignes suocessifs eonnunB Mm", mW, m"m"\ on dit que ces deux courbes ont un contact du troisième ordre.

Lesdeuxcourbesontdansce cas deux cercles osculateurs successifs communs et deux plans osculateurs successifs communs.

Il peut arriver que les quatre points successifs m , m\ m", m"\ déterminent un seul cercle , alors dans ce cas ks deux cercles osculateurs successifs se superposent et les deux plans osculateurs se superposent.

Lorsque l'on a une courbe G (plane) telle que pour un de ses points m, son cercle osculateûr a un contact du troisième ordre avec elle , on dit que le point m est un sommet de la courbe G.

4* L<M*sque deux courbes G €ft G^, à simple ou à double courbure , auront (n+1) points successifs communs^ ou^ en d'autres termes, n éléments rectilignes successifs communs ^ on dit que ces deux courbes ont un contact du ri^^ ordre.

Gela posé, venons aux jHÀni» singuliers qu'une oourbe plane peut présenter dans son cours.

Les fùisas tmguUers qu'une courbe plane peut présenter dans son cours sont au nombre de quinze.

L'existence de onze de ces points se démontre en conâdénint la courbe plane

comme la projeclion d'une courbe à double courbure ; l'existence des quatre derniers se démontre au moyen de la développée de la courbe plane.

Les quinze points singuliers se divisent en cinq séries :

i" SÉRIE.

l"" Les points en lesquels plusieurs brandies viennent se croiser: Pmnis multiples de première et de deuxième espèce.

2" Les points pour lesquels le rayon de courbure est nul : Points de rebroussement de première et de deuxième espèce. Point aiguj point d'inflexion simple et point d'arrêt.

3* SÉRIB«

3* Les points pour lesquels le rayon de courbure est infini : Point méplat et point d'inflexion double.

Points de rebroussement de première et de deuxième espèce pour lesquels le

rayon de courbure est infini. Point d'arrêt pour lequel le rayon de courbure est infini.

i' SÉRIE.

4* Le point de rebroussement de seconde espèce pour lequel le rayon de courbure est fini.

5' Point isolé. — Point asymptote.