II. Du point multiple de deuxième espèce

Traçons sur un cône 2, ayant pour courbe directrice une courbe fermée , une spirale G ; cette courbe G coupera chacune des génératrices droites du cône en une infinité de points.

Désignons par n , n , n'^ n'\ les points en lesquels une génératrice droite G

du cône 2 est coupée par la spirale G.

Gonstruisons le plan tangent au cône 2 le long delà génératrice 6.

Menons un plan N perpendiculaire à G et coupant cette droite en un point p.

Projetons la spirale G sur le plan N, suivant une courbe G".

Gela posé :

Tous les points n, n', fl\.... se projetteront sur le plan N en un seul et même point qui ne sera autre que le point p.

b^t la couibe C" sera évidemment formée d'une infinité de spires passant

toutes par le point p, et les diverses tangentes en n, n\ ri\ k la courbe G

se projetteront en une seule et même droite t qui sera la tangente commune en p à toutesies spires de la courbe plane €".

Une courbe plane peut donc offrir un point mtddple tel que toutes les branches dont cette courbe se compose aient en ce point même tangente.

On donne à ce point le nom de poha multiple de detudème espèce {fig. 132).

On peut parvenir à une courbe plane offrant un point multiple , par une autre considération :

i* ConccTons deux cylindres ayant chacun pour section droite une courbe fermée y et se coupant suivant une courbe G (Varrachement On pourra faire rouler sur cette courbe G un plan tangent P à cette courbe et ayant avec elle deux points de contact pel q situés à distance finie Tun de Tautre.

La droite G qui unira les points p elq sera une des génératrices droites de la surface développable engendrée par le plan P.

^i 4'on projette la courbe G sur un plan N perpendiculaire à G , on aura une courbe G', et les deux points p et 9 se projetteront en un seul et même point r sur la courbe G", et les tangentes en p et 9 à la courbe G se projetteront en une seule et même droite tangente à G" au point r. On obtiendra ainsi une courbe plane ayant un point multiple de deuxième espèce.

V Au lieu de faire rouler un plan P sur la courbe G , on peut prendre deux points arbitraires m et n sur la courbe G, et tels que la tangente en n et la tangente en m ne soient pas situées dans un même plan.

Projetant la courbe G sur un plan N perpendiculaire à la droite D qui unit les points m et n, on aura une courbe plane G" ; les deux points m et n se projetteront en un seul et même point r, et les tangentes en m et n se projetteront suivant deux droites 9 et B' qui se croiseront au point r et seront respectivement tangentes aux deux branches de la courbe G" qui se croisent au point r. On obtiendra ainsi une courbe plane ayant un point multiple de premère espèce.

Lorsque Ton construit V épure de ces projections , on donne ordinairement à ces points le nom de nœuds de deuxième ou de première. espèce.

Des points pour lesquels le rayon de courbure peut être nul ou infini.

Étant donnée une courbe G à double courbure , construisons pour un de ses points m le ptan osculateur O , et traçons ilans ce plan le cercle OBCokteur r en *m à la courbe G.

Désignons par p le rayon do oerele r et par 9 la tangente en m à la courbe C. Cela posé :

Menons par p un plan M perpendiculaire à la tangenle 9 et par 9 un plan T perpendiculaire au rayon de courbure p.

Projetons orthogonalement la courbe C sur les trois plans » N et T, et désignons ces projections par C% G' et C

Examinons maintenant ce que doivent être les rayons de courbure des trois court)e8 planes C% G", G* au point m.

Il est évident que pour le point m le rayon de courbure de la courbe & n'est autre que p » puisque le cercle r et cette courbe G" ont en commun avec la courbe G trois points successifs m , m\ m.

Mais pour les courbes planes G' et C7 le rayon de courbure au point m n'aura pas une valeur Jirti^, il sera toujours mfnx pour la courbe G*, et pour la courbe G" il pourra être mA , fini ou infinû

Et en effet :

Goncevons dans Tespace un cercle r du rayon p, et tel que son plan oblique , par rapport à un plan P, fasse avec ce plan P un angle a.

Le cercle r se projettera sur le plan P suivant une ellipse E, dont le demigrand axe sera égal à p et dont le demi-petit axe sera égal à : p cos «.

L'expression analytique du rayon de courbure i pour le sommet de l'ellipse E qui est à l'extrémité de son grand axe sera (^) :

Et l'expression analytique du rayon de courbure ^ pour le sommet de l'ellipse E qui est à Textrémité du petit axe sera :