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Si l'angle » est nul , on aura : eos^sl ; et dés fors on aura

C) f^ojfêz mcoi m^Boire de gëomâm âsieriptiTd qui a pour titre : Sur la eomêfinêetion du rayon de courbure en un point d'une eecÈion conique , dans le Journal de mtUkématifuei furee et appliguéeê r publié par M. Lioayille; ayril 1839. Foyez auaii le Balletin de la Société phHomaiigue de Paris , séance du 5 mai 1838.

'^ Si Tangle a est droit, on aura : cos a=:0 ; et dés lors on aura :

fzzzi et o*=0

Par congéquent, si l'on considère, en même temps, un point m sur le cercle r et le diamètre 2p de ce cercle r passant par le point m et la tangente 6 au point m # de ce cercle r, on voit :

l"" Que le cercle r se projettera sur le plan N ( passant par p et perpendiculaire } à 0) sur le rayon de courbure p prolongé ;

2"" Que le cercle r se projettera sur le plan T ( passant par 8 et perpendiculaire à p ) sur la tangente prolongée.

Et en vertu de ce qui précède, le rayon de courbure d' au point m de la pro- ' jection du cercle r sera infini pour cette projection.

Et le rayon de courbure i au point m de la projection 2p du cercle F sera nul pour cette projection, si le rayon de courbure p est la normale en m , à la projec- I tion C".

Plus loin nous démontrerons que si la courbe à double courbure G est projetée sur le plan normal N suivant une courbe G' ayant le rayon de courbure p pour tangente et non pour normale, alors au point m la courbe G' peut avoir un rayOD de courbure nul ou fini ou infini.

Ainsi, nous verrons plus loin que le rayon de courbure peut être itti/au point m de la courbe G", mais il est démontré qu'il est infini au point m de la courbe C.

Il existe donc des courbes planes qui peuvent présenter dan leurs cours , des points singuliers tels que pour les uns le rayon de courbure est nul et que pour les autres le rayon de courbure est infini.

Il nous reste à examiner, quelle relation de position il doit exister avant et après le point singulier , entre la courbe et sa tangente en ce point , ou entre la courbe et sa normale en ce même point.

m. Du point d'inflexion double.

Imaginons un cylindre ayant pour section droite une courbe telle qu'en chacun

de ses points le rayon de courbure a une longueur Jinte; en d'autres termes telle

qu'en aucun de ses points le rayon de courbure ne soit nul on infini.

I Traçons sur ce cylindre une hélice G et en un point m de cette courbe G con-

i struisons le plan osculateur O , le plan normal N et le plan T perpendiculaire à la

fois aux deux plans et N , et passant par la tangente en m à la courbe G.

En construisant la projection de la courbe G sur le plan T, on reconnaît que la courbe G* est divisée au point m en deux arcs , tel que l'un est à droite au-des-

sous de la tangente 9 et que l'autre est à gauche au-dessus de la tangente 6 , ou

vise versa suivant le sens du rampant de rhélice G.

Et en vertu de ce qui a été dit, ci-dessus, la courbe plane G* a au point m un

rayon de courbure infini.

On donne au point m , dans ce cas, le nom de point d'inflexion double. - Ainsi, une courbe plane peut présenter dans son cours un point d'inflexion

double (fig. 133).