L. coupera la droite

ax au point

It et la droite // -

ir -

ab au point ab' — ab" —

Et comme les eercles L et L,, L' et L', , L'' et V\ sont deux à deux dans un même plan et sont concentriques , on aura évidemment :

arc 6a? arc r>JL. arc vlll arc t?/'i "

arc Ay arc vji arc ^/«' arc t?, V'

==ctc.=K

On peut donc conclure ce qui suit :

m. l*" Si du point a sommet du cône B , comme centre , on décrit une suite de sphères S, S', S" coupant la courbe y (développante hélico-sphérique imparfaite) en les points z^ z\ i!'\

2" Si l'on mène par les points 2, s", ^' des plans T, T', T'^ tangents au cône B , lesquels toucheront ce cône suivant les génératrices H , H' , H"" , et lesquels couperont , savoir :

Le plan T, la sphère S suivant un cercle L, du rayon oz; Le plan T', la sphère S' suivant un cercle L\ du rayon œi \ Le plan T", la sphère S" suivant un cercle \J' , du rayon œi' ;

V Si on trace sur la sphère S la développante sphérique d passant par le point %\ sur la sphère S", la développante ^ passant par s'; et sur la sphère S'^ la développante f passant par &'',

Ces développantes d, ^ ^^' viendront couper le cône B en des points /, t , r , qui seront en ligne droite.

Ces points /, f yf' seront les origines ou points de rebroussement des courbes

On peut de suite reconnaître les nouvelles anatogieê géométriques qui existent entre les développantes hélko^sphériquei raUongées ou rt^caurdei et les développantes à double courbure rnUongée ou raccourcie.

Analogies géomélrifpm.

Et en eflet :

Lorsque le cône B devient un cylindre B,, les sphères S, S^ S"' deviennent des plans parallèles entre eux et perpendiculaires à Taxe de ce cylindre B..

Les cercles L, h\ h" deviennent des droites parallèles entre elles et perpendiculaires à l'axe du cylindre B,» et les développantes sphériques d, H, 3>' deviennent des développantes planes ayant leurs origines ou leurs points de rebroussement placés en ligne droite et sur une génératrice droite du cylindre B,.

Étant donné un cône de révolution B dont le demi-angle, au sommet, est é^al à co, menons par son axe A un plan sécant Y, ce plan coupera le cône suivant deux génératrices G et 6. qui comprendront entre elles un angle égal à 2».

Imaginons le plan T tangent au cône B suivant la génératrice G , et plaçons dans ce plan T une droite K perpendiculaire à G et la coupant en un point p distant du sommet a du cône B d*une quantité égale à X.

Si nous plions librement la droite K sur le cône B, nous obtiendrons une hélice

conique E , dont les ares de droite et de gauche , par rapport au point p , viendront se croiser en un point p, de la génératrice G, pour continuer à serpenter à droite et i gauche de cette génératrice G. sur le c6ne B.

Le point p est dit mmmei de Thélice conique; la distance du point p, au sommet a du cône B est dite pas de la première circonvolution de l'hélice; et la distance ^ est dite raifon de l'hélice.

Or , il est évident que lorsque Ton connaîtra Tangle ca du cône B et le raym de rhélice conique, cette courbe sera complètement déterminée.

Imaginons l'hélice E et ses diverses tangentes K ; je dis que toutes les droites K sont tangentes à une q[)hère S , décrite du sommet a du cône B comme centre, et ayant pour rayon le rayon de l'hélice E.

Enelfet:

Si l'on conçoit une suite de plans tangents T , T% T'' au cône B , chacun de ces plans contiendra une tangente K , K\ K'^ de l'hélice E ; et lorsque l'on développera le cône B sur le plan T , Thélice E se transformera en sa tangente K ; de même , si l'on développe le cône B sur le plan T' y l'hélice E se transformera en sa tangente K' et ainsi de suite. Et il est bien évident que si Ton abaisse, dans le développement du cône sur un de ses plans tangents et du sommet a de ce oône^ une perpendiculaire sur K, puis sur K' et ainsi de suite» toutes ces perpendiculaires seront égales entre elles.

Ainsi, si l'on conçoit la sphère S, le plan.T coupera cette sphère suivant un grand cercle D qui sera tangent à K; le plan T' coupera cette sphère suivant un grand cercle D' qui sera tangent à K' ; et ainsi de suite.

Cela posé:

Gomme on sait que le plan osculateur en un point x d'une hélice E est perpendiculaire au plan tangent T à la surface développable 2 sur laquelle cette hélice E est tracée (ce plan T étant construit pour le point a;), on en conclut que la droite K sera tangente à la sphère S; car le plan osculateur de l'hélice E, lequel est mené par la tangente K , étant perpendiculaire au plan tangent T , sera langent à la sphère S et an point où la droite K touche le cercle D.

Ainsi on peut énoncer le théorème suivant.

Théorème : Toutes les génératrices droites d'une surface hélic&ide développable, ayant une hélice conique E pour arête de rebroussement , sont tangentes à une sphère ayant pour rayon celui de l'hélice E, et pour centre le sommet du cône B de révolution sur lequel l'hélice E se trouve placée.

Le théorème précédent est général, en ce sens qu'il est vrai quelle que soit la base ou courbe directrice du cône B.

De ce qui précède on peut déduire ce qui suit :

i"* Étant donné un cône de révolution B et deux sphères S et S' ayant pour centre commun le sommet a du cdne B, si Ton trace sur la sphère S une développante sphérique d, pour laquelle Tenveloppe de ses plans normaux sera le cône B et si Ton fait mouvoir une droite K s'appuyant : i"" sur la développante sphérique i ; 2"* tangentiellement au cône B ; et 3"* tangentiellement à la sphère S'; les diverses droites R seront coupées par la sphère S en des points qui formeront une seconde développante sphérique d, , et les parties interceptées par la sphère S, sur les diverses droites K, seront toutes égales entre elles.

2"" Si Ton fait mouvoir tangentiellement à une hélice conique E tracée sur un cône B de révolution, une droite d'une longueur constante R, Tune des extrémités de cette droite K décrivant une développante i de Thélice E , Tautre extrémité de cette droite K décrira une seconde développante d. de Thélice E, et les deux courbes d et d, seront situées sur une sphère S ayant son centre au sommet du cône B.

3* Si l'on fait mouvoir une droite G , s'appuyant tangentiellement sur un cône de révolution B et sur une sphère S' ayant pour centre le sommet do cône B, si l'une des extrémités de cette droiteG décrit une développante sphérique rallongée tf ou raccourcie 9 tracée sur une sphère S concentrique à la sphère S', la surface gauche décrite par G sera coupée par la sphère S et par toutes les sphér res concentriques à S et S% suivant une développante rallongée 9, ou raccourcie (p\. Les points de contact de la droite mobile G et du cône B formeront une courbe E, dont il faut déterminer la nature géométrique.

Je dis que la courbe E n'est autre qu'une hélice tracée sur le cône B.

Et en effet :

L'équation de la droite A (fig. 7) est en coordonnées rectangulaires :

Pour avoir l'équation polaire de la droite A (prenant l'origine des coordonnées rectangulaires pour pôle et Taxe' des x pour l'origine des angles a), il faudra remplacer dans l'équation ( 2 )

y par (p sin a), et x par (p cos a) , et Ton aura :

p ( sin a -f- m COSa)=^b (3)

pour l'équation polaire de la droite A.

Cela I La ap par le pi contact dans le [i y étant i le point la génér cherchée Repré

Rema

stant; d

Et l'éi

Mais( rallongé

Dès lors l'équation (5) deviendra :

Et comine l'angle y(^ est constant, d'après ce qui a été dit plus haut, on peut représenter cos x par une constante M, et sin i par une constante N; et Ton aura :

On voit de suite que l'équation (7) est de même forme que l'équation (3).

Ainsi l'équation (7) est l'équation polaire d'une droite ; ainsi ia courbe lieu des points p (après le développement du cône B sur son plan tangent T J est une droite. La courbe E , lieu des points de l'espace , est donc une hélice conique.

Si dans l'équation (7) on fait varier la quantité /t, on fera varier le rapport

t; et la courbe E, tout en restant une hélice conique, changera de place

sur le cône B.

Or, si Ton fait varier n , on voit de suite que chacune des droites lieu des points p, passera par le pointa;^ ou, en d'autres termes, que toutes les hélices coniques E couperont le cercle C, base du cône B (fig. 6), en un même

point. Car, si dans l'équation (7) on fait —^=0, on aura :

p i=2 -- OU p =

•^ M "^ cos &>

Et quelle que soit la valeur que Ton attribue à la quantité n, dans l'expression

•^ et dans l'équation (7), on aura toujours une équation de la forme p (sin a +

m. cos a) = 6 j et quelles que soient les valeurs attribuées à m et à 6 dans cette

équation, on aura toujours — égale à une quantité constante, puisque ce point

X {fig. 8) sera un point fixe par lequel passeront toutes les droites représentées par cette équation. •♦

On voit aussi que les sommets q {fig. 8 ) des diverses hélices coniques E, que Ton obtiendra en faisant varier n , sont distribués sur la courbe lieu des centres de courbure de la développante sphérique S décrite par le point a;, courbe qui (ainsi que nous le savons) se transforme en un cercle tracé sur ax , comme diamètre, lorsque le cône B est développé sur son plan tangent T.

Remarquons encore que, suivant que n sera > 1 ou <1, la développante imparfaite décrite par le point y sera raccourcie ou rallongea , et Ton voit dès lors qu'en attribuant à n toutes les valeurs possibles , Ton obtiendra toutes les développantes sphériques rallongées ou raccourcies de la développante sphérique parfaite 3, décrite par le point x (fig, 8 ).

En vertu de ce qui précède, on peut énoncer les théorèmes suivants :

Théorème A. {fig. 9) Étant donné un cercle D ; ayant mené par son centre a une droite X, ayant ensuite mené une droite Y tangente à ce cercle D, si l'on mène deux droites, Tune X^ par le point a faisant avec la droite X un angle a, et l'autre Y tangente au cercle D et faisant avec la droite Y un angle cp , ces deux droites se couperont en un point p et tous les points p , ainsi déterminés , seront en ligne droite, si les angles a et ^ sont liés entre eux par Téquation :

a = mcp

TuÉORÈME B. (fig. 10) Étant donnés un cercle D et une droite L; ayant mené par le centre a du cercle D une droite X coupant la droite L au point q ; ayant mené

par le point q une droite Y tangente au cercle D; si par les points 9', </'',

de la droite L, on mène les droites X', X", tendant au centre a , et les droites Y' , Y" , tangentes au cercle D , on aura :