V. Point de rebroussement de première espèce

V Traçons dans le plan O une courbe G** ayant pour tangente au point m la droite et un rayon de courbure égal à p pour ce point m.

Traçons dans le plan T une courbe G* ayant 6 pour tangente au point m et ayant en ce point m un point d'inflexion double.

Supposons que la courbe G"* n'offre aucun poiht singulier et qu'elle est avant et après le point m située d'un même côté par rapport à sa tangente (fig- 135 , 136 et 137 ).

Rappelons-nous que les trois plans O , N et T se coupent deux à deux, O et N

suivanUle cayon de coai-bure p, Oet Tsuivantla tangente 6, et N et T- suivant une

droite Z.

Prenonsila droite S pour axe des x, le rayon ppour axe ées yet la droite Z pour

axe des z.

Les courbes €* et G^auront pour axe des aria droite y et alors il pourra arriver deux cas, car lesz de la courbe C^ peuvent être supposés, crdttre plus vite ou moins vile que les y de la courbe G**.

Goncevons deux cylindres ayant respectivement pour section droite les courbes G"" et G*, ces deux cylindres se couperont suivant une courbe è doùbte courbure G qui pour Je. point m aura un rayon de coucbure /ist, en d'^autres* termes le rayon de courbure de la courbe G ne sera ni nul ni infini pour le point m , puisque le plan O sera oaculataur en m â la courbe G et que le rayon de cette courbe G sera égal à p9 puisque celte courbe Ga deux éléments rectilignessuceessife^en commun avec la courbe G"" ; en projetant cette courbe G sur le. plan N , nous mronsune courbe plane G'.

Maintenant si les z de la oourJie G* eroisseot plus' vite que les y de la courbe C, les zde la.courbeG"croltrontplus vite que les y de cette courbe G"; dès lors la courbe G" tournera sa oomtexité versla droite p ou axe des y.

Gette courbe G" sera donc composée de deux branches placéesi'une en dessus et l'autre en dessous dep , ainsi que Tindique la {fig. 435 ). On donne à ce point le nom de point de rebrim$9ement de première espèce.

Ainsi, d*apré&ce qui a été dit ci ^dessus , une courbe plane peut présenter dans son cours un point de rebrcwumenî de première espèce.

Si les z de la courbe G* croissent moins- vite que les y de la courbe G"", les 2 de la courbe G" croîtront moins vite que les y de cette courbe G" ; dès lors , la courbe G" tournera sa concavité vers la droite p ou axe des y.

Gette co<iHi)e G" sera donc composée de deux branches placées l'une en dessus et Tautre au-dessous de p, ainsi que Tindiquc Ia()îgr. 138).

Mais dans ce cas comme dans le précédent, la normale p à la courbe à double courbure G, se projette sur le plan N suivant une tangenteà ia courbe <!" pour le point m , puisque lacour.be G a deux éléments rectilignes sucoessife situés dans le plan osculateur O et que le plan N est perpendiculaire au premiendeees d^ix éléments rectilignes.

Le rôle de la droite p est donc interverti quand on consîdète alternativement les couri)es GVet G", puisque la droite f est normale. au. point m à Ja courbe G"" et qu'elle est tangente au point, m à la courJbe G'.

Tandis que la droite Z est toujours normale au point m, soit à la courbe G"" seil à la courbe G\

Le rayon de courbHre pour une courbe plaiîe doit toujours être compté sur sa normale; le rayon de courbure pour le point m de la courbe C" deyra donc être compté sur la droite Z et non sur la droite p.

En sorte que dans ce cas la méthode des projections est en défaut.

D'après ce qui vient d'être dit, la valeur du rayon de courbure pour le point m de là courbe G", dépendra donc de la manière d'être, ou , en d'autres termes , de la relation de position qui existera entre les points successifs de la courbe G après le point m*^ et les points successifs de la courbe C avant le point m , désignant par m , m, ni\ les points successifs de la courbe G situés dans son plan osculateur O.

Ainsi pour le point de rebroussemeni de première espèce la courbe plane G" peut présenter deux formes: l'' elle peut tourner sa convexité vers la tangente p au point m , et continuer à tourner sa convexité après le point m , ou S"" elle peut, peu après le point m , tourner sa concavité du côté de la tangente p au point m, de telle sorte qu'en passant du point m à un point situé à distance finie, la courbe G" aura plus ou moins près du point m changé de direction et se sera infléchie, de manière à tourner sa concavité vers là droite p après avoir pendant un trajet plus ou moins court'tourné sa convexité vers cette droite p ( puisque cette droite p est la tangente au point m de cette courbe G").