VI. Point de rebramêement de deuxième espèce

2* Traçons dans le plan O une courbe G* ayant pour tangente au point m la droite 9 et un rayon de courbure égal à p.

Traçons dans le plan T une courbe G^ ayant 6 pour tangente au point m et ayant en ce point un point méplat.

Supposons que la courbe G^ n'offre aucun point singulier dans son cours et qu'elle est avant et après le point m située d'un même côté par rapport à sa tangente e {fig. 136 et 137 ).

Concetons deux cylindres ayant respectivement pour section droite les^courbes C et G*; ces deux cylindres se couperont suivant une courbe Gà double <x>urbHre et qui n'offrira aucune particularité au point m; cette courbe G aura évidemnimit le plan O pour plan osculateur au point m , et son rayon de courbure en m sera égal à p.

Projetons cette courbe G sur le plan N, nous aurons une courbe G", qui, eo vertu de ce qui a été cî^dessus, aura pour tangente au point m la droite p et pour normale la droite Z.

De plus, il est évident que la courbe G" sera composée de deux branches

réunies en m et toutes deux situées d*un même côté {)ar rapport à la droite p {fig.iae et 137).

Il pourra arriver deux cas.

Les z de la courbe C pourront croître plus vite que les y de la courbe C^, ou bien croître moins vite.

Dans le premier cas, la courbe G" tournera sa convexité vers la droite p {fig. 137).

Dans le deuxième cas , la courbe C" tournera d'abord sa convexité vers la droite p, pour très-peu après le point m tourner sa concavité vers cette droite p; il y aura donc après le point m un changement de direction.

Dans les deux cas on donne au point m le nom de point de rebroussement de deuxième espèce.

Ainsi, d'après ce qui vient d'être dit, une courbe plane peut présenter dans son cours un point de rebroussement de deuxième espèce.

VU. Point ([inflexion simple.

3"" Traçons dans le plan une courbe C ayant au point m, la droite 6 pour tangente et ayant en ce point m un point d'inflexion double.

Traçons dans le plan T une courbe C^ ayant au point m la droite 6 pour tangente et ayant en ce point m un point d'inflexion double.

Concevons deux cylindres ayant respectivement pour section droite les courbes C et G*; ces deux cylindres se couperont suivant une courbe à double courbure C qui aura au point m un rayon de «courbure fn/nf.

Car il est évident que la droite 9 est tangente commune au point m aux trois courbes C, C, G% et qu'en ce point m cette tangente a un contact du deuxième ordre avec chacune de ces trois courbes.

Projetons cette courbe G sur le plan N , on aura une courbe G" qui aura au point m un rayon de courbure nul et qui sera située avant le point m au-dessus ou audessous de la droite p et après le point m au-dessous ou au-dessus de celte droite p.

Si pour la courbe G" lesz croissent plus vile que les y, cette courbe C" tournera sa convexité vers p.

Si pour la courbe G", les z croissent moins vile que les y, cette courbe C" tournera sa concavité vers p, et cela très-peu après le point m.

Dans le premier cas , la droite p sera la tangente de G* au point m {fig. 139 ).

Dans le deuxième cas, la droite p sera encore la tangente de C au point m {fig. 140).

Dans l'un et l'autre cas, le point m sera dit : poinidHnflexion simple. D'après ce qui précède une courbe plane peut présenter dans son cours , un point d'inflexion simple.

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