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Par la combinaison des courbes qui ont un contact du second ordie<av6D:leur tangente, on peut avoir quatre espèces de points singuliers.

Et remarquons que pour le point m le cercle osculateur à la courbe C comme à la courbe C* a un rayon de courbure infini, ou, en d*autreg termes, que ce cercle osculateur n'est autre que la tangente 9.

Or, cette droite 6 se projette en entier sur le plan N en.le point m, de sorte qu'à la première vue on ne peut dire si les droites p et Z sont forcément la première tangente et la seconde normale en m à la courbe G", car pour le point m , la courbe C*j tout comme la courbe C^, tout comme la courbe à double courbure G, ont une infinité de plans R osculateurs ( puisque tout plan passant par la tangente fi , peut être considéré et rigoureusement, comme un plan osculateur des courbes C", G*, 6t G ) ; mais si Ton prend le plan O, passant par les quatre points successifs m, m'y m'\ m"' de la courbe G , ce plan O. sera le véritable plan osculateur et Ton voit que la droite p sera la tangente à la courbe G" pour le point m; le plan 0' sera, entre tous les plans R, celui qui approche le plus près de la courbe G.

Par conséquent , le point m étant complètement la projection du cercle osculateur 9 et ce cercle (ou droite 6) ayant une infinité de rayons de courbure, et tous infinis et dirigés suivant les diverses normales à cette droite 9 , il s'ensuivra que pour le point m le rayon de courbure de la courbe G" sera nul.

Ainsi , pour le point à*inflexion simple et pour le point aigu^ existant sur une courbe plane , le rayon de courbure de cette courbe* est nul.

Et pourcertaihs points de rebroussement de première et de deuxième espèce , le rayon de courbure peut être nul.

En combinant maintenant deux à deux les quatre espèces de courbes G'', et G^ qui ont un rayon de courbure nul à leur point singulier m^^Qn^relombiNratSur des courbes G" qui seront du même genca^et auront aussi un rayon de courbure nul au point m.