IX. Du point d'arrêt

Nous avons vu que lorsque l'on projetait une courbe à double courbure G sur un plan N perpendiculaire à l'une de ses tangentes 9 , la courbe G" passait par le point en lequel le plan N coupait la droite 9 , et que la courbe G" ne s'arrêtait pas brusquement en ce point , mais cheminait après être arrivée en ce. point, ou en présentant une inflexion on en présentant un rebrousêement ^ ou en présentant un point aigu.

Si l'on conçoit une courbe à double cowhiuia CfMiaée d'itae seuk branche infinie et ayant une asymptote A , et que I'oib^ (projette cette coiirbe G sur un plan N perpendiculaira-à4a4ivdite As, s»^peoiMti«iii G' passera par. le point r en lequel

le plan N coupe Tasymptoie A, et il >edt évident que ia courbe C" ne pourra pas aHer ^u delà du point r^ puisque ce point r est la projection du point de }a courbe C situé à l'infini et sur cette courbe G et son asymptote A.

A la première vue , il semblerait que la courbe G" a en effet un point d'arrêt au point r .

Pour que* le point- d'arrêt existe réellement au point r, il faut que la courbe G soit telle que la supposant divisée en^deux ares infinis à droite et à gauche d'un point X, son asymptote A ne soit asymptote qu'à l'un de ces deux arcs et non à tous lies deux.

Or, la géométrie descriptive ne peut nous conduire à trouver des courbes à doubleoott^bureijouîssantdecette propriété par rapport à son asymptote, à moins que nous ne présupposions l'existeoce du, pointd'arrèt.

£t en effet: concevons deux cônes A et A. ayant pour sommet, le premier un point s et le second un point «^ et pour base sur le plan horizontal de projection , le premier une courbe B et le second une courbe B,.

Nous pouvons toujours prendre pour B et B,, une courbe composée d'une seule branche infinie, et ainsi une parabole par exemple.

Lorsque Ton transportera le cône A. parallèlement à lui-même pour superposer les sommets « et f , et que ce cône aura pris la position A, en laquelle il a même sommet avec le cône A resté immobile , ce cône A, sera coupé par le plan horizontal suivant une courbe B, semblable et semblablement placée par rapport à la courbe B,, le pôle de similitude étant le point p en lequel la droite 5«. coupe le plan horizontal.

Évidemment on pourra toujours s'arranger de manière à ce que les deux courbes B et B, ne se coupent qu'en un seul point x qui, lorsque le cône A. reprendra la position A. , viendra se placer en x^ sur la base B,.

Dès lors les génératrices m; et s je, seront parallèles , et les deux plans tangents menés aux cônes A et A, suivant ces génératrices se couperont suivant une droite A qui sera Tasymptote de la courbe à double courbure G intersection des deux cônes, et cette courbe G sera composée d'une seule branche infinie.

Or, en construisant Vépure des projections de la courbe G sur un plan perpendiculaire à rasymptote A, on voit que cette courbe G doit affecter et ne peut affecter que les deux formes indiquées {fig. 143 et 444 ), c'est-à-dire que la droite A est toujours asymptote aux deux arcs infinis qui composent la branche infinie et qu'elle ne peut pas être asymptote à l'un des arcs seulement.

Pour que la droite A pût n'être asymptote qu'à l'un desarcs infinis de la courbe G, il faudrait que Pune desbises'B ou B, eût un point d'arr^r précisément au point xon x^.

Nous ne pouvons donc pas, par la géotnéirie descripiivey rendre compte de l'existence ou de la non -existence du point (f arrêt dans les courbes planes, ïanalyse peut seule apprendre s*il existe en effet des courbes qui jouissent de la propriété d'avoir un point d'arrêt.

Mais si ïanalyse le dit, on peut par la géométrie descriptive conclure qu'il existe des courbes composées d'une seule branche infinie qui ont une asymptote qui n'est asymptote qu'à Tun des deux arcs infinis qui forment la branche infinie et unique de cette courbe.

Et vice versa si Vanalyse nous apprend qu'il existe des courbes composées d'une seule branche infinie pour lesquelles l'asymptote n'est asymptote que d'un seul côlé , la géométrie descriptive nous permet de conclure aussitôt qu*il existe dès lors des courbes planes qui ont un point d'arr^l.

La courbe à double courbure C, formée d'une seule branche infinie et ayant une asymptote A à cette branche infinie, a pour chacun de ses deux points situés à rinfini un plan osculateur passant par Tasymptote A, le rayon de courbure pour chacun de ces deux points sera perpendiculaire à l'asymptote A.

Le cercle osculateur pour chacun de ces deux points se projettera dès lors sur le plan N, perpendiculaire à la droite A , suivant une droite.

Or, chaque plan osculateur se projettera sur le plan N suivant une droite 9, tangente à la courbe C" au point r qui est le point en lequel le plan N coupe l'asymptote A de la courbe à double courbure C.

On aura donc en ce point r deux tangentes successives 6 et 9' à la courbe C".

Or, le rayon de courbure ne pouvant être porté sur la tangente, mais devant rétre sur la normale à la coinrbe , la méthode des projections se trouve en défaut. Ainsi jusqu'à présent nous ne pouvons dire autre chose sinon que la courbe C se projette sur le plan N suivant une courbe fermée G", ou, en d'autres termes ^ suivant une courbe G" qui vient se fermer au point r {*).