XI. Du pmnt asymptote

Concevons un cylindre 2 ayant pour section droite une courbe fermée , traçons sur ce cylindre 2 une hélice E; prenons dans l'espace un point arbitraire # et regardons ce point s comme le sommet d'un cône A ayant la courbe E pour directrice.

11 est évident que le cône A aura une de ses génératrices parallèles aux génératrices droites du cylindre 2, et cette génératrice G passera par les points de la courbe E qui sont situés à l'infini ; coupons le cône A par un plan N perpendiculaire à G ; ce plan N donnera pour section dans le cône une courbe G et coupera la droite G en un point o.

Et il est évident que la courbe G circulera autour du point o en s'en rapprochant sans cesse, pour ne l'atteindre qu'après avoir fait un nombre infini de circonvolutions.

Le point a est dit point asymptote de la courbe plane C.

Une courbe plane peut au lieu d'un potni-oa^mpioie avoir une cowrbeHisympiote y qui sei^a une courba fermée. .

Et en eflfet :

Prenons un axe A et* un« eylindre 1 à section droite fermée et ajant vèà génératrices parallèles à Taxe A .

Traçons snr le cylindre 1 tine hélice E.

Concevons dans Tespace une surface quelconque A , mais telle que le cylindre J, qui lui sera tangent et dont les génératrices seront parallèles à Taxe A, ait pour section droite une courbe fermée.

Cela posé :

Menons par Taxe A un plan M, ce plan coupera la surface A suivant une courbe G, et le cylindre 1 suivant un nombre fini de génératrices droites G , G',

G'\.... chacune de ces génératrices G, G', coupera rhéPice en un nombre

iniîni de points, et chacune d'elles contiendra deux points de Thélice situés à l'infini ; car on conçoit que l'hélice E coupe à l'infini toutes les génératrices du cylindre 2.

Dès lors, si Ton conçoit une surface réglée B engeodcée par une droite D se mouvant dans l'espace en s'appuyant sur l'axe A, sur L'hélice E et tangentieUement à la surface. A , on voit que dans le plan M on aura une infinité de génératrices droites D de la surfsbce B , lesquelles seront tangentes à la» courbe G et passeront respectivement par les. points de l'hélice E situés dans le plan M«

Parmi toutea eea génératrices dvoUûs D , il y ea aura une quLsera parallèle aux génératrices droites du cylindre 2 , et ce sera-celle qui passera par les peints situés à l'infini sur l'hélice E. .

On voit donc que si Ton conçoit un cylindre J tangent* j» la eurfbee A* et dont le^ génératrices soient parallèle» à Taxe A , ua plan< N perpMdieuJaire à l'axe A coupera ce cylîttdre J suivant une courbe 2 et Ja^ surface réglée B auivant une courbe X qpi sera tsUe qu'elle tournera indéfiniment autour de k courbe i pour loi devenir tangeatew

La eourbed est. dite amerbô asyv^platedet hietNirbeX.

La géonétrie descriptive peut encore non» faire'conoevoîr' d'une autre maaîére rexiatenoe des coaurbea. asymptotes.

Et en effet :

GoDcevons na eônn A tel que bu sphère Z ^ qui auea pour «ptoe le aonunet^de ee oûtte A, oavpe ee ctee suivant une courbe à doubie cearbure^ut feraiée è.

Traçons sur ce cône A une hélice ou une courbe rampante E; pnenans dîna l'intérieur du cône A ua point arbitraire nr, et rogardonu ee point comme le somttet d'un cAne A« parallèle m eône A.

Les deux cônes A et A. se couperont suivant denx' oolirbeU', l'une située à

distance finie et l'antre située à l'infini, et sur laquelle sera plaoé ie point de la courbe E situé à l'infini.

Dés lors , si Ton regsM^e le point m comïne le sommet d'un eône Z ayant la courbe E pour évrecirice , la sphère Z coupera le cône A, suiifant une coufbe fermée 9. et le cône 2 suivant une courbe à double courbure X; et les deuK courbes X et 3, seront telles Tune par rapport à l'autre que la courbe X tournera sur la sphère Z autour de la courbe d, en Tenveloppant par un nombre ioflni de circumvolutions sans pouvoir atteindre cette courbe S., qui sera alors 4ite : asymptote de la courbe X.

§ IIL Des points singuliers de la développée d'une courbe plane.

Lorsque Ton a une courbe G à simple ou à double courbure , on part toujours d'un point m de cette courbe en marchant scnr la courbe dansle même sans, et ainsi sur Tare mi par exemple (^fig. 145).

Ainsi y on dit les points successifs et infiniment voieinsm^ m\ m'\ ni" 9 et

les éléments rectilignes successifs mm\ m'm'\ m"m"\ d'une courbe C. Mais

on est souvent obligé de marcher sur cette courbe C et à partir d'un point tn donné , d'abord sur Tare md et ensuite en sens inverse , et dès lors sur l'arc mi'. « Si l'on n£ considère que des poinU successifs sur la courbe C^ on dira (en marchant dans un sens) : le point m' de l'are i est le successif et infiniment voisin du point m, et l'on dira (en marchant en sens inverse) : le point n' de l'arc i est le successif et infiniment voisin du point m.

Mais lorsque l'on considérera des tangentes ou des normales successives de la courbe C^ on sera obligé de considérer non plus un point m mais un élément rectiligne de cette courbe G et alors on devra dire : l'élément rectiligne de l'arc i successif de l'élément rectiligne mm\ qui sert de point de départ, es t m W ; et l'élément rectiligne de l'arc ^ successif de l'élément rectiligne m%n est ma".

Par la même raison lorsque l'on considérera un plan osculateur ou le cercle oaculateur, d'une courbe C, on devra considérer deux éléments rectilignes suocessîfs ou un élément curpiligneei alors on devra dire : l'élément i»in;i%ne de l'arc d successif de l'élément curviligne mm'm" qui sert de point de départ est m Wm'"i et f^AémtiAewrtUifne de l'arc d' successif de l'élément curviligne mmW e&t m'mn.

Toutes fois on se rapellera qu'on est convenu de dire, pour «abréger le discours, eoÊUtsvire : la tangente, la normale, le plan osculateur^ le cercle osculateur, le rayon de courbure en un point m d'une courbe G et que ce point m est le premier

des poiote successifs et iafinimeut voisins que Ton doil considérer sur la courbe

C, quel que soit le sens {ou la direction) suivant lequel on suppose que l'on marche sur cette courbe G à partir de ce point m. Et ce sera i partir de ce premier point m que nous considérerons les points successifs et infiniment voisins, que la théorie nous amène à employer dans la solution des problèmes que nous venons d'énoncer.

Cela posé :

Examinons les points singuliers que la développée d'une courbe plane peut présenter.

Et d'abord, d'après la théorie des infiniment petits précédemment exposée, établissons les relations qui existent entre la développée D d'une courbe plane C et cette courbe C.

De la développée d'une courbe plane.

Étant donnée une courbe plane C (fig. 145), imaginons ses normales successives

et infiniment voisines N , N', N", N'",

N et N' se couperont en un point o

N' et N'' o'

, N" et N''' o"

Et ainsi de suite.

Puisque les normales sont successives , les points o , o\ o'\ seront des points

successifs et infiniment voisins qui détermineront' une courbe D, pour laquelle les éléments rectilignes et successifs seront oo\ o'o^^

On doit donc conclure de là que les tangentes à la courbe D sont normales à la courbe C , et vice versd.

On donne à la courbe D le nom de développée et à la courbe C le nom de développante.

On a donné, comme on le sait, le nom de développée à la courbe D, parce qu'en enroulant un fil sur cette courbe D et en le tendant suivant une tangente à cette courbe, un point du fil tendu décrit, pendant qu*on déroule le fil de dessus la courbe

D, une courbe B qui coupe sous l'angle droittoutes les tangentes à cette courbe D. C'est ce qui prouve qu'une développée plane peut avoir une infinité de développantes planes et tracées dans son plan .

La courbe D étant Tenveloppe des normales à la courbe C , et de plus la courbe D devant servir à tracer, à décrire la courbe C au moyen du fil enroulé sur elle, on voit de suite que les relations de forme et de position que G et D doivent avoir entre elles, sont celles indiquées parles {fig. 4 46 et 447 ).

Toutefois on doit remarquer, que si les rayons de courbure de la courbe C vont en grandissant pour les points successifs m , m\ m" y m"\ on aura la forme

indiquée {fig. 146 ).

Et que si au contraire les rayons de courbure vont en diminuant , on aura la forme indiquée {fiq. 147 ).

En sorte que c'est toujours la même forme que Ton obtient en supposant qu'à partir d'un point m delà courbe C, on marche sur cette courbe G à droite, auquel cas les rayons de courbure vont en diminuant ; ou à gauche, auquel cas les rayons de courbure vont en grandissant.

Cela posé :

Il est évident que lorsque Ton considérera sur la développante C une suite de

points m , m', ni'^ qui n'offriront aucune particularité, les points o , o", o"',

en lesquels la développée D sera touchée parles normales menées aux points m, m\ m\ à la courbe G , n'oflriront aussi aucune particularité.

Mais, si en un point m, la courbe G offre un point singulier, la courbe D offrira-t-elle aussi un point singulier et en son point o qui est le correspondant du point m ?

Nous allons résoudre en détail cette question et ainsi qu'il suit:

1"" Le point m étant un sommet sur la courbe G, le point o sera sur la courbe D un point de rebraussement de première espèce.

Le point m étant un sommet sur la courbe C, les éléments rectilignes successif

mm'f m'm'\m"m"\ {fig. 160) de cette courbe appartiendront à son cercle osculateur T construit pour le point m.

En ce point m, et dans ce cas particulier (comme on l'a dit ci-dessus) le cercle osculateur a un contact du troisième ordre avec la courbe G.

Les trois normales successives N, N", N'' à la courbe C se coupent donc en un même point o centre du cercle osculateur T.

La courbe G a donc en m ses deux rayons de courbure, successifs et infiniment voisins, égaux.

La courbe G devant être décrite au moyen de sa développée D , cette développée D ne pourra évidemment offrir que les deux formes indiquées par les (fig 148 et 149).

Si les rayons de courbure de la courbe C vont en diminuant de m en p et de m en p', on aura la forme donnée par la (fig. 149). Les arcs oq et oq'de la développée D serviront à décrire respectivement les arcs mp et mp' de la développante G.

Si les rayons de courbure de la courbe C vont en augmentant de m en p et de m en p\ on aura la forme donnée par la (fig. 148 ) , les arcs oq et oq' de la déve-

loppée MrvîroBi à décrire respectiwineiit les arcs mp etmp deia^iéwioppante. lia développée D offrira donc en o un point ée rebrcmuemeni de première eepèoe.

S"" Le point m étant tm point multiple de deuxième espèce sur la courbe C , la normaie au point m de la courbe C aura autant de points de contact ( séparés entre eux) avec la courbe D , qu'il y aura de branches de la courbe C passant par ce point m .

Il suffit de jeter les yeux sur la {fig. I5i ).

3"" Lorsque le rayon de ccnrbwre de éaamrbe G e$t injmi pour k poitU m , ie potnl o de la courbe D est situé à l'infini et déplus cette courba D a suie myvtplole est ee print o et qui nest autre que la normale à la courbe C pour le point m.

Puisqu'un point de la développée est l'intersection de deux normales successives de la développante , la développée aura un point situé à l'infini toutes les fois que deux normales successives de la développante seront parallèles.

Lors donc que la développante C {fig. 152) aura au point in un rayon decourbure infini , auquel cas le cercle osoulateur ne sera autre pour le point m que la tangente G en ce point m , les deux éléments rectilignes successifs mm et mW seront en ligne droite et dès lors les deux normales successives N et N' seront parallèles.

Le point o de la développée D correspondant au point m de la développante C, sera donc dans ce cas situé i f infini.

Et comme les normales à la développante sont tangentes à la dé^feioppée , il s'en suit que la normale au point m de la développante C sera une asymptote à la développée D.

Ainsi : l"" lorsque la courbe C aura un point mépba au point m, la développée D aura la forme indiquée (fig. 153).

Et 2* lorsque la courbe C aura un point d'an/Iea^ double au point m, la développée D aura la forme indiquée {fig. 154).

Dans le premier cas , la courbe D sera composée de deux brax&ches infinies ayant même asymptote N, et le point situé à l'infini sur l'une et l'autre^ branche qui composent la développée!) sera le même.

Dans le deuxième cas, les deux branches de la courbe D auront leur point situé à l'infini , placé l'un à droite et l'autre à gauche de la tangente 9.

Toutes les fois qu'une courbe G offrira un point singulier m pour lequel le rayon de courbure sera nul, il est évident que la développée D, de cette courbe C , passera.par le point m.

Dès lors

i"* Lorsque la courbe C aun peint de rebroussement de première espèce ^en un point m y la courbe D offre en ce point m une forme convexe.

5* Lorsque la etmtbe G a wnfmnt de rebroussetneM de deuxième eepéce en un point m, lacourbe D offre en cepomtm^ m pabude relnroussemeni de deuxième espèce.

&" Lorsque la courbe Caun point d'inflexion simple en un point m , la courbe D offre en ce point m , un point d'inflexion simple.

Il suflSt de jeter les yeux sur les (fig. 155, 156, 157).

Lorsqu'une courbe G est telle qu'elle a quatre sommets comme l'ellipse par exemple {fig. 158 ), alors la développée G offrira quatre points de rebroussement de première espèce.

Gette développée D, ayant une infinité de développantes, on peut {fig. 159) enrouler un fil sur la branche om^ ce fil étant fixé au point o et en le déroulant le point m décrira la courbe nw; en enroulant le fil sur la branche om, ce fil étant fixé au point o\ le point m en déroulant le fil décrira la courbe me'.

Les deux arcs me et me forment une même courbe CG' qui a pour développée la courbe DD'^ et Ton reproduit ainsi une courbe qui a au point m un point aigu.

Ainsi :

T Lorsque la courbe G a un point aigu en un point m , sa développée D passe par ce point m et offre en ce point m un point de rebroussement dé première espèce.

Il est évident d'après la construction de la développée et la manière dont la développée peut reproduire la développante , que si la développante a un point asymptote m , à ce point m correspondra sur la développée un point o situé à l'infini et lequel sera un point asymptote de la développée.

Ainsi :

S"" la développante G ayant un point asymptote situé à distance finie ^ la dévelefpéfs D 0.11» pomtotympioU mÊué à i'vnfim.

Nous avons vu précédemment que Y analyse seule pouvait démontrer l'existence pour certaines courbes planes , d'un point d'arréi, et qu'on pouvait par la géométrie descriptive conclure de Texistence du point d'arrêt, l'existence de certaiaes courbes composée d'une branche infinie, ayant une asymptote à l'un des arcs seulement de cette branche. Or, Ton sait que Vanalyse démontre que pour certaines courbes , il existe en effet un point d arrêt.

En ce point d'arréi la courbe pourra avoir un rayon de courbure ntd. G'estce que l'on peut démontrer par la méthode des projections.

Et en effet :

Goncevons sur le plan horizontal deux courbes C et Ç. ayant un point d'arrél, la première au point m et la seconde au point m,, prenons dans Tespace deux points s et «, pour sommets de deux cônes ayant respectivement pour bases les courbes G et G..

Nous pourrons toujours prendre les points s et <, dans une position telle que la droite qui les unit perce le plan horizontal en un point p situé sur la droite qui unit les points m et m..

Et telle encore qu'ayant transporté le cône («., CJ parallèlement à lui-même jusqu'à ce que son sommet «, coïncide avec le sommet s, la courhe intersection de la nouvelle position du cône («,, G,) par le plan horizontal soit une courbe G, passant par le point m et ayant en ce point m un point d^arréL

Dès lors, la courbe intersection des deux cônes (stG)et(«,CJ sera formée d'une seule branche B qui sera infini et qui aura une asymptote A, laquelle droite A ne sera asymptote qu'à Tun des deux arcs seulement qui forment la branche infinie B.

En projetant la courbe B sur un plan P perpendiculaire à Tasympiote A , on aura une courbe plane B'qui aura un point d'arrêt, et ce point sera celui en lequel le plan P coupe la droite A , et en ce point la courbe B' aura un rayon de courbure nul (*).

Dés lors :

9"" la développée D, dune courbe plane Ça qui a un peint d arrêt, m et qui a en ce point m tin rayon de courbure nul , pasêe aussi par ce point m et a aussi en ce point m tut point d*arrêt (fig. 160^.

Passons maintenant à la démonstration de Fexistence, sur une courbe plane, des trois points singuliers , savoir : points l"" d'arrêt, 2^ derebroussement de pretfôère espèce , 3^ de rebroussement de deuxième espèce j pour lesquels le rayon de courbure est infini.

XII. Une courbe plane G peut avoir un point d'arrêt pour lequel le roj^ de courbure est infini.

D'après ce que nous avons dit ci-dessus, il existe des courbes D(fig. iSl), formées d'une seule branche infinie et ayant une asymptoteN, qui n'est asymptote qu'en un seul point o (situé à l'infini) de la branche infinie D.

Dès lors , considérant cette courbe D comme une développée , nous trouverons pour développante une courbe G ayant un point d'arrêt en m, et ayant en ce point m un rayon de courbure infini.

XIII. Une courbe plane G peut avoir un point de rebroussement de pretnière espèce pour lequel te rayon de courbure est infini.

(*) Foir ce qui a été dit au sujet du point aigu , page 413 de ce chapitre.

D'après ce qui a été dit ci-dessus , on sait que Ton peut obtenir une courbe D {fig. 462) composée d'une seule branche infinie dont les deux arcs ont une même asymptote N, les points o si tués à l'infini étant à une distance infinie l'un de l'autre (cette distance étant comptée sur la droite N).

Si l'on considère cette courbe D comme une développée, on obtiendra pour sa développante une courbe C offrant un point m de rebroussement et de première espèce; ce point m sera situé sur l'asymptote N , et en ce point m la courbe C aura un rayon de courbure infini.

XIV. Une courbe plane G peut avoir un point de rebroussement de deucdème espèce pour lequel le rayon de courbure est infini.

On sait que l'on peut obtenir (fig. i63) une courbe D composée d'une seule branche infinie , ayant une seule asymptote N , et les points o situés à l'infini étant superposés.

Dès lors, regardant la courbe D comme une développée, on obtiendra pour sa développante une courbe G offrant un point de rebroussement de deuxième espèce; ce point m sera situé sur l'asymptote N et en^ce point m la courbe G aura un rayon de courbure infini.

XV. Une courbe plane peut avoir un point de rebroussement de seconde espèce pour lequel le rayon de courbure a une* valeur finie.

Concevons une courbe ( D , D' ) ayant au point o un rebroussement de seconde espèce et ayant la droite N pour tangente en m {fig. 164).

Si l'on considère la courbe (D, D') comme une développée, on pourra toujours, en considérant un fil tendu suivant la droite N et fixé en osur la courbe (D, D') , enrouler ce fil sur l'une et l'autre branche D et D', et un point m de ce fil décrira une courbe (G, G") qui offrira en m un point de rebroussement de seconde espèce.

Dans ce qui précède nous avons démontré l'existence de^ onze premiers points singuliers pour une courbe piano, en considérant cette courbe plane comme la projection d'une courbe à double courbure ; et la seule hypothèse que nous ayons faite et dont nous avons démontré la réalité, ou, en d'autres termes, l'exactitude , c'est qu'une courbe à double courbure pouvait avoir, en un de ses points m , un rayon de courbure infini , ou , en d'autres termes , avoir en ce point m deux éléments rectilignes successifs en ligne droite, ou, en d'autres termes encore, avoir en ce point m un contact du second ordre avec sa tangente.

Et l'existence des quatre derniers points singuliers pour une courbe plane a été démontrée , en se servant de la développée de cette courbe plane.

Voyons , maintenant , en passant de ce qui est sur le plan à ce qui peut ètr^

daos Vespacey et ainsi de la courbe plane G* à la courbe à double courbure G 4ont la courbe C* peut toujours élre supposée la projection , quel genre d'inflexion la courbe à double courbure doit présenter en un point, lorsque ce point se projette sur la courbe plane en l'un des quatre derniers points $inguliei^s que nous avons examinés ci-dèssus,n**XII, XIII, XIV et XV.

5 IV

D'après la théorie des infiniment petits exposée ci-dessus , on peut dire :

1 "* Étant donnée une courbe G à double courbure , si Ton projette ortbogonalement cette courbe sur un plan horizontal H , on aura une courbe plane G^.

Les points successifs et infiniment voisins m, m\ )n'\ m'"j de la courbe G

se projetteront sur la courbe G* en des points m*, m'*, m''*, m'"*, qui seront

aussi des points successifs et infini ipent voisins de la courbe plane G^.

S"" Les tangentes de la courbe G se projetteront sur le plan H suivant des tan* gentes à la courbe G*; et les projections des tangentes successives de la courbe G seront des tangentes successives pour la courbe G*.

3*" Deux tangentes successives et 9' de la courbe G se coupent en un point m de celte courbe G , dès lors les projections ^ et 9'* de ces tangentes 6 et 9' se couperont en un point m* qui appartiendra à la courbe plane G^,^et ce point m^ sara la projection du point m de la courbe à double courbure G.

Gela posé :

Les tangentes 9^ et O'^ comprendront entre elles un anj^ qui ne s^a nul qu'autant ou V que ces deux droites G^ et 9'^ seront superposées, qu'autant dès lors que les tangentes 9 et 9^ à la courbe G seront situées dans un plan perpendiculaire au plan H de projection , ou 2* que ces deux droites €* et 9'* seront parallèles.

Dans le premier cas : la courbe G* aura au point m^ un contact du second ordre avec sa tangente.

Dans le deuxième cas : la courbe G^ aura le point m^ situé à l'infini et la tangente 9* sera une asymptote de cette courbe G*.

Le plan O passant par deux tangentes successives de la courbe G , ne sera autre que le plan osculateur au point m à cette courbe G.

Mais il faut distinguer deux cas de superposition pour les droites ¥" et 9'^.

D'abord, celui où l'on ne considère que les parties des tangentes 9 et 9' qui appartiennent à une des deux nappes ou supérieure on infériettre de la surfoee développable 1 dont la courbe G est l'aréte de rdbroussement.

Alors ces parties des tangentes et 0' se superposent réellement» elles ne se placent pas bout à bout sur une même ligne droite.

Ensuite 9 le cas où Ton considère pour la tangente 9 sa partie appartenant à l'une des nappes , la supérieure ( par exemple ) de la surface 2 et pour la tangente G', sa partie appartenant à la nappe inférieure de la surface 2 , alors les projections sur le plan H de ces parties considérées sur les tangentes 9 et 6^ se placeront bout à bout sur une même ligne droite.

4* Lorsque Ton donne une courbe à double courbure C et qu'on la regarde comme engendrée par le mouvement de translation d'un point , on peut toujours supposer que le point mobile s'est mû sur cette courbe C, dans un sens ou en sens contraire.

De sorte, que si Ton prend deux points successifs et infiniment voisins m et m' sur la courbe G et que l'on mène perpendiculairement à l'élément rectiligne

mm' le pian normal N, ce plan divisera la courbe C en deux arcs d et d^ qui se

souderont l'un à l'autre par l'élément mm\ et Ton pourra supposer que la courbe G est engendrée par deux mobiles placés l'un en m et l'autre en m' et marchant en sens inverse l'un de l'autre , pour parcourir le premier l'arc d et le second l'arc d'.

Et imaginant les points successifs m\ m'\ m"', de l'arc d' et les points successifs m, m/, m!\ de l'arc i , lorsque nqus mènerons une tangente au point

m' de d^, nous considérerons seulement la partie de cette tangente qui est le

prolongement de l'élément rectiligne mW du côté du point m'\ prolongement qui appartient à la nappe supérieure de la surface développable 2 dont la courbe C est l'arête de rebroussement ; et lorsque nous mènerons une tangente an point m,' de la courbe d , nous considérerons seulement la partie de cette tangente qui eai le

prolongement de l'élément rectiligne mjV' du côté du point m", prolongement qui appartient à la nappe inférieure de la surface 2.

S"" Si Ton a une surface gauche $ et que l'on mène un cylindre K tangent à cette surface * suivant une courbe X; si l'on coupe ce cylindre K par un plan H perpendiculaire à ses génératrices droites , on aura une courbe X* qui sera sur le plan H la projection orthogonale de la courbe X.

Les génératrices droites successives et infiniment voisines G, G', G", G"\

de la surface réglée * se projetteront sur le plan H suivant des droites G*, G**, G''*, G'"\... . qui seront les tangentes successives et infiniment voisines delà courbe X*.

Les droites G*, G'*, G"*, G'"*, se couperont deux à deux et successivement

en des points qui seront les points successifs et infiniment voisins de la courbe X^.

Ainsi G* coupera G'^ en un point m^ G'* - G''* - m"*

Et ainsi de suite.

Et les points tn^j m"^^ m"^^ seront les points successifs et infiniment voisins de la courbe X^.

Lors donc l"" que deux génératrices successives G et G' de la surface réglée $ se projetteront sur le plan H suivant deux droites G* et G'* parallèles entre elles , ces deux droites G^ et G'^ seront successives et infiniment voisines et se couperont en un point situé à Tinfini et qui appartiendra à la courbe X*.

La courbe X* aura donc une branche infinie et aura pour asymptote la droite G*.

Étant donnée une surface gauche $ on peut toujours donner au plan H et par suite au cylindre K des positions telles que ce que nous venons de dire puisse avoir lieu et en effet :

Une surface gauche étant une surface réglée telle que deux génératrices droites successives ne se coupent pas y on pourra toujours, étant données deux génératrices droites successives G et G' de la surface 4, faire passer par G un plan L et par G' un plan Vy de telle manière que ces deux plans soient parallèles entre eux ; ensuite menant un plan H perpendiculaire à ces deux plans L et L', le cylindre K aura ses génératrices perpendiculaires au plan H.

Dèslors, le cylindre K, ainsi construit, touchera la surface $ suivant une courbé X dont la projection X^ sur le plan H aura pour asymptote la droite G^ projection de la droite G sur le même plan H.

Lors donc 2"* que deux génératrices successives G et G' de la surface réglée 9 se projetteront sur le plan H suivant deux droites G* et G'^ superposées et ne faisant alors qu'une seule et même droite G\ alors il est évident que les trois points successifs m y m'y m' de la courbe G se projetteront sur le plan H suivant trois points m*, m'*, m"* en ligne droite.

Dans ce cas la courbe X^ offrira au point m^ un rayon de courbure infini. Mais dans ce cas , on peut se demander : comment la surface gauche <b devra^'t-elle être constituée tout le long de la génératrice G ? C'est ce que nous allons examiner.

Les deux génératrices droites successives d'une surface gauche ne pouvant être situées dans un même plan , ce qui a été dit précédemment ne pourra avoir lieu , qu'autant que la surface 9 sera développable tout le long de la génératrice G , car les deux droites successives G et G' ne pourront se projeter sur le plan H

suivant une seule et même droite qu'autant qu'elles seront dans un même plan , qu'autant dès lors qu'elles se couperont, ce qui est le caractère distinctifde la surface développable.

Remarquons que le plan T passant par G et l'élément rectiligne mm est tangent au cylindre K; que le plan T' passant par G' et l'élément rectiligne mW est tangent au cylindre K et que ces deux plans T et T^ sont deux plans tangents successifs du cylindre K. Il faudra donc, pour que les projections des droites G et G' se confondent, que les deux plans T et T^ se confondent aussi ; par conséquent il faudra que les trois points successifs m, m\ m" de la courbe X soient dans un même plan T, lequel sera le plan osculateur de la courbe X au point m.

6* Étant donnée une courbe à double courbure G, on peut en chacun de ses points successifs et infiniment voisins : m, m\ m" y m'\ mener un plan osculateur.

On aura donc les plans osculateurs successifs.

O passant par les points m, m% %n

Oit U /// X

Et ainsi de suite.

On peut en chacun des points successifs de la courbe G mener un plan tangent perpendiculaire au plan qui est osculateur au même point ; on aura donc les plans tangents successifs.

T passant par les points m et ni

r — m et ni'

T — ni' et ni" Et ainsi de suite.

On peut en chacun des points successifs de la courbe G mener un plan normal ; on aura donc les plans normaux successifs.

N perpendiculaire au point m à l'élément rectiligne mm'

N" — ni' — mm

Et ainsi de suite.

Les plans O, T et N se couperont deux à deux suivant trois droites rectangulaires entre elles.

Savoir :

l** O et T suivant une droite e tangente en ma la courbe G ; O'et T' suivant une droite 8' tangente en m' à la courbe G;

Et ainsi de suite.

Les droites 9 , fl', 0", seront les tangentes successives de la courbe C.

S"" et N suivant une droite p sur laquelle sera compté le rayon de courbure de la courbe G au point m.

0' et N' suivant une droite p', etc. ;

Et ainsi de suite.

Les droites p, p', p'', seront*les directions des rayons de courbure successifs de la courbe C.

3° T et N suivant une droite Z passant t>ar le point m T' et N' suivant une droite Z' passant par le point m';

Et ainsi de suite.

Gela posé :

Toutes les tangentes B, B\ B'\ formeront une sur&ce gauche A. ; et toutes

les droites Z, Z\ Z", formeront une surface gauche A.

Les deux surfaces A. et A se couperont rectaîigulairemënt entre elles suivant la courbe à double courbure G.

Gela posé :

Imaginons dans Fespace une courbe à double courbure X.

Gonsidérons les points successifs m^rn^ m"^ m"\ de cette courbe X , et au

point fil construisons le plan oscuiaieur O de cette courbe X> le plan normal N et le plan tangent T perpendiculaire afu rayon de courbure ^ de cette courbe X potir ce même point m.

Les deux plans N et se couperont suivant le rayon de courbure p.

N et T suivant la tangente G en m à la courbe \. O et T suivant la droite Z qui sera une des normales de la courbe X pour le point m.

Gela dit :

Projetons la courbe X sur le plan N (pris pour plan horizontal de projection) nous aurons la courbe X*.

Goncevonsensuite pour la courbe X, les plans osculateurs successifs 0, 0', O"",

et les plans normaux successifs N , N", N'', et les plans tangents successifs T,

Nous aurons les rayons de courbure successifs p , p", ^'\ les normales successives Z, Z', Z'', et les tangentes successives 0, 6', fl'*, à la coufbe X.

Par chacune des tangentes successives 9 , B', B'\ de la courbe X, menons un

plan P perpendiculaire au plan N sur lequel la èourbeXse projette en la courbe X*.

Nous aurons une suite de plans P, F, P'', P"', et nous supposerons que le

premier plan P qui passe par la tangente B nvefnéé au premier point m de la courbe X , se confond avec le plan T ; hypothèse que rien n'empêche d'admettre.

Ces plans P, P', P"', seront les plans tangents successifs du c^flindre K qui

projette sur le plan N la oo.urbe X en la courbe X^.

Le plan P étant un plan tangent à la courbe X au point m , si par ce point m on mène une droite G perpendiculaire ii ce plan P , cçtte droite G sera normale à la courbe X et sera dès lors située dans le {dan N nornpal au point m à cette courbe X.

Concevons unesuite de droites G, G^ G'', G'",.... menées respectivement per*

pendiculaires aux plans P, P", P'"^ f"\ et en les points respectifs, m, m, m'\

m"\ de la courbe X.

Ces droites G , G', G"", étant perpendiculaires aux plans P, P", f, se

projetteront sur le plan N en des droites G^, G'^, G''\ qui seront perpendiculaires aux traces $ur le plan N des plans P , f\ f\ ..... mais comme ces plans P, P^

P'", projettent orthogonalement sur le plan N , les tangentes 0, B', B'\ de

la courbe X , il s'ensuit :

Que les droites G* et 8*, G'* et 9'*, G''*et 0"* seront perpendiculaires entre elles.

Par conséquent les droites GS G'\ C^^ seront des normales à la courbe

X\ elles envelopperont donc comme tangentes la développée D de la courbe X^.

Les droites G^ G', G"', G''\ formeront une surface gauche <{/, et comme les

droites G, G', G'', sont parallèles au plan N, ce plan N sera le plan directeur

de la surface <{/•

Avant d'aller plus loin nous devons faire remarquer que nous avons dit , lorsque nous avons examiné les points singuliers d'une courbe plane, que la courbe X pouvait se projeter sur un plan H (passant par son rayon de courbure p) suivant une courbe X^ ayant au point m (pai^ lequel on a mené ce plan H)^ ou 1* la droite Z, ( intersection du plan H et du plan T tangent à la courbe et perpendiculaire à p) pour tangente et la droite p pour normale, ou 2"* la droite Z (intersection du plan H , qui n'est autre dans ce cas que le plan normal N , et du plan T ) pour normale et la droite p pour tangente*

Dans le premier cas , le rayon de courbure au point m de la courbe X^ est fini , parce qu'alors la méthode des projections n'est pas en défaut, puisque lorsque l'on considère les projections de la courbe X et de son cercle osculateur r au point m, ce cercle r se projette sur le plan H (qui est oblique dans ce cas au plan osculateur 0) suivant une ellipse.

Mais dans le deuxième cas , la méthode des projections est en fiéfeut, puisque la droite p n'est plus normisde , mais tangente en m à la courbe X\ le plan H étant dans ce cas supposé être le jj^an N norpial au point fn à la courbe X»

Dans ce second cas , que nous supposerons exister pour la courbe X*, en vertu d' unecertaiQemanîèred'étre4ecettecourbeX> nous devrons, puisque]esrôIes(pour

le point m ) sont intervertis entre la normcUe et la tangente, prendre pour les deux premiers plans successifs P et P', le plan osculâteur O et pour les deux premières droites successives G et G' nous devrons prendre, savoir : pour G passant par le point m la droite Z et pour Cf passant par le point ml une droite Z' parallèle à Z , et la projection de la droite Z' sur le plan N se confondra avec la droite Z.

En sorte que les normales successives de la courbe >*, seront les droites Z,

G"*, G'''*, en remarquant que les deux premiers points successifs m et m' de

la courbe X se projettent sur le plan N en un seul et même point qui n'est autre que le point m.

Cela posé :

Concevons une courbe à double courbure C et désignons par m , m', m'\ tn'\ ses points successifs et infiniment voisins.

Prenons le plan N normal à la courbe C au point m.

Nous avons en m la droite Z

en m la droite G'

en m" la droite G"

en m'" la droite G'" Et ainsi de suite.

Et toutes ces droites seront parallèles au plan N. Cela posé:

l"" Concevons le plan O osculâteur en m à la courbe C, ce plan contenant dès lors les trois points successifs m , m', m" de la courbe C.

La droite G' sera perpendiculaire à l'élément rectiligne mW

La droite G"" sera perpendiculaire à l'élément rectiligne m"ni" La droite G'" sera perpendiculaire à l'élément rectiligne m'"m^

Dès lors la droite G' sera la seule qui sera perpendiculaire au plan 0, les deux autres droites G^' et G^'' seront obliques à ce plan 0.

Nous pourrons donc en faisant mouvoir sur les trois droites G', G"', G''' une droite Y , engendrer un paraboloîde hyperbolique 2, osculâteur à la surface gauche 2 tout le long de G'.

Dès lors, en construisant un cylindre K. tangent au paraboloîde 2., les génératrices de K, étant perpendiculaires au plan N, ce cylindre K, touchera ce paraboloîde 2, suivant une parabole X., qui aura un contact du second ordre avec la courbe X, contact de la surface réglée 2 et du cylindre K.

Or, les courbes X et X, se projetteront sur le plan N suivant deux courbes X^ et X.^ qui auront nécessairement au point m un contact du second ordre.

Ces deux courbes X* et X.* auront donc au point m même rayon de courbure^

or , le rayon de courbure de X.* a une valeur finie pour le point m , donc la courbe X^ aura au poinl m un rayon de courbure qu' sera fini, ou en d'autres termes qui ne sera ni nul ni infini.

2* Pour que la droite C soit parallèle à la droite G^ il faudra que rélément recli-

Ugne fn"m" soit dans le plan O ; il faudra donc dans ce cas que le plan ait un contact du troisième ordre avec la courbe à double courbure C et au point m.

Si G' et Xi" sont parallèles , elles se projetteront sur le plan N suivant deux droites Z et C^qui seront parallèles et qui se coupant dès lors à l'infini nous indiquent que la droite Z sera asymptote à la développée de la courbe X^; dans ce cas la courbe X* aura donc un rayon de courbure infini pour le point m.

Dans ce que nous venons de dire, nous avons eu égard à la relation de position qui pouvait exister au point m entre la courbe à double courbure G et son plan osculateur en ce point m.

Or, il est évident que cette relation doit avoir une ii^uence sur les réiuUats géométriques, en effet :

Nous savons que la courbe G ne peut affecter que deux manières d'être par rapport à son plan osculateur O en le point m.

i"" Gette courbe G peut être située (avant et après le point m) d'un même côté du plan 0.

2^ Gette courbe G peut être située, avant le point m, au-dessus du plan O et après le point m au-dessous du plan O, ou vice versa.

Dans le premier cas, nous avons vu précédemment que la courbe G se projetait, sur son plan normal N mené au point m, suivant une courbe offrant au point m un point de rebroussement de seconde espèce.

Dans le deuxième cas, nous avons aussi vu précédemment que la courbe G se projetait , sur son plan normal N mené au point m , suivant une courbe offrant au point m un point de rebroussement de première espèce.

Et nous avons aussi vu que ces points de rebroussement ne pouvaient exister qu'autant que la courbe à double oourbure G était située avant et après le point m d'up même côté par rapport au plan T, qui passant par la tangente à oelte courbe G pour le point m, était (ce plan T ) perpendiculaire au plan oseulaleiir O.

Et nous avons encore vu que si la courbe à double courbure G était, avant le point m , située à droite du plan T et après le point m située à gauche de ce plan T (ou vice versa), la courbe G" projection de la courbe G sur son plan normal N , offrait au point m un point d'inflemon si la courbe G était avant le point m audessus de son plan osculateur O (en ce point m) et après ce point m ao^essoM de ce plan \ et que 1^ courbe G" offrait au point m un point ot^n, si la courbe G

était aTanl et après le point m au-dessus on m-desMus de scm plan osculateur en ce point m.

Rappelons-nous, aussi , que par la considération de la développée D d'une courbe plane X, nous avons reconnu que :

l"* & (a courbe X a en un de ses points m un point de rebrau$9emem de premèire espèce^ elle peut avoir en ce point m un rayon de oourbvre nul ou infini y mais jamais yijiî.

T Si la courbe X a en un de ses points m, un point de relfrom$emeni de seconde eipèce^ elle peut avoir en ce point m un rayon de courbure ntd oq fini on infini.

3' Si la courbe X a en un de ses points m un point dHnflexion simple, elle aura toujours en ce point m un rayon de courbure nul.

À" Si la courbe X a en un de ses points m un point dUnflexim double , elle aura ionjùurê en oe point m un rayon de courbure ii^ni.

Nous devons donc conclure que la courbe C" projection de la coirbeè double courbure C sur son pian normal N , ne pourra avoir au point ni un rayon de courbure fini , qu'autant que cette courbe G' offrira en ce point m un point lie rebrousêement de seconde espèce , et que la courbe C" ea ce point m de rebroussemeni aura un rayon de courbure fini, toutes les fois que la courbe à double courbure G aura en ce même point m un rayon de courbure /ni.

Dans les considérations géométriques précédemment développées, nous avons supposé qu'une courbe à double courbure G pouvait avoir en un de ses points m un contact du troisième ordre avec son plan osculateur. O en ce point m; noua allons justifier l'exactitude de cette hypothèse et de la oMmière suivante :

Nous avons vu en considérant la développée D d'une couri[)e plane G" que cette courbe plane pouvait avoir en un de ses points un point de rebroussemeni de pre^ mière et de deuxième espèce , et pour oe point un rayon de courbure infini , et nous venons de démontrer ci^dessus que pour que le rayon de courbure soit it^ la courbe à double courbure G ayant C" pour projeotion, doit avoir aufioint m un contact du troisième ordre avec son plan osculateur; nous pouvons donc affirmer qu'une courbeà double courbure peut en un de ses points avoir un œntact du troisième ordre avec son plan osculateur , et par suite et dans ce tais avoir un contact du troisième ordre avec une section conique.

Nous: avons vu qu'une courbe à double courbure C pouvait avoir un rajon de courbure îq/{ift en un de ses points m, ou en d antres a^oir un oontact du second ordre avec sa tangente en ce point m.

Nous avons vu «usai qu'une courbe it double courbure C pouvait avoir un rayon

de courbure nul en un de ses points m , et que cela avait lieu lorsque ses projections C et C* avaient l'une et l'autre un rayon de courbure nul en ce point m.

De^M qui préeMe on doit oonciere : qu'on ne peut pas prendre deux courbes Cet G* ayant l'une un rayon de- courbure mrf et Tantre un rayon ide coufi>ure /mi pour proteclMHds d'une courbeà double courii>ure C, parée qu« cw condUtons sont incompatibles en projections.

•Nous pouvons, en nom» riiumant, énoncer ce qui suit :

1** Toutes les fois qu'une courbe à double courbure C a un rayon de courbure nrd ou infini en un de ses points m , sa projection (T sur son plan normal au point m, aura en ce point m un rayon de courbure nul.

2* Toutes les fois qu'une courbe à double courbure C a un rayon de courbure fini en un de ses points m , sa projection G' sur son plan normal au point m, aura en ce point m un rayon de courbure yinf si cette courbe C" offre au point m un rebroussement de seconde espèce.

3^ Toutes les fois qu'une courbe à double courbureG a en un de ses points m un plan osculateur qui a avec elle et en ce point m un contact du troisième ordre , ou en d'autres termes y toutesles fois qu'en un point m d'une courbe à double courbure G on pourra construire une section conique ayant en ce point m un contact du troisième ordre avec cette courbe G , la projection G" de la courbe G sur son plan normal en m, aura en ce point m un rayon de courbure infini.

Nous avons vu que lorsque l'on avait une courbe i double coubure G composée d'une branche infinie et ayant une asymptote A aux deux arcs composant cette branche infinie, si l'on projetait cette courbe G sur un plan N perpendiculaire à l'asymptote A et coupant cette droite A en un point r, on avait une courbe fermée G" passant par le point r.

Ge qui précède nous permet de démontrer que la courbe G" a toujours au point r un rayon de courbure nul.

Et en effet :

Désignant par m le point situé à l'infini sur la courbe C, il est évident que pour ce point m le rayon de courbure de la courbe G esi infini; l'asymptote A peut donc être considérée cooune étant le cercle osculateur en m à la courbe G.

GeUe courbe G sera prcgeiée sur tout plan passant par la droîia A suivant une courbe ayant A pour agymptole , ayant dès Ws un rayjoa de ^iourbuM ta/Eat pour son point m situé à l'infini.

L'asymptote A se projetant en ^entier en le jpwàl r et sur le plan JK, le rayon de eourbure de Ç" sera im/ an ce point m.

La wrface du jUet ée vis carré esi la ^euU narjaoe faucke qui jcmiêêe Je h f^^ remarquable d'avoir en chacun de ses points de» rayon» ée couHml^ éfoux.

Désignons par 2 une surface gauche; par G, G', G'^ G^'\ ses géoératrtces droites successives el infiniment voisines.

Trois droites à distance finie ou à distance infiniment petite les unes des autres déterminent le mouvement d'une génératrice droite.

Ainsi, en faisant mouvoir une droite sur les trois génératrices successives G, G\ G'' de la surface 2 , on engendrera une surlace gauche et du second ordre S laquelle sera osculatrice à la surface 2 tout le long de la génératrice G , puisqu'elle aura en commun avec cette surface deux éléments superficiels successifs qui seront compris, le premier entre G et G' et le second entre G' et G"'.

On sait que :

V Si les trois droites G^ G", G'" sont parallèles à un plan P, la surface S sera un paraboloide hyperbolique.

T Si les trois droites G, G', G'' ne sont pas parallèles à un même plan , la surface S sera un hyperbolaide à une nappe.

L'on sait encore que si l'on veut construire la surface S du second ordre osculatrice tout le long d'une génératrice G d'une surface réglée 2, il faut mener en trois points arbitraires m, m, , m, deG les plans T, T,, T. tangents à la surface 2; chacun de ces plans coupera la surface 2 suivant une courbe, savoir :

Le plan

T suivant une courbe

7 ayant en

m une tangente

Et en faisant mouvoir la droite G sur les trois tangentes 6, 0,, 9.9 on engendrera la surface osculatrice demandée S.

Cela posé :

l"" Si Ton considère un paraboloide hyperbolique, on remarque que les diverses génératrices du système 9 , ne coupent point toutes sous Tangle droit une génératrice quelconque du système G , à moins que le paraboloide ne soit rectangulaire, c'est-à-dire n'ait ses deux plans directeurs perpendiculaires enti*e eux et que, de plus, (a génératrice G considérée ne soit celle qui passe par le sommet de cette surface.

Ainsi, lorsque l'on a un paraboloide hyperbolique rectangulaire S, si Ton construit le plan tangent T en son sommet m, ce plan T coupe cette surface S

suivant deux génératriceB droites G et qui se coupent en ce point m sous Tangie droit et toutes les génératrices 9,, 6., 6^ etc. du système 6 coupent la droite G sous Tangle droit.

2* Si Ton considère un hyperboloide à une nappe S, on sait que toutes les génératrices droites du système ne coupent pas sous l'angle droit une génératrice quelconque du système G.

Et en effet :

Concevons T hyperboloide à une nappe et non de révolution S ; désignons son axe non transverse par A et son cône asymptote par G.

Menons un plan P perpendiculaire à l'axe A, il coupera le cône G suivant une ellipse E.

Désignons par o le centre de la surface S ; ce point o sera le sommet du cône G.

Gonsidérons une génératrice droite G de la surface S , cette génératrice aura pour parallèle sur le cône G une droite K.

Menons par le point o un plan Q perpendiculaire à la droite K, ce plan Q pourra avoir trois positions spéciales par rapport au cône G.

i* Il pourra le couper suivant deux génératrices droites I et V.

2* Il pourra lui être tangent suivant une génératrice J.

3* Il pourra ne le couper qu'en son sommet o.

Dans le premier cas, il existera sur la surface S deux génératrices du système , savoir : 8 et O' respectivement parallèles aux droites I et l\

Dans le deuxième cas , il existera sur la surface S une seule génératrice 9, du système 9 parallèle à la droite J.

Dans le premier cas, les droites 9 et 9' couperont la droite 6 sous l'angle droit.

Dans le deuxième cas, la droite 9, coupera la génératrice 6 sous l'angle droit.

Et dans le troisième cas , il n'existera sur la surface S aucune génératrice du système 9 , coupant la génératrice 6 sous l'angle droit.

Cela posé :

On sait que pour un point m d'une génératrice droite 6 d'une surface réglée 2, on peut toujours construire un paraMMe hyperbolique O , osculateur par son sommet à la surface 1.

Ainsi donc , pour que la surface O se trouve avoir au point m des rayons de courbure maximum et minimum égaux , il faudra que ce paraboloide O soit rectangulaire.

Et pour que la surface réglée 2 ait en tous les points m,m^,m^, etc. de sa génératrice droite G des rayons de courbure maximum et minimiun égaux, il faudra que les paraboloides , O,, 0,, etc. (respectivement osculateurs par leur sommet à la surface 1 et aux pointa m, m,, m., etc. ) soient tous rectangulaires.

Dès Iota i\ famlFt que 4eft (ilaos langonts T, T,^ X,, etc., mraésà/la iiiri»e £ et aa\ pointe m , m. , m,, etc., de b génératriee G ooui^eiit inespoctivaniiii eatte

surface 1 suivant des courbes 7 » y., y, ^ etc., telles que leurs tangentes 6 en m^ 9, en m, , 6, en m, , eic^ , coupent sous un angle droit la génératrice G.

Et comme 4 , 8. , 6. , seront les géaératrioe» du seoowl système de la eurfiiea réglée et du second ordre S , laquelle est osculatrice à 2 tout.ielongjiefG^iQDivoit que ces droites 3,0., 9,, etc., élant toutes parallèles à un même plan v formeront un paraboloide hyperbolique S qui eera Ttfqtangubire.

Ainsi la surface réglée 1 «qui jo«rira4le la prof)rfiété<ya'Voir 'en^checun éeses points d^s rayojQkS de coui^bure égaux , •aora aédossair^eaient un pkn dÎDestenr.

Ainsi toutes les génératrices G , G', G'\ etc., de la surface 2 seront parallèles à UB plan X.

Cela posé;

Le paraboloide osculateur S ayant en commun avec la suriaca céglée/2^ les trois génératrices G, G', G'', aura pour plan directeur un plan X.

Dès lors, il existera parmi les génératrices du système de ce pacaboLoide S une certaine génératrice qui sera perp^Kliculaireau.plaja X; désignons ceitedroite par S«.

Si après avoir considéré le paraboloide JS. osculateur tout. le leng deG, jeeonsidère le paraboloide S' osculateur tout le iong de G' génératrice sucçessÎTe de G, je vois que les parabdoides S et S' auront en communies généfadrîces G' et G", par conséquent la droite g, s's^puiera en môme temps sur les génératrices successives G, G', G", G"^

Et en poursuivant le même raisonnement, on voit que la surface 2 dbit avoir nécessairement pour direcirice du mouvement de sa génératrice droite G , une droite 9« perpendiculaire à son plan dir^cletcr X.

Ainsi la surface 2 sera un Mnoid^.

Gela posé :

Lorsqu'on a deux surfaces r^lées Set 2 ayant une oscolalîon du second onlre suivant une génératrice droite G , si Ton mène par un point m de Gunpian qnei* conque R, ce plan coupera la surface S suivant une courbe d et Ja^urfaceXsnU vant une courbe .6, et ces deux courbes id et Saurant an moàns, et nécesmineynMi, un contact du premier wdrenu point m.

Par conséquent, si je mène au point m le plan T tangent à la surfaces^ ne plan

coupera la surfaoe 2 suivant une ceurbe:;» et la surfiim paraboloide S sormut une

génératrice ifaroile et du secondeystème 8 , et Jaidreite6eera.tai^[enteè la oonriie y au point m.

Ûr^ si l'on prend in^e sncfaoe de.filettietmmnréiiftÊ^^ désigne par M>nyim

un piM X pour i4ui difwteup et une droite 6» perpendicuteire au plan X pour direcirke^ on sait que si l'on coupe cette surface Ml par un cylindre de révolution Y ayant 9^ pour axe , la courbe X que l'on obtiendra sera une hélice.

Considérant une génératrice droite G de la surface M, cette droite G coupera iar GoarJl)e X en un point m, et si en ce point m on mène un plan T tangent à la surface M, on sait que ce plan T sera le plan osculateur de l'hélice X; et de plus l'hélice X a pour tangente en m une droite 6 coupant rectangulairement ta droite G.

Il est donc évident , par ce qui précède , que le paraboloîde S osculateur à la surface M tout le long de la génératrice droite G sera rectangulaire.

Et dès lors il est démontré que la surface du filet de vis carré jouit de la propriété d'avoir en chacun de ses points des rayons de courbure égaux (*).

Démontrons maintenant que c^te surface est la seule entre toutes les surfaces réglées qui jouisse de cette propriété remarquable.

Nous avons vu que la surface réglée 2, pour jouir de la propriété énoncée, devait avoir un plan diredeur X et une droite directrice 6"" perpendiculaire au plan X.

Si donc nous pouvons construire un filet de vis carré M osculateur tout le long de la génératrice G à la surface donnée 2 , nous serons assuré que la surface 2 a des rayons de courbure égaux en chacun despointsde sa génératrice droite G.

Or» pour que cela ait lieu, il faut que le cylindre de révolution Y coupe la surface 2 suivant une courbe y et la surface M suivant une hélice X et la droite G en un point m , de telle sorte que les courbes y et X aient au point m une osculation du second ordre.

Il faudra donc, en considérant trois génératrices successives G, G\ G'' de la sur&ce 2| lesquelles couperont la courbe y, et respectivement , en les points m,

m'y rn\ il faudra donc, dis-je, que les éléments rectilignes successifs mm\ mVde 1» court>e y lassent des angles égaux avec la droite 0p; désignons cet angle par a.

Lorsque nous coasid^^rons hi géinératriM G - successive de G et appartenant à la surfera 2 , il faudra que nous piiissioos construire un fikl de vis carré M' osculateur à 2 tovt le long de 6\

Et l'on voit que les courbes y et X' (eette courbe X' étant Fhélice intersection du cylindre Y et de la surface M') devront être osculatrices l'une à l'autre; mais comme y et X' seront en effet osculatrices l'une à l'autre au point m^ et comme

(*) Yoir le BulUm de la. SaeèM phikm%MêàpÊt

dn n juin ISSS.

aussi les surfaces M et M' auront en commun les géoératrices suoo^sûvas G' et G"y il s'ensuit que rélément rectiligne m'W^ successif de Téléiiimit recCiligne mm" de la courbe y devra faire avec la droite 9o un angle qui sera encore égal

Par conséquent, la courbe y ne sera autre qu'une hélice tracée sur le cylindre Y,

puisque ses éléments rectilignes succesifs mm\ m'm \ mm\ etc. feront tous le même angle a avec Taxe S^ du cylindre Y.

Et dès lors il se trouve démontré , savoir : </iie la surface du fila de vi$ carré e$t la seule surface gauche qui jouisse de la propriété <f avoir en chacun de ses points y des rayons de courbure maximum et minimum qui soient égaux.

MoNGE essaya de résoudre la question précédente, lorsqu'il professait à FÉcole polytechnique (on peut voir les feuilles qui à cette époque furent distribuées aux élèves); alors il ne parvint pas à la solution du problème; plus tard, dans un mémoire publié dans les actes de l'Académie des sciences, il démontra que la surface du ûlet de vis carré jouissait de la propriété énoncée , mais il ne démontra point que cette surface était la seule entre les surfaces réglées qui pût jouir de cette propriété remarquable.

MoMGE, dans ses diverses recherches, employa V analyse; depuis on a démontré par la géométrie descriptive que la surface du filet de vis carré jouissait, en effet, de la propriété d'avoir ses rayons de courbure maximum et minimum égaux (^).

M. Catalan , dans ces derniers temps , a publié dans le Journal de mathétnatiques pures et appliquées de M. Liouville, la démonstration complète du théorème, et cela en se servant de Vanalyse; ayant lu la démonstration de M. Catalan, il me sembla aussitôt que la géométrie descriptive pouvait avoir assez de puissance pour résoudre aussi et complètement la question ; et je crois que la démonstration que je viens d'exposer est en effet à Tabri de toute objection.

Ceux qui cultivent Vanalyse regardent la géométrie descriptive comme étant une science bornée , et avec raison , puisque la langue graphique ne comporte pas et ne peut comporter la même puissance que la langue algébrique; mais si Ton cultivait de nos jours la géométrie descriptive ou graphique avec autant d'ardeur qu'on cultive l'oiia/y^e , très-certainement on serait surpris des résultats utiles et nouveaux que l'on obtiendrait.

Sans doute y la géométrie descriptive ne comporte pas la généralité de V analyse^

{*) Voir le ButleUn de 1^ Société PhOomÊOiqus, wémméa 22 jaiii t8M<

en ce sens qu'elle ne peut pas dire en toutes circonstances comme cette dernière, il n'y aque tant deeour^esoutantde^ui/ace^quijouissentde telles propriétés; carsi dans certains cas Yanalyse ne peut pas répondre aujourd'hui , ce n'est pas qu'il y ait en elle imptnssance réelle , c'est qu'elle n'a pas encore atteint la perfection qui lui permettra do répondre un jour; mais très-certainement elle sera en état de répondre un jour, parce qu'en elle existe viriuellement la faculté de répondre, et que si elle ne le peut en ce moment, c'est que les formules au moyen desquelles elle le pourra, ne sont point encore trouvées.

Et touterois, la géométHe descriptive , comme on vient de le voir, a pu , dans la question précédente, atteindre à la puissance de V analyse ^ et très-certainement dans beaucoup d'au très questions, la géométrie descriptive atteindra à la puissance de Y-analyse, mais ce ne pourra être, en général^ que dans les questions où il s'agira de la forme j ce ne pourra être que dans les problèpies de relation de position] et je serai bien trompé, si pour ces problèmes elle n'avait presque toujours un avantage sur Vanalyse , en ce sens que ses démonstrations seront plus promptes et plus simples , et que les résultats seront obtenus dans des termes et sous des formes plus immédiatement applicables par les ingénieurs aux travaux dart.

La géométrie descriptive est réellement bornée , puisqu'elle ne peut atteindre, en général 9 à la solution des problèmes de relation métrique ^ problèmes bien plus nombreux et plus importants sous le point de vue scientifique et des applications que les problèmes de relation de position; mais la géométrie descriptive peut acquérir toute puissance lorsqu'il s'agira des problèmes de relation de position, et en ce sens elle n'est point bornée, et les efforts qu'elle fera dans celte direction seront toujours utiles.

Terminons ce chapitre par les considérations suivantes :

Les anciens géomètres ne purent, en vertudesméthodesqu'ils avaient inventées, démontrer qu'un cône ayant pour hase une section conique était coupé par un plan et, quelle que fût sa direction, suivant une section conique.

Celte question ne fut résolue que lorsque Descaries eut exposé sa nouvelle méthode, qui consistait dans l'application de l'algèbre à la géométrie.

La méthode de Descartes conduisit aux propriétés des surfaces dites du second degré ou du second ordre , mais ce ne fut que lorsque l'algèbre eut été perfectionnée et transformée en algèbre infiniiésimale que l'on démontra le théorème relatif au plan langent en un point d'une surface, savoir : que toutes les courbes tracées sur une surface {quelle que soit cette surface) et se croisant en un même point

ont leurs tangentes en ce point situées dans un plan unique.

Plus tard , les propriétés relatives à la courbure des courbes et des surfiaices furent découirertes au moyen' de Vanalyse if^Uéiimalej etc. , etc.

Et cependant > si la méthode de Deseartes était encore ignorée , maïs si la méthode des projections qui constitue la géométrie detcripUve que nous devons à Monge était connue, nous pourrions résoudre complètement la plupart des questioM dons nous venons de parler.

Et en effet : en ne me servant que de la géométrie deêcripUve^ j'ai démontré qu'un cône ayant pour base une section conique était coupé par tout plan smvant une section conique y et j'ai établi presque toutes les propriétés des sections coniques, sans avoir recours à V analyse (*).

Et c'est aussi em ne me servant que de la géométrie descriptive que dans le chapitre VU de cet ouvrage , je suis ci-*desstts parvenu à démontrer le théorème ^ relat^aupkmkmgeni.

J'espère pouvoir, l'an prochain , publier mon cours complet de géométrie descriptive, et j'y démontrerai en ne me servant que des méthodes de la gémnéirie descripiioer qu'il ne peut exister que cinq surfaces (en mettant en debovs les surisices coniques et cylindriques) qui puissent être coupées par un plan, et quelle que soit sa direction, suivant une section conique.

En sorte que les propriétés des surfaces dites du second ordre seront reconnues et démontrées sans avoir besoin de recourir à ï analyse.

Ce qui vient d'être dit nous doit donner à penser que dans beaucoup de cas , la géométrie descriptivje peut être aussi puissante que Vanalyseyéi ces cas sont ceux où les problèmes proposés étant examinés de près seront reconnus être des problèmes de relation de position^ ou seront reconnus pouvoir être ramenés à des problèmes de forme et de position.

Et on doit le reconnaître, la question du plan tangent y celle des sections planes d'un cône ayant pour base une section conique, celle dea surfaces du second ordre , quand il s'agit de leur mode de génération , de leurs sevstions planes , de leurs cônes et cylindres, enveloppes, etc.,. etc., et aussi la question résolue dans ce § Y^ au sujet de lasuirfatte du filet dBvis.oarré , ne sont en; définitive que des questions defvrme et de position, la géométrie descriptive doit donc pouvoir les résoudre et elle les résout en ettets

{*) Voir mon Coursée géeméM^dmsripUm^, Uth^gr^phié pow Tnsage dm élères de PÉcok centrale def ftrta et mjouifaflliureii.

flN.