XX' XX
YY^
- = etc. = constante M
YY''
Ce théorème est le réciproque du théorème (A).
Théorème C.{figAl) Étant donnés un cercle D et une droite L ; on sait, en vertu du théorème (A), que si Ton mène par le centre a les droites X, X', coupant la droite L aux points p, </, et si par les points p et q on mène les
droites Y, Y' , tangentes au cercle D , en désignant par « l'angle XX' , et par 9 1 angle YY' , on aura a= M9, quelle que soit la position des droites X' et Y% par rapport aux droites fixes X et Y.
Si maintenant on mène par le centre a une droite X, faisant avec la droite
X un aogle y arbitraire , et que Ton suppose que cette droite X« soit Torigine des angles a , on aura , en vertu de Féquation de condition « = Mf , une droite L. qui sera tangente au cercle G , cercle auquel la droite L était tangente.
Tbéorème D. (/!^. 12) Étant donnés un cercle D et une droite L, si Ton mène par le centre a la droite X coupant L au point p , si par les points q de la droite L on mène les droites X' tendant au centre a ; si Ton mène les droites X', tendant au centre a, et telles que Ton ait Téquation de condition a^ = N^, , tandis que Ton avait, pour la droite L, Téquation de condition a =M9 9 on obtiendra une droite L, passant par le point p.
Et la droite L, se construira en portant aq , situé sur X' , de a en f . sur X', ; les points 9. seront sur la droite cherohée L..
Ainsi , le théorème (C) nous dit : si Ton suppose que Ton a a = M9 et que Ton change Taxe X , à partir duquel on compte les angles a , pour le placer en X, , la droite L passera en L. en tournant autour du centre a d*un angle égal à Fangle y, que les axes X et X. font entre eux.
Ainsi , le théorème (D) nous dit : si Ton ne change pas Taxe X , origine des angles a , mais que Ton fasse varier le rapport M qui existe entre les angles a
et 9, on obtient diverses droites L, L, , se coupant en un même point sur
l'axe X.
J'ai cru devoir entrer dans tous ces détails, parce que les théorèmes A , B, G, D, sont les théorèmes fondamentaux de toute la théorie des courbes hélices coniques et des surfaces hélicoîdes coniques.
Et par suite de tout ce qui vient d'être dit on peut énoncer ce qui suit :
I. Étant donnés un cône de révolution B et une hélice conique E tracée sur ce cône, désignant par R la distance du sommet du cône B au sommet de la courbe E , si Ton décrit une sphère S du sommet du cône B comme centre et avec un rayon R. , et que l'on fasse mouvoir une droite G tangentiellement au cône B et à la sphère S , et de telle manière que cette droite G s'appuie sur Thélice E, on formera une surface hélicoîde 2, telle que toute sphère S' concentrique à la sphère S coupera cette surface 2.
i*" Suivant une développante sphérique parfaite j, si l'on a R, = R.
2** Suivant une développante sphérique imparfaite 9, si R> est plus grand ou plus petit que R.
S"" La développante imparfaite sera raccourcie si l'on a R. < R, et elle sera raUongée si l'on a au contraire R. > R.
II. Etant donnés un cône B de révolution et une hélice conique E tracée sur ce cône, et la développante sphérique parfaite d tracée sur une sphère S' et
Une surface hélicoïde conique développable ou gauche esi toujours coupée par un cône de révolution ayant même axe et même sommet que le cône de révolution sur lequel est tracée l'hélice conique , qui est l'arête de rebroussement de la surface développable ou l'Iiélice conique directrice de la surface gauche y suivant une hélice conique.
!*• Rappelons-nous que les langentes à rhélîce tracée sur un cône forment la surface dite héliccnde conique développable j et que toutes ces tangentes à l'hélice sont en même temps tangentes à une sphère ayant son centre au sommet du cône, et pour rayon la distance du sommet du cône au sommet de Thélice , et que Thélice conique est l'arête de rebroussement de la surface.
2° Rappelons-nous que, si l'on a un cône de révolution et une hélice tracée sur ce cône, et une sphère dont le centre soit placé au sommet du cône, et dont le rayon soit plus grand ou plus petit que la distance du sommet du cône au sommet de l'hélice , si l'on fait mouvoir une droite tangentiellement au cône et à la sphère et en s'appuyant sur l'hélice, on engendre une surface dite héliccnâe conique gauche ^ et que l'hélice est dite directrice de la surface.
3*» Rappelons-nous les théorèmes (A) et (B).
Cela posé :
Traçons sur un cône B de révolution une hélice conique E, et imaginons une sphère S du rayon R et ayant son centre au sommet a du cône B; faisons glisser une droite G tangentiellement au cône B et à la sphère D , et de manière à ce que, pendant son mouvement, celle droite s'appuie sur l'hélice E; cette droite G engendrera une surface hélicoïde conique qui sera gauche ou développable suivant la grandeur du rayon R.
Cela fait :
Remarquons que si Ton conçoit :
1* Le plan tangent T au cône B suivant la génératrice H, ce plan coupera, suivant une génératrice H' , le cône de révolution B' qui aura même sommet a et même axe X que le cône B.
2** Le plan tangent T, au cône B suivant la génératrice H, , ce plan coupera le cône B' suivant une génératrice H',.
Par conséquent, les plans tangents T' et T',, menés au cône B' suivant les génératrices H' et H', , feront entre eux le même angle que les plans T et T, tangents au cône B.
On aura donc :
0/;=: tCt.. S** Et si Ton considère une suite de plans T, T., T,, T,, tangents au côn*
B et suivant des génératrices H^ H,, H,, H,, Oaiisant enlre elles des angles
égaux, et qu'ainsi on ait :
ïCii = H., H. = H., H, = etc. ,
on aura une suite de plans T', T',, T',, T',, tangents au cône B' et suivant des génératrices H' , H', , H', , H', , qui feront aussi entre elles des angles
égaux, et Ton aura :
h\H: = h/Th;' = h^Tî;= etc.
4** Les droiles H et H', H, et H',, H, et H',, etc., font entre elles des angles égaux.
Ainsi on a :
H , H' = H^ h; = iCh/^ etc.
5^ Les angles dièdres T,T, et (X, H), (X, H.) (*; sont égaux; on aura donc :
TVr. === O, =0,=elc. =(Xjf)^^ Et aussi :
r,r. = (T/,T; = T;,T/=etc. = (X, h'), (X, H;) = (X,H/),(X,H/) = etc. &" Remarquons enfin que les angles dièdres ,
f/r. et Tvr/; '(xSmw et ^xj^T^TîT)
sont tous les quatre égaux entre eux, mais que les'a'ngles que font entre elles les génératrices H, H, du cône B et H', H', du cône B", ne sont pas égaux entre eux; de sorte que lorsque l'on développera le cône B sur son plan tangent T, les droites H et H. prendront lespositions K et K,; et lorsque Ton développera le cône B^ sur son
C) En désignant par (X , H) le plan méridien du cône B , qui pawe par Taxe X de ce cône B et par sa génératrice H ; et par (X , H') le plan méridien du cône B' passant par son axe X et par sa génératrice H', etc.
plan langent T% les génératrices H' et H', prendront les positions K' et K'., et les
angles K, K, et K^ K', ne seront pas égaux entre eux.
Cela posé :
Traçons sur le cône B une hélice conique E ; menons une suite de génératrices H, H,; H., du cône B, équiangulaires entre elles et coupant E aux points m, m, , m,; par les points m , m., m,, menons dos droites G, G,, G. tangentes au cône B et à une sphère S décrite du point a, sommet du cône B, comme centre et avec un rayon R.
Imaginons le cône B' ayant son sommet en a, et pour axe Taxe X du cône B;
les droites G, G., G, perceront le cône B^ en les points p, p,, p., je dis que
la courbe E% lieu des points p 9 p. , p, 9 est une hélice çur le cône B\
Et en effet :
Par les points p, p., p., passeront les génératrices H", H'., H", du cône B'; ces droites seront équiangulaires entre elles.
Si donc je développe le cône B' sur son plan tangent T', les droites H^ H',, H'^ prendront les positions K% K'., K^, équiangulaires entre elles; et les droites G, G. , G, prendront les positions G^ , G^, , G', tangentes au cercle D tracé du point a comme centre et avec R pour rayon (ce cercle D n'étant autre que la section faite dans la sphère S p^r le plan T'). Les droites G', G'., G', seront aussi équiangulaires entre elles, et les points p\ p\y p, en lesquels viennent se placer y après le développement, les points p, p, , p., seront donc en ligne droite, en vertu du théorème (A); la courbe E' est donc une hélice tracée sur le cône B'.
Il nous reste à trouver la longueur du rayon de l'hélice E'.
Désignons, par L, le cercle suivant lequel la sphère S' du rayon R' est coupée par le plan T tangent au cône B; et par L', le cercle suivant lequel la même sphère S' est coupée par le plan T' tangent au cône B".
Les deux cercles L et V auront même rayon R", et pour centre commun le sommet a, et leurs plans se couperont suivant la génératrice H' du cône B^
Après le développement du cône B sur le plan T, les droites K, K,, K,, K, couperont le cercle L en les points A, A,, A., A.; les droites G', G',, G'., G', couperont le cercle L en les points g', g\, g\f 9^',.**" L'hélice E se transformera suivant une droite U qui coupera le cercle L au point x; et Ton aura :
^rc . xk arc xk, arc xL ,
ss j- ss -— =s et«. = constante = l;
arc . g'k arcjf/*, arc gjk^
ou , en désignant Tare variable xk par [i et l'arc variable g'k par y , on aura :
L'équation de condition (jLZ=zl.y.
Equation qui est satisfaite puisque la courbe E est une hélice.
Les génératrices H', H',, H',, H', du cône B', font des angles égaux avec les génératrices H, H^, H., H, du cône B; en supposant donc que ces génératrices H', H',, H',, H'3 suivent le développement du cône B, elles viendront se placer sur le plan T, en les positions K', K',, K',, K'3, et elles feront entre elles des angles égaux entre eux et à ceux que font entre elles les droites K, K*, K, , K,. Désignant donc, par k\ k\^ k\, k\^ les points en lesquels le cercle L est coupé par ces droites K', K'^, K'^, K',, et par», n. , n,, n, , les points en lesquels les droites G' et K', G'^ et K',, G', et K',, se coupent, on voit de suite , en vertu du théorème (A) , que les points n , n, , n, , », seront sur une droite U' , laquelle coupera le cercle L en un point x\
Et l'on aura dès lors :
arc on/H arc xfkl arc a/k!
TLi = TTt = 7r7 = ^^' = constante = /;
arc g'K arc^/t/ arc^.'A,
ou , en d'autres termes , Téquation
sera encore satisfaite ; de sorte que la droite U' sera tangente au cercle , au- <]uel la droite U, transformée de l'hélice E, était elle-même tangente , en vertu du théorème (G).
Ainsi , par ce mode de transformation , l'hélice E' située sur le cône B', devient une droite sur le développement du cône B.
Gela établi :
Développons le cône B' sur son plan tangent T^
Les génératrices G, G,, G,, G,, se transformeront en les droites G'\ G",, G/', G3'', tangentes au cercle D , tracé dans le plan T , et qui est la section faite dans la sphère S par ce plan T'.
Les génératrices H', H',, H',, H',, se transformeront en les droites K",
K/', K/'; les droites G", G,", G/', seront équiangulaires entre elles, ainsi que les
droites K", K.", K.", et les droites G", G/',G/', couperont lecercle L' en les points
g" 9 9!\gl\ et les droites K", K/', K/% couperont le cercle L'en les points
At", k" j k" y Les points p, p,, p., de la courbe E', deviendront les points p",
Pm f^ ^^ ^ droite \}" traosfbrmée de ThéUce E'; et cette droite U'" coupera le cercle \J en un point x\ et l'on aura :
arc «'*" arc cdkl' arc aifk:'
nUi = TTT' = ïïTû = ^^' = constante r.
arc g^K arc gf/*/ arcg^k"
Et désignant par jui" Tare variable xk'\ et par y' Tare variable g'k'' , r équation de CMdition
sera satisfaile.
Or , lorsque l'on développe le cône B sur son plan langent , les deux génératrices H et H, prennent les positions K et Ki , et comprennent entre elles un angle qui est mesuré sur le cercle L, par l'arc kk,; et les deux génératrices H et H. comprenaient sur le cercle G, base du cône B, un arc kk,.
Si nous désignons par p le rayon du cercle G , nous aurons :
arc kk^ = arc /i/i,,
et comme on peut poser (arc hh,) = -^y et (arc W,)= — , on aura :
Si nous désignons par p le rayon du cercle G% base du cône B% les deux génératrices H' et H', comprendront^ sur le cercle G", un arc AV.; et les droites K'' et K!\y en lesquelles ces génératrices se transforment sur le développement du cône B", comprendront, sur le cercle V , un arc k''k'\y et l'on aura :
arcrr —arc/i'/i'..
Et comme on devra poser (arc. h'h\) = — (*), et (arc A"0 = — r(**)^
(*) Puisque les angles dièdres des plans méridiens (X, H)^ (X, H. ) et {X, H'), (X, H,') sont égaux. C*^) m' étant différent de m , puis que les angles compris entre les droites K et K, , K'^ et K/' sur les dérdoppenents respectîfii des ctoes B et B' ne sont pas égaux.
Or, si l'z=: l on en conclut que p=p'] et comme dans la question qui noo» occupe les deux cônes B et B^ sont distincts , et que dès lors p et p ne peuvent être égaux, on en conclut que t ne peut être égal à /; et dès lors on doit en conclure que Thélice conique E' ne peut avoir même rayon que Thélice E. ku reste ^ on peut démontrer d'une manière très-simple et au moyen de considérations purement géométriques, que les hélices E et E' ne peuvent avoir même rayon , en résolvant le problème suivant.
Problème. Construire le lien des sommets des diverses hélices coniques E% E", E'"^ intersections d'une surface hélicaide conique gauche ou développable 1 , par une suite 'de cônes de révolution B' , B" , B"' concentriques au cône de révolution B sur lequel se trouve tracée l'hélice conique E, directrice de la surface 2.
Étant donné un cône de révolution B et une sphère S du rayon R ayant son centre au sommet a du cône B et une hélice E tracée sur le cône B, en faisant glisser une droite G tangentiellement au cône B et à la sphère et s'appuyant sur l'hélice E , on engendre la surface hélicoïde conique gauche ou développable 1. Si Ton coupe la surface 1 par un cône de révolution B' concentrique au cône B, c'est-à-dire ayant même sommet a et même axe X que le cône B, nous avons démontré que la courbe d'intersection était une hélice conique; plus loin nous ferons voir que cette courbe peut se composer de plusieurs hélices coniques , la surface 2 étant gauche ou étant développable.
Mais en ce moment, admettons que la surface 1 soit gauche et que la sphère S ait un rayon R plus petit que le rayon de l'hélice E (^).
Chaque génératrice G de la surface 2 coupera l'hélice E si 2 est gauche, et sera tangente à l'hélice E si 2 est développable ; on devra donc considérer deux parties sur chacune des génératrices G, savoir : la partie inférieure et la partie supérieure ;
Nous ne considéreroos d'abord comme courbe d'intersection du cône B'et de la surface 2 , que la courbe formée par la rencontre des parties des génératrices G dirigées dans le même sens ;
Le cône B' est composé de deux nappes , nous ne considérerons d'abord que la nappe qui enveloppe la nappe du cône B , sur laquelle l'hélice E se trouve tracée.
Remarquons que chaque génératrice G de la surface 2 fait avec la généra-
(*) Les mêmes raisonnements s'appliqueront à lliélicoïde développable ; seulement , dans ce cas , te rayon R de la sphère S sera égal au rayon de l'hélice E.
trice du cône B un angle qui va en diminuant, depuis le point e, sommet de l'hélice E, jusqu'aux deux points situés à l'infini sur l'hélice E; le demi-angle au sommet du cûne B' étant donné, il sera facile de trouver sur le cdne B deux génératrices V, et V. situées à droite et à gauche du point e et à égale distance angulaire de ce point e, et telles que les génératrices G, etG.de la surface 2 correspondant à ces génératrices, seront parallèles à deux génératrices K, et K, du cdne B'. Dès lors toutes les génératrices G de la surface 1 , comprises entre G, ei G,, couperont la nappe inférieure du cône B', et la courbe obtenue sera une hélice complète E' puisqu'elle aura ses deux points situés à l'infini , placés sur G, et G. ou K. et K..
Il est facile de construire le sommet de cette hélice conique complète £'.
Et en effet.
Menons un plan T langent au cône B suivant une génératrice V, laquelle coupera l'hélice E en un point x; par ce point x passera une génératrice G de la surface 2, et cette génératrice G sera dans le plan T et tangente au cercle D ayant son centre au point a, sommet du cône B, et ayant pour rayon le rayon de la sphère S, puisque ce cercleD sera évidemment un grand cercle de cette sphère S.
Le plan T coupera le cône B' suivant deux génératrices K et K' et la droite G coupera K et K' en les points jr et jr' ; or , si l'on suppose que le cercle D a un rajon plus petit que le rayon de l'hélice E , le point y sera plus éloigné du sommet a que le point y'; ce sera ce point y qui appartiendra à l'hélice E'. Et dès lors on voit que plus le point x sera près du point a , plus le point y sera prés de ce même point a , puisque pour tous les plans tangents , les droites analogues de V et de K font le même angle.
Dès lors, au point e de l'hélice E correspondra le point e' de l'hélice E', ce point e étant le sommet de la courbe E' , tout comme le point e est le sommet de l'hélice E.
On peut donc dire que : les sommet» des hélices coniques, intersections <ie la surface S. et des cône» B', B", B'", concentriques au cône B^ sont situés sur la génératrice G de la surface 2 qui passe par le sommet e de l'hélice E.
Et dès lors il est évident que l'hélice E' n'a pas même rayon que l'hélice E.
Maintenant remarquons :
Que les cûnes B', B", B"' ont des ouvertures dîfTérentes, que leur demi-angle au sommet augmente jusqu'à l'angle droit, auquel cas le dernier cône concentrique à B devient un planQ passant par le sommet a et perpendiculaire à l'axe X de ce cône B.
Dès lors la courbe E' peut bien ne pas exister pour certains de ces cOnes cooeentriques, et en eOet :
La génératrice G de la surface 1 qui passe par le sommet e de l'hélice Ë , fait y avec la génératrice du cône B correspondant à ce point e, le plus grand angle que puisse faire une génératrice de cette surface 2 avec la génératrice qui lui correspond sur le cône B (désignant par génératrices correspondantes celles qui se coupent en un point situé sur l'hélice E ). Si donc on mène un plan tangent au cône B par la droite G ; et que dans ce plan et par le point a on mène une droite U parallèle à G ; et que Ton fasse mouvoir la droite U autour de l'axe X, cette droite engendrera un cône B, qui ne coupera aucune des parties inférieures des diverses génératrices G de la surface I. Dès lors la courbe E' n'existera plus, et à plus forte raison elle n'existera pas pour tout cône dont le demi-angle au sommet sera plus grand que celui du cône B, , et par conséquent elle n'existera pas pour le plan Q, limite des cônes concentriques et sécants.
Admettant toujours que le rayon R de la sphère S est plus petit que le rayon de rtiélice E, ou , en d'autres termes, que la droite qui unit le sommet a du cône B au sommet e de l'hélice E , cherchons toutes les courbes dont se compose Tintersection de la surface hélicoide conique gauche 1 et le cône B' concentrique à B,
Nous devons dès lors considérer les parties supérieure et inférieure de chaque génératrice G de U surface 2 , et en même temps les deux nappes du cône B'.
De rirUersection eompléie de rhélieùïde conique gauche i et dun cône B' concentrique au cône B
mr lequel at tracée l'hélice conique E directrice de la surface z.
Imaginons la génératrice H du cône B passant par le sommet e de l'hélice E, construisons le plan T tangent au cône B suivant H; traçons dans le plan T la droite G qui, passant par le point e, est tangente au cercle D , section faite par le plan T dans la sphère S ; menons dans le plan T et par le point a sommet du cône B une droite U coupant en un point y la partie inférieure de G , de telle sorte que ce point y se trouve au delà du point e par rapport au cercle D ; faisons tourner U autour de l'axe X du cône B , cette droite engendrera un cône B', lequel coupera la surface 2 suivant une courbe Z composée de plusieurs branches qu'il s'agit d'étudier.
Et d'abord , en vertu de ce qui a été démontré , si la courbe Z se compose de plusieurs branches, chacune de ses branches sera une hélice conique ou au moins une portion d'hélice conique.
Cela posé :
Puisque les droites U et G se coupent, on pourra toujours prendre sur l'hélice E deux points x et x' également distants du sommet e pour lesquels les plans tangents & et & au cône B couperont le cône B', savoir : le plan @ suivant les gêné-
du point gflu point h, l'arc E/ allant du point h au point g/, il est d'ailleurs évident que le point h est plus éloigné du sommet a que les points g^ et 9, , ces deux derniers étant d'ailleurs à égale distance de ce même sommet a.
Les courbes tracées sur la nappe inférieure du cône B^ étant trouvées y cherchons celles qui existent sur la nappe supérieure de ce cône.
Toutes les génératrices G situées au delà de G, et de G., en marchant des points X et x' vers les points infinis de E, perceront la nappe inférieure du cône B' en un seul point, et continueront dés lors les arcs E/ et E/. Et si nous désignons par H, et H, les génératrices du cône B qui contiennent les points infinis de E , on voit que si Ton mène parallèlement à H. et H,, et tangentiellement au cône B et à la sphère S deux droites G/ et G/ , ces droites seront les génératrices extrêmes de la surface 2, lesquelles perceront la nappe inférieure du cône B'en les points 9' ^t jf/, et la nappe supérieure du cône B' en les points h' et A/-
Dès lors les arcs d'hélices E/ et E/ iront respectivement du point ft aux points g' et g'j et ces points g' et g^' seront les points de ces arcs les plus rapprochés et également distants du sommet a du cône B".
Revenons maintenant aux hélices situées sur la nappe supérieure du cône B'.
Nous avons vu que les génératrices G, et G, de 2 étaient parallèles aux génératrices K et K/, par conséquent, ces génératrices K et K, contiennent les points situés à l'infini des courbes E, et E^ placées sur la nappe supérieure. On a donc des arcs d'hélices coniques non finis, mais infinis dans un sens, sur la nappe supérieure.
La courbe E/ va de la génératrice K au point A/, et la courbe E/ va de la génératrice K, au point /i/; les points h'eXh^ sont également distants du sommet a du cône B'.
Les cinq courbes E', E/, E/ sur la nappe inférieure et E/, E/ sur la nappe supérieure du cône B' sont donc maintenant complètement définies et déterminées.
Lorsque l'angle au sommet du cône B' sera tel que la droite G qui passe par le sommet e de l'hélice E ne coupera ce cône B' qu'en un seul point, alors la courbe E' disparaîtra .
Et lorsque l'angle au sommet du cône B', augmentent successivement, aura atteint une amplitude telle que la droite G percera la nappe inférieure et la nappe supérieure du cône B', alors la courbe E' n'existera plus; mais alors les arcs d'hélices E/ et E/ ne seront plus infinis et chacun dans un sens , car alors ils viendront s'arrêter angulairement en un point qui sera celui en lequel la droite G perce la nappe supérieure du cône B'. En sorte que les arcs E/ et E/ offriront la même disposition sur la nappe supérieure, que présentent les arcs E/ et E/ sur la nappe inférieure.
Enfin , lorsque le demi-angle au sommet du côoe B' sera droit , ce cûne B' deviendra un plan Q , et alors les nappes coniques se superposent et se confondent, et les arcs E/ et E/, E/etE/Tie superposent et se confondent. On aura donc, dans ce cas, deux arcs d'hélices s'arrétant angulairement deux à deux ; et comme une hélice conique sur un plan ne peut èlre qu'une droite (*), on voit que l'on peut énoncer le théorème suivant:
THÉonËH£ : Une surface hélùx&de coflique gauche l est coupée par un plan Q pasaant par le sommet a et perpendiculaire à l'axe X d'un cône B mr lequel est tracée l'hélice conique Ede la surface 1 , suivant deux portions finies de droite , s'arrétant angulairement à un même point.
Examinons la forme que doivent présenter les deux portions de droite formant l'intersection de ta surface I par le plan Q.
Toutes les parties supérieures des génératrices G de la surface S. sont seules coupées par le plan Q; et toutes les génératrices G sont coupées par le plan Q. Par conséquent, si l'on considère les deux génératrices H, et H, du c6ne B qui contiennent les points situés à l'infini de l'hélice E, et si l'on mène les plans A, et A, respectivement tangents au c6ne B et suivant les génératrices Il,et H,,cesplans couperont la sphère S suivant deux grands cercles , l'un D, et l'autre D,.
Et les tangentes à ces cercles qui seront parallèles aux génératrices H, et H., perceront le plan Q en deux points q, et 9,.
La droite G se mouvant sur l'hélice E percera le plan Q en divers points à partir du point q, jusqu'au point p en lequel sera percé ce plan Q par la génératrice G passant par le sommet 6 de l'hélice E, et tous ces points formeront une droite q.p.
Le point p sera plus loin du point a, sommet du cOne B, que te point <j,; à partir du point p, la droite G, continuant à se mouvoir sur l'hélice E, percera le plan Q en des points qui se rapprocheront du point a, jusqu'à ce que enfin elle prenne ta dernière position en laquelle étant tangente au cercle D, elle percera le plan Q au point q',, et ces points formeront qne droite pf, ; on voit donc que la droite brisée 9,^, forme un angle dont le sommet p est plus éloigné du point a que les extrémités q, et 9, de ses deux côtés.
(')UnplanpentBToir deiumodeadegenératioiia: i'UgénératùmCflindriquVjtionil est engendre par une droite se monTant parallèlement à elle-mâme , en l'appuyant BOr une droite Bxe ; 2° la générati(»n eoniqve, «lora il est engendré parone droite passant parnn point fixe et l'appnyant «nr nna droite fixa ; et si l'on suppoee nn cercle C et une droite passant par le centre de ce centre C et s'apP"?*"' "^ ce cercle , ou anr» la génération d'en plan , limite dw cdnea de réroIntioR ; 1* plan Q peu* <^°°'' ^"^ considéré rigoorensement comme nn cAne de réTolntion appartenant i I* térU des eâaet concentriques B', B", B'".
Ce que nous venons de direpermeUra, dans tous les cas, de construire Tintersection d*une surface hélicoîde conique, gauche 2 et du plan Q.
De rifUersection complète d'une surface hélicoîde conique développable i
par un cane F concentrique au c&ne B sur lequel est tracée V hélice E , arête de rebroussemeni de la surface i.
F.orsque la sphère S a un rayon R plus petit que la distance du sommet a du cône B au sommet e de l'hélice E tracée sur le cône B , on peut faire mouvoir de deux manières différentes une droite G, cette droite étant assujettie pendant son mouvement à s'appuyer sur l'hélice E et à être tangente en même temps et à la sphère S et au cône B.
Car ayant construit uii plan T tangent au cône B suivant une génératrice H de ce cône , laquelle coupe l'hélice E au point x , on peut mener par ce point x et dans le plan T deux droites G et M tangentes au grand cercle D, section de la sphère S par le plan T.
On formera donc avec toutes les tangentes G situées à droite du cercle D une surface hélicoîde conique gauche 2, et avec toutes les tangentes M situées a gauche du cercle D, une seconde surface hélicoîde conique gauche 2..
Il est évident que les deux surfaces 2 et 2, sont symétriques l'une à l'autre par rapport au plan P passant par l'axe X du cône B et le sommet e de l'hélice E.
Mais si le rayon R de la sphère S augmente, aussitôt qu'il sera égal à ae(distance du sommet a du cône Bau sommet ede l'héliceE), en d'autres termes, aussitôt que R sera égal au rayon de l'hélice E , les deux surfaces gauches 2 et 2, ne se confondront pas en une seule et même surfsu)e , qui ne sera autre que la surface hélicoîde conique développable ayant l'hélice E pour arête de rebroussement ; l'une de ces surfaces 2, par exeinple, deviendra la surface développable^ et l'autre surface 2, restera gauche, et la surface dé veloppable 2 sera symétrique par rapport au plan P.
Cela dit , considérons la surface hélicoîde conique développable 2 ayant l'hélice conique E pour arête de rebroussement , et coupons cette surface 2 par un cône B'concentrique au cône B.
Désignons par H. et H, les génératrices du cône B qui contiennent les points situés à l'infini de l'hélice E^ et désignons par t. et «. ces points de l'hélice E.
Toutes les ^[énératrices de la surface hélicoîde développable 2 sont tangentes à l'hélice E et tangentes eh même temps à la sphère S dont le rayon est égal au rayon de l'héUce E ; par conséquent , si je construis les plans A, et A, tangents au cône B suivant les génératrices H, et H, , ces plans couperont la sphère S suivant les grands cercles D, et D.; et si l'on mène la droite G, tangente au cercle D., mais
en lequel le côoe B'esi percé par la génératrice G. , cette hélice E;^' ayant d'ailleurs un point situé à l'infini sur la génératrice K/.
D'après ce qui a été dit précédemment , les points e' et e/, en lesquels le cône B' est percé par la génératrice G passant par le sommet e de l'hélice E , seront : le point e le sommet de l'hélice E/ et le poiht e/ le sommet de l'hélice E/. D'ailleurs, ces deux courbés E/ et E/ seront symétriquement placées sur le cône B' par rapport au plan de symétrie P.
Toutes les génératrices comprises entre G/ et G/ percent en deux points la nappe inférieure du cône B', mais les génératrices comprises entre G, et G/, G. et G/^ percent en même temps et .la nappe inférieure et la nappe supérieure du cône B' et chacune de ces nappes en un point.
On voit donc que l'on obtiendra sur la nappe supérieure du cône B'deux nouvelles hélices E/ et E/ s'arrètant brusquement, savoir :- l'hélice E/ au pointe/,, > en lequel la nappe supérieure de B est percée par G. et l'hélice E/ au point g^ , en lequel la nappe jsupérieure de B' est percée par G,, et d'ailleurs Ja courbe E/ aura un point situé à^l'infmi sur G/^ et la courbe E/ aura un point situé à l'infini sur G/.
Les quatre courbes E/, E/, E,', E/ ne seront donc point des hélices coniques complètes, mais des arcs (infinis dans un sens seulement) d'hélices coniques.
Et tout ce que nous venons de dire aura lieu, quel que soit le demi-angle, au sommet du cône sécant et concentrique B".
Et lorsque cet angle sera droit, le cône B^ deviendra le plan Q , lequel, passant par le sommet a et perpendiculairement à Taxe X du cône B, coupera la surface hélicoïde développable 1 suivant deux droites infinies dans un sens, s^arrêtant brusquement , Tune au point A. en lequel ce plan Q est percé par G, , et l'autre au point A. en lequel ce même plan Q est percé par G,.
D'ailleurs , ces deux droites seront symétriquement placées par rapport au plan de symétrie P, et se couperont en uo point y situé sur ce plan , ce point y étant plus éloigné du sommet a du cône B que les points h, et fc., lesquels seront à égale distance de ce point a.
Ce que. nous venons de dire permettra, dans tous les cas, de construire l'intersection d'une surface hélicoïde conique développable 2 et du plan Q.
De rifUersecHon de la surface hélicùide conique gauche 2 lorsque le ra/gon de la sphère S
est plus grand que le rayon de Vhélice E.
La génératrice G, qui engendre la surface 2 en s'appuyant sur l'hélice E et se mouvant tangentiellement au cône B et à la sphère S , ne pourra pas parcourir
toute l'bélice E ; cette génératrice G ne pourra pas s'appuyer sur l'arc de l'hélice E intercepté par la sphère S.
Il est évident que cette surface I sera composée de deux nappes distinctes et séparées et non symétriquement placées par rapport au plan P, lequel passe par l'axe X du cCtne B et le sommet e de l'hélice E.
Il est évident aussi que cette surface hélicoîde conique gauche n'aura pas , comme l'hélicoïde conique développable, une ligne de itriclion située sur le plan P (*) , puisque le plan P n'est pas un plan de symétrie par rapport à l'une et à l'autre des deux nappes de la surface hélicoïdale gauche 2; dès lors, les génératrices de la surface gauche S ne se couperont pas deux à deux sur ce plan P.
Au reste , pour mettre ce qui précède hors de doute, menons par une génératrice H du cdne B un plan T tangent à ce cône B et coupant la sphère S suivant un grand cercle D; la droite H coupera l'Iiélice E en un point x situé hors do cercle D, par ce point on pourra mener deux tangentes G et G' à ce cercle. Si l'on prend une génératrice H, sur le cône B et coupant l'hélice E en un point x' tel que les points X et x' soient également distants du sommet e de l'hélice E^ on aura aussi un plan langent T, et un cercle D, , et par le point x' on pourra mener deux tangentes G, et G,' au cercle D,. Or, si les tangentes G et G, sont conslruites à gauche par rapport aux cercles D et D, , les génératrices G' et G,' seront construites à droite par rapport à ces mêmes cercles. Toutesles génératrices G, G,... formeront uoesurface^, ettoutes les génératrices G', G,'... formeront une seconde surface2'.
Les génératrices G et G', G, et G,' seront symétriquement placées à droite
et à gauche du plan P, et dès lors les deux surfaces 2 et ^ s'entrecouperont sur ce plan P.
Tout ce que nous venons de dire s'applique à la surface hélicoîde conique gauche, que le rayon de la sphère S soit plus grand ou plus petit que le rayon de l'bélice E.
Dans tous les cas, on aura deux surfaces gauches 1 et 2'; mais lorsque l'on considère la courbe E comme arête de rebroussement , l'une des surfaces bélicoîdes loti ^ devient dévelQppahte , et dans ce cas le rayon de la sphère S est égal au rayon de l'hélice E.
Il sera facile, en vertu de tout ce qui a été développé précédemment, lorsque
O^On appelle ligae de âtriclion d'une sorface réglée , U courbe dont les pointe «ont donné* pu-l'in- (enection d'une niiEe de coupla de génératrices droite* situéM à de* distanoea Bniea , l'une pu rapport • l'antre. Ainsi , le cooolde engendré par uM droite M monTant parallèlement k nn plan x en s'appnyant bot une droite D et Bornn cercle C, a pour ligne de «Iricft'on la droite D.
nous avons supposé que le rayou de la sphère S était plus petit que le rayon de l'hélice E , de reconnaître la position et l'étendue des arcs d'hélices coniques dont se composera la courbe intersection de la surface gauche 2 avec un cône sécant et concentrique B', quelle que soit la grandeur du demi-angle au sommet de ce cône B^; et il sera facile aussi de construire les droites, intersection de cette surface 2f avec le plan Q. Il est inutile, je pense, d'entrer dans plus de détails sur ce sujet (*)•
Je vais maintenant donner une démonstration directe du théorème que j'ai déduit par anatagie^ savoir :
Toute suîfaoe hifkdide conique gauche ou développable 2 est coupée par un plan Q passant par le sommet a et perpendUndairement à taxe X du cône B sur lequel est tracée Vhélice conique E directrice de la surface 1, suivant des lignes droites.
Imaginons le cône de révolution B et son axe X ; le plan Q perpendiculaire à l'axe X et passant par le sommet a du cône B; traçons sur le cône B l'hélice E ; menons sur le cône B une suite de génératrices équidistantes entre elles H , H',
H", H'" et coupant l'hélice E en les points x» x\ x", x" ; construisons
les plans T» T', 1'\ 1'" respectivement tangents au cône B suivant chacune des génératrices H, H', H'^ Yi!'\ ces plans couperont le plan Q suivant les droites y, Y', Y", \"' qui seront respectivement perpendiculaires aux génératrices H , H', H", H'".
Les angles HH', H'IT, H"H'" seront égaux entre eux, et je désigne cet angle par 6.
Les angles YY', Y'Y'', Y''Y'^ seront aussi égaux entre eux, et je désigne cet angle par y. . .
Développons le cône B sur son plan tangent* T, alors les génératrices prendront
les positions H , H^, H., H,, et les angles HH, , H|H,, H.H, seront égaux entre eux et à 6'.
Les droites Y, Y , Y", Y"' prendront les positions Y, Y. , Y, , Y, , et l'on aura les
(*) On remarquera sans peine que dans VartidU où nous arons supposé le rayon de la sphère S plus petit que le rayon de l^éltce E y nous tfrons insisté sur la forme de Tintersection du c6ne B' et de la surface z , parce que cette discussion conTenait aussi an cas où le rayon de la sphère S était plus grand que le rayon de Thélice E ; et an contraire, dans VariicU où nous avons supposé le rayon de la sphère S plnaigrand que celai de Thélice £ , nous nous sommes occupés principalement du nombre des surfaces gauches qui passaient par cette hélice £ , et des relations de position qui existaient entre elles, parce que cette discussion conTenait aussi au cas où le rayon de la sphère S éUit'plus petit que le rayon de rhélice E.
droites Y, et H., Y, et H,, Y, et H, perpendiculaires entre elles, et les angles
YY, , Y,Y„ Y, Y, seront égaux entre eux et à y'.
L'hélice E se transformera en une droite L, et les points Xyx\x'\ x" viendront prendre sur L les positions x, Xt,x^, x^.
Le plan T coupera*la sphère S dont le centre est au point a sommet du cône B suivant nn grand cercle D.
Les diverses génératrices G^ G", G''^ O!" de la surface hélicoîde conique gauche ou développable 2, lesquelles passaient par les points Xy x\ x", x'" de l'hélice E , prendront sur le développement les positions G, G., G., G„ ces dernières droites passent respectivement par les points x, x,,x^^ x^ de la droite L, et seroAt tangentes au cercle D , et comme les angles GG', G'G'', G"G''' étaient égaux entre eux ,
les angles GG,^ GAr^A seront aussi égaux entre eux.
En vertu du théorème (A), les droites G et Y, G, et Y, , G. et Y,, G, et Y, se couperont en les points z^ z,, z^^ z^ qui seront en ligne droite, je désigne cette droite par J.
Cela posé , lorsqu'on enroulera le plan^T sur le cône B, les droites Y, , Y,, Y, viendront prendre les positions Y', Y", Y'", et les points 2, , 2., 2, viendront se placer en les points 2', z\ li" .
Je dis que le lieu des points 2', z\ z" est une droite J".
Et en effet :
L'angle g' est plus grand que 6. Dès lors , l'angle 7 ne sera pas égal à 6\
Si donc sur le développement on prend la droite Y pour origine des angles 7 et 6^, et que l'on mène par le point a une suite de droites Y/, \[\ \l" faisant entre elles des angles égaux à y, et que du point a on porte sur Y/ la longueur 02^ , on aura le point ^Vsur \" la longueur ai. on aura le point ii'^ sur \"' la longueur 02, on aura le point ^'\ et tous les points 2', 7!\ %'" seront en ligne droite en vertu du théorème (D)* 11 est. donc démontré que le plan coupe la surface 2 suivant une droite i'.
On trouvera les diverses droites dont se compose la section complète du plan Q et de la surface 2, en examinant la manière d'être des nappes de cette surface 2 par rapport au plan Q. -
Oocupons-nous maintenant de la oonstruetion de la tangente en un point de la développante sphérique rallongée ou raccourcie.
V De la canslrucUon de la iangenieen mpahu de ladévekppanîe 9phérUiHe. Dans le mémoire publié dans le 23' cahier du Journal de l^Éoote polytechnique , et qui a pour titre : Consiruaion des centres de courbure des épicydcMes planes et sphé-
tiques y j'ai donné b construction de la tangente en un point de la développante sphérique, en considérant cette courbe comme iMie épicycloîde sphériqué. On peut trouver une autre construction de cette tangente , en considéranir la développante sphériqué comme ayant pour développée une hélice conique.
Et en effet :
Étant donnés la développante sphériqué i et le cône B de révolution enveloppe des plans normaux de cette courbe, pour construire la tangente B au point m de d , on exécutera les constructions suivantes :
1° On mènera par le point m une droite K tangente au cône Ben un point p ; on mènera en p le plan T au cône B; on fera passer par la droite K un plan A perpendiculaire au plan T, ce plan A sera le plan osculateur en p de T hélice conique E, développée de la courbe i, et il sera tangent tout le long de K à la surface hélicoïdale 1 ayant Thélice E pour arête de rebroussement ;
2** On mènera en m un plan perpendiculaire à la droite am, laquelle unit le point m et le point a sommet du cône B , ce plan sera tangent en m à la sphère S sur laquelle la courbe d se trouve tracée.
L'intersection des plans T et dofinera la tangente S demandée, puisque la développante sphériqué d est l'intersection des deux surfaces hélicoïdale 1 et sphériqué S.
T De la construction de la tangente en un point delà développante sphériqué rallongée ou raccourcie. *
Étant donnés la développante sphériqué rallongée ou raccourcie i, et le cône B enveloppe des plans normaux de la développante^sphérique parfaite i dont d, est la courbe rallongée ou raccourcie, pour construire en un point mdh d, la tangente 6, on exécutera les constructions suivantes :
1o Du point a sommet du cône B, avec un rayon arbitraire R, on décrira une sphère S ; par le point m et un autre point m situé à distance finie par rapport au point m donné (ces deux points m et m appartenant i la courbe d, ), on mènera deux droites K et K' tangentes au cône B et à la sphère S.
On construira trois cônes B', B'', B'" concentriques au cône B et coupant la droite K en les points m, n et p, et la droite K' en les points m/, n et p. En développant ces cônes, on aura Finclinaison des hélices coniques E', E", E''\ intersections de ces cônes avec la surface hélicoïdale gauche 2 dont K et K' sont deux génératrices, car ces courbes E', ¥f\ E'" passent respectivement 4)ar les points m et m,' , n et n, p ei p'.
Les trois tangentes tf^ t'\ f étant déterminées , on connaîtra Thyperboloide X.
à une nappe et tanyeDt à la surfeee hélicoïdale 2 tout le long construire le plan T tangent au point m à la surface I.
2° On construira le plan perpendiculaire à la droite c de d, au sommet a du cône B , ce plan sera tangent à la sp est en a et dont le rayon est om , et l'on sait que cette courbe J,.
La tangente 6 demandée sera donc l'intersection des deux la développante sphérique rallongée ou raccourcie i, est I surfaces hélicoïdale I. et spbérique S'.
3° De la construction de ta tangente en un poinl de Ut dévelo; rallongée ou raccourcie.
Étant donnée la développante héliGo-6pliéri<|ue rallongée surface hélicoïde conique développable S. sur laquelle cette le cdne B contenant l'héliie E, arête de rebroussement < construire en un point m de ^ la tangente 6 *, il faudra exéci suivantes :
1" Construire le plan T tangent en m à la surface dévelo| le plan osculateurde l'b^ice E;
2' Construire le cône B' ayant son sommet au point a , i pour directrice la courbe ï donnée;
3* Construire la sphère S ayaat son centre au point a e gueur arbitraire; cette sphère S sera coupée par le cône B' pante spbérique rallongée ou raccourcie 3, ;
4° On construira la tangente S, à la courbe d, pour le poini ratrice am du cône B' perce la sphère S ;
5' Par la tangente S, et le pointa, on fera passeron plan cône B' au point m.
La tangente e demandée sera l'intersection des deux pla courbe donnée ^ est l'intersection des deux surfaces bélico conique B'.
En terminant ce chapitre , résolvons le problème suivant
Problème : Par deux héUcet coniques, fiâre passer une turfat Concevons deux cônes B et B' de révolution el concentrii
même axe X et même sommet a.
Traçons sur ces deux cônes deux hélices , l'une E sur le «]
le cône B'.
Désignons par H la génératrice du côiie B qui eoupe reclaogttlairement en le point e l'hélice E , et par H' la génératrice du cône B' qui coupe aussi rectangulairement en le point é Thélice E^ *
Les points e et e seront dés low les sommets respectî& des courbes E et E'.
Désignons par 6 le demi-angle au sommet du cône B, et par 6" le demi-angle au sommet du cône B', et supposons 6 <6^.
Cela posé :
L'hélice E étant placée sur la nappe inférieure du cône B^Thékiee E' pourra avoir deux positions et être placée ou 1"* sur Ja nappe inférieure du cône B', ou 2o sur la nappe supérieure de ce cône B^
Nous avons donc deux cas à examiner.
pREMifiR CAS. hei deux héUces Ë ei E' éUuu mtppoiées iracées mr leê nappei inférieures des cônes hei B\
On pourra toujours unir les sommets e t^ e' par ftne droite 6 et abaisser du point a, sommet commun des deux cônes, une perpendiculaire sur G et coupant cette droite en un point g.
Si du point a comme centre et avec ag comme rayon y on décrit une sphère S , la surface engendrée par la droite G se mouvant sur les courbes E et E" et tangenliellemeat à la sphère S engendrera une surface bélicoide conique gauche ou développable 1.
Cette surface 1 sera gauche si la droite G > qui unit les points e et e\ n'est pas dirigée perpendiculairement à Taxe X; cette surface £ sera au contraire développable si la droite G , qui unit les points e et e\ est dirigée perpendiculairement à Taxe X.
Le sommet e de l'hélice E^ peut être plus près ou plus éloigné du sommet a des deux cônes que le sommet e de l'hélice E ; la construction que nous venons d'exposer donne la solution du problème toutes les fois que les points e et e seront situés d'un même côté par rapport au point g ; mais si ce point g est situé entre les sommets e et e\ la construction précédente ne sera plus exacte, car on se rappelle que dans ce cas Thélicoîde gauche coupée par deux cônes concentriques B' et h" donne sur chacun d'eux deux courbes dont les sommets ne sont pas situés sur la droite qui passe par le sommet de l'hélice directrice.
Dans ce cas, il faudrait imaginer un cône B, ayant même sommet a et même axe X que les cônes donnés B et B', et dont le demi-angle au sommet S. serait plus petit que l'angle 6. On ferait mouvoir une droite G sur les hélices E el E' et tangentiellement au cône B., la surfoce engendrée 2. ne sera une hélicoide gauche qu'autant que les perpendiculaires abaissées du point a sur deux génératrices G
et G seront égales (el si ces deux perpeadiculaireB sont égales, loutes tes génératrices G seront tangentes à une même sphère).
Il faudra donc construire deux génératrices G et G' et les perpendiculaires à ces génératrices ; si ces perpendiculaires ne sont pas égales , on fera varier le demiangle 6. du c6De B, ; pour chaque valeur de 6, , on construira deux nouvelles génératrices et leurs perpendiculaires, jusqu'à ce que l'on tombe sur une valeur de S, , telles que ces perpendiculaires soient ^ales; la solution ne pourra donc être donnée qu'au moyeu d'une courbe d'erreur.
Deuxième cas. Leg deux Mica E et E' étant tracées, l'une tar la nappe ùtférieure du cône B et Faatre sur la nappe supérieure du cane B'.
La construction à employer sera encore celle que nous avons indiquée dans le premier cas, celle où l'on est obligé d'avoir recours à une courbe d'erreur.
Remarquons cependant que si , quelle que soit (a position des hélices E et E' sur les cônes B et B', on veut savoir s'il est possible de i^ire pass» par les deux courbes données une surface hélicoïde développable , la construction suivante résoudra toujours la question.
Du poiot a , sommet des cdnes B et B' comme centre, et avec un rayon R assez grand, on décrira une sphère S qui coupera : l' le c6ne B suivant deux cercles C et G, de rayons égaux et que je désigne par p; S" le cAne B' suivant deux cercles G' et 0/ de rayons égaux et que je désigne par p'.
Gette sphère S coupera : i* l'hélice E en deux points h et A, situés tous les deux sur le cercle C ou sur le cercle G,, et 2* l'hélice E' en deux points h' et h,' situés tous les deux sur le cercle C' ou sur ie cercle G,'.
On tracera sur la sphère S : 1° les deux développantes i et 9, ayant l'hélice £ pour développée, la première d ayant son origine ou point de rebroussement en A , et la seconde i, ayant son origine ou point de rebroussement en h,; 3* les deux développantes f et d,' ayant l'hélice E' pour développée, la première !f ayant snn origine ou point de rebroussement en /t*, et la seconde i' ayant son origine ou point de rebroussement en h,'
Cela posé :
La courbe i ou d, ,. 1*> coupera la couriw If ou à,' en un point :c , ou 3' ne coupera pas cette courbe i' ou 3^,.
Si le point x existe, alors la sur&ce hélicoïde développable existera; et comme les quatre courbes S et 3,, d' et è' ne peuvent s'entrecouper, si elles se coupent, qu'en un seul point, il a'existera qu'une seule surface développable ;
Si le point a: est situé sur l'hélice E' et se trouve être, dés lors, ou le point /l' ou le point h', l'hélice E sera l'arête de rd)rous6ement de la surface développable
Le point x existant^ la surface développable pourra être facilement construite^ car il suffira de mener par ce point x : V une tangente S à rhélice E et touchant celte courbe en un point m ; 2"* une tangente 6' à Tliélice E' et touchast cette courbe en up point rn. La droite G passant par les points m et m sera une génératrice de la surface hélicoide développable 2.
Cela posé y la surface développable 2 pourra être engendrée de d'eux manières différentes:
1*" En abaissant du pointa une perpendiculaire sur G, et coupant G au point 9, et décrivant la sphère S' du point a comme centre et avec ag pour rayon , la surface 1 sera engendrée par G se mouvant tangentiellemeat à la sphère S^ en s'appayant sur les deux hélices données Eet E";
2"* En menant par le point a et la droite G un plan P, et par Taxe X un plan P, perpendiculaire à P et coupant P suivant la droite H , en faisant tourner cette droite H autour de X, on engendrera un cône de révolution B,; et la droite G , en se mouvant tangentiellementau cône B. et s'appuyant sur les deux hélices données E et E', engendrera la même surface 2.
§ ni.
Propriété remarquable dont jouit Chéliccide gauche rectangulairer
{surface de filet de vis carrée).
1. Concevons la surface hélicoide engendrée par une droite G se mouvant sur une hélice d tracée sur un cylindre de révolution et sur Taxe A de ce cylindre^ et de plus coupant sans cesse sous Tangle droit cet axe A.
Si par l'axe A et par un point m de la surface on fait passer un cylindre de révolution Ij ce cylindre coupera la surface hélicoide suivant une hélice 7.
Or, par une droite et un point, on peut faire passer une infinité de cylindres de révolution ; oh peut donc tracer sur la surface hélicoide une infinité d'hélices cylindriques se croisant toutes en un même point de cette surface^
Il y a plus de vingt ans que cette propriété remarquable m'est connue , et voici comment je la démontrai :
Si Ton a deux cercles G et C/ (fig. 13) tels que le cercle C ait pour diamètre le rayon du cercle C ; si par le centre du cercle C on mène une suite de rayons om ,
om% om'j om'\ divisant le cercle C en arcs égaux mvii^=^ mW=WW"=:etc.,
ces mêmes rayons diviseront le cercle C' en arcs aussi égaux entre eux mn = nV=nV"p=: etc. ; et comme Tangle rmwi' a pour mesure dans le cercle C
Tare mm et pour mesure dans le cercle G^. la moilié de Tare nn\ et comme le rajon du cercle C est la moitié du rayon du cercle G , il s'ensuit que Tare mm rectifié sera égal à Tare mn' rectifié.
Gela posé {fig. 14) :
Chaque rayon prolongé pourra être considéré comme la projection^horizontale
G*, G'*, G''\ de diverses génératrices droites G , G', G" de la surface héli- i
coïde (en prenant le plan horizontal de projection perpendiulaire à l'axe A du \
cylindre sur lequel sera tracé l' hélice directrice ) .
En considérant un point m de la surface hélicoide, on sait que le cylindre de j
révolution B, qui a pour axe l'axe A et qui passe par le point m, coupe la surface \
hélicoide suivant une hélice que nous désignerons par d et sa projection ^ \
ne sera autre que le cercle G, base du cylindre B. %
Si l'on trace un cercle C sur le rayon AW du cercle G comme diamètre , et qu'on le regarde comme la base d'un cylindre de révolution B\ ce cylindre B'
passera par l'axe A et parole point m, et les divers points m,, n\ n